高中数学 综合测试题4 新人教A版选修2-2

高考数学 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．下列说法正确的是（ ）Ａ．若()0n f x '=，则0()f x 是函数()f x 的极值Ｂ．若0()f x 是函数()f x 的极值，则()f x 在0x 处有导数 Ｃ．函数()f x 至多有一个极大值和一个极小值Ｄ．定义在R 上的可导函数()f x ，若方程()0f x '=无实数解，则()f x 无极值答案：Ｄ2．复数()z a bi a b =+∈R ，，则2z ∈R 的充要条件是（ ） Ａ．220a b += Ｂ．0a =且0b ≠ Ｃ．0ab = Ｄ．0a ≠答案：Ｃ3．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）答案：Ｃ4．下列计算错误的是（ ） Ａ．ππsin 0xdx -=⎰Ｂ．1023xdx =⎰Ｃ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰ Ｄ．π2πsin 0xdx -=⎰答案：Ｄ5．若非零复数1z ，2z 满足1212zz z z +=-，则1OZ u u u u r 与2OZ u u u u r所成的角为（ ）Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90°答案：Ｄ6．已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（ ） Ａ．0Ｂ．23-Ｃ．０或23-Ｄ．0或1答案：Ｃ7．我们把1，4，9，16，25，L 这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形（如下图）．试求第n 个正方形数是（ ）Ａ．(1)n n - Ｂ．(1)n n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n +答案：Ｃ8．342005i i i +++L 的值为（ ） Ａ．i - Ｂ．i Ｃ．1 Ｄ．0答案：Ｃ9．函数242y x x =-，则y 有（ ） Ａ．极大值为1，极小值为0 Ｂ．极大值为1，无极小值 Ｃ．最大值为1，最小值为0 Ｄ．无极小值，也无最小值答案：Ａ10．下列推理合理的是（ ） Ａ．()f x 是增函数，则()0f x '>Ｂ．因为()a b a b >∈R ，，则22a i b i +>+Ｃ．ABC △为锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B +>+ Ｄ．直线12l l ∥，则12k k =答案：Ｃ11．2a b c +>的一个充分条件是（ ） Ａ．a c >或b c > Ｂ．a c >且b c > Ｃ．a c >且b c < Ｄ．a c >或b c <答案：Ｂ12．函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x 在[44]-，上（ ） Ａ．单调递增 Ｂ．单调递减 Ｃ．[40]-，单调递增，[04]，单调递减 Ｄ．[40]-，单调递减，[04]，单调递增答案：Ｂ二、填空题 13．设x y ∈R ，且511213x y i i i-=---，则x y += ．答案：6-14．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边．（填“不存在”或“存在”）答案：不存在15．设()xf x e =，则42()f x dx -=⎰ ．答案：24e e +16．已知：ABC △中，AD BC ⊥于D ，三边分别是a b c ，，，则有cos cos a c B b C =+··；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体P ABC -中，ABC △，PAB PBC PCA ，，△△△的面积分别是123S S S S ，，，，二面角P AB C P BC A P AC B ------，，的度数分别是αβγ，，，则S = ．答案：123cos cos cos S S S αβγ++三、解答题17．求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调递减区间．解：2232()()()y x a a x a x a x a '=-++=--， 令0y '<，得2()()0x a x a --<．（1）当0a <时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，． （2）当01a <<时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，． （3）当1a >时，不等式解为2a x a <<，此时函数的单调递减区间为2()a a ，．18．设复数cos sin (cos sin )z i θθθθ=-++，当θ为何值时，z 取得最大值，并求此最大值．解：z ==当π2()4k k θ=-∈Z 时，z 的最大值为19．在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍（n *∈N ）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．解：（1）由已知113a =，123(21)nn a a a a n a n ++++=-L ，分别取2345n =，，，， 得2111153515a a ===⨯，312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯，51234111()4491199a a a a a =+++==⨯， 所以数列的前5项是：113a =，2345111115356399a a a a ====，，，．（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明：①当1n =时，公式显然成立． ②假设当n k =时成立，即1(21)(21)k a k k =-+，那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++L ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+L ， 所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+， 即1(21)(23)k k k a k a +-=+， 又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切n *∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．如图，在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程．解：设切点00()A x y ，，由2y x '=，过A 点的切线方程为0002()y y x x x -=-，即2002y x x x =-． 令0y =，得02x x =，即002x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设由曲线过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ， 002330001133x x ABC AOB AOB S S S S x dx x x =-===⎰△曲边△曲边△，|，2300001112224ABC x S BC AB x x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭△··． 即3330001111341212S x x x =-==．所以01x =，从而切点(11)A ，，切线方程为21y x =-．21．由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x ），涨价后商品卖出的个数减少bx 成，税率是新价的a 成，这里a ，b 均为常数，且10a <，用A 表示过去定价，B 表示卖出的个数．（1）设售货款扣除税款后，剩余y 元，求y 关于x 的函数解析式； （2）要使y 最大，求x 的值．解：（1）定价上涨x 成，即为110x A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，卖出的个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，纳税a 成后，剩余111101010x bx a y AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）上式整理得2111101001010a b b y AB x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当1110501010a b b y AB x ⎛⎫⎡⎤'=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令0y '=，则5(1)b x b -=时，2max (1)1104a b y AB b+⎛⎫=- ⎪⎝⎭·．22．已知函数23()()()2f x x x a a ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ．（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的范围； （2）若(1)0f '-=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明对任意的1x ，2(10)x ∈-，，不等式125()()16f x f x -<恒成立．解：3233()22f x x ax x a =+++∵，23()322f x x ax '=++∴．（1）∵函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线， ()0f x '=∴有实数解．则2344302a ∆=-⨯⨯≥，292a ≥，所以a 的取值范围是⎛⎫--+ ⎪⎝⎭U ，∞∞． （2）(1)0f '-=∵， 33202a -+=∴，94a =，329327()428f x x x x =+++∴． ()2931()331222f x x x x x ⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭∴，（Ⅰ）由()0f x '>得1x <-或12x >-；由()0f x '<得112x -<<-，()f x ∴的单调递增区间是(1)--，∞，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞； 单调减区间为112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．（Ⅱ）易知()f x 的极大值为25(1)8f -=，()f x 的极小值为149216f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 又27(0)8f =， ()f x ∴在[10]-，上的最大值278M =，最小值4916m =． ∴对任意12(10)x x -，，，恒有1227495()()81616f x f x M m -<-=-=． 高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一． 选择题（每小题5分，共60分）1.若复数ii z -++=12)1(2，则z 的虚部等于[ ]A.1B.3C.iD.i 32.)(x f 和)(x g 是R 上的两个可导函数，若)('x f =)('x g ，则有[ ]A.)()(x g x f =B.)()(x g x f +是常数函数C.0)()(==x g x fD.)()(x g x f -是常数函数3.一个物体的运动方程是x t t s +=cos 3（x 为常数），则其速度方程为[ ] A.1sin 3cos 3+-=t t t v B.t t t v sin 3cos 3-= C.t v sin 3-= D.t t t v sin 3cos 3+=4.设复数z 满足i zz=+-11，则|1|z +的值等于[ ] A.0 B.1 C.2 D.25.定积分⎰20cos sin πxdx x 的值等于[ ]A.1B.21 C.41D.0 6.已知b a ,是不相等的正数，2b a x +=，b a y +=，则y x ,的大小关系是[ ]A.y x >B.y x <C.y x 2>D.不确定7.若函数162+=x xy ，则其[ ] A.有极小值3-，极大值3 B.有极小值6-，极大值6C.仅有极大值6D.无极值 8.已知复数z 的模等于2，则||i z -的最大值等于[ ]A.1B.2C.5D.3 9.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示， 则)(x f y =的图象最有可能的是[ ]10.若2)11()11(=+-+-+nn ii i i ，则n 的值可能为[ ] A.4 B.5 C.6 D.711.若函数x x x f 12)(3-=在区间)1,1(+-k k 上不是单调函数，则实数k 的取值范围是[ ]A.3-≤k 或11≤≤-k 或3≥kB.13-<<-k 或31<<kC.22<<-kD.不存在这样的实数k 12.定义复数的一种运算1212||||*2z z z z +=(等式右边为普通运算),若复数z a bi =+,且实数a,b 满足3a b +=,则*z z 最小值为[ ]A.9232 C.32 D.94xyO12二. 填空题（每小题4分，共16分）13.设复数2121,3,1z z z i z i z =+=-=则在复平面内对应的点位于第—————象限. 14.方程049623=-+-x x x 实根的个数为————————.15.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]；②f （x ）的极值点有且仅有一个；③f （x ）的最大值与最小值之和等于零.其中正确的命题是——————————.16.仔细观察下面4个数字所表示的图形：请问：数字100所代表的图形中有 方格三. 解答题（共74分）17.设复数ii i z +-++=2)1(3)1(2，若i n mz z +=++12，求实数m ，n 的值.18.若函数x ax x x f 221ln )(2--=存在单调递减区间，求实数a 的取值范围. 19.观察给出的下列各式：（1）110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 0=⋅+⋅+⋅；（2）15tan 70tan 70tan 15tan 15tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.由以上两式成立，你能得到一个什么的推广？证明你的结论. 20.满足ZZ 5+是实数，且Z+3的实部与虚部互为相反数的虚数Z 是否存在？若存在，求出虚数Z ；若不存在，请说明理由. 21.已知函数f(x)=(x 2+23)(x+a)(a ∈R).(1)若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的范围；(2)若'f (-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；（II ）证明对任意的x 1、x 2∈(-1,0),不等式|f(x 1)-f(x 2)|<165恒成立. 22.已知函数mx x x f +-=)2ln()(在区间)1,0(上是增函数.（1）求实数m 的取值范围；（2）若数列{}n a 满足)()2ln(),1,0(11*+∈+-=∈N n a a a a n n n ，证明：101<<<+n n a a .参考答案一. 选择题1.B2.D3.B4.C5.B6.B7.A8.D9.C 10.A 11.B 12.B 二. 填空题 13.四 14.2 15.（1）（3） 16.20201 三. 解答题17.解析：i i i i i i i i i i i i i z -=-+--=+-=+-+=+-++=1)2)(2()2)(3(2323322)1(3)1(2，将i z -=1代入i n mz z +=++12，得i n i m i +=+-+-1)1()1(2，所以i i m n m +=+-+1)2()(于是⎩⎨⎧=+-=+.1)2(,1m n m 得4,3=-=n m .18.解析：由于.1221)(2'xx ax ax x x f -+-=--=因为函数f (x )存在单调递减区间，所以)('x f <0有解.又因为函数的定义域为),0(+∞，则ax 2+2x －1>0应有x >0的解.①当a >0时，y=ax 2+2x －1为开口向上的抛物线，ax 2+2x －1>0总有x >0的解；②当a <0时，y=ax 2+2x －1为开口向下的抛物线，而ax 2+2x －1>0总有x >0的解，则△=4+4a >0,且方程ax 2+2x －1=0至少有一正根.此时，－1<a <0.综上所述，a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.19.解析：可以观察到：09070155,90602010=++=++，故可以猜想此推广式为：若2πγβα=++，且γβα,,都不等于)(2Z k k ∈+ππ，则有1tan tan tan tan tan tan =⋅+⋅+⋅γβγββα.证明如下：由2πγβα=++得γπβα-=+2，所以γγπβαcot )2tan()tan(=-=+，又因为βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，所以)tan tan 1(cot )tan tan 1)(tan(tan tan βαγβαβαβα-=-+=+第 11 页 共 11 页11 所以1tan tan cot )tan tan 1(tan tan tan tan tan tan tan =+-=⋅+⋅+⋅βαγβαγγβγββα.20.解析：设存在虚数Z=x+yi （x 、y ∈R 且y ≠0）。