2015人教版必修五第二章数列作业题及答案解析15套第二章 2.1(一)
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷

高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分,其中选择题共75分,填空题共25分,解答题共50分。
试卷难度:0.63一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.82.(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏3.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1104.(5分)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题5.(5分)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是由关系式a n+1()A.B.C.D.6.(5分)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.7.(5分)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定8.(5分)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.9.(5分)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列10.(5分)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺11.(5分)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.5412.(5分)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱13.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣14.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.915.(5分)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.17.(5分)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.18.(5分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n },则此数列的项数为.19.(5分)已知无穷数列{a n },a 1=1,a 2=2,对任意n ∈N *,有a n +2=a n ,数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n (n ∈N *),若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满足要求的b 1的值为.20.(5分)设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.22.(10分)设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max {b 1﹣a 1n ,b 2﹣a 2n ,…,b n ﹣a n n }(n=1,2,3,…),其中max {x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n =n ,b n =2n ﹣1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列.23.(10分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1.24.(10分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=﹣6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列.25.(10分)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3﹣x 2=2. (Ⅰ)求数列{x n }的通项公式;(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n +1(x n +1,n +1)得到折线P 1 P 2…P n +1,求由该折线与直线y=0,x=x 1,x=x n +1所围成的区域的面积T n.高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共15小题,满分75分,每小题5分)1.(5分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的公差.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.2.(5分)(2017•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【考点】89:等比数列的前n项和;88:等比数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设这个塔顶层有a盏灯,由题意和等比数列的定义可得:从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列,结合条件和等比数列的前n项公式列出方程,求出a 的值.【解答】解:设这个塔顶层有a盏灯,∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,又总共有灯381盏,∴381==127a,解得a=3,则这个塔顶层有3盏灯,故选B.【点评】本题考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的实际应用,属于基础题.3.(5分)(2017•新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【考点】8E:数列的求和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n ﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{a n},设b n=+…+=2n﹣1,(n∈N+),则=a i,由题意可设数列{a n}的前N项和为S N,数列{b n}的前n项和为T n,则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2,),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,可知当N为时(n∈N+即为2n﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1, (2)﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为S n:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N >100,∴该款软件的激活码440.故选A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.4.(5分)(2017•上海模拟)已知数列{a n}、{b n}、{c n},以下两个命题:①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列;②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列;下列判断正确的是()A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;5L :简易逻辑.【分析】对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但是不满足c n=sinn是递增数列,对于②根据等差数列的性质和定义即可判断.【解答】解:对于①不妨设a n=2n,b n=3n、c n=sinn,∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列,但c n=sinn不是递增数列,故为假命题,对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,不妨设公差为分别为a,b,c,∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a,b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b,a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c,设{a n},{b n}、{c n}的公差为x,y,x,∴则x=,y=,z=,故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列,则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列,故为真命题,故选:D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义,以及命题的真假,属于基础题.5.(5分)(2017•徐汇区校级模拟)一给定函数y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,n∈N*,则该函数的图象是()A.B.C.D.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】31 :数形结合;51 :函数的性质及应用.=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N*),根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系,我们不难得到,f(x)的图象在y=x上方.逐一分析不难得到正确的答案.=f(a n)>a n知:f(x)的图象在y=x上方.【解答】解:由a n+1故选:A.【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.(5分)(2017•河东区二模)若数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.[﹣2,1)D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】32 :分类讨论;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,可得:(﹣1)n+2016•a<2+,对n分类讨论即可得出.【解答】解:a n=(﹣1)n+2016•a,b n=2+,且a n<b n,对任意n∈N*恒成立,∴(﹣1)n+2016•a<2+,n为偶数时:化为a<2﹣,则a<.n为奇数时:化为﹣a<2+,则a≥﹣2.则实数a的取值范围是.故选:D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(5分)(2017•宝清县一模)数列{a n}是正项等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有()A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】由于{b n}是等差数列,可得b4+b10=2b7.已知a6=b7,于是b4+b10=2a6.由于数列{a n}是正项等比数列,可得a3+a9=≥=2a6.即可得出.【解答】解:∵{b n}是等差数列,∴b4+b10=2b7,∵a6=b7,∴b4+b10=2a6,∵数列{a n}是正项等比数列,∴a3+a9=≥=2a6,∴a3+a9≥b4+b10.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质,属于中档题.8.(5分)(2017•湖北模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*)若(n∈N*),b1=﹣λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围是()A.B.λ<1C.D.【考点】82:数列的函数特性.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公=(n﹣2λ)•2n,根据数列的单调性即可求出λ的范围.比为2,再代值得到b n+1【解答】解:∵数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*),∴=+1,化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列,首项为+1=2,公比为2,∴+1=2n,=(n﹣2λ)(+1)=(n﹣2λ)•2n,∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列,>b n,∴b n+1∴(n﹣2λ)•2n>(n﹣1﹣2λ)•2n﹣1,解得λ<1,但是当n=1时,b2>b1,∵b1=﹣λ,∴(1﹣2λ)•2>﹣λ,故选:A.【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.(5分)(2017•海淀区校级模拟)设△A n B n C n的三边长分别是a n,b n,c n,△A nB nC n的面积为S n,n∈N*,若b1>c1,b1+c1=2a1,b n+1=,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列【考点】82:数列的函数特性.【专题】54 :等差数列与等比数列;58 :解三角形;59 :不等式的解法及应用.【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣2a1=(b n+c n+1﹣2a n),b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n﹣c n+1=(c n﹣b n),得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1,+c n+1=+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),由题意,b n+1∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,﹣c n+1=,又由题意,b n+1∴b n﹣(2a1﹣b n+1)==a1﹣b n,b n+1﹣a1=(a1﹣b n)=(b1 +1﹣a1).∴b n=a1+(b1﹣a1),c n=2a1﹣b n=a1﹣(b1﹣a1),=•=单调递增.可得{S n}单调递增.故选:B.【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式,综合考查学生分析解决问题的能力,有较高的思维抽象度,属于难题.10.(5分)(2017•汉中二模)《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作,书中系统的介绍了等差数列,同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题,大意为:某女子善于织布,后一天比前一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布5尺,一个月(按30天计算)总共织布390尺,问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为()A.尺B.尺C.尺D.尺【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,其公差为d,由等差数列的前n项和公式能求出公差.【解答】解:由题意,该女子从第一天起,每天所织的布的长度成等差数列,记为:a1,a2,a3,…,a n,其公差为d,则a1=5,S30=390,∴=390,∴d=.故选:B.【点评】本题查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.11.(5分)(2017•徐水县模拟)已知数列{a n}为等差数列,S n其前n项和,且a2=3a4﹣6,则S9等于()A.25B.27C.50D.54【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题.【分析】由题意得a2=3a4﹣6,所以得a5=3.所以由等差数列的性质得S9=9a5=27.【解答】解:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,因为a2=3a4﹣6,所以a1+d=3(a1+3d)﹣6,所以a5=3.所以S9=9a5=27.故选B.【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题.12.(5分)(2017•安徽模拟)《九章算术》是我国古代的数字名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱,A、B两人所得与C、D、E三人所得相同,且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;21 :阅读型;33 :函数思想;51 :函数的性质及应用;54 :等差数列与等比数列.【分析】设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,列出方程组,能求出E所得.【解答】解:由题意:设A=a﹣4d,B=a﹣3d,C=a﹣2d,D=a﹣d,E=a,则,解得a=,故E所得为钱.故选:A.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质、等差数列的性质的合理运用.13.(5分)(2017•南开区模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为s n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)(n∈N*)的直线的斜率为()A.4B.C.﹣4D.﹣【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】54 :等差数列与等比数列.【分析】设出等差数列的首项和公差,由已知列式求得首项和公差,代入两点求直线的斜率公式得答案.【解答】解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S2=10,S5=55,得,解得:.∴过点P(n,a n),Q(n+2,a n+2)的直线的斜率为k=.故选:A.【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,训练了两点求直线的斜率公式,是基础题.14.(5分)(2017•枣阳市校级模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列{b n}满足,若,则n的最小值为()A.6B.7C.8D.9【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由S3=9,a2a4=21,可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,可得a n.由数列{b n}满足,利用递推关系可得:=.对n取值即可得出.【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d,∵S3=9,a2a4=21,∴3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21,联立解得:a1=1,d=2.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1.∵数列{b n}满足,∴n=1时,=1﹣,解得b1=.n≥2时,+…+=1﹣,∴=.∴b n=.若,则<.n=7时,>.n=8时,<.因此:,则n的最小值为8.故选:C.【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)(2017•安徽一模)已知函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,且f(x)在(﹣1,+∞)上单调,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.﹣200B.﹣100C.﹣50D.0【考点】84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由函数图象关于x=﹣1对称,由题意可得a50+a51=﹣2,运用等差数列的性质和求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:函数f(x)的图象关于x=﹣1对称,数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),可得a50+a51=﹣2,又{a n}是等差数列,所以a1+a100=a50+a51=﹣2,则{a n}的前100项的和为=﹣100故选:B.【点评】本题考查函数的对称性及应用,考查等差数列的性质,以及求和公式,考查运算能力,属于中档题.二.填空题(共5小题,满分25分,每小题5分)16.(5分)(2017•江苏)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【考点】88:等比数列的通项公式.【专题】34 :方程思想;35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(5分)(2017•新课标Ⅱ)等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,则=.【考点】8E:数列的求和;85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和,然后化简所求的表达式,求解即可.【解答】解:等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,S n=,=,则=2[1﹣++…+]=2(1﹣)=.故答案为:.【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力.18.(5分)(2017•汕头三模)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{a n},则此数列的项数为134.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数.【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故a n=15n﹣14.由a n=15n﹣14≤2017得n≤135,∵当n=1时,符合要求,但是该数列是从2开始的,故此数列的项数为135﹣1=134.故答案为:134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用,考查等差数列的通项公式的运用,考查运算能力,属于基础题19.(5分)(2017•闵行区一模)已知无穷数列{a n},a1=1,a2=2,对任意n∈N*,=a n,数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n(n∈N*),若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次,则满足要求的b1的值为2.【考点】81:数列的概念及简单表示法.【专题】35 :转化思想;48 :分析法;5M :推理和证明.【分析】依题意数列{a n}是周期数咧,则可写出数列{a n}的通项,由数列{b n}满足b n﹣b n=a n(n∈N*),可推出b n+1﹣b n=a n=⇒,,+1,,…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则b2=b6=b10=…=b2n﹣1,b4=b8=b12=…=b4n,可得b8=b4=3即可,【解答】解:a1=1,a2=2,对任意n∈N*,有a n+2=a n,∴a3=a1=1,a4=a2=2,a5=a3=a1=1,∴a n=﹣b n=a n=,∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1,b2n+1﹣b2n=a2n=2,∴b2n+2﹣b2n=3,b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3,b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3,b2﹣b1=1,,,,,,,…,=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2,b4=b8=b12=…=b4n,解得b8=b4=3,b2=3,∵b2﹣b1=1,∴b1=2,故答案为:2【点评】本题考查了数列的推理与证明,属于难题.20.(5分)(2017•青浦区一模)设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn,若数列{a n}是单调递增数列,则实数b的取值范围为(﹣3,+∞).【考点】82:数列的函数特性.【专题】35 :转化思想;54 :等差数列与等比数列;59 :不等式的解法及应用.【分析】数列{a n}是单调递增数列,可得∀n∈N*,a n+1>a n,化简整理,再利用数列的单调性即可得出.【解答】解:∵数列{a n}是单调递增数列,∴∀n∈N*,a n>a n,+1(n+1)2+b(n+1)>n2+bn,化为:b>﹣(2n+1),∵数列{﹣(2n+1)}是单调递减数列,∴n=1,﹣(2n+1)取得最大值﹣3,∴b>﹣3.即实数b的取值范围为(﹣3,+∞).故答案为:(﹣3,+∞).【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三.解答题(共5小题,满分50分,每小题10分)21.(10分)(2017•江苏)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.【考点】8B :数列的应用.【专题】23 :新定义;35 :转化思想;4R :转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1),=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①,因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1,②,a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1,③,②+③﹣①,得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ,即2a n =a n ﹣1+a n +1,(n ≥4),因此n ≥4从第3项起为等差数列,设公差为d ,注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4, 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4(a 3+d )﹣a 3﹣(a 3+2d )﹣(a 3+3d )=a 3﹣d ,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.22.(10分)(2017•北京)设{a n}和{b n}是两个等差数列,记c n=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数.(1)若a n=n,b n=2n﹣1,求c1,c2,c3的值,并证明{c n}是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列.【考点】8B:数列的应用;8C:等差关系的确定.【专题】32 :分类讨论;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)分别求得a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,代入即可求得c1,c2,c3;由(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立;﹣n,c n+1(2)由b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),分类讨论d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论根据等差数列的性质,即可求得使得c m,c m+1,c m+2,…是等差数列;设=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,分类讨论,采用放缩法即可求得因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M.【解答】解:(1)a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,当n=1时,c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0,当n=2时,c2=max{b1﹣2a1,b2﹣2a2}=max{﹣1,﹣1}=﹣1,当n=3时,c3=max{b1﹣3a1,b2﹣3a2,b3﹣3a3}=max{﹣2,﹣3,﹣4}=﹣2,下面证明:对∀n∈N*,且n≥2,都有c n=b1﹣na1,当n∈N*,且2≤k≤n时,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1),=[(2k﹣1)﹣nk]﹣1+n,=(2k﹣2)﹣n(k﹣1),=(k﹣1)(2﹣n),由k﹣1>0,且2﹣n≤0,则(b k﹣na k)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥b k﹣na k,因此,对∀n∈N*,且n≥2,c n=b1﹣na1=1﹣n,c n+1﹣c n=﹣1,∴c2﹣c1=﹣1,∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立,+1∴数列{c n}是等差数列;(2)证明:设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1,d2,下面考虑的c n取值,由b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,b n﹣a n n,考虑其中任意b i﹣a i n,(i∈N*,且1≤i≤n),则b i﹣a i n=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n,=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),下面分d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论,①若d1=0,则b i﹣a i n═(b1﹣a1n)+(i﹣1)d2,当若d2≤0,则(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)d2≤0,则对于给定的正整数n而言,c n=b1﹣a1n,此时c n+1﹣c n=﹣a1,∴数列{c n}是等差数列;当d2>0,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣n)d2>0,则对于给定的正整数n而言,c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n,﹣c n=d2﹣a1,此时c n+1∴数列{c n}是等差数列;此时取m=1,则c1,c2,…,是等差数列,命题成立;②若d1>0,则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数,故必存在m∈N*,使得n≥m时,﹣d1n+d2<0,则当n≥m时,(b i﹣a i n)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),因此当n≥m时,c n=b1﹣a1n,此时c n﹣c n=﹣a1,故数列{c n}从第m项开始为等差数列,命题成立;+1③若d1<0,此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数,故必存在s∈N*,使得n≥s时,﹣d1n+d2>0,则当n≥s时,(b i﹣a i n)﹣(b n﹣a n n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i ≤n),因此,当n≥s时,c n=b n﹣a n n,此时==﹣a n+,=﹣d2n+(d1﹣a1+d2)+,令﹣d1=A>0,d1﹣a1+d2=B,b1﹣d2=C,下面证明:=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,若C≥0,取m=[+1],[x]表示不大于x的最大整数,当n≥m时,≥An+B≥Am+B=A[+1]+B>A•+B=M,此时命题成立;若C<0,取m=[]+1,当n≥m时,≥An+B+≥Am+B+C>A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M,此时命题成立,因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M;综合以上三种情况,命题得证.【点评】本题考查数列的综合应用,等差数列的性质,考查与不等式的综合应用,考查“放缩法”的应用,考查学生分析问题及解决问题的能力,考查分类讨论及转化思想,考查计算能力,属于难题.23.(10分)(2017•北京)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.【考点】8E:数列的求和;8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差,然后求{a n}的通项公式;(Ⅱ)利用已知条件求出公比,然后求解数列的和即可.【解答】解:(Ⅰ)等差数列{a n},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,所以{a n}的通项公式:a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,等比数列{b n}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).∴q2=3,}是等比数列,公比为3,首项为1.{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用,数列求和以及通项公式的求解,考查计算能力.24.(10分)(2017•新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.【考点】8E:数列的求和;89:等比数列的前n项和.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,a1==,a2==,由a1+a2=2,列方程即可求得q及a1,根据等比数列通项公式,即可求得{a n}的通项公式;(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式,即可求得S n,分别求得S n+1,S n+2,显然S n+1+S n+2=2S n,则S n+1,S n,S n+2成等差数列.。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评15 Word版含答案

高中数学必修五《数列》单元检测 (含答案解析)一、选择题1.设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列,则q 等于( )A .1B .0C .1或0D .-1【解析】 因为S n -S n -1=a n ,又{S n }是等差数列,所以a n 为定值,即数列{a n }为常数列,所以q =a n a n -1=1. 【答案】 A2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13B .-13 C.19 D .-19 【解析】 设公比为q ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=9,∴⎩⎨⎧ a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,a 1q 4=9, ∴⎩⎨⎧a 1q 2=9a 1,a 1q 4=9,解得a 1=19,故选C.【答案】 C3.一座七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是( )A .190B .191C .192D .193【解析】 设最下面一层灯的盏数为a 1,则公比q =12,n =7,由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1271-12=381,解得a 1=192.【答案】 C4.设数列1,(1+2),…,(1+2+22+…+2n -1),…的前n 项和为S n ,则S n 的值为( )A .2nB .2n -nC .2n +1-nD .2n +1-n -2【解析】 法一 特殊值法,由原数列知S 1=1,S 2=4,在选项中,满足S 1=1,S 2=4的只有答案D.法二 看通项,a n =1+2+22+…+2n -1=2n -1.∴S n =2(2n -1)2-1-n =2n +1-n -2. 【答案】 D5.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和,若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为54,则S 5=( )A .35B .33C .31D .29【解析】 设数列{a n }的公比为q ,∵a 2·a 3=a 21·q 3=a 1·a 4=2a 1, ∴a 4=2.又∵a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54,∴q =12.∴a 1=a 4q 3=16,S 5=a 1(1-q 5)1-q=31. 【答案】 C二、填空题6.在等比数列{a n }中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =________.【解析】 ∵在等比数列{a n }中,前3项之和等于21,∴a 1(1-43)1-4=21,∴a 1=1,∴a n =4n -1.【答案】 4n -17.设数列{a n }是首项为1,公比为-2的等比数列,则a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=________.【解析】 法一 a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=1+|1×(-2)|+1×(-2)2+|1×(-2)3|=15.法二 因为a 1+|a 2|+a 3+|a 4|=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|,数列{|a n |}是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为1-241-2=15. 【答案】 158.如果lg x +lg x 2+…+lg x 10=110,那么lg x +lg 2x +…+lg 10x =________.【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x =110,∴55lg x =110.∴lg x =2.∴lg x +lg 2x +…+lg 10x =2+22+…+210=211-2=2 046.【答案】 2 046三、解答题9.在等比数列{a n }中,已知S 30=13S 10,S 10+S 30=140,求S 20的值.【解】 ∵S 30≠3S 10,∴q ≠1.由⎩⎨⎧ S 30=13S 10,S 10+S 30=140,得⎩⎨⎧S 10=10,S 30=130.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1-q 10)1-q =10,a 1(1-q 30)1-q =130.∴q 20+q 10-12=0,∴q 10=3,∴S 20=a 1(1-q 20)1-q=S 10(1+q 10)=10×(1+3)=40. 10.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和. 【解】 若q =1,则由9S 3=S 6得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q,解得q =2.故a n =a 1q n -1=2n -1,1a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公比的等比数列,其前5项和为S 5=1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1251-12=3116. [能力提升]1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10∶S 5=1∶2,则S 15∶S 5=( )A .3∶4B .2∶3C .1∶2D .1∶3【解析】 在等比数列{a n }中,S 5,S 10-S 5,S 15-S 10,…成等比数列,因为S 10∶S 5=1∶2,所以S 5=2S 10,S 15=34S 5,得S 15∶S 5=3∶4,故选A.【答案】 A2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,称T n =S 1+S 2+…+S n n为数列a 1,a 2,a 3,…,a n 的“理想数”,已知数列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的理想数为2 014,则数列2,a 1,a 2,…,a 5的“理想数”为( )A .1 673B .1 675 C.5 0353 D.5 0413【解析】 因为数列a 1,a 2,…,a 5的“理想数”为 2 014,所以S 1+S 2+S 3+S 4+S 55=2 014,即S 1+S 2+S 3+S 4+S 5=5×2 014,所以数列2,a 1,a 2,…,a 5的“理想数”为2+(2+S 1)+(2+S 2)+…+(2+S 5)6=6×2+5×2 0146=5 0413.【答案】 D3.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,则a n =________.【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是q 2=a 5a 3=14. 又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12.故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×-12n -1=(-1)n -1×32n .【答案】 (-1)n -1×32n4.已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d =2,3a 1+3×22d =92,化简得a 1+2d =2,a 1+d =32, 解得a 1=1,d =12,故{a n }的通项公式a n =1+n -12,即a n =n +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q ,则q 3=b 4b 1=8,从而q =2, 故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n -1.。
015学年新课标A版高中数学必修5:第二章+数列+单元同步测试(含解析)

第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n =n (n =1,2,3,…),那么数列{a n }( )A .是公比为2的等比数列B .是公差为2的等差数列C .是公比为12的等比数列 D .既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n =n ,得S n =2n ,a 1=S 1=2,a 2=S 2-S 1=22-2=2,a 3=S 3-S 2=23-22=4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1=3,a 2=6,a n +2=a n +1-a n ,则a 5=( ) A .6 B .-3 C .-12D .-6解析 a 3=a 2-a 1=6-3=3, a 4=a 3-a 2=3-6=-3, a 5=a 4-a 3=-3-3=-6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A .a n -1B .naC .a nD .(n -1)a解析 由题意,知a n =a (a ≠0),∴S n =na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }的前7项和为( )A .63B .64C .127D .128解析 a 5=a 1q 4=q 4=16,∴q =2. ∴S 7=1-271-2=128-1=127.答案 C5.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,则b 2(a 2-a 1)的值等于( )A .-8B .8C .-98 D.98解析 a 2-a 1=-1-(-9)3=83, b 22=(-1)×(-9)=9,∴b 2=-3, ∴b 2(a 2-a 1)=-3×83=-8. 答案 A6.在-12和8之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-10的等差数列,则n 的值为( )A .2B .3C .4D .5解析 依题意,得-10=-12+82(n +2), ∴n =3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A .4 B.14 C .-4D .-14解析由a 4=15,S 5=55,得⎩⎨⎧a 1+3d =15,5a 1+5×42d =55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =4.∴a 3=a 4-d =11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ =15-114-3=4. 答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19=( ) A .55 B .95 C .100D .190解析 S 19=a 1+a 192×19=a 3+a 172×19=102×19=95. 答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2+a 4+a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A .S 7B .S 4C .S 13D .S 16解析 a 2+a 4+a 15=a 1+d +a 1+3d +a 1+14d =3a 1+18d =3(a 1+6d )=3a 7,∴a 7为常数.∴S 13=a 1+a 132×13=13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62,则通项是( )A .2n -1B .2nC .2n +1D .2n +2解析 ∵a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=q (a 1+a 2+a 3+a 4+a 5), ∴62=q ×31,∴q =2.∴S 5=a 1(1-25)1-2=31.∴a 1=1,∴a n =2n -1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列, ∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,即a 3+a 9=0. 又2a 6=a 3+a 9=0,∴a 6=0. ∴S 5=S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2+bx +c =0( ) A .有两个不等实根 B .有两相等的实根C .无实数根D .无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac >0. 而Δ=b 2-4ac =ac -4ac =-3ac <0. ∴方程ax 2+bx +c =0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x =________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18=2q 4,∴q =±3.∴x =2q =±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n ,0≤a n ≤1,a n -1,a n >1,且a 1=67,则a 2013=________.解析 由题意,得a 1=67,a 2=127,a 3=57,a 4=107,a 5=37,a 6=67,a 7=127,…,∴a 2013=a 3=57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n =1-2+3-4+…+(-1)n +1n ,则S 17+S 33+S 50=____________.解析 S 17=-8+17=9,S 33=-16+33=17,S 50=-25,∴S 17+S 33+S 50=1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q =12,前n 项和为S n ,则S 4a 4=________.解析 S 4a 4=a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1-12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123=15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n =1,得2a 1-a 1=a 21,即a 1=a 21,∵a 1≠0,∴a 1=1,令n =2,得2a 2-1=S 2=1+a 2,解得a 2=2. 当n ≥2时,由2a n -1=S n,2a n -1=S n -1 两式相减得2a n -2a n -1=a n ,即a n =2a n -1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n =2n -1.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -1. (2)由(1)知,na n =n ·2n -1.记数列{n ·2n -1}的前n 项和为B n ,于是 B n =1+2×2+3×22+…+n ×2n -1,① 2B n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n .② ①-②得-B n =1+2+22+…+2n -1-n ·2n =2n -1-n ·2n . 从而B n =1+(n -1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n =log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1=81,a n +1a n=q ,由a n >0,可知q >0,∵b n +1-b n =log 3a n +1-log 3a n =log 3a n +1a n =log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列. (2)由(1)知,b 1=log 3a 1=log 381=4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 11≥0,b 12<0,即⎩⎪⎨⎪⎧b 1+10d ≥0,b 1+11d <0.⎩⎨⎧d ≥-b 110=-25,d <-b 111=-411.∴-25≤d <-411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1+1S 2+…+1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n=3+(n -1)d ,b n =q n -1,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2S 2=(6+d )q =64,b 3S 3=(9+3d )q 2=960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d =2,q =8,或⎩⎪⎨⎪⎧d =-65,q =403,(舍去).故a n =2n +1,b n =8n -1.(2)证明:由(1)知S n =3+2n +12×n =n (n +2), 1S n =1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2,∴1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n (n +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =34-2n +32(n +1)(n +2)∵2n +32(n +1)(n +2)>0 ∴1S 1+1S 2+…+1S n<34.20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1=2,a 4=16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16=2q 3,解得 q =2,∴a n =a 1q n -1=2n .(2)由(1)得a 3=8,a 5=32,则b 3=8,b 5=32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1+2d =8,b 1+4d =32,解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=-16,d =12.从而b n =-16+12(n -1)=12n -28. 所以数列{b n }的前n 项和S n =n (-16+12n -28)2=6n 2-22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n 2+n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n =2n 2+n ,得当n =1时,a 1=S 1=3; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=4n -1.∴a n =4n -1(n ∈N *). 由a n =4log 2b n +3=4n -1,得b n =2n -1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n =(4n -1)·2n -1,n ∈N *, ∴T n =3+7×2+11×22+…+(4n -1)×2n -1, 2T n =3×2+7×22+…+(4n -5)×2n -1+(4n -1)×2n .∴2T n -T n =(4n -1)×2n -[3+4(2+22+…+2n -1]=(4n -5)2n +5.故T n =(4n -5)2n +5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n -2a n -1-2n -1=0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n . 解 (1)∵a n -2a n -1-2n -1=0,∴a n 2n -a n -12n -1=12,∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列. (2)由(1),得a n 2n =12+(n -1)×12, ∴a n =n ·2n -1,∴S n =1·20+2·21+3·22+…+n ·2n -1① 则2S n =1·21+2·22+3·23+…+n ·2n ② ①-②,得-S n =1+21+22+…+2n -1-n ·2n=1·(1-2n)1-2-n ·2n =2n -1-n ·2n ,∴S n =(n -1)·2n +1.。
高中数学人教A版必修五优化练习:第二章 2.1 第2课时 数列的通项公式与递推公式 Word版含解析

[课时作业][A 组 基础巩固]1.数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧ 3n +1(n 为奇数),2n -2(n 为偶数),则a 2a 3等于( ) A .70 B .28C .20D .8答案:C2.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a n +1=a n +n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a n =a n -1+n (n ≥2,n∈N *)C.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a n +1=a n +(n -1)(n ≥2,n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a n =a n -1+(n -1)(n ∈N *)解析:将数值代入选项验证即可.答案:B3.已知数列{a n }满足a 1=2,a n =na n -1(n ≥2),则a 5等于( )A .240B .120C .60D .30解析:逐项代入可求.答案:A4.若数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n3a n +1,则数列{a n }的第4项是() A.116 B.117C.110D.125解析:∵a 1=1,a n +1=a n3a n +1, ∴a 2=a 13a 1+1=13+1=14,a 3=a 23a 2+1=1434+1=17,a 4=a 33a 3+1=1737+1=110,故选C. 答案:C5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n -1(n ∈N *),则a 1 000=( )A .1B .1 999C .1 000D .-1 解析:a 1=1,a 2=2×1-1=1,a 3=2×1-1=1,a 4=2×1-1=1,…,可知a n =1(n ∈N *),∴a 1 000=1.答案:A6.数列{a n }中,a 1=a 2=1,a n +2=a n +1+a n ,则a 4=________. 解析:由a n +2=a n +1+a n ,∴a 3=a 1+a 2=2,a 4=a 2+a 3=1+2=3.答案:37.已知数列{a n }满足:a 4n -3=1,a 4n -1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 017=________;a 2 014=________.解析: 依题意得a 2 017=a 4×505-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0.故分别填1,0. 答案:1 08.数列{a n }的通项公式a n =(-1)n ·12n +1,则a 3=________,a 10=________,a 2n -1=________. 解析:分别用3,10和2n -1去代换通项公式中的n ,得a 3=(-1)3·12×3+1=-17, a 10=(-1)10·12×10+1=121, a 2n -1=(-1)2n -1·12(2n -1)+1=-14n -1. 答案:-17 121 -14n -19.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=3a n (n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.解析:由a n +1=3a n 得a n +1a n=3. 因此可得a 2a 1=3,a 3a 2=3,a 4a 3=3,…,a n a n -1=3(n ≥2). 将上面的n -1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=3n -1.即a na 1=3n -1,所以a n =a 1·3n -1,又a 1=2,故a n =2·3n -1.当n =1时,a 1=2×30=2也满足,故a n =2·3n -1.10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a na n +2(n ∈N *),试探究数列{a n }的通项公式.解析:法一:将n =1,2,3,4依次代入递推公式得a 2=23,a 3=24,a 4=25,又a 1=22,∴可猜想a n =2n +1.应有a n +1=2n +2,将其代入递推关系式验证成立, ∴a n =2n +1.法二:∵a n +1=2a na n +2, ∴a n +1a n =2a n -2a n +1.两边同除以2a n +1a n ,得1a n +1-1a n =12.∴1a 2-1a 1=12,1a 3-1a 2=12,…,1a n -1a n -1=12.把以上各式累加得1a n -1a 1=n -12.又a 1=1,∴a n =2n +1.故数列{a n }的通项公式为a n =2n +1(n ∈N *).[B 组 能力提升]1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 3,则a 6+a 7+a 8+a 9等于( )A .729B .387C .604D .854 解析:a 6+a 7+a 8+a 9=S 9-S 5=93-53=604,故选C. 答案:C2.数列7,9,11,…中,2n -1是数列的第________项( )A .n -3B .n -2C .n -1D .n解析:a n =2(n +3)-1,设2n -1是数列的第m 项,则2n -1=2(m +3)-1,解得m =n -3. 答案:A3.已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *满足a p +q =a p +a q ,且a 2=-6,则a 10=________. 解析:∵a p +q =a p +a q ,∴a 4=2a 2=-12,a 8=2a 4=-24,a 10=a 2+a 8=-30.答案:-304.已知数列{a n },a 1=-1,a 2=2,a n =a n -1+a n -2(n ≥3),则a 7=________. 解析:分别求出a 3,a 4,a 5,a 6,即可求a 7. 答案:115.在数列{a n }中,已知a 1=1,S n =n 2a n ,求该数列的通项公式. 解析:因为S n =n 2a n ,①所以S n -1=(n -1)2a n -1 (n ≥2).②①-②得a n =S n -S n -1=n 2a n -(n -1)2a n -1, 可得(n 2-1)a n =(n -1)2a n -1,即(n +1)a n =(n -1)a n -1,故a n a n -1=n -1n +1.所以a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·……·n -1n +1=1×13×24×…n -1n +1=2n (n +1).答案:2n (n +1)6.已知数列{a n }满足lg(1+a 1+a 2+…+a n )=n (n ∈N *),求数列{a n }的通项公式. 解析:∵S n =a 1+a 2+…+a n ,又lg(1+a 1+a 2+…+a n )=n ,∴lg(1+S n )=n . ∴S n =10n -1.当n =1时,a 1=S 1=9;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(10n -1)-(10n -1-1)=9×10n -1.∵当n =1时也满足上式,∴a n =9×10n -1.。
数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念,通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念,等差数列的通项公式;等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用,熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式,等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n项和公式推导,进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质,灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题,灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.注意:(1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….3.数列的一般形式:aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。
是数列的第n项4.数列的通项公式:如果数列{a}的第n项a。
与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意: (1)并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是; 1.(3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第召项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系:数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
人教版A高中必修5数学试题第2章2.1同步训练及解析

人教A 高中数学必修5同步训练1.数列1,12,14,…,12n ,…是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .摆动数列 答案:B2.已知数列{a n }的通项公式a n =12[1+(-1)n +1],则该数列的前4项依次是( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1 C.12,0,12,0 D .2,0,2,0 答案:A3.数列{a n }的通项公式a n =cn +d n ,又知a 2=32,a 4=154,则a 10=__________. 答案:99104.已知数列{a n }的通项公式a n =2n 2+n. (1)求a 8、a 10.(2)问:110是不是它的项?若是,为第几项? 解:(1)a 8=282+8=136,a 10=2102+10=155. (2)令a n =2n 2+n =110,∴n 2+n =20. 解得n =4.∴110是数列的第4项.一、选择题1.已知数列{a n }中,a n =n 2+n ,则a 3等于( )A .3B .9C .12D .20答案:C2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )A .1,12,13,14,… B .-1,-2,-3,-4,…C .-1,-12,-14,-18,… D .1,2,3,…,n解析:选C.对于A ,a n =1n,n ∈N *,它是无穷递减数列;对于B ,a n =-n ,n ∈N *,它也是无穷递减数列;D 是有穷数列;对于C ,a n =-(12)n -1,它是无穷递增数列. 3.下列说法不正确的是( )A .根据通项公式可以求出数列的任何一项B .任何数列都有通项公式C .一个数列可能有几个不同形式的通项公式D .有些数列可能不存在最大项解析:选B.不是所有的数列都有通项公式,如0,1,2,1,0,….4.数列23,45,67,89,…的第10项是( ) A.1617 B.1819C.2021D.2223解析:选C.由题意知数列的通项公式是a n =2n 2n +1, ∴a 10=2×102×10+1=2021.故选C. 5.已知非零数列{a n }的递推公式为a n =n n -1·a n -1(n >1),则a 4=( ) A .3a 1 B .2a 1C .4a 1D .1解析:选C.依次对递推公式中的n 赋值,当n =2时,a 2=2a 1;当n =3时,a 3=32a 2=3a 1;当n =4时,a 4=43a 3=4a 1. 6.已知数列{a n }满足a 1>0,且a n +1=12a n ,则数列{a n }是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .摆动数列解析:选B.由a 1>0,且a n +1=12a n ,则a n >0. 又a n +1a n =12<1,∴a n +1<a n . 因此数列{a n }为递减数列.二、填空题7.已知数列{a n }的通项公式a n =19-2n ,则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________.解析:由a n =19-2n >0,得n <192,∵n ∈N *,∴n ≤9. 答案:98.已知数列{a n }满足a 1=2,a 2=5,a 3=23,且a n +1=αa n +β,则α、β的值分别为________、________.解析:由题意a n +1=αa n +β,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=αa 1+βa 3=αa 2+β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 5=2α+β23=5α+β⇒⎩⎪⎨⎪⎧α=6,β=-7. 答案:6 -79.已知{a n }满足a n =(-1)n a n -1+1(n ≥2),a 7=47,则a 5=________. 解析:a 7=-1a 6+1,a 6=1a 5+1,∴a 5=34. 答案:34三、解答题10.写出数列1,23,35,47,…的一个通项公式,并判断它的增减性. 解:数列的一个通项公式a n =n 2n -1. 又∵a n +1-a n =n +12n +1-n 2n -1=-1(2n +1)(2n -1)<0, ∴a n +1<a n .∴{a n }是递减数列.11.在数列{a n }中,a 1=3,a 17=67,通项公式是关于n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求a 2011;(3)2011是否为数列{a n }中的项?若是,为第几项?解:(1)设a n =kn +b (k ≠0),则有⎩⎪⎨⎪⎧ k +b =3,17k +b =67,解得k =4,b =-1.∴a n =4n -1.(2)a 2011=4×2011-1=8043.(3)令2011=4n -1,解得n =503∈N *,∴2011是数列{a n }的第503项.12.数列{a n }的通项公式为a n =30+n -n 2.(1)问-60是否是{a n }中的一项?(2)当n 分别取何值时,a n =0,a n >0,a n <0?解:(1)假设-60是{a n }中的一项,则-60=30+n -n 2.解得n =10或n =-9(舍去).∴-60是{a n }的第10项.(2)分别令30+n -n 2=0;>0;<0,解得n =6;0<n <6;n >6,即n =6时,a n =0;0<n <6时,a n >0;n >6时,a n <0.。
高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.1知识点总结含同步练习题及答案

an+2 = an + an+2 + an+3 ,
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
所以 an+3 = −an . (3)由(2)结论可知,an+6 = −an+3 = an ,即 an+6 = an ,所以数列{an }为以 6 为周期的 数列. 又a1 = a,a2 = b,a3 = b − a,a4 = −a,a5 = −b,a6 = a − b,所以 S6 = 0. 故S2010 = S335×6 = 0.
1
−
n2 n2 + 1
=
[(n
+
2n + 1 1)2 + 1](n2
+ 1)
>
0,
所以
an+1 > an (n ∈ N+ ),
因此数列{an }是递增数列.
在数列{an }中,an
=
(n
+ 1)(
10 11
n
)
(n
∈
N+ ):
()
(1)求证:数列{an }先递增,后递减;
(2)求数列{an }的最大项. 证明:(1)因为 an = (n + 1)(
(2)a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3,a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5,a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8,所以
该数列的前 5 项分别为 1, 2, 3, 5, 8.
2.观察法
描述: 观察法 观察法就是写出数列前面若干项进行观察,横向看各项之间的关系,纵向看各项与序数的联系, 寻找共同的构成规律,找出各项与项的序号 n 的函数关系,从而归纳出数列的通项公式的方 法,这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明.
高中数学必修5第二章课后习题解答新版

新课程标准数学必修5第二章课后习题解答第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法 练习(P31) 1、2、前5项分别是:1,0,1,0,1--.3、例1(1)1(2,)1(21,)n n m m N n a n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**; (2)2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明:此题是通项公式不唯一的题目,鼓励学生说出各种可能的表达形式,并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、(1)1()21n a n Z n +=∈-; (2)(1)()2n n a n Z n +-=∈; (3)121()2n n a n Z +-=∈ 习题2.1 A 组(P33) 1、(1)2,3,5,7,11,13,17,19;(2) (3)1,1.7,1.73,1.732,…1.732050; 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、(1)11111,,,,491625; (2)2,5,10,17,26--.3、(1)(1),4-,9,(16-),25,(36-),49; 12(1)n n a n +=-; (2)1,(,2;n a =.4、(1)1,3,13,53,2132; (2)141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是:(1)16,21;54n a n =-;(2)10,13;32n a n =-;(3)24,35;22n a n n =+.6、15,21,28; 1n n a a n -=+. 习题2.1 B 组(P34)1、前5项是1,9,73,585,4681.该数列的递推公式是:1118,1n n a a a +=+=.通项公式是:817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪; 2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪; 3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪; 10(10.72n n a =⨯+﹪.3、(1)1,2,3,5,8; (2)358132,,,,2358.2.2等差数列 练习(P39)1、表格第一行依次应填:0.5,15.5,3.75;表格第二行依次应填:15,11-,24-.2、152(1)213n a n n =+-=+,1033a =.3、4n c n =4、(1)是,首项是11m a a md +=+,公差不变,仍为d ;(2)是,首项是1a ,公差2d ;(3)仍然是等差数列;首项是716a a d =+;公差为7d . 5、(1)因为5375a a a a -=-,所以5372a a a =+. 同理有5192a a a =+也成立; (2)112(1)n n n a a a n -+=+>成立;2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立. 习题2.2 A 组(P40)1、(1)29n a =; (2)10n =; (3)3d =; (4)110a =.2、略.3、60︒.4、2℃;11-℃;37-℃.5、(1)9.8s t =; (2)588 cm ,5 s. 习题2.2 B 组(P40)1、(1)从表中的数据看,基本上是一个等差数列,公差约为2000,52010200280.2610a a d =+=⨯ 再加上原有的沙化面积5910⨯,答案为59.2610⨯;(2)2021年底,沙化面积开始小于52810 hm ⨯. 2、略. 2.3等差数列的前n 项和 练习(P45) 1、(1)88-; (2)604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ 3、元素个数是30,元素和为900.习题2.3 A 组(P46)1、(1)(1)n n +; (2)2n ; (3)180个,和为98550; (4)900个,和为494550.2、(1)将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=,并解得27n =; 将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-,并解得1713d =.(2)将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-,1()2n n n a a S +=,得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩;解这个方程组,得111,23n a a ==.(3)将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+,并解得15n =;将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-,得32n a =-.(4)将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-,并解得138a =-;将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=,得360n S =-. 3、44.5510⨯m. 4、4.5、这些数的通项公式:7(1)2n -+,项数是14,和为665.6、1472.习题2.3 B 组(P46)1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n 项和公式,求出5年内的总共的维修费,即再加上购买费,除以天数即可. 答案:292元.2、本题的解法有很多,可以直接代入公式化简,但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. (1)由 61615S a d =+,1211266S a d =+,18118153S a d =+ 可得61812126()2()S S S S S +-=-.(2)1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d =++++636S d =+同样可得:1812672S S S d -=+,因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、(1)首先求出最后一辆车出发的时间4时20分;所以到下午6时,最后一辆车行驶了1小时40分.(2)先求出15辆车总共的行驶时间,第一辆车共行驶4小时,以后车辆行驶时间依次递减,最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布,代入前n 项和公式,这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯= h. 乘以车速60 km/h ,得行驶总路程为2550 km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1na n n n n ==-++ 所以111111111()()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地,我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2.4等比数列练习(P52) 1、2、由题意可知,每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =,公比为20q =的等比数列,则第5轮被感染的计算机台数5a 为 447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、(1)将数列{}n a 中的前k 项去掉,剩余的数列为12,,k k a a ++ . 令,1,2,k i b a i +== ,则数列12,,k k a a ++ 可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥,所以,{}n b 是等比数列,即12,,k k a a ++ 是等比数列. (2){}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ,则235211321(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥. 所以,数列135,,,a a a 是以1a 为首项,2q 为公比的等比数列. (3){}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a , 则1112231111121110(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥ 所以,数列11223,,,a a a 是以1a 为首项,11q 为公比的等比数列.猜想:在数列{}n a 中每隔m (m 是一个正整数)取出一项,组成一个新的数列,这个数列是以1a 为首项,1m q +为公比的等比数列.4、(1)设{}n a 的公比为q ,则24228511()a a q a q ==,而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅,同理2519a a a =⋅ (2)用上面的方法不难证明211(1)nn n a a a n -+=⋅>. 由此得出,n a 是1n a -和1n a +的等比中项. 同理:可证明,2(0)nn k n k a a a n k -+=⋅>>. 由此得出,n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>. 5、(1)设n 年后这辆车的价值为n a ,则13.5(110)n n a =-﹪. (2)4413.5(110)88573a =-≈﹪(元). 用满4年后卖掉这辆车,能得到约88573元.习题2.4 A 组(P53)1、(1)可由341a a q =,得11a =-,6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-. 也可由671a a q =,341a a q =,得337427(3)729a a q ==⨯-=-(2)由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩(3)由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得232q =,862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯= 还可由579,,a a a 也成等比数列,即2759a a a =,得22795694a a a ===.(4)由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ①②①的两边分别除以②的两边,得2152q q +=,由此解得12q =或2q =. 当12q =时,116a =-. 此时2314a a q ==-. 当2q =时,11a =. 此时2314a a q ==. 2、设n 年后,需退耕n a ,则{}n a 是一个等比数列,其中18(110),0.1a q =+=﹪. 那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪(万公顷) 3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列,则首项1a 和公比q 都是正数. 由11n n a a q-=11(1)22)n n q --=.那么数列{}n a12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm ,对折一次后厚度为0.05×2 mm ,再对折后厚度为0.05×22 mm ,再对折后厚度为0.05×32 mm. 设00.05a =,对折n 次后报纸的厚度为n a ,则{}n a 是一个等比数列,公比2q =. 对折50次后,报纸的厚度为50505013100.052 5.6310 m m 5.6310 m a a q ==⨯≈⨯=⨯ 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离(约83.8410 m ⨯),所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =,n 年后空气质量为良的天数为n a ,则{}n a 是一个等比数列.由3240a =,得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=,解得10.51q =≈ 6、由已知条件知,,2a bA G +==,且02a b A G +-=- 所以有A G ≥,等号成立的条件是a b =. 而,a b 是互异正数,所以一定有A G >.7、(1)2±; (2)22()ab a b ±+. 8、(1)27,81; (2)80,40,20,10. 习题2.4 B 组(P54)1、证明:由等比数列通项公式,得11m m a a q -=,11n n a a q -=,其中1,0a q ≠所以 1111m m n m n n a a q q a a q---== 2、(1)设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位,年衰变率为q ,n 年后的残留量为n a ,则{}n a 是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730则 57305730112n a a qq===,解得157301()0.9998792q =≈ (2)设动物约在距今n 年前死亡,由0.6n a =,得10.9998790.6n n a a q ===. 解得 4221n ≈,所以动物约在距今42213、在等差数列1,2,3,…中,有7108917a a a a +==+,1040203050a a a a +==+ 由此可以猜想,在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a +=+. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题:由等差数列{}n a 的图象,可以看出k p a k a p =,s q a sa q=根据等式的性质,有k s p q a a k sa a p q++=++,所以k s p q a a a a +=+. 猜想对于等比数列{}n a ,类似的性质为:若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈,则k s p q a a a a ⋅=⋅. 2.5等比数列的前n 项和 练习(P58) 1、(1)6616(1)3(12)189112a q S q --===--. (2)1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----. 2、设这个等比数列的公比为q(第3题)所以 101256710()()S a a a a a a =+++++++ 555S q S =+55(1)q S =+50= 同理 1015105S S q S =+.因为 510S =,所以由①得 5101051416S q q S =-=⇒= 代入②,得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列,首项12000a =,公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ,则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-(亿元) 习题2.5 A 组(P61) 1、(1)由34164641a q a ===--,解得4q =-,所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---. (2)因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++,所以2113q q --++=,即2210q q --=解这个方程,得1q =或12q =-. 当1q =时,132a =;当12q =-时,16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项, 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--(万元) 3、(1)第1个正方形的面积为42cm ,第2个正方形的面积为22cm ,…,这是一个以14a =为首项,12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=(2cm )(2)这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---(2cm )4、(1)当1a =时,2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时,22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++(1)(1)12n a a n n a -+=--(2)1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++11(1)5(15)323(1)(15)2154n nn n n n ----+-⨯-⨯=+--- (3)设21123n n S x x nx -=++++ ……①则 212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+ ……②①-②得,21(1)1n n n x S x x x nx --=++++- ……③当1x =时,(1)1232n n n S n +=++++= ;当1x ≠时,由③得,21(1)1n n n x nx S x x -=--- 5、(1)第10次着地时,经过的路程为91002(50251002)-++++⨯1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈- (2)设第n 次着地时,经过的路程为293.75 m ,则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=- 所以130********.75n --⨯=,解得120.03125n -=,所以15n -=-,则6n =6、证明:因为396,,S S S 成等差数列,所以公比1q ≠,且9362S S S =+即,936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+--- 于是,9362q q q =+,即6321q q =+ 上式两边同乘以1a q ,得741112a q a q a q =+ 即,8252a a a =+,故285,,a a a 成等差数列 习题2.5 B 组(P62)1、证明:11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==-- 2、证明:因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++=所以71472114,,S S S --成等比数列3、(1)环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列,首项为1100a =,公比为 1.2q =. 所以,2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈(t )(2)从2002年到2010年底,能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--(t )可节约的土地为165048320⨯=(2m ) 4、(1)依教育储蓄的方式,应按照整存争取定期储蓄存款利率计息,免征利息税,且若每月固定存入a 元,连续存n 个月,计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪,月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪(元)若连续存6年,应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息,具体计算略. (2)略.(3)每月存50元,连续存3年按照“零存整取”的方式,年利率为1.89﹪,且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元,比教育储蓄的方式少收益27.97元.(4)设每月应存入x 元,由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈(元),即每月应存入267.39(元) (5)(6)(7)(8)略 5、设每年应存入x 万元,则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪,2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪,……,2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪. 根据题意,76(12)(12)(12)40x x x ++++++= ﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式,得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪,解得52498x ≈(元) 故,每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A 组(P67)1、(1)B ; (2)B ; (3)B ; (4)A .2、(1)212n n n a -=; (2)12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+;(3)7(101)9n n a =-; (4)n a =n a3、4、如果,,a b c 成等差数列,则5b =;如果,,a b c 成等比数列,则1b =,或1-.5、n a 按顺序输出的值为:12,36,108,324,972. 86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪(万) 7、从12月20日到次年的1月1日,共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==. 由1(1)2n n n S a n d -=+得:1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>. 所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+,则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=,得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d =++++⨯=+32122312(2)(2)(2)n n n nS a a a a n d a n d a n d ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n n d S n d =++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+. 所以,123,,S S S 也是等差数列,公差为2n d . 11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=-- 223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+ 因为{}n a 是等差数列,所以123,,a a a 也是等差数列. 所以,2132a a a =+. 即,20286x x =-+. 解得1x =或3x =. 当1x =时,1232,0,2a a a =-==. 由此可求出24n a n =-. 当3x =时,1232,0,2a a a ===-. 由此可求出42n a n =-.第二章 复习参考题B 组(P68)1、(1)B ; (2)D .2、(1)不成等差数列. 可以从图象上解释. ,,a b c 成等差,则通项公式为y pn q =+的形式,且,,a b c 位于同一直线上,而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q =+的形式,111,,a b c不可能在同一直线上,因此肯定不是等差数列.(2)成等比数列. 因为,,a b c 成等比,有2b ac =. 又由于,,a b c 非零,两边同时取倒数,则有21111b ac a c==⨯. 所以,111,,a b c也成等比数列.3、体积分数:60.033(125)0.126⨯+≈﹪,质量分数:60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ,三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C . 第一种付费方式为常数列;第二种付费方式为首项是4,公差也为4的等差数列;第三种付费方式为首项是0.4,公比为2的等比数列. 则38n A n =,2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+, 0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--. 下面考察,,n n n A B C 看出10n <时,380.4(21)n n >-.因此,当工作时间小于10天时,选用第一种付费方式.10n ≥时,,n n n n A C B C ≤≤因此,当工作时间大于10天时,选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ,即1a n =,选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式:2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b += 所以111502n n a a -=+,115003502n n n b a a -=-=- 如果1300a =,则2300a =,3300a =,…,10300a =6、解:由1223n n n a a a --=+得 1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯,221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得,11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯ 所以,数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦ 7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x +-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x +-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪ ……5年后达到资金 54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪ 解得 459x ≈(万元)。
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第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标
1.理解数列及其有关概念;
2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;
3.对于比较简单的数列,会根据其前n 项写出它的通项公式.
1.按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列
中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.
2.数列的一般形式可以写成a 1,a 2,…,a n ,…,简记为{a n }.
3.项数有限的数列称有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
4.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
一、选择题
1.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为( )
A .a n =n
B .a n =n +1
C .a n =n +2
D .a n =2n
答案 B
2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1+(-1)n +1
2
,则该数列的前4项依次为( ) A .1,0,1,0 B .0,1,0,1
C.12,0,12
,0 D .2,0,2,0 答案 A
3.若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是( )
A .a n =12
[1+(-1)n -1] B .a n =12
[1-cos(n ·180°)] C .a n =sin 2(n ·90°)
D .a n =(n -1)(n -2)+12
[1+(-1)n -1] 答案 D
解析 令n =1,2,3,4代入验证即可.
4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n -50,则-8是该数列的( )
A .第5项
B .第6项
C .第7项
D .非任何一项
答案 C
解析 n 2-n -50=-8,得n =7或n =-6(舍去).
5.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A .a n =n 2-n +1
B .a n =n (n -1)2
C .a n =n (n +1)2
D .a n =n 2+1 答案 C
解析 令n =1,2,3,4,代入A 、B 、C 、D 检验即可.排除A 、B 、D ,从而选C.
6.设a n =1n +1+1n +2+1n +3
+…+12n (n ∈N *),那么a n +1-a n 等于( ) A.12n +1 B.12n +2
C.12n +1+12n +2
D.12n +1-12n +2
答案 D
解析 ∵a n =1n +1+1n +2+1n +3
+…+12n ∴a n +1=
1n +2+1n +3
+…+12n +12n +1+12n +2, ∴a n +1-a n =12n +1+12n +2-1n +1=12n +1-12n +2. 二、填空题
7.已知数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧
3n +1(n 为正奇数)4n -1(n 为正偶数).则它的前4项依次为____________.
答案 4,7,10,15
8.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n (n +2)
(n ∈N *),那么1120是这个数列的第______项. 答案 10
解析 ∵1n (n +2)=1120
, ∴n (n +2)=10×12,∴n =10.
9.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是
______________.
答案 a n =2n +1
解析 a 1=3,a 2=3+2=5,a 3=3+2+2=7,a 4=3+2+2+2=9,…,∴a n =2n +1.
10.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ,约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第10个三角形数是______.
答案 55
解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,…,第10个三角形数为:1+2+3+4+…+10=55.
三、解答题
11.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…
(2)0.8,0.88,0.888,…
(3)12,14,-58,1316,-2932,6164
,… (4)32,1,710,917
,… (5)0,1,0,1,…
解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n +1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为a n =(-1)n (6n -5)(n ∈N *).
(2)数列变形为89(1-0.1),89
(1-0.01), 89(1-0.001),…,∴a n =89⎝⎛⎭
⎫1-110n (n ∈N *). (3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1
项变为-2-32,因此原数列可化为-21-321,22-322,-23-323,24-324,…, ∴a n =(-1)n ·2n -32n (n ∈N *). (4)将数列统一为32,55,710,917
,…对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为b n =2n +1,对于分母2,5,10,17,…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2},可得分母的通项公式为c n =n 2+1,
∴可得它的一个通项公式为a n =2n +1n 2+1
(n ∈N *). (5)a n =⎩⎪⎨⎪⎧
0 (n 为奇数)
1 (n 为偶数)
或a n =1+(-1)n 2(n ∈N *) 或a n =1+cos n π2
(n ∈N *). 12.已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫9n 2-9n +29n 2-1; (1)求这个数列的第10项;
(2)98101
是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;
(4)在区间⎝⎛⎭⎫13,23内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.
(1)解 设f (n )=9n 2-9n +29n 2-1
=(3n -1)(3n -2)(3n -1)(3n +1)=3n -23n +1
. 令n =10,得第10项a 10=f (10)=2831
. (2)解 令3n -23n +1=98101
,得9n =300. 此方程无正整数解,所以98101不是该数列中的项.
(3)证明 ∵a n =3n -23n +1=3n +1-33n +1=1-33n +1
, 又n ∈N *,∴0<33n +1
<1,∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内.
(4)解 令13<a n =3n -23n +1<23,则⎩⎪⎨⎪⎧
3n +1<9n -69n -6<6n +2, 即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83
. 又∵n ∈N *,∴当且仅当n =2时,上式成立,故区间⎝⎛⎭⎫13,23上有数列中的项,且只有一项
为a 2=47. 能力提升
13.数列a ,b ,a ,b ,…的一个通项公式是______________________.
答案 a n =a +b 2+(-1)n +1⎝⎛⎭⎫a -b 2
解析 a =a +b 2+a -b 2,b =a +b 2-a -b 2
, 故a n =a +b 2+(-1)n +1⎝ ⎛⎭
⎪⎫a -b 2. 14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有多少个点.
解 图(1)只有1个点,无分支;图(2)除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点;图(3)除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点;图(4)除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点;…;猜测第n 个图中除中间一个点外,有n 个分支,每个分支有(n -1)个点,故第n 个图中点的个数为1+n (n -1)=n 2-n +1.
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质:
(1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的.
(2)可重复性:数列中的数可以重复.
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不同近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.
3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可写成a n =(-1)n ,也可以写成a n =(-1)n +2,还可以写成
a n =⎩⎪⎨⎪⎧ -1 (n =2k -1),1 (n =2k ),其中k ∈N *.。