第二章晶体结构与常见晶体结构类型
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第二章晶体结构与常见晶体结构类型
2.2.1 对称性的基本概念
对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然 科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称 战略。
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重 复，因此所有的晶体结构都是对称的。
2）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循“晶体对称定 律” 。
4 平行六面体（parallelepiped）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。
计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时 必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8 个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4 个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个 相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属 于该平行六面体。
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
空间点阵几何要素(点线面）
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
3 面网（net）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
三轴定向通式为[uvw]，四轴定向通式为[uvtw]， 晶向符号的确定步骤：
①选定坐标系，以晶轴x、y、z为坐标轴，轴单位分别是a、b和c； ②通过原点作一直线，使其平行于待标定晶向AB； ③在直线上任取一点P，求出P点在坐标轴上的坐标xa、yb、zc； ④xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w应为整数比，去掉比号，以方括号括之，
对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然 科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称 战略。
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重 复，因此所有的晶体结构都是对称的。
2）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循“晶体对称定 律” 。
4 平行六面体（parallelepiped）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。
计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时 必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8 个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4 个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个 相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属 于该平行六面体。
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
空间点阵几何要素(点线面）
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
3 面网（net）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
三轴定向通式为[uvw]，四轴定向通式为[uvtw]， 晶向符号的确定步骤：
①选定坐标系，以晶轴x、y、z为坐标轴，轴单位分别是a、b和c； ②通过原点作一直线，使其平行于待标定晶向AB； ③在直线上任取一点P，求出P点在坐标轴上的坐标xa、yb、zc； ④xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w应为整数比，去掉比号，以方括号括之，
第二章晶体结构
为6个晶胞所共有，上下底面中心的原子为2个晶胞所共有，
所以六方柱晶胞所包含的原子数为：
12
1 6
2
1 2
3 6
二、非金属元素单质的晶体结构
1.惰性气体元素的晶体 惰性气体在低温下形成的晶体为A1（面心立方）型 或A3（六方密堆）型结构。由于惰性气体原子外层为满 电子构型，它们之间并不形成化学键，低温时形成的晶 体是靠微弱的没有方向性的范德华力直接凝聚成最紧密 堆积的A1型或A3型分子晶体。
－填充在八个小立方体的体心。
Ca2+的配位数是8，形成立方配位多面体[CaF8]。F－的配位数
是4，形成[FCa4]四面体，F－占据Ca2+离子堆积形成的四面体
空隙的100%。 或F－作简单立方堆积，Ca2+占据立方体空隙的一半。 晶胞分子数为4。 由一套Ca2+离子的面心立方格子和2套F－离子的面心立方格子
金
红
石
0 .4 1 4 ~ 0 .7 3 2
TeO 2 C oF2 SnO 2 O sO 2 VO2 M nO 2
（ T iO 2 ） 型
-方 石 英 型
0 .2 2 5 ~ 0 .4 1 4
S iO 2
1.萤石（CaF2）型结构及反萤石型结构
立方晶系，点群m3m，空间群Fm3m，如图2-10所示。 Ca2+位于立方晶胞的顶点及面心位置，形成面心立方堆积，F
（a）面心立方 （A1型）
（b）体心立方 （A2型）
（c）密排六方 （A3型）
图2-1 常见金属晶体的晶胞结构
面心立方结构
常见面心立方的金属有Au、Ag、Cu、Al、-Fe 等，晶格结构中原子坐标分别为[0,0,0]，[0,1/2,1/2]，
第二章晶体与晶体结构小结
小结第二章晶体与晶体结构内容:金属的晶体结构：合金的晶体结构实际金属的晶体结构第一节金属的晶体结构晶体与非晶体1. 晶体：指原子呈规则、周期性排列的固体。
常态下金属主要以晶体形式存在。
晶体具有各向异性。
非晶体：原子呈无规则堆积，和液体相似，亦称为“过冷液体”或“无定形体”。
在一定条件下晶体和非晶体可互相转化。
2. 区别(a)是否具有周期性、对称性(b)是否长程有序(c)是否有确定的熔点(d)是否各向异性3金属的晶体结构晶体结构描述了晶体中原子（离子、分子）的排列方式。
1）理想晶体——实际晶体的理想化·三维空间无限延续，无边界·严格按周期性规划排列，是完整的、无缺陷。
·原子在其平衡位置静止不动2）理想晶体的晶体学抽象（晶体）空间规则排列的原子→刚球模型→晶格（刚球抽象为晶格结点，构成空间格架）→晶胞（具有周期性最小组成单元）。
晶体学参数：a,b,c,α,β,γ晶格常数：a,b,c晶系：根据晶胞参数不同，将晶体分为七种晶系。
90%以上的金属具有立方晶系和六方晶系。
立方晶系：a=b=c，α=β=γ=90︒六方晶系：a1=a2=a3≠ c, α=β=90︒, γ=120︒原子半径：晶胞中原子密度最大方向上相邻原子间距的一半。
晶胞原子数：一个晶胞内所包含的原子数目。
配位数：晶格中与任一原子距离最近且相等的原子数目。
致密度：晶胞中原子本身所占的体积百分数。
二.常见的金属晶格晶胞晶体学参数原子半径晶胞原子数配位数致密度2 8 68% BCC a=b=c,α=β=γ=90oFCC a=b=c, α=4 12 74%β=γ=900HCP a=b c,a/2 6 12 74% c/a=1.633, α=β=90o, γ=120o第二节实际金属的晶体结构理想晶体+晶体缺陷——实际晶体实际晶体——单晶体和多晶体单晶体：内部晶格位向完全一致，各向同性。
多晶体：由许多位向各不相同的单晶体块组成，各向异性。
无机材料科学基础---第二章晶体结构
13．在石英的相变中，属于重建型相变的是 AC，属于位移式相变的是 BD 。（A α-石英→α-鳞石英；B α-石英→β-石英；C α-鳞石英 →α-方石英；D α方石英→β-方石英） P C I F 三、（1）a≠b≠c，α＝β＝γ＝ 90°的晶体属什么晶系？（2） 三斜 √ a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°的晶 单斜 √ √ 体属什么晶系？（3）你能否据此 斜方 √ √ √ √ 确定这两种晶体的布拉维点阵？ （1）斜方晶系（2）三斜晶系（3） 三方 √ 由左表可见，三斜晶系可以确定， 四方 √ √ 而斜方晶系不能确定 六方 √ 等轴 √ √ √
比 3:2:1 五、以NaCl 晶胞为例，说明面心立方紧密堆积中的八面体和四面体空隙的位置和 数量。 Z(Na)=1/8×8+1/2×6=4；Z(Cl)=1+1/4×12=4；Z=4
四面体数量：8 （1/4，1/4，1/4）；（1/4，1/4，3/4）；（1/4， 3/4，1/4）；（1/4，3/4，3/4）；（3/4，1/4，1/4）；（3/4，1/4， 3/4）；（3/4，3/4，1/4）；（3/4，3/4，3/4）各有一个四面体空隙 八面体数量：4 （0,0.5,0）组成1个八面体空隙；（0.5，0，0）组成1 个八面体空隙；（0，0，0.5）组成1个八面体空隙；（0.5；0.5； 0.5）组成1个八面体空隙 六、计算体心立方、面心立方、密排六方晶胞中的原子数、配位数、致 密度。 Z=2
结构类型 [SiO4]共用O2数 形状 络阴离子 [SiO4]2[Si2O7]6[Si3O9]2[Si4O12]8[Si6O18]12[Si2O6]4[Si4O11]6[Si4O10]4[SiO2][AlSi3O8][AlSiO4]Si:O 实例
岛状 0 组群状 1 2 2 2 链状 2 3 层状 3 架状 4
上海交大材基-第二章晶体结构--复习提纲讲解
第2章晶体结构提纲：2.1 晶体学基础2.2 金属的晶体结构2.3 合金相结构2.4 离子晶体结构2.5 共价晶体结构2.6 聚合物的晶态结构2.7 非晶态结构学习要求：掌握晶体学基础及典型晶体的晶体结构，了解复杂晶体(包括合金相结构、离子晶体结构，共价晶体的结构，聚合物的晶态结构特点)、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
1．晶体学基础（包括空间点阵概念、分类以及它与晶体结构的关系；晶胞的划分，晶向指数、晶面指数、六方晶系指数、晶带和晶带定律、晶面间距的确定、极射投影）；2．三种典型金属晶体结构（晶胞中的原子数、点阵常数与原子半径、配位数与致密度、堆垛方式、间隙类型与大小）；3．合金相结构（固溶体、中间相的概念、分类与特征）；4．离子晶体的结构规则及典型晶体结构（AB、AB2、硅酸盐）；5、共价晶的结构规则及典型晶体结构体（金刚石）6、聚合物的晶态结构、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
重点内容1.选取晶胞的原则；Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多；Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
2.7个晶系，14种布拉菲空间点阵的特征；（1）简单三斜（2）简单单斜底心单斜（3）简单正交底心正交体心正交面心正交（4）简单六方（5）简单四方体心四方（6）简单菱方（7）简单立方体心立方面心立方3.晶向指数与晶面指数的标注，包括六方体系，重要晶向和晶面需要记忆。
4.晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，共带面，晶面间距5.8种,即1，2，3，4，6，i，m，。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，C i，C s，S4。
微观对称元素6.极射投影与Wulff网；标hkl直角坐系d4⎧⎨⎩微观11213215243滑动面 a，b，c，n，d螺旋轴 2；3，3；4，4，4；6，6，6，6，67.三种典型金属晶体结构的晶体学特点；在金属晶体结构中，最常见的是面心立方(fcc)、体心立方（bcc）和密排六方(hcp)三种典型结构，其中fcc和hcp系密排结构，具有最高的致密度和配位数。
第二章晶体结构与常见晶体结构类型第二讲
2.晶体中质点的堆积
最紧密堆积原理： 晶体中各离子间的相互结合，可以看作是球
体的堆积。球体堆积的密度越大，系统的势能 越低，晶体越稳定。此即球体最紧密堆积原理。
适用范围：典型的离子晶体和金属晶体。
质点堆积方式：
根据质点的大小不同，球体最紧密堆积方式分为等径
球和不等径球两种情况。
等径球的堆积
最密堆积方 式
理论结构类型 实际结构类型 实际配位数
AgCl 0. 123+0.172=0.295
0.277 0. 018 0.715 NaCl NaCl
6
AgBr 0.123+0.188=0.311
0.288 0.023 0.654 NaCl NaCl
6
AgI 0.123+0.213=0336
0.299 0.037 0.577 NaCl 立方 ZnS
面心立方最紧密堆积 六方最紧密堆积
最紧密堆积中的空隙 不等径球的堆积
等径球质点堆积
等径球最紧密堆积时，在平面上每个球与6个球相接触， 形成第一层（球心位置标记为A），如图2-5所示。此时， 每3个彼此相接触的球体之间形成1个弧线三角形空隙， 每个球周围有6个弧线三角形空隙，其中3个空隙的尖角 指向图的下方（其中心位置标记为B），另外3个空隙的 尖角指向图的上方（其中心位置标记为C），这两种空 隙相间分布。
表2-6 无机化合物结构类型
化学式类型 结构类型举例实例来自AX 氯化钠型NaCl
AX2 金红石型
TiO2
A2X3 刚玉型 -Al2O3
ABO3 钙钛矿型 CaTiO3
ABO4 钨酸钙型 PbMoO4
AB2O4 尖晶石型 MgAl2O4
构成晶体的基元的数量关系相同，但大小不同，其 结构类型亦不相同。如AX型晶体由于离子半径比不同有 CsCl型、NaCl型、ZnS型等结构，其配位数分别为8、6 和4。
最紧密堆积原理： 晶体中各离子间的相互结合，可以看作是球
体的堆积。球体堆积的密度越大，系统的势能 越低，晶体越稳定。此即球体最紧密堆积原理。
适用范围：典型的离子晶体和金属晶体。
质点堆积方式：
根据质点的大小不同，球体最紧密堆积方式分为等径
球和不等径球两种情况。
等径球的堆积
最密堆积方 式
理论结构类型 实际结构类型 实际配位数
AgCl 0. 123+0.172=0.295
0.277 0. 018 0.715 NaCl NaCl
6
AgBr 0.123+0.188=0.311
0.288 0.023 0.654 NaCl NaCl
6
AgI 0.123+0.213=0336
0.299 0.037 0.577 NaCl 立方 ZnS
面心立方最紧密堆积 六方最紧密堆积
最紧密堆积中的空隙 不等径球的堆积
等径球质点堆积
等径球最紧密堆积时，在平面上每个球与6个球相接触， 形成第一层（球心位置标记为A），如图2-5所示。此时， 每3个彼此相接触的球体之间形成1个弧线三角形空隙， 每个球周围有6个弧线三角形空隙，其中3个空隙的尖角 指向图的下方（其中心位置标记为B），另外3个空隙的 尖角指向图的上方（其中心位置标记为C），这两种空 隙相间分布。
表2-6 无机化合物结构类型
化学式类型 结构类型举例实例来自AX 氯化钠型NaCl
AX2 金红石型
TiO2
A2X3 刚玉型 -Al2O3
ABO3 钙钛矿型 CaTiO3
ABO4 钨酸钙型 PbMoO4
AB2O4 尖晶石型 MgAl2O4
构成晶体的基元的数量关系相同，但大小不同，其 结构类型亦不相同。如AX型晶体由于离子半径比不同有 CsCl型、NaCl型、ZnS型等结构，其配位数分别为8、6 和4。
机械工程材料 第二章 金属的晶体结构与结晶
均匀长大
树枝状长大
2-2
晶粒度
实际金属结晶后形成多晶体，晶粒的大小对力学性能影响很大。 晶粒细小金属强度、塑性、韧性好，且晶粒愈细小，性能愈好。
标准晶粒度共分八级， 一级最粗，八级最细。 通过100倍显微镜下的 晶粒大小与标准图对 照来评级。
2-2
• 影响晶粒度的因素
• （1）结晶过程中的形核速度N（形核率） • （2）长大速度G（长大率）
面心立方晶 格
912 °C α - Fe
体心立方晶 格
1600
温 度
1500 1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700 600 500
1534℃ 1394℃
体心立方晶格
δ - Fe
γ - Fe
γ - Fe
912℃
纯铁的冷却曲线
α – Fe
体心立方晶 格
时间
由于纯铁具有同素异构转变的特性，因此，生产中才有可能通过 不同的热处理工艺来改变钢铁的组织和性能。
2-3
• 铁碳合金—碳钢+铸铁，是工业应用最广的合金。 含碳量为0.0218% ~2.11%的称钢 含碳量为 2.11%~ 6.69%的称铸铁。 Fe、C为组元，称为黑色金属。 Fe-C合金除Fe和C外，还含有少量Mn 、Si 、P 、 S 、 N 、O等元素，这些元素称为杂质。
2-3
• 铁和碳可形成一系列稳定化合物： Fe3C、 Fe2C、 FeC。 • 含碳量大于Fe3C成分（6.69%）时，合金太脆，已无实用价值。 • 实际所讨论的铁碳合金相图是Fe- Fe3C相图。
2-2
物质从液态到固态的转变过程称为凝固。 材料的凝固分为两种类型：
第二章晶体结构与常见晶体结构类型 第六讲
4/15/2021
28
在上述各变体中，同一系列（即纵向）之间的转 变不涉及晶体结构中键的破裂和重建，仅是键长、键角 的调整，转变迅速且可逆，对应的是位移性转变。不同 系列（即横向）之间的转变，如-石英和-鳞石英、鳞石英和-方石英之间的转变都涉及键的破裂和重建， 转变速度缓慢，属于重建性转变。
石英的三个主要变体：-石英、-鳞石英和-方石英结 构上的主要差别在于硅氧四面体之间的连接方式不同 （见图2-43）。在-方石英中，两个共顶连接的硅氧四 面体以共用O2-为中心处于中心对称状态。在-鳞石英 中，两个共顶的硅氧四面体之间相当于有一对称面。在 -石英中，相当于在-方石英结构基础上，使Si-O-Si键 由180o转变为150o。由于这三种石英中硅氧四面体的连 接方式不同，因此，它们之间的转变属于重建性转变。
云母类矿物的用途：合成云母作为一种新型材料， 在现代工业和科技领域用途很广。云母陶瓷具有良 好的抗腐蚀性、耐热冲击性、机械强度和高温介电 性能，可作为新型的电绝缘材料。云母型微晶玻璃 具有高强度、耐热冲击、可切削等特性，广泛应用 于国防和现代工业中。
六、架状结构
架状结构中硅氧四面体的每个顶点均为桥氧，硅氧四面体之间以 共顶方式连接，形成三维“骨架”结构。结构的重复单元为[SiO2]，作 为骨架的硅氧结构单元的化学式为[SiO2]2。其中Si/O为1：2。
（Ａ）１：１型
（Ｂ）２：１型
图2-38-1 层状结构硅酸盐晶体中硅氧四面体层和 铝氧八面体层的连接方式
图2-38-2 单网层及复网层的构成
滑石Mg3[Si4O10]（OH）2的结构
滑石属单斜晶系，空间群C2/c，晶胞参数a=0.525nm，b=0.910nm， c=1.881nm，=100o；结构属于复网层结构，如图2-39所示。 （a）所示 OH－位于六节环中心，Mg2+位于Si4+与OH－形成的三角形的 中心，但高度不同。
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（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）
（2）点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种
对称类型，称32种点群
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称元素 三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方 1,`1 2,m,2/m 2，m 4,`4，4/m 3,`3 6,`6, 6/m 2,m,4, `4 方向 任意 Y X Z Z Z X 第二位 可能对称元素 无 无 2，m 无， 2，m 无， 2，m 无， 2，m 3,`3 Y X X X 体对 角线 方向 第三位 可能对称元素 无 无 2，m 无， 2，m 无 无， 2，m 无， 2，m 底对角 线 面对角 线 Z 底对角 线 方向 1，`1 2,m,2/m 222,mm2,mmm 4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m 点群 （共32个）
z
y
x
1 1 1 : : 3:3: 2 2 2 3
晶面符号 (332)
晶面在晶轴上的截距系数愈大其晶面符号中与该轴相应的米氏 指数愈小。当晶面平行于某坐标轴时，其晶面符号中的米氏指 数为0。
（001） z (010) y x
(010)
（001） 立方体各晶面的晶面符号
z （0001） u y x
由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造
也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。为什么？
晶体的宏观对称要素和对称操作
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。
对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。 晶体的宏观对称操作与对称要素 操作类型 对称操作 假想的辅助几何要素 对称要素
b a
（c）石墨
结构
点阵
晶格
(3)三维－空间点阵
简单立方晶格 (a) 简单立方晶格在三维空间延伸 (b)
实例
（a）Po
结构 点阵 晶格
实例
（ b ）CsCl 结构 点阵 晶格
实例
（ c ） Na
结构
点阵
晶格
实例
（ d ）Cu 结构 点阵 晶格
点阵与晶体关系图
把结构单元抽象为几何点 晶体（点阵结构） 把结构单元放回到几何点 并置 并置 点阵
直线旋转一定的角度后，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转。
轴次（n）：旋转一周 重复的次数 基转角（）：重复时 所旋转的最小角度 n与之间的关系： 2 3
n 360 /
6
4
4 、旋转反伸对称（ n ）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕
这 条直线旋转一定的角度后再反伸，能使图形相同的部分重复出
现。
对应的对称操作：绕对称轴的旋转加反伸。
1= i
2= m
3 （4个） 4（3个） 2 （6个）
6
立方体
六方柱
值得指出的是，除 4 外， 其余各种旋转反伸轴都可 以用其它简单的对称要素 或它们的组合来代替，其 间关系如下：
3= 3i
4
6= 3m
2.2.2 点阵结构的点对称性与点群
（ 1）点对称特点：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种 质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4， 6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。为什么？ 1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间 , 即不能成为晶体结构。
基元
结点
复式格子的特点
点阵类型：（1）直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
点阵
点阵参数：相邻点阵点的距离
实例
(2)二维－平面点阵
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个点. 这些 点即构成平面点阵.
b a
实例
（ a ）NaCl 结构 点阵
（ b ）Cu 晶格
实例
补充 2、数学的证明方法为： t’ = mt
t’= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t t’ 所以，mt = -2tcos + t 2cos = 1- m cos = (1 - m)/2 t t -2 1 - m 2 m = -1,0,1,2,3 t 相应的 ＝ 0 或2 ， /3, /2， 2 /3, ，相应的轴次为1，6，4，3，2。
2.1.2 三维空间点阵中直线点阵与平面点阵的表达
结晶符号
定义：表示晶面、晶列（棱）等在晶体上方位的简单的数字符号。
坐标系体的构成； 原点和三个不共面的基矢a、b、和c。
（1）直线点阵或晶列的表达 晶向符号(晶棱符号)
定义：用简单数字符号来表达晶棱或者其他直线（如坐标轴）
在晶体上的方向的结晶学符号。也称Miller指数。
②如果晶体是由完全相同的一种原子组成，则这种原子所围成的网
格也就是布拉菲点阵或布拉菲格子，和结点组成的网格完全相同。
（4）复式点阵（格子）
若晶体的基元中包括两种或两种以上的原子，则基元中每种 原子可分别构成彼此完全相同的点阵，但它们之间存在相对位移
，形成复式点阵。
复式格子的特点 复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成。
晶体的分类
晶族和晶系
在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称 型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。
高级晶族（高次轴多于一个） 立方晶系
n﹥2
六方晶系 晶体 中级晶族（高次轴只有一个） 四方晶系 三方晶系 斜方晶系 低级晶族（无高次轴） 单斜晶系 三斜晶系
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
原子在晶胞中的位置
(0, 0, 1/2) (1/2,1/20,1/2)
Na+
(1/2, 0, 0)
( 0, 1/2， 0)
NaCl 三维周期排列的 结构及其点阵
（3）布拉菲点阵
若晶体有完全相同的一种原子组成，则结构基元就只有一个 原子，点阵点的位置即是这种原子的位置，由这种原子构成的点阵 即是布拉菲点阵。 布拉菲点阵的特点： ①每个结点周围的情况都是一样的。
反伸（倒反）
简单 反映 旋转 旋转+反伸 旋转+反映
点
面 线 线和线上的定点 线和垂直于线的平面
对称中心
对称面 对称轴 旋转反伸轴 旋转反映轴
复杂
1、对称中心i（inversion）：一个假想的几何点，在通过该
点的任意直线的两端可以找到与其等距离的点。
对应的对称操作：对此点的反伸（倒反）。
C
一个晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心；如果有对 称中心，那么只能有一个，且位于晶体的几何中心。
切分
切分
把结构单元抽象为几何点 晶胞 把结构单元放回到几何点 正当单位
空间点阵几何要素(点线面）
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
空间点阵几何要素(点线面）
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
3 面网（net）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
(hkl)，四轴定向通式为(hkil)。
确定晶面符号的步骤：
① 选定坐标系； ② 求出待标晶面在x、y、z轴上的截距pa、qb、rc,则截距系数分 别为p、q和r； ③ 取截距系数的倒数比，并化简。即：
1/p:1/q:1/r=h:k:l
（h:k:l应为简单整数比）
④ 去掉比例符号，以小括号括之， 写成（hkl）,即为待标定晶面的晶面指数。
第二章
晶体的结构与常见结构类型 Chapter 2 Structures and types of
crystal
§ 2.1 晶体的周期结构与点阵
晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、周 期性重复排列所构成的固体物质。
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
2.1.1 周期结构与点阵
（1）结构周期：晶体内部质点在三维空间周期性重复排列构成周
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然 科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称 战略。
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重
复，因此所有的晶体结构都是对称的。
2 ）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循“晶体对称定 律” 。 3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。
用 R ua vb wc (u, v, w取整数) 表示所有的点阵点。
a
b
初基矢量
c a
b
（3）晶胞：晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
原子在晶胞中的位置坐标
(1/2, 0, 1/2)
(0, 1/2, 1/2)
Cl(1/2, 1/2, 0)
(0, 0, 0)
c
a
b
NaCl 三维周期排列的 结构及其点阵
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
4 平行六面体（parallelepiped）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。 计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时 必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8 个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4 个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个 相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属 于该平行六面体。