放缩法与反证法证明不等式

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2020学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法学案含解析新人教a版选修45

三反证法与放缩法1．不等式的证明方法——反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由此假设出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．不等式的证明方法——放缩法 (1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明不等式已知f (x )求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.“不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”． (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列．证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 为公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )． ∴b 2＝b 2－d 2. ∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )，与已知矛盾．故假设不成立．∴a 32(x ＋y ＋z )．解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明．x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2. 同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当的放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k ＜1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ，当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ，…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n.∴将以上n 个不等式相加，得12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜nn ＝1.5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b |＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|. ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1.∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.课时跟踪检测(八)1．设a ，b ，c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．2．若|a －c |<h ，|b －c |<h ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|a －b |<2h B ．|a －b |>2h C ．|a －b |<hD ．|a －b |>h解析：选A |a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |<2h . 3．设x ，y 都是正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：选A 由已知(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0. ∵x ，y 都是正实数，∴x >0，y >0，∴x ＋y ≥22＋2＝2(2＋1)．4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；③显然不正确．5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法证明时作的反设应为________．答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜17．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系是________．解析：A ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＜x 1＋x ＋y1＋y ＝B .答案：A ＜B8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知a ，b ，c ，d ∈．从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2，∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1，即ac ＋bd ≤1，与已知ac ＋bd >1矛盾， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．求证：n n ＋12<a n <n n ＋22.证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴nn ＋1>n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1>1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵nn ＋1<n ＋n ＋12，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝n 2＋(1＋2＋3＋…＋n )＝n n ＋22.综上得n n ＋12<a n <n n ＋22.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在上的最大值为2，最小值为－52.求证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x )＝bx 在上是单调函数，所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |. 由已知条件得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0. ②当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b2a ，知f (x )在上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得 .所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝2，f －1＝a －b ＋c ＝－52或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝－52，f －1＝a －b ＋c ＝2.又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <2. 由①②，得a ≠0且⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a<2.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题．在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．真题体验1．(全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．已知b ，m 1，m 2都是正数，a 0，m 1，m 2>0，所以(b ＋m 1)(b ＋m 2)>0. 又a 0. 从而(a －b )(m 2－m 1)<0. 于是a －b m 2－m 1b ＋m 1b ＋m 2<0.所以a ＋m 1b ＋m 1<a ＋m 2b ＋m 2. 综合法证明不等式逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12.∴1ab≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab≥2ab ·21ab＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab≥8.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a >b >0.求证：a －b <a －b . 要证a －b <a －b ，只需证a <a －b ＋b ，只需证(a )2<(a －b ＋b )2，只需证a <a －b ＋b ＋2b a －b ，只需证0<2ba －b .∵a >b >0，上式显然成立，∴原不等式成立，即a －b <a －b .反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种．假设欲证的命题是“若A 则B ”，我们可以通过否定B 来达到肯定B 的目的，如果B 只有有限多种情况，就可用反证法．用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理或定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．已知：在△ABC 中，∠CAB >90°，D 是BC 的中点．求证：AD <12BC (如右图所示)．假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知∠A ＝90°，与题设矛盾．所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD .同理∠C >∠CAD .所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD .即∠B ＋∠C >∠A . 因为∠B ＋∠C ＝180°－∠A ，所以180°－∠A >∠A ，即∠A ＜90°，与已知矛盾．故AD ＞12BC 不成立．由①②知AD ＜12BC 成立.放缩法证明不等式作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则达文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

2.3 反证法与放缩法课件(人教A选修4-5)

2 2 k2＋k1 2 而 2x ＋y ＝2( ) ＋( ) k2－k1 k2－k1
2 2
8＋k2＋k2＋2k1k2 k2＋k2＋4 2 1 1 2 ＝ 2 2 ＝ 2 ＝1. k2＋k1－2k1k2 k1＋k2＋4 2 此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
法二：l1 与 l2 的交点 P
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞，＞， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞，＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.
[证明] k1＝k2.
(1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有
代入 k1k2＋2＝0，得 k2＋2＝0， 1 此与 k1 为实数的事实相矛盾．从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交． (2)法一
y＝k x＋1， 1 ：由方程组 y＝k2x－1，
x＝ 2 ， k2－k1 解得交点 P 的坐标(x，y)为 k2＋k1 y＝k2－k1
2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
[考题印证] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。

反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。

放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

首先介绍反证法。

对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。

具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。

3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。

4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。

举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。

然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。

然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。

因此，假设错误，原不等式成立。

接下来介绍放缩法。

放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。

2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

3.对新形式的不等式进行证明。

4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。

举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。

我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。

化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。

证明不等式的八种方法

比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法和商值比较法。
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明：要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有：对基栖于本西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式等所、式有均、x值切i与不比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明：假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b

高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法习题新人教A版选修4-5

3．实数 a，b，c 满足 a＋2b＋c≥2，则( ) A．a，b，c 都是正数 B．a，b，c 都大于 1 C．a，b，c 都小于 2 D．a，b，c 中至少有一个不小于12 解析：选 D.假设 a，b，c 均小于12，则 a＋2b＋c<12＋1＋12，与已知矛盾，所以假设不成立，故 a，b，c 中至少有一个不小于 1 2.
2．已知 a，b，c 是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根，应假设成( ) A．三个方程都没有两个相异实根 B．一个方程没有两个相异实根 C．至多两个方程没有两个相异实根 D．三个方程不都没有两个相异实根解析：选 A.命题“三个方程 ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0， cx2＋2ax＋b＝0 至少有一个方程有两个相异实根”的否定为 “三个方程都没有两个相异实根”，故选 A.
＝2
5cos θcos
π4－sin θsin
π4＝2
5cosθ＋π4.
因为 cosθ＋π4∈[－1，1]，所以 a－b∈[－2 5，2 5]．
2．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n (n∈N ＋ ) 的大小关系是
________．
解析：A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n
≥
＝n n
＝ n. 答案：A≥ n
3．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且当 0<x<c 时，f(x)>0. (1)证明：1a是函数 f(x)的一个零点； (2)试用反证法证明：1a>c. 证明：(1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，所以 f(x)＝0 有两个不等实根，不妨设为 x1，x2，因为 f(c)＝0，所以 x1＝c 是 f(x)＝0 的一个根．又 x1x2＝ac，所以 x2＝1a1a≠c. 故 x2＝1a是 f(x)＝0 的一个根，即1a是函数 f(x)的一个零点．

2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法课件新人教B版选修4_5

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法
1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
自主预习探新知
教材整理 1 反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的 _定__义__、__定__理__，命题的条件逐步分析，得到和_命__题__的__条__件__(_或__已__证__明__过_ _的__定__理__，__或__明__显__成__立__的__事__实__)_矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋43y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可得： y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而 ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. 而由假设 a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即 a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ [提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，
②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．

反证法与缩放法

3.例3. 已知a, b, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c 分析：若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂，难度太大。分析此式的形式特点，可以通过适当放缩，使不等式简化，从而得证。
缩小法 a b c d abd bca cd b d ac
尊者终于忍不住了,站了起来,朝犁空沉喝道："君主,还没有旨意下来吗?如果现在还不出战の话,俺们将会成为人类の罪人！" "俺们已经是罪人了！" 一名褐发尊者接过话来沉沉一叹,眸子内尽是黯然之色,闭着眼睛,仰着头叹道："星辰海十万八千岛,这次能逃出去多少人?不少尊者级别の岛主,被白重炙击杀了,没有尊者开路,他们能逃の掉吗?" 褐发尊者の话,让众人脸上の愤怒之色更浓了几分,更多の人站了起来,目光灼灼の盯着犁空. 恶魔降临之前,这些尊者和数百亿星辰军,全部驻扎在九大卫岛.恶魔大规模の降临之时,这些尊者立刻请求出战,镇压恶魔. 结果,却接到了犁空の传讯,九大卫岛所有人撤入至尊岛.这个命令很莫名其妙,但是犁空说这是星辰君主の意思.所有尊者便不再质疑了,带着卫岛上の练家子和星辰军,全部进入了至尊岛. 结果！进来之后,至尊岛の护罩再次开启了,他们想出都出不去了.星辰君主也没有命令传下来,数十位尊者和数百亿星辰军,全部都蜗居在至尊岛上,眼睁睁望着无数の恶魔在星辰海上肆虐,眼睁睁の望着星辰海の天空越来越昏暗. 今日终于全部尊者忍不住了,联袂来了家主府,要问犁空给个说法.那知道,众人说了一大通,犁空却坐在哪里,一动不动,似乎睡着了一样. "大人,俺提议,大家一起去求见君主,当面请示君主の意思！" "对,如果现在还不出战の话,以后俺们还有什么脸面在神界混?" "如果任凭恶魔不断降临,到时候整个

反证法与放缩法课件

【例 2】设 x，y，z 满足 x＋y＋z＝a(a>0)，x2＋y2＋z2＝12 a2.求证：x，y，z 都不能是负数或大于23a 的数．
【分析】本题结论中含有都不是，从语言上来判断可以用反证法．
【证明】 (1)假设 x，y，z 中有负数，若 x，y，z 中有一个负数，不妨设 x<0，则 y2＋z2≥12(y＋z)2＝12(a－x)2，又∵y2＋z2＝12a2－x2， ∴12a2－x2≥12(a－x)2. 即32x2－ax≤0，这与 a>0，x<0 矛盾．若 x，y，z 中有两个是负数，不妨设 x<0，y<0，
【分析】待证不等式中，左边是三个根式的和，且根式内的式子不是完全平方式．用前面的几种方法难以奏效，故考虑对根式内的式子进行放缩．
【证明】
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2≥
x＋2y2
＝|x＋2y|≥x＋2y.
同理 y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
由于 x，y，z 不全为零，故上面三个式子中至少有一个式
【变式训练 1】若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.
证明假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大于 1，则 a(1－b)>14，b(1－c)>14，c(1－d)>14，d(1－a)>14.
例
如：n12<nn1－1
＝
n－1 1－1n
，n12>
1 nn＋1
＝1n－
1 n＋1
；
1 n
>

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不等式的证明
复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法。
例1.已知x，y f 0，且x y f 2.试证： 1 x ，1 y 中至少有一个小于2.
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
ab
a
b
法１：
1 a b 1 a 1 b
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0 时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab
|a|
b
1 1 a b 1 a b 1 a b
ab
ab
.
1 a 1 b
法２： Q 0 a b a b ,
a b a b 11
放缩法
▪ 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
▪ 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) ▪ 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
▪ 这种证明方法,我们称之为放缩法。 ▪ 放缩法的依据就是传递性。
例1、若a, b, c, dR+，求证：
24
24
(b a )2 2
abc
(c a )2 2
小结
• 在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现证明。例如：
• 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) • 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
• 这种证明方法,我们称之为放缩法。 • 放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证：记m =
a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, dR+
m
a
b
c
d
1
abcd abca cdab dabc
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
➢ 与题设矛盾
➢ 若a = 0，则与abc > 0矛盾，
➢ ∴必有a > 0
➢ 同理可证：b > 0, c > 0
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 ① 64
又∵0 < a, b, c < 1
∴0
(1
a)a
(1
a) 2
a2
1 4
同理： (1 b)b 1 (1 c)c 1
4
4
1
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64
与①矛盾∴结论成立
•
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
•
论成立的方法。
n
2
2
1
∴n > 2时, log n (n 1) log n (n 1) 1
课堂练习
• 2、若p>0,q>0,且p3+q3=2, • 求证：p+q≤2
课堂小结
•
证明不等式的特殊方法:
• （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
•
适当的放缩实现证明的方法。
• （2）反证法：先假设结论的否命题成立，
1 1 1 1
23
n
2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
例4、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
a 2 ab b2 a 2 ac c 2 a b c
略
解 a2 ab b2 a2 ac c2
(b a )2 3 a2 (c a )2 3 a2
1
1
1 a b 1 a b
1 a b
1 1
ab
1 a | |b 1 a b
|a| b
ab .
1 a b 1 a b 1 a 1 b
法３：函数的方法
例3求证：
2（ n+1-1）<1+ 1 1 ... 1 2 n(n n*)
23
n
Q1 2
2
2( k k 1), k N *
k 2 k k k 1
课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：log n (n 1) log n (n 1) 1
证：∵n > 2 ∴log n (n 1) 0, log n (n 1) 0
log
n
(n
1)
log
n
(n
1)
log
n
(n
1)
2
log
n(n1) 2log n (n2 2
1)
2
log n 2
yx
例题
➢例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
➢
abc > 0，求证：a, b, c > 0
➢ 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
➢ 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
➢ ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0