二次函数典型习题及答案

二次函数 典型习题
1.抛物线y ＝x 2
＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3） 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0
C
A E
F B
D
第２,３题图 第4题图
3.二次函数c bx ax y ＋＋＝2
的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
4.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ） D
O 4
24O
42
4
O 4
24
O 4
24
y
x
B
C
2482,484
EF x
EF x y x x -=⇒=-∴=-+
5. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( C )
A. 4+m
B. m
C. 2m-8
D. 8-2m
6.抛物线322
--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．
7.已知二次函数11)(2k 2
－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下
列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22
＝－
＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x
；⑤21x x k
－＝，其中所有正
确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．
8.已知二次函数c bx ax y ++=2中，c b a ++= 2，则该函数必过 (1，2) 这个点 9.求二次函数542
++=x x y 在-3<X<0上的取值范围为 [1，5) 注意区间的开闭
10.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=--=1
423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321
c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．
11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.
（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB
m 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.
解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;
又AB ＝∣x 1 — x 2
=∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点
,
∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩L L ①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =±- .
这时M 、N 到y 轴的距离均为2m -, 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×
1
2
×（2－m ）×2m -=27 . ∴解得m=－7 .
12..某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.
13.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：
14. 总利润=单个商品的利润×销售量.
15.这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(13.5-x)元了. 16. 单个的商品的利润是(13.5-x-2.5) 17. 这时商品的销售量是(500+200x) 18. 总利润可设为y 元.
19. 利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.
20. 解：设销售单价为降价x 元. 21.
22.
23. 24.
25.
26.
27.
28. 顶点坐标为(4.25，9112.5).
29. 即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5
元
13.已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．
（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，
∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22
--=x x y ．
其顶点M 的坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4921
，
． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），
∴ ⎪⎩⎪
⎨⎧+=-+=.2
14920b k b k ，
．解得23=k ，3-=b ．
∴ 线段BM 所在的直线的解析式为32
3
-=
x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=12
1
432+-=t t ．
∴ s 与t 间的函数关系式是12
1432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221
<<t ．
（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫
⎝⎛4725，，⎪⎭
⎫ ⎝⎛-45232，
P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22
--=m m n ．
222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．
分以下几种情况讨论：
i ）若∠PAC ＝90°，则2
22AC PA PC +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)1()2(222222n m n m m m n ，
解得：251=
m ，12-=
m
（舍去）． ∴ 点⎪⎭
⎫
⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则2
2
2
AC PC PA +=．
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.
5)2()1(22
2222n m n m m m n ，
解得：02343==
m m ，（舍去）
．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛452
3
2，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不
可能是直角．
（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或
边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），
以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，
此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫
⎝⎛-5251，，F ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-5854，
．
图a 图b。