2第二章 晶体结构 (2)
第二部分晶体的结构
第⼆部分晶体的结构第⼆部分晶体结构2.1 晶体学基础概述根据结合键类型不同，晶体可分为⾦属晶体、离⼦晶体、共价晶体和分⼦晶体。
晶体结构：晶体中原⼦（离⼦或分⼦）在三维空间的具体排列⽅式。
空间点阵与晶胞1．相关概念空间点阵(lattice)晶格(space lattice)阵点（结点）晶胞（cell）选取晶胞应遵循⼀定的原则晶胞⼤⼩和形状表⽰⽅法⼆、晶系和布拉菲点阵根据晶体的对称性和每个阵点周围具有相同的环境，布拉菲运⽤数学⽅法推算，将花样繁多的晶体结构归纳为14种空间点阵（称为布拉菲点阵）。
根据晶格常数a、b、c及α、β、γ是否相等，⼜将14中空间点阵归属于七⼤晶系。
晶体结构和空间点阵之间的区别空间点阵（space lattice）：晶体中质点排列的⼏何学抽象，⽤以描述和分析晶体结构的周期性和对称性。
由于各阵点的周围环境相同，只有１４种类型。
晶体结构（crystal structure）：晶体中原⼦（离⼦或分⼦）在三维空间的具体排列⽅式。
由于组成晶体的物质质点及其排列⽅式不同，晶体结构是⽆限的，但总能按其原⼦（分⼦或离⼦）排列的同期性和对称性，归属于14种空间点阵中的⼀种。
七⼤晶系：1.三斜晶系（triclinic system）：a≠b≠c，α≠β≠γ≠ 90°2.单斜晶系（monoclinic system ）：a≠b≠c，α＝γ＝90°≠β2.正交(斜⽅)晶系（orthogonal system ）：a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90°4.四(正)⽅晶系（tetragonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝γ＝90°5.⽴⽅晶系（cubic system ）：a＝b＝c，α＝β＝γ＝90°6.六⽅晶系（hexagonal system ）：a＝b ≠ c，α＝β＝90°，γ＝120°7.菱形晶系（rhombohedral system）：a＝b＝c，α＝β＝γ≠90°⼗四种空间点阵：1 简单⽴⽅点阵：a=b=c，α=β=γ =90°2 体⼼⽴⽅点阵：a=b=c，α=β=γ =90°3 ⾯⼼⽴⽅点阵：a=b=c，α=β=γ =90°4 简单四⽅点阵：a=b ≠ c，α=β=γ =90°5体⼼四⽅点阵：a=b ≠ c，α=β=γ =90°6 简单菱⽅点阵：a=b=c，α=β=γ≠ 90°7 简单六⽅点阵：a=b ≠ c，α=β=90°，γ =120°8 简单正交点阵：a≠b≠c，α= β= γ = 90°9 底⼼正交点阵：a≠b≠c，α= β= γ = 90°10 体⼼正交点阵：a≠b≠c，α= β= γ = 90°11 ⾯⼼正交点阵：a≠b≠c，α= β= γ = 90°12 简单单斜点阵：a≠b ≠c α= β =90°≠γ12 底⼼单斜点阵：a≠b ≠c α= β =90°≠γ14 简单三斜点阵：a≠b≠c α≠β≠γ≠90°⾦属晶体的结构主要为：FCC、BCC、HCP三、晶向指数和晶⾯指数1．⽴⽅晶系中的晶向指数晶向指数的确定⽅法晶向指数规律2．⽴⽅晶系中的晶⾯指数晶⾯指数的确定⽅法晶⾯指数规律2．六⽅晶系的晶向和晶⾯指数4．晶带晶带(zone)——相交或平⾏于某⼀直线的所有晶⾯的组合晶带轴：此直线为晶带轴。
无机材料科学基础___第二章晶体结构
第 2 章结晶结构一、名词解释1．晶体：晶体是内部质点在三维空间内周期性重复排列，具有格子构造的固体2．空间点阵与晶胞：空间点阵是几何点在三维空间内周期性的重复排列晶胞：反应晶体周期性和对称性的最小单元3．配位数与配位多面体：化合物中中心原子周围的配位原子个数成配位关系的原子或离子连线所构成的几何多面体4．离子极化：在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象5．同质多晶与类质同晶：同一物质在不同的热力学条件下具有不同的晶体结构化学成分相类似物质的在相同的热力学条件下具有相同的晶体结构6．正尖晶石与反尖晶石：正尖晶石是指2价阳离子全部填充于四面体空隙中，3价阳离子全部填充于八面体空隙中。
反尖晶石是指2价阳离子全部填充于八面体空隙中，3价阳离子一半填充于八面体空隙中，一半填充于四面体空隙。
二、填空与选择1．晶体的基本性质有五种：对称性，异相性，均一性，自限性和稳定性（最小内能性）。
2．空间点阵是由 C 在空间作有规律的重复排列。
（ A 原子 B离子 C几何点 D分子）3．在等大球体的最紧密堆积中有面心立方密堆积和六方密堆积二种排列方式，前者的堆积方式是以（111）面进行堆积，后者的堆积方式是以（001）面进行堆积。
4．如晶体按立方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 4 ，八面体空隙数为 4 ，四面体空隙数为 8 ；如按六方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 6 ，八面体空隙数为6 ，四面体空隙数为 12 ；如按体心立方近似密堆积，单位晶胞中原子的个数为 2 ，八面体空隙数为 12 ，四面体空隙数为 6 。
5．等径球体最紧密堆积的空隙有两种：四面体空隙和八面体空隙。
一个球的周围有 8个四面体空隙、 6 个八面体空隙；n个等径球体做最紧密堆积时可形成 2n 个四面体空隙、 n 个八面体空隙。
不等径球体进行堆积时，大球做最紧密堆积或近似密堆积，小球填充于空隙中。
6．在离子晶体中，配置于正离子周围的负离子数（即负离子配位数），决定于正、负离子半径比（r ＋/r －）。
第2章 晶体结构
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
第2章 金属及合金相的晶体结构
1. 面心立方结构
面心立方结构金属：γ-Fe, Al, Cu, Ni, Au, Ag和Pt等。
结构符号A1，Pearson符号cF4。 每个晶胞含4个原子。
面心原子shared by 2 cells: 6 x 1/2 = 3 顶角原子shared by 8 cells: 8 x 1/8 = 1
略受压缩的八面体间隙； 八面体间隙中心位于棱边中心和面心 八面体间隙半径: r=1/2(a-2R)
r≈0.155 R 晶胞含6 (6×1/2+12×1/4 )个八面体间隙。 平均1个原子3有个八面体间隙。
非正四面体间隙。 四面体间隙半径: r= (a√5/4-R)
r≈0.291 R 晶胞含12 (4 ×6 ×1/2)个四面体间隙。 平均1个原子含6个四面体间隙。
ZA, ZB 为A、B组元价电子数， VB为B组元摩尔分数。
1933年，Bernal 建议称之为电子化合物。 Massalski认为称其为电子相更恰当。
§2.12正常价化合物
正离子价电子数正好能使负离子具有稳定的电子层结构，即 AmBn化合物中，meC=n(8-eA), 结合一般是离子键。 eA和eC分别是正和负离子在非电离状态下的价电子数。
§2.13 拓扑密堆积相(TCP相)
在很多化合物结构中，原子尺寸起主要作用，并倾向于紧密堆 垛，称为拓朴密堆相，包括间隙化合物、Laves、σ相等。
间隙化合物
由原子半径r比较大的过渡金属（M）与r比较小的H, B, C, N, O, 等非金属组成的化合物，非金属原子占据金属原子结构间隙。 具有金属光泽和导电性的高熔点、高硬度较脆的化合物。
§2.9间隙固溶体
面心立方结构
r=0.414R
r=0.225R
Chap2-2晶体结构（PDF9）
晶体结构
晶体和非晶体
晶体：固体材料中原子在三维空间呈周期性规则
雪
排列，有规则外形，有一定熔点，各向异性。
花 六
举例：食盐、蔗糖
种
非晶体：原子不规则排列，无规则外形，无一定
形 貌
熔点，各向同性。
举例：萘
实 际 晶 体
照 片
SEM
金属晶体结构
大多数固态金属內部的原子都在三微空间整齐规律地排列（晶体）。 因此其原子位置可以画成三微空间立体格子形式，称为晶格 (crystal lattice)； 构成晶格的最小立体格子单位称晶胞(unit cell)。 金属的主要晶体结格有三种： 面心立方（Face-centered cubic, FCC） 体心立方（Body-centered cubic, BCC） 密排六方（Hexagonal close-packed, HCP）
HCP晶面、晶向指数
三坐标系a1, a2, c: 晶面指数——（h k l）； 晶向指数——[U V W]； 确定方法同立方晶系。 四坐标系a1, a2, a3, c: 晶面指数——（h k i l），i=-（h+k）； 晶向指数——[u v t w]； u=1/3（2U-V），v=1/3（2V-U） t=-(u+v), w=W，转化后取最小公倍数。
BCC结构
晶胞原子数： 1+8×1/8 =2 晶胞常数：
a = 4R / πR3 ) 2× ( 4 πR3 )
3 a3
=3 (4R /
3)3
= 0.68
HCP结构
举例：Cd、Ti、Be、Mg、Zn
HCP结构
晶胞原子数： 3+12×1/6+2 ×1/2 =6 晶胞常数：
第二章 晶体结构 - 2.3.9尖晶石型晶体结构分析_06.15_CG
材料科学基础第2 章2.3.9尖晶石型晶体结构分析AB 2O 4的单位晶胞24化学式AB 2O 4A: 2价阳离子B: 3价阳离子晶体结构立方晶系Z=8离子堆积情况O 2-按立方紧密堆积排列，A 2+填充八分之一四面体空隙，B 3+填充二分之一八面体空隙24尖晶石晶体结构[AlO6]八面体[MgO4]四面体代表性物质镁铝尖晶石MgAl2O4a0=0.808nm,Z=8有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）[AlO 6]八面体[MgO 4]四面体24[AlO 6]八面体[MgO 4]四面体[AlO 6]八面体[MgO 4]四面体共顶连接共棱连接彼此孤立通过八面体共顶连接共顶连接尖晶石晶体结构(a)(b)M 区(c) N 区Mg 2+O 2-Mg 2+O 2-At 3+24反尖晶石24 如果二价阳离子分布在八面体空隙中，而三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石，称为反尖晶石。
性能与用途①性能②用途典型的磁性非金属材料，性能比磁性金属材料更优越。
具有强磁性，高电阻，低松弛损耗等特点可做无线电、电视、电子装置的元件，计算机中做记忆元件，微波器中做永久磁石24尖晶石型结构晶体氟、氰化物氧化物硫化物BeLi 2F 4TiMg 2O 4ZnCr 2O 4ZnFe 2O 4MgAl 2O 4MnCr 2S 4MoNa 2F 4VMg 2O 4CdCr 2O 4CoCo 2O 4MnAl 2O 4CoCr 2S 4ZnK 2(CN)4MgV 2O 4ZnMn 2O 4CuCo 2O 4FeAl 2O 4FeCr 2S 4CdK 2(CN)4ZnV 2O 4MnMn 2O 4FeNi 2O 4MgGa 2O 4CoCr 2S 4MgK 2(CN)4MgCr 2O 4MgFe 2O 4GeNi 2O 4CaGa 2O 4FeNi 2S 4FeCr 2O 4FeFe 2O 4TiZn 2O 4MgIn 2O 4AB 2O 4型无机化合物（尖晶石）的晶体结构MgAl2O4性能与用途①性能②用途硬度较大，莫氏硬度为8级，熔点为2105℃，ρ=3.55g/cm3，化学性质较稳定，热稳定性好（热膨胀系数小，为7.6×10-6）镁铝尖晶石是用途很广泛的优良耐高温材料24Al-O键与Mg-O离子结合键强24在镁铝尖晶石结构中，在一个氧离子周围，有一个镁离子和三个铝离子，由静电价规则：由此可见，氧离子的电价是饱和的。
第二章晶体结构与常见晶体结构类型第二讲
最紧密堆积原理： 晶体中各离子间的相互结合，可以看作是球
体的堆积。球体堆积的密度越大，系统的势能 越低，晶体越稳定。此即球体最紧密堆积原理。
适用范围：典型的离子晶体和金属晶体。
质点堆积方式：
根据质点的大小不同，球体最紧密堆积方式分为等径
球和不等径球两种情况。
等径球的堆积
最密堆积方 式
理论结构类型 实际结构类型 实际配位数
AgCl 0. 123+0.172=0.295
0.277 0. 018 0.715 NaCl NaCl
6
AgBr 0.123+0.188=0.311
0.288 0.023 0.654 NaCl NaCl
6
AgI 0.123+0.213=0336
0.299 0.037 0.577 NaCl 立方 ZnS
面心立方最紧密堆积 六方最紧密堆积
最紧密堆积中的空隙 不等径球的堆积
等径球质点堆积
等径球最紧密堆积时，在平面上每个球与6个球相接触， 形成第一层（球心位置标记为A），如图2-5所示。此时， 每3个彼此相接触的球体之间形成1个弧线三角形空隙， 每个球周围有6个弧线三角形空隙，其中3个空隙的尖角 指向图的下方（其中心位置标记为B），另外3个空隙的 尖角指向图的上方（其中心位置标记为C），这两种空 隙相间分布。
表2-6 无机化合物结构类型
化学式类型 结构类型举例实例来自AX 氯化钠型NaCl
AX2 金红石型
TiO2
A2X3 刚玉型 -Al2O3
ABO3 钙钛矿型 CaTiO3
ABO4 钨酸钙型 PbMoO4
AB2O4 尖晶石型 MgAl2O4
构成晶体的基元的数量关系相同，但大小不同，其 结构类型亦不相同。如AX型晶体由于离子半径比不同有 CsCl型、NaCl型、ZnS型等结构，其配位数分别为8、6 和4。
02-2晶体结构参数
对称轴及其垂直该轴切面的示意图
3/16/2014 2:01 PM 27
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（4）旋转反伸轴Sn（倒转轴）
● 概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定 角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出现。 ● 对称操作是旋转＋反演的复合操作。 ● 轴次只有: 1, 2, 3, 4, 6
● 各类倒转轴中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称 操作，其他 4 种倒转轴都可以表示为对称中心、对称面、旋 转轴的组合。
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对称性举例说明 （1） 吊扇中的叶片以中心线为对称轴，三个叶片之间可以围 绕这个对称轴每旋转120重复一次。
对称操作：绕对称轴旋转120度 对称要素：旋转轴
（2） 左右手
对称操作：镜子的反映 (注意这是一个虚拟操作) 对称要素：镜子构成的对称面
3/16/2014 2:01 PM 8
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例 1： 如图晶面hkl，在X、Y、Z轴上的截距分别为2a、3b
、6c ，截距系数为2、3、6 ，其倒数比1/2：1/3：1/6 ，
化整得3：2：1 ，去掉比号并以小括号括起来，(321)即 为该晶面的所求米勒指数。
晶面符号图解
3/16/2014 2:01 PM 9
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例2：
• 晶面A：r、s、t =1、1、1，其倒数为1、1、1，则晶面指数 记为（111）； • 晶面B，r、s、t=1、2、，其倒数为1、1/2和0，化为互质 的整数比为2:1:0，则晶面指数记为（210）； • 晶面C：晶面过原点（0，0，0），沿y轴平移一个晶格参数 （平移后代表同一晶面）使其在y轴截距为-1，则r、s和t分 别为、-1和，其倒数为0、-1和0，则晶面指数记为 (0 1 0)， 其中的负号写在数字上面。
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空隙模型及方位
四面体空隙三种方位
八面体空隙三种方位
上1下3 上3下1 上2下2
上1中4下1 上3下3 上2中2下2
两种
六方密堆积（AB堆积）hexagonal
close-packed
堆积方式：ABABAB……
B
A
C
对称形式：球体在空间的分布恰好与空间格子中的六方格 子一致，故称六方最紧密堆积。最紧密排列层∥（0001）。
一、键型与晶体类型 二、球体最紧密堆积原理★
三、配位数和配位多面体
四、键参数
五、鲍林规则
六、晶体场理论和配位场理论(略)
总结：影响晶体结构的因素
一、键型与晶格类型 (电负性、鲍林规则)
1、原子结构及元素周期表
2、晶体中的键型与晶体类型
1、原子结构及元素周期表
元素周期表（periodic Table of the Elements)
主极化能力的大小，可用极化力β来表示
β＝w∕r2 其中w—离子的电价； r 为离子半径。
在离子晶体中：
阴离子半径较大—易于变形被极化，— 极化率α大
阳离子半径较小，电价较高—极化力β大
极化对晶体结构的影响
由于极化，正负离子的间距缩短，配位数下降。
例：ZnO：R+∕R-＝0.63，CN＝6（NaCl型）实际CN＝4（ZnS型）
④分子键与分子晶体
取向力
诱导力
色散力
干冰
分子键：分子之间的范德华力，主要由静电力、诱导力和色散力组成，
属物理键，没有方向性和饱和性。比化学键的键能少1～2个数量级。
晶体性质：熔点低，可压缩性大，热膨胀率大，导热率小，硬度低 晶体结构：分子间的空间配臵方式主要取决于分子本身的几何特征
⑤氢键
水
每1个球的周围 都有6个八面体 空隙和8个四面 体空隙。
强调
每1个球的周围 都有6个八面体 空隙和8个四面 体空隙。
1个球的空隙？
在两种最紧密堆积方式中，每1个球的周围都有6个八面体空 隙和8个四面体空隙。而八面体空隙由6个球组成，四面体空 隙由4个球组成，因此一个球周围只有6×1/6＝1个八面体空 隙和8×1/4＝2个四面体空隙是属于它的。
离子晶格中离子间的具体配臵方式，符合鲍林规则(Pauling’s rules)
F
+ － + － + － + －
－ + － + － + － +
位错
+ － + － + － + － － + － + － + － +
受力时发生错位，使正正离子相切，负负离子相切，彼 此排斥，离子键失去作用，故离子晶体无延展性 。
R+/R- =0.414
立方体配位
R+/R- =0.732
四、键参数
1、原子半径和离子半径 2、离子的极化 3、电负性
1、原子半径和离子半径 根据波动力学的观点，在原子或离子中，围绕核 运动的电子在空间形成一个电磁场，其作用范围 可看成是球形的，球的范围被认为是原子或离子 的半径，球的半径即为原子半径或离子半径。 有效半径：是指离子或原子在晶体结构中处于相 接触时的半径。
金属键
无机非金 属材料
氧和硅或其他金属的 化合物、碳化物、氮 化物
离子键 共价键 共价键 分子健
高分子材 碳、氢、氧、氮、氯、 料 氟等
复合材料
两种或两种以上不同 材料组合而成
二、球体最紧密堆积原理
1、等大球体的最紧密堆积及其空隙 2、不等大球体的紧密堆积
1、等大球体的最紧密堆积及其空隙
(1) 密堆积的类型
教学内容及学时安排
第一篇 结构与性质 第二篇 相平衡
第五章 相平衡与相图
第一章 晶体学基础
第二章 晶体结构
第三章 晶体结构缺陷 第四章 非晶态结构
参考书：
第三篇 动力学过程
第六章 固体中的扩散 第七章 材料中的相变
[1] 《无机材料科学基础》，张其土 主编, 华东理工大学出版社，2007.1 [2] 《无机材料科学基础》， 陆佩文 主编，武汉理工大学出版社，1996.8 [3] 《材料科学基础》，张联盟 黄学辉 宋晓岚 编，武汉理工大学出版社，2004.8
位错
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+
金属离子
金属原子
金属受外力发生变形时，金属键不被破坏，故金属有很 好的延展性，与离子晶体的情况相反。
②离子键与离子晶体
键：阳离子和阴离子之间的静电作用力。基本特点是价电子的
转移，既无饱和性也无方向性。
晶体性质：熔点和硬度均较高,脆。良好的电绝缘体。 晶体结构：阴离子密堆积，阳离子填充空隙
回
2、配位多面体
在晶体结构中，与某一阳离子（或原子）成配位关系而 相邻结合的各个阴离子（或原子)的中心连线所构成的多面体。 阳离子（或中心原子）位于配位多面体的中心，各个配位阴 离子或原子的中心则处于配位多面体的角顶上。
三角形配位
四面体配位
八面体配位
立方体配位
阳离子最常见的几种配位方式及相应的配位多面体
空间利用率 52%
n个球简单立方堆积，形成n个立方体空隙
空间利用率 68%
思考？
不必掌握
思考：另一 种排列堆积 方式？
同层对齐排列，异层嵌入堆积 ，ABAB…
堆积系数
体心立方：密排面为（110） ABABAB(仅了解)
例：计算体心立方堆积的堆积系数： 整个晶体体积为 V a 3 而体对角线方向的长为 4R ) a 2 a 2 a 2 (4R 2
计算堆积系
作业1：计算立方紧密堆积的空间利用率(堆积系数)
晶胞内球体数目： 8x1/8+6x1/2=4 r与a的关系： 2a2=(4r)2
其他堆积方式
*等大球体的其他堆积方式
简单立方堆积（ cubic
）
体心立方堆积
（body-centered cubic）
同层对齐排列，异层非嵌入堆积
8x1/8+1=4
③共价键与原子晶体
共价键：两个或多个电负性相差不大的原子间通过共用电
子对而形成的化学键。键和的基本特点核外电子云达到最大 的重叠，形成“共用电子对”，既有饱和性又有方向性。
晶体性质：熔点高、质硬脆、绝缘体 晶体结构：晶格中原子间的排列方式主要受键的取向所控
制，因而一般不能形成最紧密堆积结构。
定义：元素的原子得电子的能力
固溶度
应用：利用元素电负性的差值ΔX估计化学键的成分
①金属键与金属晶体
金属键：金属中的自由电子和金属正离子相互作用所构成键
合称为金属键。键和的基本特点是电子的共有化，既无饱和 性又无方向性。 晶体性质：良好延展性，良好的导电和导热性能 晶体结构：密堆结构
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 自由电子
CaO：R+∕R-＝0.80，CN＝8（CsCl型）实际 CN＝6（NaCl型）
由于极化，正负离子的电子云重叠，离子键的性质发生变
化，向共价键过渡。
例： 硅离子 r＝0.4；氧离子 r＝1.40 计算 Si－O半径＝1.80；O-O半径＝2.80 实测： ＝1.60 ＝2.60
P323附录
3、电负性
附录 三
球体
2、离子的极化
离子极化：就是指离子在外电场作用下，改变其形状和大 小的现象。 极化过程包括两个方面： 离子在其他离子所产生的外电场的作用下发生极化， 即被极化。 离子以其本身的电场作用于周围离子，使其他离子 极化，即主极化。
被极化程度的大小，可用极化率α来表示：
α＝ μ ∕F 其中μ—诱导偶极矩＝e×l（e为电荷，l为极 化后正负电荷中心的距离）；F—有效电场强度。
若有n个球最紧密堆积，则四面体空隙总数为8 × n∕4 ＝ 2n个；而八面体空隙总数为6 × n∕6 ＝n个。
结论：球的数目:八面体数目:四面体数目＝1:1:2
Fcp空隙的分布及数量
氯化钠晶胞
以氯化钠晶胞为例：
(3) 密堆积的堆积系数(空间利用率=晶胞种原子体积/晶胞体积/ )
六方、立方紧密堆积的空间利用率是74%
A
B C
同层对齐排列
同层错位排列
空隙
若同层错位排列，第二层球堆积于第一层之上时，第二层 的每个球与第一层的三个球相邻接触，且落在同一种三角 形空隙的位臵上。
八面体空隙
A
B C
四面体空隙
第一层球 第二层球
两层间，出现了两种 不同的空隙： 八面体空隙－由六个 球围成的八面体形状 的空隙 四面体空隙－由四个 球围成的四面体形状 的空隙
•六方密堆积（AB堆积） •立方密堆积（ABC堆积） (2) 密堆积中球数和两种空隙间的关系 (3) 密堆积的堆积系数（空间利用率 ） 补充： 等大球体的其他堆积方式
(1) 密堆积的类型 close-packed
同层球体的结合称为排列。异层球体的结合称为堆积。 排列有两种方式，一种为对齐排列，另一种为错位排列 堆积也有两种方式，一种为非嵌入堆积；另一种为嵌入堆积。
12x1/6+2x1/2=3=6
六方密堆结构及相应的六方格子
立方密堆积（ABC堆积）face-centered cubic