导数应用于不等式证明之放缩法一例
放缩法证明导数不等式
放缩法证明导数不等式在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。
下面先介绍几个不等式。
①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号）对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤11ln 即 ④xx x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x xx ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x ee x≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。
⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x f ，()x f 单调递减；⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增，所以()x f 的最小值为e e f 11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，即e x x 1ln -≥，所以得到⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当ex 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x证明：先证ex e x ≥令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减，()+∞∈,1x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
高中数学 经典资料 第121课--导数中的不等式放缩
第121课导数中不等式放缩基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.（2）与隐零点相关的放缩问题常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.一、典型例题1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()()f xg x >解析：设()()()h x f x g x =-23e 91x x x =+-+，∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数，∴可设()00h x ¢=，∵()060h ¢=-<，()13e 70h ¢=->，∴()00,1x Î.当0x x >时，()0h x ¢>；当0x x <时，()0h x ¢<.∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+，又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.∵()00,1x Î，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.2.已知函数()2e x f x x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()e 2e 1ln 1x x x x +--³+.答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析解析：（1）()e 2x f x x ¢=-，由题设得()1e 2f ¢=-，()1e 1f =-，()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.y x =-+（2）()e 2x f x x ¢=-，()e 2x f x =-，∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，所以()()ln222ln20f x f ³=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+，故可猜测：当0,1x x >¹时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.下证：当0x >时，()()e 21f x x ³-+，设()()()e 21,0g x f x x x =--->，则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-，()g x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<，∴()ln20g ¢<，所以，存在()00,ln 2x Î，使得()00g x ¢=，所以，当()()00,1,x x Î+¥时，()0g x ¢>；当()0,1x x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2e e 210x g x x x =----³，当且仅当1x =时取等号，故()e 2e 1,0x x x x x +--³>.又ln 1x x ³+，即()e 2e 1ln 1x x x x +--³+，当1x =时，等号成立.二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.（1）求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数；（2）求证：()2f x >.答案：（1）1个；（2）见解析解析：（1）()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-，设()1e x g x x=-，则()21e 0x g x x ¢=+>，()()1e x g x f x x¢==-在()0,+¥上递增，()11e 10,202f f=->=-<，存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=，所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.（2）由（1）可知，()y f x =在()00,x 上递减，在()0,x +¥上递增，()()00000min 011e ln 2(1)2x f x f x x x x x ==-=+><<，所以()2f x >.2.已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.（1）当1m ³时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ³-，证明：当()0,1x Î时，()1f x x >+.答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）()e x g x m ¢=-，由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>，ln x m <得()0g x ¢<，所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1e xx x ax x x ++++>，由（1）得：e 1x x ³+，所以()22e 1x x ³+，所以211e 1x x x +<+，()0,1x Î，()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+，令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-，当()0,1x Î时，π1cos cos1cos 32x >>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x ¢<，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()0h x ¢<，所以()h x 在()0,1上为减函数，因此，()()314cos12h x h a >=++，因为π4cos14cos 23>=，而72a ³-，所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而()0,1x Î，所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x <£时，()12f x x >.答案：见解析解析：只需证：ln 1ln 2x x x x -->，令()ln g x x x =-，()ln 12x h x x =+，由()110g x x =-=¢解得：()1,x g x =在(0,1)递减，在(1,2]上递增，故()()min 11g x g ==，由()21ln x h x x -¢=可知：()h x 在(0,2]上递增，故()()()max min 1ln2212h x h g x +==<=，故()()h x g x <，即()12f x x >.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时，()ln f x x >.答案：见解析解析：由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+，且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上，所以0110b ---=，所以2b =-.所以()e 2x f x =-.先证e 21x x ->-，即e 10(0)x x x -->>，令()e 1(0)x g x x x =-->，则()e 10x g x ¢=->，所以()g x 在(0,)+¥是增函数.所以()(0)0g x g >=，即e 21x x ->-.①再证1ln x x -³，即1ln 0(0)x x x --³>，令()1ln x x x j =--，则11()1x x x x j -=-=¢，()0x j ¢=时，1x =，()0x j ¢>时，1x >，()0x j ¢<时，01x <<.所以()x j 在(0,1)上是减函数，在(1,)+¥上是增函数，所以min ()(1)0x j j ==.即1ln 0x x --³，所以1ln x x -³.②由①②得e 2ln x x ->，即()ln f x x >在(0,)+¥上成立.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R Î．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．（1）求a 最大整数值；（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n +++++<-．答案：（1）2；（2）见解析解析：由题意知，()()e ln x f x x a ¢=-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()0f x ¢³恒成立．（1）先证明e 1x x ³+．设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x ¢=-，则函数()g x 在(),0-¥上单调递减，在()0,+¥上单调递增，∴()()00g x g ³=，即e 1x x ³+．同理可证ln 1x x £-∴()ln 21x x +£+，∴()e 1ln 2x x x ³+³+．当2a £时，()0f x ¢>恒成立．当3a ³时，()01ln 0f a ¢=-<，即()()e ln 0x f x x a ¢=-+³不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．（2）（1）知，()e ln 2x x ³+，令1t x t -+=，∴111e ln 2ln t t t t t t-+-++³+=∴11e ln tt t t-++³．由此可知，当1t =时，0e ln2>．当2t =时，213e ln 2->，当3t =时，324e ln 3->， ，当t n =时，11e ln n n n n -++³．累加得0121e e e e n ---+++++>23341ln2ln ln ln 23nn n +++++ ．又0121e e e e n ---+++++=111e e 11e 111e e n -<=---，∴2334ln2ln ln 23++1e ln e 1n n n +++<-．。
导数中常用放缩不等式
导数中常用放缩不等式在数学中，导数是一个重要的概念。
在求导的过程中，经常需要应用一些放缩不等式，以获得更精确的结果。
这些放缩不等式帮助我们在求导中更好地掌握变量的增减趋势和变化的速率。
本文将介绍一些常用的导数放缩不等式，分为基本放缩不等式、中值定理和极值定理。
1. 基本放缩不等式(1) 幂函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x0)(x/x0)a-a, (a>0)当a>1时，f(x)单调递增一次，当0<a<1时，f(x)在x0左侧单调递增，右侧单调递减。
(2) 三角函数放缩不等式若-functionsadfb6549aaa2a4c7sinx≤x≤tanx (0<x<π/2)cosx≤1≤secx (0<x<π/2)(3) 对数函数放缩不等式若函数f(x)在[x0, x]上单调递增(或递减)，则有：f(x0)≤f(x)≤f(x0)+(x-x0)/x0f(x0), x0>0若函数f(x)在[x0, x]上单调递减(或递增)，则有：f(x0)+(x-x0)/x0f(x0)≤f(x)≤f(x0), x0>02. 中值定理(1) 麦克劳林定理对无穷次可导函数f(x)，有如下麦克劳林公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a)(x-a)2/2!+…+f(n)(a)(x-a)n/n!+ (x-a)n∫xaf(n+1)(t-t)n/n!dt(2) 拉格朗日中值定理若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，则有：f(b)-f(a)=f’(c)(b-a), c∈(a,b)(3) 均值定理设函数y=f(x)在区间［a,b］上可去掉有限数个点，显然在此区间上存在一点η，使得:f(η)=(f(b)-f(a))/(b-a)3. 极值定理(1)费马(Fermat)定理定理：函数y=f(x)在一点x0处取极值，当且仅当：f’(x0)=0或不存在。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数大题放缩法题目
导数大题放缩法题目导数的放缩法是一种常用的求导方法，它可以帮助我们简化复杂的函数求导过程。
下面我将给出一个导数放缩法的题目，并从多个角度进行全面完整的回答。
题目，求函数$f(x) = \frac{2x^3 3x^2 12x + 5}{x^2 4}$的导数。
解答：为了求解这个题目，我们可以使用导数的放缩法。
下面将从多个方面进行回答。
1. 使用导数定义求解：我们可以使用导数的定义来求解这个题目。
根据导数的定义，函数$f(x)$的导数可以表示为：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) f(x)}{h}$。
将函数$f(x)$带入上述公式，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\frac{2(x+h)^3 3(x+h)^212(x+h) + 5}{(x+h)^2 4} \frac{2x^3 3x^2 12x + 5}{x^24}}{h}$。
通过化简和合并同类项，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{6x^2 + 6xh 3h^2 12}{(x^24)(x+h)^2 4(x^2 4)}$。
继续化简，我们可以得到：$f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{6x^2 + 6xh 3h^2 12}{x^4 +2x^3h 7x^2 + 2xh^3 4xh^2 12x + h^4 4}$。
然后，我们可以将$h$约去，并计算极限：$f'(x) = \frac{6x^2 12}{x^4 4}$。
因此，函数$f(x)$的导数为$f'(x) = \frac{6x^2 12}{x^4 4}$。
2. 使用导数的基本公式求解：除了使用导数的定义，我们还可以使用导数的基本公式来求解这个题目。
根据导数的基本公式，我们可以得到一些常见函数的导数规则，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
放缩法证明导数不等式
放缩法证明导数不等式在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。
下面先介绍几个不等式。
①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号）对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤11ln 即 ④xx x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x xx ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x ee x≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号）令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。
⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，()0'<x f ，()x f 单调递减；⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1e x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增，所以()x f 的最小值为e e f 11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，即e x x 1ln -≥，所以得到⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当ex 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x证明：先证ex e x ≥令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0'<x f ，()x f 单调递减，()+∞∈,1x 时，()0'>x f ，()x f 单调递增。
高考导数解答题中常见的放缩大法
For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。