2014年重庆高考数学试题(文)
2014年重庆市高考数学试卷(文科)与答案解析
2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则解：分层抽样的抽取比例为，×5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）V=×﹣×8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，22B===+2+2＞2∴a+b=a+=a+=a+3++7+7a=4+210．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）（﹣，﹣]（﹣]（﹣]（﹣]，x=﹣＜，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．解：∵=∴∴13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．ωω（，﹣）图象上每一点的横坐标缩短为个单位长度得到函数﹣ω﹣（x+（（）=sin=故答案为：14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．=15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．，联立得，联立得×，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．∴17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．P=18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．求出sinC，且，cosC==；22=2sinCabsinC=sinC19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．y=+﹣﹣，x﹣a=+﹣﹣﹣=20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得BAD=，（BM=OBM=（，，=，=，，即PO==•OM=S PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．|=，于是可求得椭圆的标准方程；与椭圆﹣=2，得==，得，，因此，所求椭圆的标准方程为与椭圆，所以+﹣，即3﹣﹣得+1|=，==。
2014年重庆高考数学试题(文)
2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1•实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）A 第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在等差数列｛a n ｝中，印=2,比a ^ 10，则內=（）A.5B.8C. 1 0D.143•某中学有高中生 3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取 一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取 70人，贝U 门为（）A100 B. 1 50 C.200 C.2504•下列函数为偶函数的是（ ）5•执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为6.已知命题P :对任意x R ，总有丨x 1 - 0 ；q ： "x 二1是方程"x 2=0"的根则下列命题为真命题的是（ ）A p _q B._p q C._ p q D. p q7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A. f(x) =x -1B. f ( x> 3x xC.f (x) =2x -2」A.10B. 1 7C.19C.362 2 (|PF i 1 1 PF 2|) =b -3ab,则该双曲线的离心率为() A.、2B. ,15C.4D. . 17 9. 若 log (3a 4b )log 2 . ab,则a b 的最小值是() A.6+273 B .7+2^3 C .6+473 D.7+4J313,x (-1,0] 口 亠 f(x)二 x 1 ,且g(x) = f (x)-mx-m 在(-1,1] I10. 已知函数 x,x ・(0,1]内有且仅有两个不同的零点, 则实数m 的取值范围是( )11.已知集合 A 咄1,2,3,5,8}, B -{1,3,5,8,13},则Ac B = 12已知向量a 与b 的夹角为60，且 a =(-2,-6), | b |=心0,则ab =f x =sin ，x 亠「1 八 >0，；V 2 2丿图像上每一点的横坐标缩短为原来的8.设F i , F 2分别为双曲线的左、右焦点，学科 网双曲线上存在一点 P 使得 9— 1 「,一2］-（咛 B.11 一 1 (〒莎(哙 9 2（-；,-2］ 一（0,：］C. 4 311—2 』訂］化］13.将函数 A.12 B.18 C.24 D.30半，纵坐标不变，再向右平移6的单位长度得到y =si n X的图像，则<6丿2 214.已知直线x_y・a=0与圆心为C的圆x y .2x_4y_4=0相交于A ,B两点，且。
2014年重庆文科高考数学试题详细讲解(精编版)
40 10 1 10 2
10, 则 a b _________.
13 、将函数 f x sin x
0， 2
图像上每一点的横坐标缩短为原来的
2
一半，纵坐标不变，再向右平移
的个单位得到 y sin x 的图像，则 f
6
6
______.
解：作逆变换：将 y sin x 左移 ，再将横坐标伸长两倍可得 f ( x) 的图像，故： 6
腰直角三角形，故 AB
1
2
f ( x) sin( x ) ，从而 f ( ) sin(
) sin
26
6
12 6
42
14 、已知直线 x y a 0 与圆心为 C 的圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 相交于 A，B 两点，
且
AC BC ，则实数 a 的值为 _________.
解：将圆配方得 ( x 1)2 ( y 2) 2 9 ，故圆心 C ( 1,2) ，半径 r 3 ，由已知 ABC 为等
q :" x 1" 是方程 " x 2 0" 的根
则下列命题为真命题的是（
）
A. p q B. p q C. p q D . p q
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.12
B.18
C.24
D.30
8. 设 F1， F2 分别为双曲线
x2 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点
A.100
B.150
C.200
C.250
4. 下列函数为偶函数的是（
）
A. f ( x) x 1
2014年高考文科数学三角函数真题附答案
2014年高考文科数学真题（三角函数）一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④ D．①③5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1 D．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为_________．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=_________．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于_________．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=_________．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为_________．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B= _________．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=_________；sinA=_________．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．2014年高考文科数学真题（三角函数）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2014•广西）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（2014•广西）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．3．（2014•河南）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．c os2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．4．（2014•河南）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．5．（2014•四川）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．解答：解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．6．（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期是π，故选：B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．7．（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．8．（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（）A．﹣B．C．1D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．解答：解：∵3a=2b，∴b=，根据正弦定理可得===，故选：D．点评：本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．9．（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．10．（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题（共8小题）11．函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．解答：解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ﹣2sinφcosx=sinxcosφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查两角和与差的正弦，考查了正弦函数的值域，是基础题．12．（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：哟条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．解答：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．13．（2014•上海）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．解答：解：∵sinx+cosx=1，∴sinx+cosx=，即sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，∴x=，或x=，∴+=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．14．（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若•=0，则tanθ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用两个向量的数量积公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ解答：解：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，0＜θ＜，∴2sinθ﹣c osθ=0，∴tanθ=，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（2014•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答：解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．16．（2014•湖北）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18．（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．解答：解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos （α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）•（sinα﹣cosα），即（sinα﹣cosα）=•（cosα﹣sinα）2•（sinα+cosα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2014•江西）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质．专题：三角函数的求值．分析：（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．解答：解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=﹣1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，∴f（）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==﹣，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．点评：本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．24．（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．25．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．26．（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—重庆卷
2014年重庆高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） .100A .150B .200C .250C 4．下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+s 为（ ）.19C D ．366．已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧A ．8．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）A.2 B ．15 C ．4 D ．17 9．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+10．已知函数13,(1,0](),1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃--C ．]32,0(]2,49(⋃--D ．]32,0(]2,411(⋃--二．填空题11．已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______．12．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),||10a b =--=，则a b ⋅=_________． 13．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．17．（本小题满分13分．（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人， 求次2人的成绩都在[)7060，中的概率． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a （1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C AB B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。
2014年重庆高考数学理科试卷(带详解)
14重庆理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内表示复数i(12i)-的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【测量目标】复数的基本运算和复数在复平面中的表示. 【考查方式】考查复数的运算和在复平面中的表示. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】i(1－2i)＝2＋i ，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限，故选A. 2.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) A.139,,a a a 成等比数列 B.236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列【测量目标】等比数列的性质.【考查方式】考查等比数列等比中项性质的运用. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】因为在等比数列中23n n n a a a ，，，…也成等比数列，所以369a a a ，，成等比数列，故选D. 3.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为( )A. 0.4 2.3y x =+B. 2 2.4y x =-C. 29.5y x =-+D. 0.3 4.4y x =-+ 【测量目标】线性回归方程的概念.【考查方式】考查对线性回归方程的理解 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】因为变量x 与y 正相关，则在线性回归方程中，x 的系数应大于零，排除B ，D ；将x ＝3，y ＝3.5分别代入A ，B 中的方程只有A 满足，故选A.4.已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =( )A.92- B.0 C.3 D.152【测量目标】向量的运算及关系. 【考查方式】考查向量的运算及关系. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】∵232(3)3(14)(236)a b k k －＝，－，＝－，－，又(23)a b c ⊥－，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.故选C.5.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A.12s >B.35s >C.710s >D.45s >第5题图【测量目标】程序框图，判断语句，循环语句.【考查方式】考查阅读程序框图，读懂判断语句，循环语句的能力. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】第一次循环结束，得99S=1=1010⨯，k ＝8；第二次循环结束，得984S==1095⨯，k ＝7；第三次循环结束，得477S==5810⨯，k ＝6，此时退出循环，输出k ＝6.故判断框内可填7s>10.故选C.6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ⌝∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ∧⌝ 【测量目标】命题的真假判断和命题连接词.【考查方式】考查命题的判断和命题连接词的理解. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以q ⌝为真命题，所以p q ∧⌝为真命题．故选D. 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )第7题图A.54B.60C.66D.72【测量目标】三视图，几何体的面积计算，空间想象能力.【考查方式】给出三视图，由三视图求几何体的面积，平面图形向立体图形转化. 【难易程度】容易.【参考答案】B【试题解析】由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为1352+52+5S=34+4+5+35=602222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯.故选B.8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得12||||3PF PF b +=，129||||4PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为( ) A.34 B.35 C.49D.3 【测量目标】由已知条件求双曲线离心率.【考查方式】根据给出几何条件，向代数关系转化，解出参数间的关系，进而求出离心率. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有122PF PF a －＝，联立123PF PF b ＋＝，平方相减得221294·=4b a PF PF -，则由题设条件，得22949=44b a ab -，整理得43b a =，∴22451133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.3 【测量目标】排列组合问题.【考查方式】考查排列组合问题中插入法的应用. 【难易程度】容易. 【参考答案】B【试题解析】分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有33A 种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有332A 种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有122222C A A 种．所以由计数原理可得节目的排法共有3312233222A (2A C A A )120+= (种)．故选B.10.已知ABC △的内角,A B C ，满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S 剟，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式成立的是( )A.8)(>+c b bcB.(+)162ab a b >C.612abc 剟D.1224abc 剟 【测量目标】三角函数，三角函数和差化积公式，正弦定理.【考查方式】考查三角形内角三角函数的变换，和差化积公式以及正弦定理的运用. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】因为πA BC ＋＋＝，所以πA C B ＋＝－，π()C A B ＝－＋，所以由已知等式可得1sin 2+sin(π2)=sin[π2(+)]+2A B A B --，即1sin 2+sin 2=sin 2(+)+2A B A B ，所以1sin[()()]sin[()()]=sin 2(+)+2A B A B A B A B A B ＋＋－＋＋--，所以12 sin()cos()=2sin(+)cos(+)+2A B A B A B A B ＋－，所以12sin()[cos()cos(+)]=2A B A B A B ＋－-，所以1sin sin sin =8A B C .由12S 剟，2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ＝，＝，＝，得11s i n 22bc A 剟.由正弦定理得2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ＝，＝，＝，所以21sin sin sin R A B C剟22， 所以2124R 剟，即222R 剟，所以33()8sin sin sin 8bc b c abc R A B C R >＋＝＝….故选A.二、填空题11.设全集{|110}U n n=∈N 剟,{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9}A B ==则()U A B = ð______.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查集合的概念，交集，并集. 【难易程度】容易. 【参考答案】{7，9} 【试题解析】由题知U A ð={4，6，7，9，10}，∴()U A B = ð{7，9}．12.函数22()=log log (2)f x x x的最小值为________． 【测量目标】对数函数和二次函数的性质.【考查方式】考查对数函数的换底公式以及二次函数的最大值. 【难易程度】容易. 【参考答案】14-【试题解析】22221()=log log (2)=log 2log (2)2f x x x x x222211log (1log )=(log )24x x x +- ＝＋，所以当2=2x 时，函数f (x )取得最小值14-.13.已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC △为等边三角形，则实数=a _________. 【测量目标】圆的方程，点到直线距离.【考查方式】考查圆的方程，点到直线距离，圆的半径与弦的关系. 【难易程度】中等.【参考答案】415±【试题解析】由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离22|+2||22|=1+1a a a d a a --=+.∵ABC △为等边三角形，∴=2AB r ＝.又22||=2AB r d -，∴2222222()=21a a --+，即2810a a －＋＝，解得415±.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14.过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.【测量目标】切割线定理，弦切角定理，相似三角形.【考查方式】考查对有关圆内图形的有关图形和相似图形的确定以及相似性的应用. 【难易程度】中等. 【参考答案】4【试题解析】根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得2··()PA PB PC PB PB BC ＝＝＋,即36＝PB ·(PB ＋9)∴PB ＝3，∴PC ＝12.由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，∴PAB PCA △∽△，=AB PB CA PA ∴，即38===46PB CA AB PA ⨯ .第14题图15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 32(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极径=ρ________.【测量目标】极坐标方程及有关的概念.【考查方式】考查极坐标方程和直角坐标系方程的转化，直线和曲线焦点的求解. 【难易程度】容易.【参考答案】5【试题解析】由题意，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程为y 2＝4x ，联立直线l 与曲线C 的方程，解得=1=2x y ⎧⎨⎩，所以直线l 与曲线C 的公共点的极径2210)(20)5ρ-+-=＝（.16.若不等式2121222x x a a -++++…对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【测量目标】绝对值不等式，二次函数.【考查方式】考查恒成立问题即最值问题，分类讨论思想. 【难易程度】中等.【参考答案】112a剟- 【试题解析】令()|21||2|f x x x ＝－＋＋，则①当x <－2时，()212315f x x x x >＝-＋--＝--；②当122x-剟时，()2123f x x x x ＝－＋＋＋＝－＋，故5()52f x 剟；③当12x >时， 5()=21+2=31>.2f x x x x ++-综合①②③可知5()2f x …，所以要使不等式恒成立，则需215++222a a …，解得112a -剟.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 17.(本小题13分)已知函数()()ππ3sin 022f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，…的图像关于直线π3x =对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I)求ω和ϕ的值； (II)若3π2π2463f αα⎛⎫⎛⎫=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求3πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【测量目标】三角函数的性质，三角恒等变换.【考查方式】通过三角函数具有的一些图像上的性质确定三角函数中的位置参数，考查将已知的三角函数值变换成为需要的形式的能力.. 【难易程度】中等.【试题解析】(I)因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期=πT ，从而2π2T ω==.又因()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以ππ22π,0,1,2,,32k k ϕ⋅+=+=±± 因ππ22ϕ-<…得0k =,所以π2ππ236ϕ=-=-.(II)由(I)得π33sin 22264f αα⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π1sin 64α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由π2π63α<<得ππ0,62α<-< 所以22ππ115cos 1sin 1.6644αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此3πππcos sin sin 266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1315131542428+⨯+⨯=. 18.(本小题满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列(注：若三个数c b a ,,满足a b c 剟，则称b 为这三个数的中位数).【测量目标】古典概型，排列组合和分布列.【考查方式】考查排列如何在求古典概型中的应用以及分布列. 【难易程度】中等.【试题解析】(Ⅰ)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为334339C C 5C 84P +==.(Ⅱ)X 的所有可能值为1，2，3，且()21345439171,42C C C P X C +===()11121334236339C C C +C C +C 432C 84P X ===, ()212739C C 13C 12P X ===.故X 的分布列为:X 1 2 3P1742 4384 112从而()174314712342841228E X =⨯+⨯+⨯=. 19.(本小题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ，π2,3AB BAD =∠=，M 为BC 上一点，且AP MP BM ⊥=,21.(1)求PO 的长；(2)求二面角C PM A --的正弦值。
2014年重庆卷高考理数试题解析及点评
试题解析
真题！2014重庆理数.docx
教学启示
教师应该深入学习教学大纲，研 究教材，帮助学生理解和领悟教 材中的基本概念、定理和性质。
（一）重视课本，夯实基础
（二）高效课堂，减负提高
教师在教学中应该认真研读《教 学要求》和《考试说明》，以纲 为纲，把握好教学与复习的方向， 减少无用功。还要以学生为主休， 把学生的时间还给学生，让学生 学会自我学习。
（三）重视能力，提高素养
教师在教学中应该努力提高学生 的数学素养，掌握好基本的思想 方法是学生正确解题的前提，也 是学生创新思维的基础。还有不 可忽视的就是要努力提高学生的2015年试题的难度在此基础上不 会有太大的改变，仍然会继续在知识的 交汇点处命题。
预计2015年试题的计算量仍然会比较 适中，不会太大，以考查考生的思维能 力为主，体现“少算多想”的试题特点。
试题非常重视渗透课改精神，凸显新 课标理念，将新课标中的新增知识和 传统内容有机结合，进行了全面深入 的考查。如3题(线性回归)、5题(算 法)、7题(三视图)、14-16题(平面几 何、极坐标与参数方程、不等式)。
总之，今年的理科数学试题具有很高 的信度、效度和区分度，达到了“考 基础、考能力、考潜力”的目标，平 稳中有创新，理论中有应用，既有利 于中学数学的教学，又有利于高校的 选拔，是一份很好的高考试卷。
谢 谢！
2014重庆高考理科数学 真题解析
重庆八中 王金山
试题总体特点
试卷继承了以往重庆试卷的特点，延 续了近几年高考数学命题的风格，整 体难度适中，与2013年试题持平。 试题内容丰富，难易梯度明显，由易 到难便于学生稳定考试情绪、正常发 挥水平。
高考文数学母题题源训练：古典概型、几何概型
【母题来源】2014重庆卷文-15【母题原题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）所以()1151592202032 DEFABCDSP AS ∆⨯⨯===⨯正方形所以答案应填：932．【命题意图】本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想，同时考查考生运算能力.【方法技巧】将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．1．【2014高考陕西卷文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D2．【2014高考湖北卷文第5题】随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ） A ． 321P P P << B ． 312P P P << C ． 231P P P << D ． 213P P P <<3．【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4．【2014高考湖南卷文第5题】在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D5．【2014高考江西卷文3第题】掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D6．【2014高考辽宁卷文第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π7．【2014高考广东卷文第12题】从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 ． 【答案】【解析】所有的基本事件有(),a b 、(),a c 、(),a d 、(),a e 、(),b c 、(),b d 、(),b e 、(),c d 、(),c e 、(),d e ，8．【2014高考浙江卷文第14题】在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 ．9．【2014高考上海卷文第13题】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）．10．【2014高考全国1卷文第13题】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．11．【2014高考全国2卷文第13题】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．12．【2014高考江苏卷第4题】 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 ．13．【山东省德州市2014届高三上学期期末考试】如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是（ ）14.【山东省济南外国语学校2014届高三上学期期中考试】已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．92 B ．32 C ．31 D ．9115.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n ，记向量()(),,1,1a m n b →→==-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712 D. 5616．【2014高考福建卷文第13题】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．17．【2014高考山东文第16题】海关对同时从C B A ,,三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测．（1）求这6件样品中来自C B A ,,各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．地区 ABC数量5015010018．【2014高考陕西文第19题】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 2000 3000 4000车辆数（辆）500 130 100 150 120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．19．【2014高考四川文第16题】一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．+=”的概率；（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．20．【2014高考天津文第15题】某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学A B C 女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．21．【2014高考重庆文第17题】20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率． 【答案】（I ）0.005a =；（II ）2，3；（III ）310． 【解析】。
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2014年重庆高考数学试题（文）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限
.C 第三象限 .D 第四象限
2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）
.5A .8B .10C .14D
3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，学科网用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）
.100A .150B .200C .250C
4.下列函数为偶函数的是（ ）
.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x D f x -=+
5. 题目看不清
.10A .17B .19C .36C
6.已知命题
:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；
:"1"q x =是方程
"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）
.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧
7.某几何体的三视图如图所示，则该学科网几何体的体积为（ ）
A.12
B.18
C.24
D.30
8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，学科 网双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.15 C.4 D.17
9.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ） A.326+ B.327+ C.346+ D.347+
10.已知函数]1,1)()(,]
1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内学科网有且仅有两个不同
的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A.]21,0(]2,49(⋃--
B.]2
1,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,49(⋃-- D.]32,0(]2,411(⋃-- 二、填空题
11.已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______.
12.已知向量=⋅=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.
13. 将函数()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到学科网x y sin =的图像，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛6πf ______. 14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，
两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.
15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在
该时间段的任何时间到校是等可能的，学科 网则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，学科网证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）
已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.
（I ）求n a 及n S ；
（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通
项公式及其前n 项和n T .
17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）
20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：
（I ）求频数直方图中a 的值；
（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；
（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩学科网都在[)7060，中的概率.
18.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a
（1）若2
5,2=
=b a ，求C cos 的值; （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数23ln 4)(--+=
x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =学科网在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 2
1= （1）求a 的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。
20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的学科网菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π
=∠=，M 为BC 上一点，且12
BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；
（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积
.
21.
如题（21）图，设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别学科网为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥
，121||||
F F DF =12DF F ∆
的面积为2. （1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，学科网请说明理由.。