2021年典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证明数列中的不等式
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型： ； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩 为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 L n 1 (n N ) 2 2 2 2
* 2 2 2
证明
1 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 2) Q 2 (2n 1) 4n 4n 4n(n 1) 4 n 1 n
1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 (1 ) ( ) L ( 4 2 2 3 n 1 n 1 1 1 (1 ) 1 1 5 n 2 4 n 4 4
n
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要 先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不 多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项 相消模型等. 实际问题中， bn 大多是等比模型或裂项相 消模型.
评注
放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！
1 5 7 对 2 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 2 ， 3 4 n
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
1 那么变式 1 和变式 2 就显然成立. 对 2 的 3 种放缩方法体现了 n n 5 1 三种不同“境界” ，得到 2 的三个“上界” ，其中 最接近 3 k 1 k
用放缩法证明 数列中的不等式
张家界市第一中学 高三数学组
放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点 点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头 绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）na =n ，求证：k=1例3、已知a kn证明：苕1V (k — 1)k(k + 1) _________二［+£莖壬匹^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二学习必备欢迎下载用放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高，,对它的运用往往能体现出创造性。
放缩法”它可以和很而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩k时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x )=一，求证：f (1)+f (2) + …+f (n )1 +4xf(n)=二=1--^A 1-丄1 +4n1+4 2 *21 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1—2 212 222 2n+1 +1 +…=n + 丄一1(n 迂 N *). 2 4 2n2n'12此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
女口它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标,放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题,1、添加或舍弃一些正项（或负项）放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
利用放缩法证明数列型不等式
1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时 ，S1
1
3 2
当n
2时 ，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时 ，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时 ，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩
典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143＜＋＜a b 。
证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43。
例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222234222++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222+++＞，c ac a c a 222+++＞。
所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（） 二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。
证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c+++＞，所以a b c b a c c a ba abc b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c+++＜2，故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c+++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。
不等式放缩法
不等式放缩法不等式放缩法，这可是数学里一个相当有趣的“小魔法”！咱们先来说说啥是不等式放缩法。
简单来讲，就是把一个复杂的不等式通过巧妙的手段进行变形，让它变得更容易处理和证明。
比如说，原本一个长得很吓人的不等式，咱们通过合理的放缩，把它变成一个咱们熟悉的、能轻松搞定的形式。
我给大家举个例子哈。
比如说有这么个不等式：1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋… ＋ 1/n ＞ 1/2 ×（n 1) （n ≥ 2）。
要是直接去证明，可能会让人有点头疼。
那咱们就来放缩一下。
先把每一项 1/k （k ＝2, 3, 4, …， n）都放大成 1/2 ，这样原来的式子就变成了（n 1) × 1/2 ，这不就和要证明的右边一样了嘛！而且因为我们是把每一项都放大了才得到的这个式子，所以原不等式就成立啦！是不是感觉有点神奇？我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙一脸迷糊地问我：“老师，这放缩法咋感觉像是在‘作弊’呢？”我笑着回答他：“这可不是作弊哦，这是数学的智慧！就像你走在路上，遇到一个大石头挡道了，咱们总不能硬撞上去吧，得绕个弯或者找个更简单的路过去，这放缩法就是咱们在数学道路上找的‘捷径’！”那不等式放缩法有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数列求和的问题里，如果直接求和很难算，咱们就可以用放缩法来估计和的范围。
还有在证明一些不等式的结论时，放缩法往往能起到关键作用，让看似复杂的问题一下子变得清晰起来。
不过呢，放缩法也不是随便放缩的，要是放缩得不合理，那可就得出错误的结论啦。
这就好比你修房子，尺寸要是搞错了，房子可就歪歪斜斜没法住人了。
所以在使用放缩法的时候，一定要小心谨慎，多思考多尝试。
再给大家说个我自己的经历。
有一次我在做一道数学题，用了放缩法，结果怎么都证明不出来。
我检查了好几遍，才发现是放缩的时候放得太大了，把原本成立的不等式给弄“变形”了。
从那以后，我每次用放缩法都会特别小心，反复确认放缩的合理性。
用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式 Prepared on 22 November 2020利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑ =113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ 11121221n n n =+-+++10(21)(22)n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+1221122n n T T T T S --=+++++由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217,1,212T S T ===，即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
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用放缩法证明不等式
欧阳光明（2021.03.07）
所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证
143
＜＋＜a b 。
证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋
b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14
（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14
（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43。
例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为
a a
b b a b b a b a b a b 22222
2342
22++=
+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222
+++＞，c ac a c a 222+++＞。
所以
a a
b b b b
c c c ac a a b c 22222232
++++++++++＞（）
二. 分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：
12＜＋＋＜a b c b a c c a b
+++。
证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c
+++＞
，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c
+++＞，所以
a b c b a c c a b
a a
b
c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角
形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c
+++＜2，
故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。
三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n ∈N*，求n 2n
131211＜…+
+++。
证明：因为，则11213+
++
…＜（）（）…（）＜+
+-+-++--=-1122123221212n
n n n n
，证毕。
例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n
+++⨯+⨯= ，求证：
2
)1(2)1(2
+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2
)1n (n n 21a n +=+++> ，
又2
)
1()1(+<
+n n n n ， 所以2
)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2
n +=
++++=++++++< ，综合知结
论成立。
四. 公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例6. 已知函数
1
212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有
1
)(+>
n n
n f 。
证明：由题意知
)12)(1()
12(212211)111()1
221(112121)(+++-=
+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f ，
又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为
1n 21n 2
)
1n (n n 1C C C C C )11(2n
n 1
n n
2
n 1
n 0
n n n +>+++-+
+=+++++=+=- 所以1
)(+>
n n
n f 。
例7. 已知2
x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。
证明：
f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+
-+=
-+++=
+-+++111111222222
22
b
a b
a b
a )
b a (b
a b a b a -=+-+<
+-+<证毕。
五. 换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
例8. 已知c b a >>，求证
0a
c 1
c b 1b a 1>-+-+-。
证明：因为c b a >>，所以可设t c a +=，)0u t (u c b >>+=，所以
0u t >-则
0tu
u
t t 1u 1t 1u 1u t 1a c 1c b 1b a 1>-=->-+-=-+-+-，即0a
c 1c b 1b a 1>-+-+-。
例9. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边，且有222c b a =+，当
*N n ∈且3n ≥时，求证：n n n c b a <+。
证明：由于a b c 222+=，可设a=csina ，b=ccosa （a 为锐角），因为01<<sina ，01<<cosa ，则当n ≥3时，sin sin n a a <2，cos cos n a a <2，
所以a b c a a c a a c n n n n n n n +=+<+=(sin cos )(sin cos )22。
六. 单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。
例10. 已知a ，b ∈R ，求证b
1b a
1a b
a 1
b a ++
+≤
+++。
证明：构造函数)0x (x
1x
)x (f ≥+=
，首先判断其单调性，设
21x x 0<≤，因为0)
x 1)(x 1(x x x 1x x 1x )x (f )x (f 212
1221121<++-=+-+=
-，所以()()21x f x f <，所以)x (f 在],0[+∞上是增函数，取b a x 1+=，b
a
x 2+=，显
然满足21x x 0≤≤，
所以|)b ||a (|f )b a (f +≤+， 即
|
b |1|
b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||a ||b a |1|b a |++
+≤+++++=+++≤+++。
证毕。