云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第五次月考理数试题 Word版含答案

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2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷(理科)

2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣23．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．05．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π） D．[0，π）7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．208．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c ﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．111．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为（用数字作答）15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m为+的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为．16．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．三、解答题（共70分）17．（12分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，且△ABC 是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD 与平面ABDE 所成角的余弦值为，F 是线段CD 上一点．（Ⅰ）若F 是线段CD 的中点，证明：平面CDE ⊥面DBC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣D 的平面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，P 是椭圆C上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M （2，0）的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y= x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．2017年云南省曲靖一中等多校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x∉Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2≤x＜3}【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．【解答】解：∵化简得：P={x|0＜x＜2}而Q={x||x﹣2|＜1}化简得：Q={x|1＜x＜3}∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，∴P﹣Q={x|0＜x≤1}故选B【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．2．已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．同时具有性质：①图象的相邻两条对称轴间的距离是；②在[﹣，]上是增函数的一个函数为（）A．y=sin（+）B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（﹣）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意求出函数周期，可知满足条件的函数是选项B或C，再由在[﹣，]上是增函数进一步判断只有C符合．【解答】解：由图象的相邻两条对称轴间的距离是，可知，T=π，选项B、C满足．由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函数y=cos（2x+）为减函数，不合题意．由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函数y=sin（2x﹣）为增函数，符合合题意．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．4．若向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），则下列说法中正确的个数是（）①⊥；②向量与向量的夹角为90°；③对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】向量在几何中的应用．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可判断①②；由向量共线定理，可得，共线，由平面向量基本定理，即可判断③．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，1），=（﹣4，﹣2），由•=1×2+（﹣2）×1=0，可得⊥，故①正确；由•=1×（﹣4）+（﹣2）×（﹣2）=0，可得⊥，故②正确；由=﹣2可得，共线，由平面向量基本定理，可得对同一平面内的任意向量，不都存在一对实数k1，k2，使得=k1+k2．故③错误．综上可得，正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，考查平面向量基本定理的运用以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）=f（log23）的值为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】根据log23的范围循环代入分段函数的下段，当满足自变量的值大于等于3时代入f（x）的解析式求值．【解答】解：由f（x）=，∵log23＜3，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log26），由log26＜3，∴f（log26）=f（log26+1）=f（log212），∵log212＞3，∴f（log23）=f（log212）==．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了分段函数的函数值的求法，关键是注意适用范围，是基础题．6．直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（，）C．（0，）∪（，π） D．[0，π）【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x+）与曲线x2﹣y2=1（x＜0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＜0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x+）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1α∈（，）由于直线的斜率存在：倾斜角a≠，故直线l的倾斜角的取值范围是（，）∪（，）故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为36，28，则输出的a=（）A．4 B．8 C．12 D．20【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4，b=4时，不满足条件a≠b，退出循环，输出a的值．【解答】解：第一次循环，a=36，b=28，a＞b，a=8；第二次循环，a=8，b=28，a＜b，b=20；第三次循环，a=8，b=20，a＜b，b=12；第四次循环，a=8，b=12，a＜b，b=4，第五次循环，a=8，b=4，a＞b，a=4，第六次循环，a=4，b=4，a=b，不满足条件a≠b，退出循环，输出a=4，故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．某几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的表面积为（）A．B．C． +4+D．π+8+【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，进而可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆锥与一个四棱锥组合而成的几何体，其表面积由半圆锥的曲面，底面及四棱锥的底面，前，后，右侧面组成，∵其侧视图是一个等边三角形，∴半圆锥的底面半径为1，高为，故圆锥的母线长为：2，故半圆锥的底面面积为：，曲侧面面积为：π，四棱锥的底面面积为：4，前后侧面均为腰长为2的等腰直角三角形，面积均为：2，右侧面是腰为2，底为2的等腰三角形，面积为：，故组合体的表面积为：π+8+，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．9．图所示的阴影部分由坐标轴、直线x=1及曲线y=e x﹣lne围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是（）A．B． C．1﹣D．1﹣【考点】定积分；几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为（e x﹣1）dx=（e x﹣x）|=e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是=1﹣．故选D．【点评】本题考查概率的计算，考查定积分知识的运用，属于中档题．10．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c ﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（）A．4 B．2 C．D．1【考点】余弦定理．【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．∴cosA==，A∈（0，π），∴A=．∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c．∴△ABC是等边三角形．那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C在第一象限的公共点，其中圆心C（0，4），点A到M的焦点F的距离与C的半径相等，M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值等于C的直径，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，则|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=，直线OA被圆C所截得的弦长为，故选D【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．12．已知函数f（x）=x2﹣tcosx．若其导函数f′（x）在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）A．[﹣1，﹣]B．[﹣，]C．[﹣1，1]D．[﹣1，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求导数f′（x）=x+tsinx，并设g（x）=f′（x），并求出g′（x）=1+tcosx，由f′（x）在R上单调递增即可得出tcosx≥﹣1恒成立，这样即可求出t的取值范围．【解答】解：f′（x）=x+tsinx，设g（x）=f′（x）；∵f′（x）在R上单调递增；∴g′（x）=1+tcosx≥0恒成立；∴tcosx≥﹣1恒成立；∵cosx∈[﹣1，1]；∴；∴﹣1≤t≤1；∴实数t的取值范围为[﹣1，1]．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数的单调性和函数导数符号的关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），则++…+的值为﹣1．【考点】二项式定理的应用．【分析】由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，即可得出．【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R），令x=0，可得1=a0．令x=，可得0=1+++…+，∴++…+=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知等差数列{a n}满足：a1+a5=4，则数列{2}的前5项之积为1024（用数字作答）【考点】数列的求和．【分析】根据等差数列的性质可得a1+a5=a2+a4=2a3=4，即可求出前5项和，再根据指数幂的运算性质即可求出答案．【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a1+a5=4，∴a1+a5=a2+a4=2a3=4，∴a1+a5+a2+a4+a3=4+4+2=10，∴数列{2}的前5项之积为2=210=1024，故答案为：1024【点评】本题考查了等差数列的性质和指数幂的运算性质，属于中档题15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，记m为+的最小值，则y=sin（mx+）的最小正周期为π．【考点】简单线性规划．【分析】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值，再利用正弦型函数的最小正周期，求出结果．【解答】解：设x、y的线性约束条件，如图所示：解得A（1，1）目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即：a+b=2，所以： +=≥2，则y=sin（2x+）的最小正周期为π，故答案为：π．【点评】本题考查的知识要点：线性规划问题，基本不等式的应用，正弦型函数的最小正周期，属于基础题型．16．已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O﹣ABC 的体积可求．【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，则AC=，∴，设球半径为R，由球的体积，解得R=4．设△ABC的外接圆的圆心为G，∴外接圆的半径为GA=，∴OG=．∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．故答案为：．【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（共70分）17．（12分）（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可得x=+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，（Ⅱ）化简bn=（﹣），再裂项求和即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）===tanx，∵y=f（x）﹣=0，∴tanx=，∴x=+kπ，k∈Z，∵函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{a n}，∴a n=+（n﹣1）π，（Ⅱ）b n====（﹣），∴数列{b n}的前n项和S n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项法求前n 项和，属于中档题18．（12分）（2017•曲靖模拟）拖延症总是表现在各种小事上，但日积月累，特别影响个人发展，某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生进行“是否有明显拖延症”的调查中，随机发放了110份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）按女生是否有明显拖延症进行分层，已经从40份女生问卷中抽取了8份问卷，现从这8份问卷中再随机抽取3份，并记其中无明显拖延症的问卷的份数为X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为无明显拖延症与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由附：独立性检验统计量K 2=，n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【分析】（1）分层从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人，若从这8份问卷中随机抽取3份，随机变量X=0，1，2．利用“超几何分布”即可得出分布列及其数学期望；（2）根据“独立性检验的基本思想的应用”计算公式可得K 2的观测值k ，即可得出．【解答】解：（1）从40份女生问卷中抽取了8份问卷，有明显拖延症6人，“无明显拖延症2人．…（2分）则随机变量X=0，1，2，…（3分）∴P（X=0）==；P（X=1）==，P（X=2）==…（6分）分布列为…（7分）E（X）=0×+1×+2×=．…（8分）（2）K2=≈2.930 …（10分）由表可知2.706＜2.93＜3.840；∴P=0.10．…（12分）【点评】本题考查了组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”分布列及其数学期望公式、“独立性检验的基本思想的应用”计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•曲靖模拟）如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，且△ABC是的边长为4的等边三角形，AE=2，CD与平面ABDE所成角的余弦值为，F是线段CD上一点．（Ⅰ）若F是线段CD的中点，证明：平面CDE⊥面DBC；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面CDE⊥平面DBC．（Ⅱ）求出平面DEC 的一个法向量和平面BCE的一个法向量，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点O，连结OC，OD，∵DB⊥平面ABC，DB⊂平面ABDE，∴平面ABDE⊥平面ABC，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，又OC⊂平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，∴OC⊥平面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∠CDO是CD与平面ABDE所成角，∵CD与平面ABDE所成角的余弦值为，∴CD与平面ABDE所成角的正弦值为，∴sin，∵OC=2，∴CD=4，BD=4，取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，4），E（0，﹣2，2），F（，1，2），∴=（），=（2，﹣2，0），=（0，0，4），∴，，∴EF⊥BC，EF⊥BD，∵DB，BC⊂平面DBC，且DB∩BC=B，∴∴EF⊥平面DBC，又EF⊂平面BDF，∴平面CDE⊥平面DBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当F是线段CD的中点时，得BF⊥平面DEC，又=（），则可取平面DEC 的一个法向量==（），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），=（2，﹣2，0），=（2，2，﹣2），则，取x=1，得=（1，），则cos＜＞===，sin＜＞=，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•曲靖模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P是椭圆C上任意一点，且点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，设N为椭圆上一点，是否存在整数t，使得t•=+（其中O为坐标原点）？若存在，试求整数t的所有取值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义．【分析】（Ⅰ）由离心率为，可得a2=2b2，代入点（0，﹣1），可求解a，b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入t•=+后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k 的范围确定t的范围，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知离心率为，所以a2=2b2．又因为点P到椭圆C的一个焦点的最大距离等于+1，所以a+c=+1，所以b2=1，a2=2．故C的方程为=1…（3分）（Ⅱ）由题意知直线直线AB的斜率存在．设AB方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由y=k（x﹣2）代入=1，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2＜．…x1+x2=，x1x2=，∵t•=+，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．∴x=，y=﹣．…（8分）∵点N在椭圆上，∴[]2+2•[﹣]=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2=＜4，∴﹣2＜t＜2．∴整数t值为﹣1，0，1．…（12分）【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．21．（12分）（2017•曲靖模拟）设函数f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，且在点x=1处的切线垂直于直线y= x，求实数a，b的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），g（x）在区间[0，1]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）将（0，﹣1），代入f（x），即可求得b的值，求导，由f′（1）=﹣2，即可求得a的值；（Ⅱ）求导，g′（x）=e x﹣2a，分类分别取得g（x）在区间[0，1]上的最小值h （a）解析式，根据函数的单调性即可求得h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线f（x）在y轴上的截距为﹣1，则过点（0，﹣1），代入f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，则1+b=﹣1，则b=﹣2，求导f′（x）=e x﹣2ax﹣e，由f′（1）=﹣2，即e﹣2a﹣e=﹣2，则a=1，∴实数a，b的值分别为1，﹣2；（Ⅱ）f（x）=e x﹣ax2﹣ex+b，g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣e，g′（x）=e x﹣2a，（1）当a≤时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，∴g（x）≥g（0）=1﹣e．（2）当a＞时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，即g′（x）=e x﹣2a＜0，g（x）在[0，1]上单调递减，∴g（x）≥g（1）=﹣2a（3）当＜a≤时，g′（x）=e x﹣2a=0，得x=ln（2a），g（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以g（x）≥g（ln2a）=2a﹣2aln2a﹣e，∴h（a）=，∴当a≤时，h（a）=1﹣e，当＜a≤时，h（a）=2a﹣2aln2a﹣e，求导，h′（a）=2﹣2ln2a﹣2=2ln2a，由＜a≤时，h′（a）＜0，∴h（a）单调递减，h（a）∈（1﹣e，﹣e]，当a＞时，h（a）=﹣2a，单调递减，h（a）∈（﹣∞，﹣e），h（a）的最大值1﹣e．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•曲靖模拟）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N 两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•曲靖模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|，x∈R（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求实数a的最小值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知正实数m，n，p满足m+2n+3p=M，求++的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求出f（x）的最小值，即可求实数a的最小值M；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣a|+|x﹣2|≥|a﹣2|，∵关于x的不等式f（x）≤a在R上有解，∴|a﹣2|≤a，∴a≥1，∴实数a的最小值M=1；（Ⅱ）m+2n+3p=1， ++=（++）（m+2n+3p）≥（+2+）2=16+8，∴++的最小值为16+8．【点评】本题考查绝对值不等式的运用，考查柯西不等式在最值中的应用，考查计算能力．。

云南省曲靖市第一中学2017-2018学年高三高考复习质量监测考试(六)理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合2102x xx ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<，则()RA B =ð（）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x << 【答案】B考点：不等式的解法与集合运算. 2.复数321iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 为（） A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i + D ．1522i -【答案】D 【解析】试题分析：()()()()32132151112i i i iz i i i ++++===--+，所以z 的共轭复数为1522z i =-，故选D.考点：复数的运算.3.阅读如图1的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B4.某几何体的三视图如图2所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A B CD图2【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面为直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如下图所示，SC ⊥平面,ABC 90,CAB ∠=根据三视图的规则可知5,SA AB AC y ===,所以222S C A C S A+=即222225SC SA AC y =-=-，222530SC y x +=-=，所以22302x y xy +=≥，当且仅当x y ==时，xy 有最大值，所以三棱锥的体积1132V =⨯=A.考点：三视图与棱锥的体积.5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列正确的是（） A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α C ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ 【答案】D考点：空间直线与平面的平行、垂直关系的判断.6.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若11a b =，99a b =，则（）A ．55a b =B ．55a b >C ．55a b <D ．以上都有可能【答案】B 【解析】试题分析：由等差、等比中项可知1955,2a a ab +==，又11a b =，99a b =，所以192a a +≥=55ab >，故选B. 考点：等差中项和等比中项.7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C考点：排列与组合.8.下列结论正确的个数是（） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①中给出的逆否是“22k παπ=+（k ∈Z ）是cos 0α=的充分必要条件”，显然当cos 0α=时，2k παπ=+（k ∈Z ），所以必要性不成立，所以①错误；②方差表达了样本数据的波动大小，当一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变，所以②正确；③先后抛两枚硬币，显然事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，所以事件A 和B 相互独立，由相互独立事件概率公式可知它们同时发生的概率()()()111224P AB =P A P B =⨯=，所以③正确；④因为ξ服从正态分布()21,σN ，其对称轴为1x =，ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.5，所以④错误，综上所述正确的只有②③两个，故选C.考点：充要条件、方差的数学意义、相互独立事件同时发生的概率及正态曲线的性质. 9.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（） A ．()()0,23,4 B ．()()0,24,5 C ．()()2,34,5D ．()()2,33,4【答案】D考点：函数性质的综合应用及对数函数的性质.10. 已知函数()sin f x x x ωω=（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则ω等于（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，由062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以2sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此,31,33k k k z ππωπω+==-∈，排除B,C ，当5ω=时()2sin 53f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，排除D ，故选A. 考点：三角恒等变换与正弦函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数的图象与性质，属于中档题.本题首先通过和角公式把()f x 化成正弦型函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，解题的突破口在对条件062f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的应用，变形即得62f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，实质上是给出了函数图象的一个对称中心，由此求得ω的一系列值，最后通过区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性进行验证、排除. 11.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．12⎡⎢⎣⎦D ．35⎣⎦【答案】C考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及几何性质，属于中档题.椭圆的离心率是椭圆几何性质中考查最频繁的知识点，解题的基本思路是根据题目给出的条件，建立基本量,c a 或,a b或,b c 的关系，再结合222a b c =+求出离心率的范围.本题中通过设出椭圆上一点P 的坐标，利用椭圆方程和已知条件求出椭圆上一点P 横坐标关于,,a b c 的表达式，再利用已知条件和椭圆的范围求出离心率的范围.12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（） A ．110 B ．25 C ．15D ．1 【答案】A考点：导数的几何意义及函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点的切线的斜率问题，考查了数学转化与化归及数形结合的思想方法，用到了点到直线的距离公式，属于中档题.本题解答的关键是对函数()f x 进行转化，看成动点(),ln 2M x x 与点(),2N a a 距离的平方，利用导数求出曲线()ln2g x x =上平行于直线2y x =的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线的距离的平方等于15，然后利用斜率公式求出实数a 的值. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量()2,2a =，()1,1b =-，且()a b b λ+⊥，则2a b λ-的值为．【答案】【解析】试题分析：由题意可知22,2,0a b a b ===，因为()a b b λ+⊥，所以()a b b λ+220a b b λλ=+==，0λ∴=， 2242a b a λ-==.考点：向量的数量积运算.14.若4m x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6展开式中含x 项的系数是．【答案】60考点：定积分与二项式定理.15. 设:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是．【答案】02k <≤ 【解析】试题分析：作出不等式组2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如下图，因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 不等式组表示的平面区域内的点都在q 表示的圆及其内部，因为()0,2C 恰好在()2215x y -+=上，所以只需要,A B 两点在圆()2215x y -+=上或者其内部即可，因此有()()()222212251253k k k k ⎧-+-≤⎪⎨⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，解不等式组可得02k <≤.考点：简单的线性规划、充分条件与必要条件.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划及充分条件与必要条件，考查了数学结合、转化与化归的数学思想和方法，属于中档题.本题首先把“p 是q 的充分不必要条件”转化为两个中,p q 所表示的平面区域之间的真子集关系，然后通过作图，可以发现只需要三角形区域的三个顶点在圆或其内部即可，从而列出不等式组求得参数的取值范围. 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n nS a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为．【答案】12n n +-+立，由此可得12n n S n +=+. 考点：数列的递推公式.【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式在求数列前n 项和公式中的应用，属于中档题.本题解答的关键是把“和项混合式” 12n n nS a S ++=，利用()12n n n S S a n --=≥消去n a 得到n S 与1n S -之间的递推关系112n n S S -=+，由1123S a ==-逐步求出23,S S 的值，进行归纳，最后利用数学归纳法进行证明，当然作为填空题可以不用证明.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+．（I ）求角A 的大小；（II ）若sin sin C 1B +=，2b =，试求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）23πA =；（II试题解析：（I ）()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++．∴4cos 2bc bc -A =．∴1cos 2A =-． 0π<A <，∴23πA =．…………………（5分）（II ）sin sin C 1B +=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +B sin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分）又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB 的面积C 1sin 2S bc ∆AB =A =12分）考点：利用正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（III ）求ξ的分布列和数学期望．【答案】（I ）0.25；（II ）0.24；（III ）分布列见解析， 1.52ξE =．试题解析：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分）（II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=，若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列. 19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB旋转90，得到C D ''AB （如图3）．（I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A -N -的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）5-.试题解析：（I ）证明：1D C 2A =B ，N 是C B 的中点，∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形，∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =，∴D AB =BN =A ，∴四边形CD AN 是菱形，∴1C DC 302∠A B =∠B =，∴C 90∠BA =，即C A ⊥AB ．平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分）（II ）解：C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ．如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B，()C，(C '，12⎛⎫N ⎪⎪⎝⎭，则(C 1,0,'B =-，(CC 0,'=．设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩⇒()3,1,1n =．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =，0C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩()3,1,0m ⇒=-，设二面角C C 'A -N -的平面角为θ，∴5cos 5n m n m θ⋅==-∴二面角C C 'A -N -的余弦值为12分）考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用. 20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221xy a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝⎭，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O ，求实数λ的取值范围．【答案】（I ）2212x y +=；（II （III ）22λ-<<且0λ≠．试题解析：（I ）由题意得：c a =，222a b c -=，∴b c =．又椭圆经过点⎛M ⎝⎭，则2213124a b+=，解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分）（II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，依题意知若l x ⊥轴时，不存在∆OAB ，所以不合题意．设点A ，B 的坐标分别为()11,x y A ，()22,x y B ，由22222y kx x y =-⎧⎨+=⎩得()2212860k xkx +-+=，216240k ∆=->，得232k >，122812k x x k +=+，122612x x k =+，所以AB =．又点O 到直线l 的距离为h =，∴∆OAB的面积1122S h ∆OAB=⋅AB ⋅==令t =0t >），得2223k t =+，则2S t t∆O A B=+ 当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>，所以S ∆OAB的最大值为2．…………………（6分）考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出Q 的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数λ的范围. 21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++．（I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值；（II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成立．【答案】（I ）0a =；（II ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（III ）证明见解析.试题解析：（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =．又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减，所以()()max 00f x f a ===．…………………（II ）解：因为()222211m x x mg x x x x ++'=+=++，又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数，则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，由此可得12m ≥．…………………（4分）若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数，则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立，因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值，所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分）综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++，显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立．令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分）则有23111ln 1n n n⎛⎫+>-⎪⎝⎭，即311ln n n n n +->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分）考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图7，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ．（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ．D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ．GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA +∠BA =∠E A +∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =，D 90∠B A =，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ．AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ． AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）考点：圆的切线、割线的性质及三角形全等的应用. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-．（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．【答案】（I ）1C 的普通方程为3440x y --=，2C 的直角坐标方程为24y x =；（II ）259.试题解析：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=，所以3sin 5α=，4cos 5α=，所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数），将上式代入24y x =，得29110250T -T +=，所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分）考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈．（I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）()()3,96a a a -->；（II ）4a <.试题解析：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-，当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）考点：绝对值不等式的解法及分段函数的应用.。

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考数学

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A （）A ．]3,1(-B ．]1,1(-C ．)2,1(D ．)3,1(- 【答案】A【解析】试题分析：因为{}{}(1)(2)0|12A x x x x x =+->=-<<， {}13B x x =<≤，所以，=B A {}13x x -<≤=(]1,3-，故选A.考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（）A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y【答案】B考点：函数的定义及“三要素”.3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为()()12:1log 01,2,:210,x p x x q x -<<⇔∈>⇔∈+∞，而()()1,20,⊆+∞，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故选A.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.4.设 100cos ,5log ,2331===-c b a ，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >> 【答案】B【解析】试题分析：因为()()()13320,1,log 51,,cos100,0a b c -===∈+∞=∈-∞，所以，c a b >>，故选B.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.5.下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（）A ．xy 3-= B ．31x y = C ．23log x y = D ．2x x y -= 【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.6.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（） A ．13<<-a B ．3-<a 或1>a C.1<a D ．1>a 【答案】B【解析】试题分析：因为幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，所以321282243nn n -=⇒=⇒=-，23()f x x -=　是偶函数，且在()0,+∞递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得，3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.7.若12log 3-≥x ，则函数324)(1--=+x xx f 的最小值为（）A ．4-B ．3-C ．932- D ．0 【答案】A考点：1、指数的运算与性质；2、配方法求最值.8.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈，都有)()4(x f x f -=+，且当]2,0[∈x时，12)(-=x x f ，则下列结论不正确的是（）A ．函数)(x f 的最小正周期为4B ．)3()1(f f <C ．0)2016(=f D ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减【答案】B【解析】试题分析：因为函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，所以)()4(x f x f -=+()f x =，可得函数)(x f 的最小正周期为4，A 正确；()()0(2016)50440210f f f =⨯==-=，C 正确；而()()()311f f f =-=，B 错；故选B.考点：1、函数的周期性及函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性.9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（）A ．)3,4(-B ．]3,4(-C ．]4,3(D ．)4,3( 【答案】D考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.10.已知函数m x x g xx x f +=+=22log )(,1)(，若对]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥，则m 的取值范围是（） A ．45-≤m B ．2≤m C ．43≤m D ．0≤m 【答案】C【解析】试题分析：因为]4,1[],2,1[21∈∃∈∀x x ，使得)()(21x g x f ≥等价于()()min min f x g x ≥，又因为21()x f x x +=22111113244x x x ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭，（2x =时等号成立），22()log log 1g x x m m m =+≥+=，所以34m ≥，即43≤m ，故选C.考点：1、全称量词与存在量词的应用；2、对数函数的性质及配方法求最值.【方法点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用，属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）12,,x D x E ∀∈∀∈()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；（2）1,x D ∀∈2x E ∃∈()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥()min g x ；（3）1x D ∃∈，2,x E ∀∈()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥()max g x ；（4）12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥()min g x .11.已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则22a b+的取值范围是（）A ．),0(+∞B ．(0,1)C ．)21,0( D ．),1[+∞ 【答案】C考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性进而求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a 【答案】A考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图象解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 本题就是将复杂的零点问题转化为形象函数图象问题解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】]22,22[- 【解析】试题分析：因为命题“02,0200<+-∈∃ax x R x ”为假命题等价于命题“2,20x R x ax ∀∈-+≥”为真命题，可得280a a =-≤⇒-≤≤a 的取值范围是]22,22[-，故答案为]22,22[-.考点：1、全称命题与特称命题；2、不等式恒成立问题及一元二次不等式的解法. 14.=++-⎰dx x x x )1(312______.【答案】43+π考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.15.已知曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 也相切，则=a _____.【答案】1【解析】试题分析：因为x x y ln 2-=()f x =，所以()()1'2,'11f x x f x=-=得()f x 点)1,1(处的切线斜率为1，方程为11,y x -=-即为y x =，又因为y x =与抛物线1)2(2+++=x a ax y相切，所以方程2(2)1ax a x x +++=只有一个根，即2(2)1ax a x x +++=有唯一解，()2140a a =+-=，得1a =，故答案为1.考点：1、利用导数求切线方程；2、直线与抛物线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程.本题就是根据这种方法求出曲线x x y ln 2-=在点)1,1(处的切线方程后，再根据其与抛物线相切，求解a 的值的.16.若曲线x x x f ln 21)(2+-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______.【答案】32<<k考点：1、函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想；2、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值.【方法点睛】本题主要考查函数的定义域及子集的应用及转化与划归思想、利用导数研究函数的单调性以及函数的极值，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将函数区间)2,2(+-k k 内不是单调函数转化为函数在)2,2(+-k k 必有极值点，然后利用导数这一工具解答是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知0)12(:,0132:222≤++-≤+-a x a x q x x p . （1）若2=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1=x ；（2）2210+≤≤a. 试题解析：121:≤≤x p . （1）若2=a ，则41:≤≤x q ，∵q p ∧为真，∴q p ,都为真，∴1=x .（2）设22)12()(a x a x x f ++-=需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⇒≤+≤≤-⇒≤->⇒>∆,200)1(,2212210)21(,410a f a f a 解得2210+≤≤a .考点：1、充分条件与必要条件；2、数形结合思想及子集的应用. 18.（本小题满分12分）已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】试题分析：（1）先求得2223(1)22x x x ++=++≥，再根据对数函数的性质可得函数的值域；（2）根据二次函数的单调新、对数函数的单调性、复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组可得结论.试题解析：（1）当1-=a 时，)32(log )(221++=x x x f ，设22)1(32)(22≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞. （2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立，所以⎩⎨⎧>>,0)2(,2h a 此不等式无解，故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域.19.（本小题满分12分）某工厂经过市场调查，甲产品的日销售量P （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），已知销售价格为4万元/吨时，每天可售出该产品9吨. （1）求a 的值；（2）若该产品的成本价格为3万元/吨，当销售价格为多少时，该产品每天的利润最大？并求出最大值.【答案】（1）2=a ；（2）该产品每天的利润最大且为15万元.试题解析：（1）由题意可得9,4==p x ,由⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=,96,784,63,172x xx x ax P （其中a 为常数），可得9417=-a ，解得2=a .（2）由（1）可得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<-=,96,784,63,2172x xx x x P设商品所获得的利润为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<--=-=,96),3)(784(,63),3)(217()3(2x x x xx x x P x y当63≤<x 时，)3)(217(--=x x y ，当且仅当6=x 时，取得最大值15；当96≤<x 时，16175)811(252252637)784)(3(222+--=-+=+-=x x x x x x y ，当8=x 时，取得最大值1516175<. 综上可得6=x 时，取得最大值15，即当销售价格为6万元/吨时，该产品每天的利润最大且为15万元.考点：1、阅读能力及建模能力；2、分段函数的解析式及利用导数研究函数的单调性. 20.（本小题满分12分）已知函数13)(3-+=ax x x f 的导函数为)(x f '，3)()(--'=ax x f x g .（1）当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若对满足11≤≤-a 的一切a 的值，都有0)(<x g ，求实数x 的取值范围；（3）若0ln )(>+'x x g x 对一切2≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-；（2）310<<x ；（3）ln 2122a <+.试题解析：（1）当2-=a 时，63)(2-='x x f ，令0)(='x f 得2±=x ，故当2-<x 或2>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增，当22<<-x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减，所以函数)(x f 的单调递增区间为),2[],2,(+∞--∞，单调递减区间为)2,2(-. （2）因为a x x f 33)(2+='，故333)(2-+-=a ax x x g ，令33)3()()(2-+-==x x a a h x g ，要使0)(<a h 对满足11≤≤-a 的一切a 成立，则⎩⎨⎧<-=<-+=-,03)1(,03)1(22x x h a x x h 解得310<<x .考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题(2)是利用方法①求得a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f . （1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-. 【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由)(x f 恒过点)1,1(，∴1=b ，由2)(=e f 得e a =，进而1ln )(+=x x f ；（2）kx x f ≤)(对0>∀x 都成立等价于k x x ≤+1ln ，只需利用导数求出ln 1x x+最大值即可；（3）设1ln )(-=x x x x h ，则可得21ln ()0(1)x xh x x --'=>-∴)(x h 在),0(+∞上单调递增，1ln 1ln 111222->-x x x x x x 成立，即可证原式. 试题解析：（1）由题意得)(x f 恒过点)1,1(，∴1=b , 又∵1log 2)(+==e e f a ，∴e a =，∴1ln )(+=x x f .(2)kx x f ≤)(，即kx x ≤+1ln ，即k xx ≤+1ln ，设2ln )(,1ln )(x x x g x x x g -='+=，令0ln )(2>-='xxx g ，得10<<x ， ∴)(x g 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减，1)1()(max ==g x g ，∴1≥k .考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简，或者构造新函数进一步利用导数证明.本题（3）就是构造函数后利用单调性证明的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点C ，弦AE 的延长线交CD 于点D ，若CAB DAC ∠=∠.（1）求证：CD AD ⊥；（2）若16,9==AB AD ，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）12=AC.试题解析：（1）证明：因为AB 是直径，所以连接BC ，则90=∠ACB ，又因为直线CD 与圆O 相切，所以CBA DCA ∠=∠.又因为CAB DAC ∠=∠，所以 90=∠+∠=∠+∠CBA CAB DCA DAC ,所以90=∠ADC ，所以CD AD ⊥.（2）解：由（1）得ADC ∆与ACB ∆相似，所以AB AD AC ⋅=2，所以12=AC .考点：1、弦切角定理；2、三角形相识的性质. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比. 【答案】（1）9)3(22=+-y x ；（2）2:1.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程θρcos 6=可化为θρρcos 62=，利用极坐标公式，化为普通方程是x y x 622=+，即9)3(22=+-y x . （2）圆C 的方程为9)3(22=+-y x ，圆心C 为)0,3(，半径3=r ，直线l 的方程为)3(33-=+x y ，即03333=---y x ，圆心C 到直线l 的距离233133333=+--=d ， ∴直线l 被圆截得的弦所对的圆心角为120，直线l 将圆C 分成弧长之比为2:1的两段圆弧.考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R . （1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求ba b a y 33421+++=的最小值.【答案】（1）6=s ；（2）23. 【解析】试题分析：（1）不等式01252≥--++t x x 的解集为R 等价于t x x ≥-++1252恒成立，而621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ；（2）b a b a y 33421+++=14()[(2)(33)]233a b a b a b a b =++++++16⨯，利用柯西不等式可得结果.试题解析：（1）因为01252≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1252，又因为621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ，所以实数t 的最大值6=s .考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.。

【全国百强校】云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第四次月考理数(解析版)

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第四次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（） A ．B A ⊆ B ．AB A =C ．A B A =D ．{}2AB =【答案】D考点：集合的基本运算. 2.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A 【解析】试题分析：2017(1)(1)11z i i i i i z i =-=-=+⇒=-,故选A. 考点：复数及其运算.3.已知p ：1a =±，q ：函数()ln(f x x =为奇函数，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()ln(f x x =+为奇函数⇒=⇒==⇒10ln )0(a a f p 是q 成立的必要不充分条件，故选B.考点：充分必要条件.4.已知51cos()123πθ-=，则sin()12πθ+的值是（）A ．13-B ．C ．13D 【答案】C 【解析】试题分析：551sin()sin[()]cos()12212123ππππθθθ+=--=-=，故选C. 考点：三角恒等变换.5. 在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC =，3CE EA =，若AB a =，AC b =，则DE =（） A ．15312a b +B ．113312a b -C ．15312a b --D ．113312a b -+【答案】C考点：向量的基本运算. 6.下列命题中正确的是（）A ．“1x <-”是“220x x -->”的必要不充分条件B ．对于命题p ：0x R ∃∈，使得20010x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +->C ．命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是0a <或3a ≥D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠” 【答案】C 【解析】试题分析：选项A 是充分不必要条件，故A 错；选项B p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +-≥,故B 错；选项D 否命题应为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，故D 错，综上：应选C. 考点：简易逻辑.7.设函数|1|1lg(2),2,()10,2,x x x f x x -+->⎧=⎨≤⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的取值范围是（）D ．(1,10]的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为（） A ．6 B ．6-C ．1-D ．1【答案】D考点：线性规划．【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型．考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数z ax by =+变形为a z y xb b =-+；（3）作平行线：将直线0ax by +=平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使zb最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（小）值.9.一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为（） A ．2B．C．D．【答案】A 【解析】试题分析：1(12)22232V +=⨯⨯=,故选A. 考点：三视图.x【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的体积公式.10.已知0a >，0b >，若直线220x y +-=平分圆222410x y ax by +--+=，则212a b+的最小值是（）A ．52B ．92C ．D ．3+【答案】B考点：1、直线与圆； 2、基本不等式.【方法点晴】本题主要考查直线与圆/基本不等式，属于中等难题.但是本题比较容易犯错，使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知101ln eS xdx =⎰，2011S =，则30S 为（）A ．21B ．30C ．48D ．50【答案】B 【解析】试题分析：1012010103020301ln (ln )|12()()30eeS xdx x x x S S S S S S ==-=⇒-=+-⇒=⎰,故选B.考点：1、等差数列的前n 项和；2、定积分.12.已知函数()f x 满足()(2)f x f x =，当[1,2)x ∈，()ln f x x =，若在区间[1,4)内，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 2[1,)2B ．ln 2[1,)4C ．ln 2ln 2[,)42D ．ln 2ln 2(,)42【答案】C考点：1、函数的解析式；2、函数的零点.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设tan 2x =，则12sin cos x x -= ．【答案】15【解析】试题分析：222222sin cos 2sin cos 1tan 2tan 112sin cos sin cos 1tan 5x x x x x x x x x +-+--===++．考点：三角恒等变换. 14.把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A t s ，则数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭中的项1287应记为．【答案】(8,17)A考点：数列及其性质.15.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC =，1AC ⊥1A B ，M ，N 分别是11A B ，AB 的中点，给出下列结论：①1C M ⊥平面11A ABB ；②1A B ⊥1NB ；③平面1//AMC 平面1CNB ；其中正确结论的序号是．【答案】①②③ 【解析】试题分析：由⇒=⋂⊥⊥M AM B A AM M C B A M C 111111,,1C M ⊥平面11A ABB ,故①正确；由①得1A B ⊥AM 1,AC ⊥111,A B AM C M M A B ⋂=⇒⊥平面AM B A AM C ⊥⇒11,又⇒1//NB AM 1A B ⊥1NB ,故②正确；由⇒=⋂M M C AM CN M C NB AM 111,//,//平面1//AMC 平面1CNB ；故确结论的序号是①②③.考点：1、线面垂直；2、面面平行.【方法点晴】本题考查线面垂直、面面平行，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、空间想象能力、等价转化能力，综合性较强，属于较难题型. 由⇒=⋂⊥⊥M AM B A AM M C B A M C 111111,,1C M ⊥平面11A ABB ,故①正确；由①得1A B ⊥AM 1,AC ⊥111,A B AM C M M A B ⋂=⇒⊥平面AM B A AM C ⊥⇒11,又⇒1//NB AM 1A B ⊥1NB ,故②正确；由⇒=⋂M M C AM CN M C NB AM 111,//,//平面1//AMC 平面1CNB ；故确结论的序号是①②③.16.已知α为锐角，且tan 1α=，函数2()tan 2sin(2)4f x x x παα=+⋅+，数列{}n a 的首项112a =，1()n n a f a +=，则1n a +与n a 的大小关系为．【答案】1n n a a +>考点：1、三角恒等变换；2、函数与不等式；3、数列的通项公式.【方法点晴】本题考查三角恒等变换、函数与不等式、数列的通项公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先由 222tan tan 1tan 212sin(2)1()1tan 44f x x x αππααααα=⇒==⇒=⇒-=⇒=+⇒-1n a += 2()(1)n n n n n n f a a a a a a =+=+>三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()2cos sin()3f x x x π=-2sin cos x x x +．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()0f x m -=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有一实根，求m 的取值范围．【答案】（1）π；（2）0m ≤<．【解析】试题分析：（1）化简()f x 2sin(2)3x π=-⇒()f x 的最小正周期为π；（2）203x π≤≤⇒233x πππ-≤-≤⇒0m ≤<．考点：1、三角恒等变换；2、函数的图象与性质；3、函数的零点.18.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =+．（1）求B ；（2）若b =，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）6B π=；（2）4+．【解析】试题分析：（1）由已正弦定理得：sin sin cos sin A B C B C =⇒sin cos sin C B B C =⇒tan B =⇒6B π=；（2）由余弦定理得2282cos 6a c ac π=+-⇒228a c +=+⇒22a c +2ac ≥整理得16ac ≤=+，再由11sin 24ABC S ac B ac ∆==⇒ABC ∆面积的最大值为1(1644+=+．试题解析：（1）由已知及正弦定理得：sin sin cos sin A B C B C =+，∵sin sin()sin cos sin A B C B C B C =+=+，∴sin cos sin C B B C =，即tan B =，∵B 为三角形的内角，∴6B π=．考点：1、解三角形；2、基本不等式.【方法点晴】本题主要考查解三角形、基本不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.19.已知数列{}n a 满足1(,)n n P a a +在直线20x y -+=上（*n N ∈），且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 满足1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n n T n >+．【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意得120n n a a +-+=⇒12n n a a +=+⇒{}n a 是等差数列⇒21n a n =-；（2）证明：由（1）知2(121)2n n n S n +-==⇒21n b n =⇒22221111123n T n =++++ (111)122334>+++⨯⨯⨯1(1)n n ++11111111223341n n =-+-+-++-+ (1)nn =+．试题解析：（1）由题意得120n n a a +-+=，即12n n a a +=+，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴12(1)21n a n n =+-=-．考点：1、等差数列；2、数列前n 项和；3、裂项相消法.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB DC ，AB ⊥AD ，△PAB 和△PAD 是两个边长为2的正三角形，4DC =．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角P DC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】试题分析：（1）证明：易得2PB PD ==，又BO OD =⇒PO ⊥BD ，计算可得222PO OA PA +=⇒ PO AO ⊥，又BD AO O =⇒PO ⊥平面ABCD ⇒平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD 建立坐标系求得：平面PDC 的法向量为(2,0,1)n =，又平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =⇒3cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅⇒二面角P DC B -- 试题解析：（1）证明：设O 是BD 的中点，连接AO ，∵PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，∴2PB PD ==，又BO OD =，∴PO ⊥BD ，∵AB ⊥AD ，∴在Rt ABD ∆中，由勾股定理可得，BD ==，∴OB =，在Rt POB 中，由勾股定理可得PO ==，在Rt ABD ∆中，12AO BD == 在PAO ∆中，2224PO OA PA +==，由勾股定理的逆定理可得PO AO ⊥，又∵BD AO O =，∴PO ⊥平面ABCD ，∵PO ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ．考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、二面角的平面角.21.已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+．（1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【答案】（1）32()2g x x x x =--+；（2）450x y -+=；（3）212m e e-<≤-．试题解析：（1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根分别是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．（2）由（1）知，(1)1g -=，∴2'()321g x x x =--，'(1)4g -=，∴点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=，∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+，即450x y -+=．考点：1、函数的解析式；2、函数的单调性；3、函数与不等式；4、切线方程；5、函数的零点；6、函数与方程.【方法点晴】本题考查函数的解析式、函数的单调性、函数与不等式、切线方程、函数的零点和函数与方程，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为)4π，判断点P 与曲线C 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）P 在曲线C 内；（2．试题解析：（1）把极坐标系下的点)4P π化为直角坐标，得(1,1)P ，曲线C 的普通方程为22132x y +=，把P 代入得11132+<，所以P 在曲线C 内．（2）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为)αα，从而点Q 到直线l 的距离为d ==（其中tan ϕ=），由此得cos()1αϕ+=-时，d 考点：坐标系与参数方程.23.选修4-5：不等式选讲设不等式|1|2x ->的解集与关于x 的不等式20x ax b -->的解集相同．（1）求a ，b 的值；（2）求函数y =的最大值，以及取得最大值时x 的值．【答案】（1）2a =，3b =；（2）最大值【解析】试题分析：（1）可求得两不等式的的解集为{}|13x x x <->或⇒2a =，3b =；（2）函数的定义域为[]1,5，显然有0y >，由柯西不等式得：y =≤=，当且仅当=2913x =时，函数取得最大值考点：不等式选讲.。

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31≤≤=x x B ，则=B A ( ) A ．]3,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1( D ．)3,1(- 2.下列函数中,与函数122log+=x y 是同一个函数的是( ）A ．2)1(+=x y B ．133+=x yC ．12+=xx y D ．12+=x y3。

设命题12:,0log1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的是（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4。

设 100cos ,5log ,2331===-c b a ，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >> 5。

下列函数中，是偶函数且在区间),0(+∞上单调递增的是（ ) A ．xy 3-= B ．31x y = C ．23logx y = D ．2xx y -=6。

已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(,且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ )A ．13<<-aB ．3-<a 或1>aC 。

1<aD ．1>a 7。

若12log3-≥x ，则函数324)(1--=+x x x f 的最小值为（）A ．4-B ．3-C ．932- D ．08。

已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，若对任意R x ∈,都有)()4(x f x f -=+,且当]2,0[∈x 时，12)(-=x x f ,则下列结论不正确的是(）A ．函数)(x f 的最小正周期为4B ．)3()1(f f <C ．0)2016(=fD ．函数)(x f 在区间]4,6[--上单调递减 9。

云南省曲靖市第一中学高三上学期第五次月考理数试题 Word版含答案

曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+iim 1（） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2.已知集合{}{}a y y B x y x A xln 2,1+==-==，且B C A R ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．),[+∞eB ．],0(eC ．]1,(-∞D ．]1,0(3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积共9升，下面3节的容积共45升，则第五节的容积为（） A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ． 11升4.下表是y x ,的对应数据，由表中数据得线性回归方程为∧∧-=a x y 8.0.那么，当60=x 时，相应的∧y 为（）A ．38B ．43 C.48 D ．52 5.下列说法中正确的是（）A ．“b a >”是“b log a 2>2log ”的充要条件B ．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到的函数图象关于y 轴对称C.命题“在ABC ∆中，3π>A ，则23sin >A ”的逆否命题为真命题 D ．若数列{}n a 的前n 项和为n n S 2=，则数列{}n a 是等比数列6.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的倾斜角是直线012:=+-y x l 倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（） A ．35 B ．37 C. 45 D ．347.由5,3,2,1,0组成的无重复数字的五位偶数共有（）A ．36个B ．42个 C.48个 D ．120个 8.阅读如图所示的程序框图，若输入2110=a ，则输出的k 值是（）A ．9B ．10 C.11 D ．129.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥++040122xy y x y x ，则y x z +=2的取值范围是（）A ．]52,2[-B ．]0,2[- C.]252[，- D ．]1,552[10.已知直线1l 是抛物线x y C 8:2=的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线02443:2=+-y x l 的距离之和的最小值为（）A ．524 B ．526 C.6 D ．532 11.函数)257sin()17sin(+-+=x x y 的最大值为（） A ．1 B ．2 C.2 D ．3 12.设定义在区间],[k k -上的函数x mx x f +-=11lg)(是奇函数，且)21()21(f f ≠-.若][x 表示不超过x 的最大整数，0x 是函数62ln )(-++=k x x x g 的零点，则=][0x （） A ．1 B ．1或2 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),1(),1,0(),2,1(m -===.若∥（2+，则实数=m ． 14.已知]1,1[,-∈b a ，则不等式022≥+-b ax x 在R x ∈上恒成立的概率为． 15.核算某项税率，需用公式)()71(*∈-=N n x K n.现已知K 的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当7003=x 时K 的值.若精确到001.0，其千分位上的数字应是．16.四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，2=AB ，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为π16的同一球面上，则=PA ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且A c b Ca cos )32()2sin 21(32-=-. （1）求角A 的大小；（2）若4,32==c b ，D 是BC 的中点，求AD 的长. 18. （本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图甲）和频率分布直方图（如图乙）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[，据此解答如下问题.（注：直方图中)60,50[与]100,90[对应的长方形的高度一样）（1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在)90,80[之间应抽取多少人？（2）现从分数在]100,80[之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在]100,90[之间份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图.（1）求该几何体的体积V ；（2）证明：∥BD 平面PEC ；（3）求平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值. 20. （本小题满分12分）设非零向量,，规定：θ⊗（其中>=<,θ），21F F 、是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，点B A ,分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，若32=⊗，椭圆C 的长轴的长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于点N M ,，若7212=⊗，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数)1(24341ln )2(16)(f xx x f x f ++-'=. （1）求函数)(x f 的解析式和单调区间；（2）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C 的及坐标方程为：θρcos 4=，直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21233（t 为参数），直线l 与C 交于21,P P 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）已知)0,3(Q ，求Q P Q P 21-的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数11)(-++=x x x f .（1）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ；（2）在（1）的条件下，若正数b a ,满足m b a =+3，求ba a ++121的最小值.曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学参考答案一、选择题1-5:DACBB 6-10:ABDAC 11、12：DC 12.∵x mx x f +-=11lg )(是],[k k -上的奇函数可求得1±=m ，∵)21()21(f f ≠-，∴1=m ，ze11011<<-⇒>+-x x x ，∴)1,1(],[-⊆-k k 且],[21k k -∈±，∴121<-≤k ， ∵)0(021)(>>+='x xx g ，即)(x g 为),0(+∞上的增函数（若)(x g 有零点，则只有一个），∵03ln )3(,022ln )2(>+=<-+=k g k g ，∴函数)(x g 的零点)3,2(0∈x ，则2][0=x .二、填空题13.4- 14.3115.3 16.22 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，A C A B C A cos sin 3cos sin 2cos sin 3-=，从而可得A B B A B C A cos sin 2sin 3,cos sin 2)sin(3==+.又B 为三角形的内角，所以0≠B sin ，于是23cos =A ，又A 为三角形内角，∴6A π=. （2）解法一：由余弦定理得：24cos 2222=⇒=-+=a A bc c b a ，又∵2222216)32(2c b a ==+=+，∴ABC ∆是直角三角形，2π=C ，∴1313222222=+=+=）（CD AC AD ，∴13=AD .解法二：∵)(21+=， ∴13)cos 2(41)(412222=++=+=b A bc c ，∴13=AD .18.解：（1）由茎叶图知分数在)60,50[的人数为4，)70,60[的人数为8，)80,70[的人数为10，由频率分布直方图知：)60,50[与]100,90[的人数都为4，故总人数为32100125.04=⨯，∴分数在)90,80[的人数为：64108432=----，∴成绩在)90,80[之间应抽：316326=⨯人.（2）∵分数在)90,80[的人数为6，分数在]100,90[的人数为4， ∴ξ的可能取值为：2,1,0，∵，，，152)2(158)1(31)0(21024210141621026=========C C P C C C P C C P ξξξ ∴ξ的分布列为∴515215130)(=⨯+⨯+⨯=ξE . 19.（1）解：由三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，四边形APEB 是直角梯形，⊥PA 平面ABCD ，⊥B C 平面APEB ，4,42====CB EB AB PA .连接AC ，∴CB S PA S V V V APEB ACD APED C ACD P ⋅+⋅=+=∆--3131 380)21312131=⋅⋅+⋅+⋅⋅=CB AB PA EB PA AD （. （2）证明：如图，取PC 的中点F ，连接BD 与AC 交于点M ，连接EF FM ，. ∴PA FM PA FM 21=，∥，∴EB FM EB FM =，∥，故四边形BMFE 为平行四边形，∴BM EF ∥，又⊂EF 平面PEC ，⊄BD 平面PEC ，∴∥BD 平面PEC.（3）解：如图，分别以BE BA BC ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)4,4,0(),0,4,0(),2,0,0(),0,0,4(p A E C ， ∴)0,4,0(=为平面PDA 的一个法向量.设平面PEC 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧=++-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,20,0z y x x z CP n ，令1=x ，∴)2,11(-n ，=，∴66,cos -<， ∴平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值为66. 20.解：（1）由题意：242=⇒=a a ，3290sin ===⊗ab ab ，∴3=b ，∴所求椭圆C 为：13422=+y x .（2）①当直线l 为：0=y ，即在x 轴上时，72120180≠=⊗ 不符合题意； ②当直线l 不在x 轴上时，由（1）知2F 为)0,1(，设l 为：1+=my x ，将其代入椭圆C 的方程得：096)43(22=-++my x m ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221m y y m m y y ，∴431124336)43(364)2222222122121++=+++=-+=-m m m m m y y y y y y （，又OAB S ∆>=<⊗2,7212431122122221212=++=-=-⨯⨯⨯=m m y y y y OF ，解得：12=m 或18172-=m （舍去），即1±=m . 综上，直线l 的方程为：1-=x y 或1+-=x y .21.解：（1）)0(4341)2(16)(2>--'='x xx f x f ， ∴161)2(163412)2(16)2(='⇒--'='f f f ，∴21)1()1(243411ln )1()1(24341ln )(-=⇒++=⇒++-=f f -f f x x x x f ，∴)0(14341ln )(>+-=x -xx x x f ，∴22243443411)(x x x x x x f --=--='，由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得10<<x 或3>x ，故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(，单调递减区间是),3(),1,0(+∞. （3）若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（1）可知，在)2,0(上，1=x 是函数)(x f 的极小值点，这个极小值点是唯一的极值点，故也是最小点，所以21)1()(min -==f x f ，]2,1[,42)(2∈-+-=x bx x x g ，当1<b 时，52)1()(max -==b g x g ；当21≤≤b 时，4)()(2max -==b b g x g ；当2>b 时，84)2()(max -b g x g ==；问题等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<5221,1b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤≤421212b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥->84212b b ，解得1<b 或2141≤≤b 或φ∉b ，即214≤b ，所以实数b 的取值范围是]214,(-∞. 22.解：（1）∵θρρθρcos cos 442=⇒=，由⎩⎨⎧=+=xy x θρρcos 222得x y x 422=+，即C 的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x ，直线l 消去参数t 得：033=--y x .（2）将直线l 的参数方程代入x y x 422=+，得：0332=-+t t ，设21,P P 的对应参数分别为21,t t ，∴3,32121-=-=+t t t t ，而40)23(22<+-，即点)0,3(Q 在圆C 的内部， ∴3212121=+=-=-t t t t Q P Q P . 23.解：（1）由题意，不等式m x x ≤-++11有解，即M x x m =-++≥min )11(. ∵2)1()1(11=--+≥-++x x x x ，当且仅当110)1)(1(≤≤-⇒≤-+x x x 时取等号， ∴2=M .（2）由（1）得23=+b a ，∴)121)](2[21)121)(321121b a a b a a b a a b a b a a ++++=+++=++（（ 2)122(21)1221(21=+≥+++++=a b a b a a ，当且仅当2122==⇒+=+b a a b a b a a 时取等号，故2)121(min =++ba a .。

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考数学(文)试题Word版含解析

云南省曲靖市第一中学2017届高三上学期第二次月考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0)2)(1(>-+=x x x A ，集合{}31<<=x x B ，则=B A （）A ．)3,1(-B ．)1,1(-C ．)2,1(D ．)3,2(【答案】A考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.2.下列函数中，与函数122log +=x y 是同一个函数的是（） A ．2)1(+=x y B ．133+=x y C ．12+=xx y D ．12+=x y【答案】B【解析】试题分析：因为()12log 21x y x x R +==+∈，()211y x x ==+≥-，12+=xx y ()10x x =+≠，11y x ==+，()11y x x R ==+∈，所以函数122log +=x y 是同一个函数的是133+=x y ，故选B.考点：函数的定义及“三要素”.3.设命题12:,0log 1:21><<-x q x p ，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为()()12:1log 01,2,:210,x p x x q x -<<⇔∈>⇔∈+∞，而()()1,20,⊆+∞，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故选A.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、充分条件与必要条件.4.设 100cos ,5log ,233===-c b a ，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>【答案】B【解析】试题分析：因为()()()33120,1,log 51,,cos100,08a b c -==∈=∈+∞=∈-∞，所以c a b >>，故选B.考点：1、指数函数与对数函数的性质；2、三角函数的基本性质.5.已知幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（）A ．13<<-aB ．3-<a 或1>a C.1<aD ．1>a【答案】B考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.6.若21)tan(,31tan =+=βαα，则=βsin （） A.71 B.71± C.102 D.102± 【答案】D【解析】试题分析：因为21)tan(,31tan =+=βαα，所以()11123tan tan 117123βαβα-=+-==⎡⎤⎣⎦+⨯，可得227sin cos 49sin 1sin ββββ=⇒=-⇒ =βsin 102±，故选D. 考点：1、两角差的正切公式；2、同角三角函数之间的关系.7.角θ的终边过点)3),3(sin(πα-，且02sin ≤θ，则α的可能取值范围是（） A.]3,32[ππ- B.]34,3[ππ C.]32,35[ππ-- D.],0[π【答案】A考点：1、三角函数的定义；2、简单的三角不等式.8.函数x x x x x f sin cos 2cos sin )(23--+=的最大值等于（） A.274 B.275 C.-275 D.2716 【答案】B【解析】试题分析：因为32322()sin cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin f x x x x x x x x x =+--=+---=32sin sin sin x x x =--，所以可设[]()sin 1,1x t t =∈-，()()322'321g t t t t g t t t =--⇒=--，函数()g t 在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，可得()max 13g t g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭275，即的()f x 最大值为527，故选B. 考点：1、余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系；2、利用导数研究函数的单调性进而求最值.9.函数4127ln 4)(2-+-+-=x x x x x f 的定义域为（） A ．)3,4(- B ．]3,4(- C ．]4,3(D ．)4,3(【答案】D考点：1、函数的定义域；2、不等式的解法.10.定义在R 上的函数)(x f 满足：13)2()(=+⋅x f x f ，若4)3(=f ，则=)2017(f （）A.4B.413 C.26 D.52【答案】B【解析】试题分析：因为13)2()(=+⋅x f x f ，所以(2)(4)13f x f x +⋅+=，两式相等化简得，()()4f x f x =+，函数)(x f 是周期为4的周期函数，()()(2017)504411f f f =⨯+=，由()()1313f f =得，()()1313134f f ==，所以=)2017(f 413，故选B. 考点：函数解析式及周期性的应用.【方法点晴】本题主要考查函数的解析式及函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)()()f x a f x b T a b +=+⇒=-；（2）()()2f x a f x T a +=-⇒=；（3）()()2f x f x a b T a +=⇒=，本题就是根据（3）得到函数的周期后进行解答的.11.若)(7cos 72cos 7cos *∈+⋅⋅⋅++=N n n S n πππ，则在10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（）A ．16B ．72C ．37D ．100【答案】C考点：1、余弦在各象限的符号；2、诱导公式及三角函数的周期性及及数学的转化与划归思想.【方法点睛】本题主要考查余弦在各象限的符号、诱导公式及三角函数的周期性及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数的判定，转化为三角函数及周期性问题是解题的关键.12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=)0(431),0(3)(3x a x x x x x f x 在定义域上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．3160<<a B ．316<a C ．0<a 或316>a D ．316≤a【答案】A【解析】试题分析：①当0x ≤时，()3,x f x x =+函数y x =与3xy =在0x ≤时，都单调递增，∴函数()3x f x x =+在区间(],0-∞上也单调递增，又()()12113110,01033f f -=-+-=-+=-<=>,所以函数()f x 在()1,0-内有一个零点，如图所示.②当0x >时，()()()()3214,'4223f x x x a f x x x x =-+∴=-=+-，令()'0f x =，且0x >，解得2x =.当02x <<时,()'0f x <; 当2x >时,()'0f x >.∴函数()f x 在区间()0,2上单调递减; 在区间()2,+∞上单调递增. ∴函数()f x 在2x =时，求得极小值，也即在0x >时的最小值. 因为函数()f x 在其定义域R 上恰有三个零点，且由(1)可知在区间()1,0-内已经有一个零点了，所以在区间()0,+∞上有两个零点, ∴必须满足()200f a <⎧⎪⎨>⎪⎩，即3242030a a ⎧-⨯+<⎪⎨⎪>⎩，解得1603a <<,故a 的取值范围是1603a <<,故选A.考点：1、利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象；2、函数的零点几数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分段函数的解析式及图象、函数的零点几数形结合思想，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.本题就是将复杂的零点问题转化为直观形象的函数图象问题解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数)(x f 满足x f x =)5(，则=)2(f _____.【答案】2log 5【解析】试题分析：因为x f x =)5(，所以()5log 25(5)log 22f f ==，故答案为2log 5.考点：对数的基本性质.14.已知)(x f 为奇函数，当0>x 时，56)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，=)(x f ____.【答案】562---x x考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.15.函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值,如果0x 左右()f x '符号相同，则在该处无极值，本题就是利用这种思路解答的．16.已知函数)(x f 满足1)0(-=f ，其导函数)(x f '满足1)(>>'k x f ，则下列结论中正确的是______.（1）11)1(->k k f ；（2）11)11(->-k k f ；（3）12)11(--<-k k k f ；（4）)11()1(-<k f k f 【答案】（1）（2）（4）考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、构造函数比较大小.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数)32(log )(221+-=ax x x f .（1）当1-=a 时，求函数的值域；（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，不存在，请说明理由.【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增.【解析】试题分析：（1）先求得2223(1)22x x x ++=++≥，再根据对数函数的性质可得函数的值域；（2）根据二次函数的单调新、对数函数的单调性、复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组可得结论.试题解析：（1）当1-=a 时，)32(log )(221++=x x x f ，设22)1(32)(22≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为]1,(--∞.考点：1、二次函数的单调性、对数函数的单调性；2、复合函数的单调性以及对数函数的定义域.18.（本小题满分12分）已知函数23cos 3sin )2sin()(2+--=x x x x f π. （1）求)(x f 的最小正周期；（2）讨论)(x f )在]65,6[ππ上的单调性，并求出在此区间上的最小值.【答案】（1）π=T ；（2）()f x 在]125,6[ππ上单调递增，在]65,125[ππ上单调递减，2-. 【解析】试题分析：（1）根据正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式可将)(x f 化为sin(2)3x π-，可得)(x f 的最小正周期为π；（2）令232ππ=-x 得π125=x 进而得)(x f 在]125,6[ππ上单调递增，在]65,125[ππ上单调递减. 试题解析：（1）)32sin(2cos 232sin 212)cos 21(3sin cos )(2π-=-=-+=x x x x x x x f ， ∴π=T .（2）当656ππ≤≤x 时，34320ππ≤-≤x ，令232ππ=-x 得π125=x ，所以f(x)在]125,6[ππ上单调递增，f(x)在]65,125[ππ上单调递减，所以2334sin )65()(min -===ππf x f . 考点：1、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及两角和的正弦公式；2、三角函数的周期性及单调性.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若ab b a 321122=+，且B C sin 32sin =.（1）求角B 的大小；（2）若B tan =⋅，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π=B ；（2）32.试题解析：（1）由正弦定理得b c 32=, 由余弦定理得aba b ab b a b ac b c a B 3411322122cos 22222222+=⨯-+=-+=，又因为ab b a 321122=+，所以21cos =B ，所以3π=B . （2）B cos =⋅，又因为B BC BA tan =⋅，B B tan cos =32cos sin 2==B B ，所以23==∆B S ABC . 考点：1、正弦定理和余弦定理的应用；2、平面向量数量积公式及三角形面积公式.20.（本小题满分12分）已知函数14)(2+=x x x f . （1）求曲线)(x f 上任意一点切线的斜率的取值范围；（2）当m 满足什么条件时，)(x f 在区间),12(m m -为增函数.【答案】（1）421≤≤-k ；（2）01m ≤<. 试题解析：（1）直线l 在P 点的切线斜率22020220200)1(814)1(44)(+++-=+-='=x x x x x f k ，令1120+=x t ，则10≤<t ，21)41(84822--=-=t t t k ，当41=t 时，21min -=k ，t=1时，4max =k ，∴421≤≤-k . （2）0)1()1(4)(222≥+-='x x x f ，得11≤≤-x ， ∴)(x f 在]1,1[-是增函数，又)(x f 在),12(m m -上单调递增，∴1012,112,1<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-≤m m m m m .考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，进而得导函数的范围，也就是切线斜率的范围，本题（1）就是根据这种思路求得曲线)(x f 上任意一点切线的斜率的取值范围的，本题（2）的解答是将)(x f 在区间),12(m m -为增函数转化为'()0f x ≥恒成立进行的.21.（本小题满分12分）已知函数b x x f a +=log )(，)(x f 恒过点)1,1(，且2)(=e f .（1）求)(x f 的解析式；（2）若kx x f ≤)(对0>∀x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）当112>>x x 时，证明：121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-.【答案】（1）1ln )(+=x x f ；（2）1≥k ；（3）证明见解析.试题解析：（1）由题意得)(x f 恒过点)1,1(，∴1=b ,又∵1log 2)(+==e e f a ，∴e a =，∴1ln )(+=x x f .(2)kx x f ≤)(，即kx x ≤+1ln ，即k xx ≤+1ln ，设2ln )(,1ln )(x x x g x x x g -='+=，令0ln )(2>-='x x x g ，得10<<x ，∴)(x g 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减，1)1()(max ==g x g ，∴1≥k .（3）设1ln )(-=x x x x h ，则2)1(ln 1)(---='x x x x h ，由（2）得，当1=k 时，1ln +≥x x ，所以2)1(ln 1)(---='x x x x h >0， ∴)(x h 在),0(+∞上单调递增，又∵112>>x x ，∴)()(12x h x h >，即1ln 1ln 111222->-x x x x x x ，即121212ln )1(ln )1(x x x x x x ->-，得证. 考点：1、利用导数函数的单调性及求最值；2、不等式恒成立问题及不等式证明问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性及求最值、不等式恒成立问题及不等式证明问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点C ，弦AE 的延长线交CD 于点D ，若CAB DAC ∠=∠.（1）求证：CD AD ⊥；（2）若16,9==AB AD ，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）12=AC .【解析】试题分析：（1）利用弦切角定理可得CBA DCA ∠=∠，因为CAB DAC ∠=∠，所以 90=∠+∠=∠+∠CBA CAB DCA DAC ， 90=∠ADC 进而CD AD ⊥；（2）由（1）得ADC ∆与ACB ∆相似，所以AB AD AC ⋅=2，所以12=AC .试题解析：（1）证明：因为AB 是直径，所以连接BC ，则 90=∠ACB ，又因为直线CD 与圆O 相切，所以CBA DCA ∠=∠.又因为CAB DAC ∠=∠，所以 90=∠+∠=∠+∠CBA CAB DCA DAC ,所以 90=∠ADC ，所以CD AD ⊥.（2）解：由（1）得ADC ∆与ACB ∆相似，所以AB AD AC ⋅=2，所以12=AC . 考点：1、弦切角定理；2、三角形相识的性质.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρcos 6=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,233,213t y t x （t 为参数）. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比.【答案】（1）9)3(22=+-y x ；（2）2:1. 试题解析：（1）圆C 的极坐标方程θρcos 6=可化为θρρcos 62=，利用极坐标公式，化为普通方程是x y x 622=+，即9)3(22=+-y x .（2）圆C 的方程为9)3(22=+-y x ，圆心C 为)0,3(，半径3=r ，直线l 的方程为)3(33-=+x y ，即03333=---y x ，圆心C 到直线l 的距离233133333=+--=d ， ∴直线l 被圆截得的弦所对的圆心角为 120，直线l 将圆C 分成弧长之比为2:1的两段圆弧.考点：1、极坐标方程化直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及点到直线距离公式.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲若关于x 的不等式01252≥--++t x x 的解集为R .（1）求实数t 的最大值s ；（2）若正实数b a ,满足s b a =+54，求b a b a y 33421+++=的最小值. 【答案】（1）6=s ；（2）23.试题解析：（1）因为01252≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1252，又因为621521252=-++≥-++x x x x ，所以6≤t ，所以实数t 的最大值6=s .（2）)]33()2)[(33421()54)(33421(b a b a ba b a b a b a b a ++++++=++++ 9)33334221(2=+⋅+++⋅+≥b a ba b a b a ，所以9)33421(6≥+++ba b a ，所以23≥y ，当且仅当ba b a 33221+=+，即32==b a 时取等号，所以b a b a y 33421+++=的最小值为23.考点：1、基本不等式求最值；2、柯西不等式的应用.。

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曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+iim 1（） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i2.已知集合{}{}a y y B x y x A xln 2,1+==-==，且B C A R ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．),[+∞eB ．],0(eC ．]1,(-∞D ．]1,0(3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积共9升，下面3节的容积共45升，则第五节的容积为（） A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ． 11升4.下表是y x ,的对应数据，由表中数据得线性回归方程为∧∧-=a x y 8.0.那么，当60=x 时，相应的∧y 为（）A ．38B ．43 C.48 D ．52 5.下列说法中正确的是（）A ．“b a >”是“b log a 2>2log ”的充要条件B ．若函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位得到的函数图象关于y 轴对称C.命题“在ABC ∆中，3π>A ，则23sin >A ”的逆否命题为真命题 D ．若数列{}n a 的前n 项和为n n S 2=，则数列{}n a 是等比数列6.若双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的倾斜角是直线012:=+-y x l 倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（） A ．35 B ．37 C. 45 D ．347.由5,3,2,1,0组成的无重复数字的五位偶数共有（）A ．36个B ．42个 C.48个 D ．120个 8.阅读如图所示的程序框图，若输入2110=a ，则输出的k 值是（）A ．9B ．10 C.11 D ．129.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥++040122xy y x y x ，则y x z +=2的取值范围是（）A ．]52,2[-B ．]0,2[- C.]252[，- D ．]1,552[10.已知直线1l 是抛物线x y C 8:2=的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线02443:2=+-y x l 的距离之和的最小值为（）A ．524 B ．526 C.6 D ．532 11.函数)257sin()17sin(+-+=x x y 的最大值为（） A ．1 B ．2 C.2 D ．3 12.设定义在区间],[k k -上的函数x mx x f +-=11lg)(是奇函数，且)21()21(f f ≠-.若][x 表示不超过x 的最大整数，0x 是函数62ln )(-++=k x x x g 的零点，则=][0x （） A ．1 B ．1或2 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量),1(),1,0(),2,1(m -===.若∥（2+，则实数=m ． 14.已知]1,1[,-∈b a ，则不等式022≥+-b ax x 在R x ∈上恒成立的概率为． 15.核算某项税率，需用公式)()71(*∈-=N n x K n.现已知K 的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当7003=x 时K 的值.若精确到001.0，其千分位上的数字应是．16.四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，2=AB ，若该四棱锥的所有顶点都在表面积为π16的同一球面上，则=PA ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且A c b Ca cos )32()2sin 21(32-=-. （1）求角A 的大小；（2）若4,32==c b ，D 是BC 的中点，求AD 的长. 18. （本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图甲）和频率分布直方图（如图乙）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[，据此解答如下问题.（注：直方图中)60,50[与]100,90[对应的长方形的高度一样）（1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在)90,80[之间应抽取多少人？（2）现从分数在]100,80[之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在]100,90[之间份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图.（1）求该几何体的体积V ；（2）证明：∥BD 平面PEC ；（3）求平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值. 20. （本小题满分12分）设非零向量,，规定：θ⊗（其中>=<,θ），21F F 、是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，点B A ,分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，若32=⊗，椭圆C 的长轴的长为4.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点2F 的直线l 交椭圆C 于点N M ,，若7212=⊗，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数)1(24341ln )2(16)(f xx x f x f ++-'=. （1）求函数)(x f 的解+析式和单调区间；（2）设42)(2-+-=bx x x g ，若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C 的及坐标方程为：θρcos 4=，直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21233（t 为参数），直线l 与C 交于21,P P 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）已知)0,3(Q ，求Q P Q P 21-的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数11)(-++=x x x f .（1）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ；（2）在（1）的条件下，若正数b a ,满足m b a =+3，求ba a ++121的最小值.曲靖一中高考复习质量监测卷五理科数学参考答案一、选择题1-5:DACBB 6-10:ABDAC 11、12：DC 12.∵x mx x f +-=11lg )(是],[k k -上的奇函数可求得1±=m ，∵)21()21(f f ≠-，∴1=m ，ze11011<<-⇒>+-x x x ，∴)1,1(],[-⊆-k k 且],[21k k -∈±，∴121<-≤k ， ∵)0(021)(>>+='x xx g ，即)(x g 为),0(+∞上的增函数（若)(x g 有零点，则只有一个），∵03ln )3(,022ln )2(>+=<-+=k g k g ，∴函数)(x g 的零点)3,2(0∈x ，则2][0=x .二、填空题13.4- 14.3115.3 16.22 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得，A C A B C A cos sin 3cos sin 2cos sin 3-=，从而可得A B B A B C A cos sin 2sin 3,cos sin 2)sin(3==+.又B 为三角形的内角，所以0≠B sin ，于是23cos =A ，又A 为三角形内角，∴6A π=. （2）解法一：由余弦定理得：24cos 2222=⇒=-+=a A bc c b a ，又∵2222216)32(2c b a ==+=+，∴ABC ∆是直角三角形，2π=C ，∴1313222222=+=+=）（CD AC AD ，∴13=AD .解法二：∵)(21+=， ∴13)cos 2(41)(412222=++=+=b A bc c ，∴13=AD .18.解：（1）由茎叶图知分数在)60,50[的人数为4，)70,60[的人数为8，)80,70[的人数为10，由频率分布直方图知：)60,50[与]100,90[的人数都为4，故总人数为32100125.04=⨯，∴分数在)90,80[的人数为：64108432=----，∴成绩在)90,80[之间应抽：316326=⨯人.（2）∵分数在)90,80[的人数为6，分数在]100,90[的人数为4， ∴ξ的可能取值为：2,1,0，∵，，，152)2(158)1(31)0(21024210141621026=========C C P C C C P C C P ξξξ ∴ξ的分布列为∴515215130)(=⨯+⨯+⨯=ξE . 19.（1）解：由三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，四边形APEB 是直角梯形，⊥PA 平面ABCD ，⊥B C 平面APEB ，4,42====CB EB AB PA .连接AC ，∴CB S PA S V V V APEB ACD APED C ACD P ⋅+⋅=+=∆--3131 380)21312131=⋅⋅+⋅+⋅⋅=CB AB PA EB PA AD （. （2）证明：如图，取PC 的中点F ，连接BD 与AC 交于点M ，连接EF FM ，. ∴PA FM PA FM 21=，∥，∴EB FM EB FM =，∥，故四边形BMFE 为平行四边形，∴BM EF ∥，又⊂EF 平面PEC ，⊄BD 平面PEC ，∴∥BD 平面PEC.（3）解：如图，分别以BE BA BC ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则)4,4,0(),0,4,0(),2,0,0(),0,0,4(p A E C ， ∴)0,4,0(=为平面PDA 的一个法向量.设平面PEC 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧=++-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,20,0z y x x z CP n ，令1=x ，∴)2,11(-n ，=，∴66,cos -<， ∴平面PEC 与平面PDA 所成的二面角（锐角）的余弦值为66. 20.解：（1）由题意：242=⇒=a a ，3290sin ===⊗ab ab ，∴3=b ，∴所求椭圆C 为：13422=+y x .（2）①当直线l 为：0=y ，即在x 轴上时，72120180≠=⊗ 不符合题意； ②当直线l 不在x 轴上时，由（1）知2F 为)0,1(，设l 为：1+=my x ，将其代入椭圆C 的方程得：096)43(22=-++my x m ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+439436221221m y y m m y y ，∴431124336)43(364)2222222122121++=+++=-+=-m m m m m y y y y y y （，又OAB S ∆>=<⊗2,7212431122122221212=++=-=-⨯⨯⨯=m m y y y y OF ，解得：12=m 或18172-=m （舍去），即1±=m . 综上，直线l 的方程为：1-=x y 或1+-=x y .21.解：（1）)0(4341)2(16)(2>--'='x xx f x f ， ∴161)2(163412)2(16)2(='⇒--'='f f f ，∴21)1()1(243411ln )1()1(24341ln )(-=⇒++=⇒++-=f f -f f x x x x f ，∴)0(14341ln )(>+-=x -xx x x f ，∴22243443411)(x x x x x x f --=--='，由0>x 及0)(>'x f 得31<<x ；由0>x 及0)(<'x f 得10<<x 或3>x ，故函数)(x f 的单调递增区间是)3,1(，单调递减区间是),3(),1,0(+∞. （3）若对任意]2,1[),2,0(21∈∈x x ，不等式)()(21x g x f ≥恒成立，问题等价于max min )()(x g x f ≥，由（1）可知，在)2,0(上，1=x 是函数)(x f 的极小值点，这个极小值点是唯一的极值点，故也是最小点，所以21)1()(min -==f x f ，]2,1[,42)(2∈-+-=x bx x x g ，当1<b 时，52)1()(max -==b g x g ；当21≤≤b 时，4)()(2max -==b b g x g ；当2>b 时，84)2()(max -b g x g ==；问题等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<5221,1b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤≤421212b b 或⎪⎩⎪⎨⎧-≥->84212b b ，解得1<b 或2141≤≤b 或φ∉b ，即214≤b ，所以实数b 的取值范围是]214,(-∞. 22.解：（1）∵θρρθρcos cos 442=⇒=，由⎩⎨⎧=+=xy x θρρcos 222得x y x 422=+，即C 的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x ，直线l 消去参数t 得：033=--y x .（2）将直线l 的参数方程代入x y x 422=+，得：0332=-+t t ，设21,P P 的对应参数分别为21,t t ，∴3,32121-=-=+t t t t ，而40)23(22<+-，即点)0,3(Q 在圆C 的内部， ∴3212121=+=-=-t t t t Q P Q P . 23.解：（1）由题意，不等式m x x ≤-++11有解，即M x x m =-++≥min )11(. ∵2)1()1(11=--+≥-++x x x x ，当且仅当110)1)(1(≤≤-⇒≤-+x x x 时取等号， ∴2=M .（2）由（1）得23=+b a ，∴)121)](2[21)121)(321121b a a b a a b a a b a b a a ++++=+++=++（（ 2)122(21)1221(21=+≥+++++=a b a b a a ，当且仅当2122==⇒+=+b a a b a b a a 时取等号，故2)121(min =++ba a .。