2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期末考试文科数学试题扫描版含答案
重庆市第八中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(文)试题+Word版含答案
重庆八中2017—2018学年度(下)高一年级半期考试数学试题(文科) 第Ⅰ卷 60分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|13P x R x =∈≤≤,{}2|4B x R x =∈≥ ,那么(),R P C B = （ ）A ．[]2,3B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(][),21,-∞-⋃+∞ 2. 若,,a b c R ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．1b a < B ．22a b > C ． 2211a b c c >++ D ．a c b c > 3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2b =，c =cos A =，且b c <，则b =（ ）A．2 C．．44. 已知等差数列{}n a 中1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ） A ．23-B ． 13- C. 13 D ．235. 设函数()(2),2,2,0,xf x x f x x -->⎧=⎨≤⎩, 则()41log 33f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）AB ．11 C. D ．2 6. 已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为231n n S nT n =+，则99a b =（ ） A ．3249 B ．3655 C. 1726 D ．9147.将3sin 4y x =的图象向左平移12π个单位长度，,再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，则()8f π=（ ）A ．32-B ．32C. 2D．32- 8. 已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为（ ）A ．15 B． 9.已知cos224απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1tan tan αα+等于（ ） A ．18-B ． -8 C. 18D ．8 10. 如图,在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC = ，1AD =,则·AC AD = （ ）A．．2C. 3D ．11.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行， 同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是（ ） A ．2小时 B ．157小时 C. 514小时 D ．57小时 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，21,01()22,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩.若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ． -1 B ． 12-C. 13- D ．14- 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13. 已知向量()2,1a =,(),2b x =- ，若//a b ，则x = ．14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352S =,则489a a a ++= ．15. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1a =，b =2A C B +=，则A = ．16. 设0x >,0y >且2212x y x y +++的最小值是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，满足37a =，且1a 、2a 、6a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c且cos cos cos 23b Cc B B +=.（1）求B ； （2）若b =c =，a b >，求a .19. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，满足37a =，且1a 、2a 、3a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ；20. 已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且,34x ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦求ab 及同（1）若sin ADC ∠=，求BC ； （2）若()f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最大值和最小值21.数列{}n a 满足()-12212nn n a a n =++≥，323a =.（1）设12n n na b +=，求证：{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .22. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈，满足.(2) ()2n n nf a n N *=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数[]1,10n ∈，使得22210n n ma a m +--<成立，求实数m 的取值范围.重庆八中2017—2018学年度(下)半期考试高一年级文科数学试题答案一、选择题1-5: BCBDA 6-10: CACBD 11、12：CC 二、填空题13. -4 14. 12 15. 6π 16.167三、解答题17.解：（1）当19c =时，()()23619f x x a a x =-+-+；所以()2(1)36196160f a a a a =-+-+=-++>，即26160a a --<解得：28a -<<（2）依题意：-1，4是方程()2360x a a x c -+-+=的解于是由韦达定理可得：()63343a a c -⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得312a c =⎧⎨=⎩18.解:（1）因为cos cos 23b C cCOSB a B +=，所以sin sin cos 3A AB =，而sin 0A ≠，故cos 6B B π=⇒=， （2）由22222cos 6505b a c ac B a a a =+-⇒-+=⇒=或1a =（舍），所以1sin 2ABC S ac B ∆== 19.解：由题可知，()2216333,332,7n a a a d a a n d n n N a *⎧=⋅⇒=∴=+-=-∈⎨=⎩,所以111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n -⎛⎫===- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭11111111(1)1,3447323133131n n S n N n n n n *⎛⎫=-+-++-=-=∈ ⎪-+++⎝⎭ . 20.解析：（1）2cos a b x +=== 因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以cos 0x >，所以2cos a b x += （2）2213()cos 22cos 2 cos 2cos 1 2 cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1cos 12x ≤≤，所以当1cos 2x =时，()f x 取得最小值32-；当cos 1x =时，()f x 取得最大值-1. 21.解析:（1）由题意，111-12112121(1)222n nn n n a n n n nn a a a a b b n ---++---=-===>， 所以{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知()331n b b n n =+-⋅=,从而21?21n n n n a b n =⋅-=- 令1122312222,212222n n S n S n +=⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅ ,两式相减有()()112 12222122n n n S n n ++=⋅-+++=-+ 所以()1122n n S n n +=-+-22.【解】（1）由函数方程，得1111(2)(22)2(2)2(2)2(2)2,n n n n n n f f f f f ----=⋅=+=+整理，得11(2)(2)122n n n n f f ---=，即11n n a a --=，从而n a n =； （2）设()2221h n m n n m =⋅+--当0m =，()21h n n =-，显然不存在正整数[]110n ∈，，使得()0H n <，舍去； 当0m >，对称轴为10x m=-<，此时()()min 1101h n h m m ==-+<⇒>；当0m <，开口向下，对称轴为10x m=->，此时只需()10h <或()100h <，即 001919(1)0(10)098198m m m h h m m <⎧<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨<<<<-⎩⎪⎩或或 综上，1998m <-或1m >。
2017-2018学年重庆市高一(下)期末考试数学试卷Word版含解析
2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．12．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．847．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．49．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．412．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：等差数列{a n}中，∵a2+a8=2，a5+a11=8，∴，解得a1=﹣3，d=1．故选：D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是，，，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．4．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？考点：程序框图．专题：操作型．分析：由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．解答：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B点评：本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到z=x﹣y的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2即z=x﹣y的取值范围是故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣y的范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．8．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故选：A．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．9．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：任意取出1球，共有6种等可能的方法，要求其重量大于号码数的概率，根据号码为n的球的重量为n2﹣6n+12克，构造关于n的不等式，解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数，代入古典概型公式即可求解．解答：解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选D．点评：本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即A的坐标为x=4，y=0，∴z max=3x+4y=12．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是12万元，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．4考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题12．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选B．点评：本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值．解答：解：∵a=2，c=3，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，则b=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3．考点：几何概型．专题：计算题；转化思想．分析：由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．解答：解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.3点评：本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的测度15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．考点：基本不等式；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2﹣ab，结合题中的等式得a2+b2﹣ab=25﹣3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．解答：解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：点评：本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设{a n}的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出{a n}的通项公式．（II）根据（I）中求出的{a n}的通项公式，利用对数的运算法则算出b n=n﹣1，从而证出{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列{b n}的前n项和S n的表达式．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a1+a3=4a2．又∵{a n}的公比为q，首项a1=1，∴4+q2=4q，解之得q=2．∴数列{a n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴，由此可得b n+1﹣b n=n﹣（n﹣1）=1，b1=0，∴{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，因此，数列{b n}的前n项和．点评：本题给出等比数列{a n}满足的条件，求它的通项公式并依此求数列{b n}的前n项和．着重考查了等差、等比数列的通项与性质，等差数列的前n项之积公式与对数的运算法则等知识，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．解答：解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2==5.2，S乙2==2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）f（x﹣1）＜0即，按照1﹣a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；（2）a=1时不等式可化为（※），由x≠﹣b可知b∉，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；解答：解：（1）f（x﹣1）＜0即，①当1﹣a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1﹣a）；②当1﹣a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；③当1﹣a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1﹣a，0）．（2）a=1时，f（x）＞即（※）且x≠﹣b，不等式恒成立，则b∉；又当x=﹣1时，不等式（※）显然成立；当﹣1＜x≤2时，，故b＞﹣1．综上所述，b＞﹣1．∵x+b≠0，∴b≠﹣x，又x∈，∴﹣x∈，综上，b∈（1，+∞）为所求．点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，由此能求出a n=n．（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＞+．解答：解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．。
2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|13},{|4}P x R x Q x R x =∈≤≤=∈≥，则()R P C Q ⋃=（ ） A. []2,3 B. (]2,3- C. [)1,2 D. ][(),21,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】由得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 故选B2．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是（ ） A.1b a < B. 22a b > C. 2211a b c c >++ D. a c b c > 【答案】C【解析】试题分析：取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ．【考点】不等式性质3．设的内角的对边分别为.若，、，且，则（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】B【解析】分析：首先由余弦定理得将，、代入即可求出的值，然后结合，对的值进行取舍，从而可得结果.详解：根据余弦定理可得：，整理可得：， 解之可得：或，，故选B.点睛：本题主要考查余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选D．【考点】等差数列的通项公式及前项和公式．【一题多解】由，得，所以，故选D．5．设函数, 则（）A. B. 11 C. D. 2【答案】A【解析】分析：根据分段函数的解析式，分别求出与的值，然后求和即可.详解：因为函数,所以；可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.6．已知等差数列，的前项和分别为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的性质可得，结合可得结果.详解：等差数列，的前项和分别为，，故选C.点睛：本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和公式的综合运用.7．将的图象向左平移个单位长度，,再向下平移3个单位长度得到的图象，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再求向下平移3个单位长度的解析式，再求的值.详解：将的图象向左平移个单位长度得到，再向下平移3个单位得到，所以，故选A.点睛：本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数求值，意在考查三角函数图像变换的基础知识掌握能力和基本运算能力.8．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为（）A. 15B.C.D.【答案】C【解析】分析：由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．详解：由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°=整理得a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S△ABC=×6×10×sin120°=15．故选C．点睛：此题考查了等差数列的性质、余弦定理、三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．9．已知，则等于（）A. B. -8 C. D. 8【答案】B【解析】分析：由，利用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式，化简可得，平方可得，化简，从而可得结果.详解：，，，，，故选B.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及同角三角函数之间的关系，综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.10．如图，在ABC 中， AD AB ⊥， 3BC BD =， 1AD =，则A C A D ⋅=（ ）A. B. 2 C. 3D. 【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB BD=+=+，∴()33AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．11．甲船在岛的正南方向处，千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是（）A. 2小时B. 小时C. 小时D. 小时【答案】C【解析】分析：设经过小时距离最小，分别表示出甲乙距离岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得结果.详解：假设经过小时两船相距最近，甲乙分别行至如图所示，可知，，由二次函数的性质可得，当小时距离最小，故选C.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及余弦定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.12．定义在上的函数满足，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（）A. -1B.C.D.【答案】C【解析】分析：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，，即为，即有恒成立，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值.详解：，可得为偶函数，当时，，可得时，递减，；当时，递减，且，在上连续，且为减函数，对任意的，不等式恒成立，可得，即为，即有对任意的，恒成立，由一次函数的单调性，可得：，即有，则的最大值为，故选C.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．二、填空题13．已知向量,，若，则_________．【答案】【解析】分析:直接代向量平行的坐标公式即得x的值.详解：由题得2×（-2）-x=0，所以x=-4.故填-4.点睛：本题主要考查向量平行的坐标运算公式，属于基础题.14．设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.15．已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则__________．【答案】【解析】分析：由可得，由正弦定理可得，从而可得结果.详解：分别是的三个内角所对的边，若，，，,由正弦定理得，解得，，故答案为.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16．设,且，则的最小值是__________．【答案】【解析】分析：由可得，化简，利用基本不等式可得结果.详解：,,,当且仅当，且时，即时等号成立，的最小值是，故答案为.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.三、解答题17．已知函数.(1)当时，解不等式；(2)若关于的不等式数的解集为，求的值..【答案】(1);(2).【解析】分析：(1)等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果;(2)由关于的不等式数的解集为，可得是方程的解，于是由韦达定理可得：，从而可得结果.详解：（1）当时，；所以，即解得：（2）关于的不等式数的解集为，可得-1，4是方程的解于是由韦达定理可得：，解得点睛：本题主要考查一元二次不等式的结法，以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于简单题.18．在中，角所对的边分别为且.（1）求；（2）若，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理对已知边化角，整理得，即得B的值.(2)利用余弦定理求a.详解：（1）因为，所以所以，而，故，所以.（2）由，化简得，解得或（舍）.故a=5.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角恒等变换，意在考查学生解三角形的基础知识运用能力和基本的运算能力推理能力.19．已知是公差不为0的等差数列，满足，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据等差数列中，且、、成等比数列列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；(2),利用裂项相消法可得数列的前项和.详解：（1）由题可知，可得解得,（2）.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20．已知向量，，且求（1）求；（2）若，求的最大值和最小值【答案】(1)；(2)最小值；最大值-1.【解析】分析：（1），结合即可的结果；（2），由，得，利用二次函数的性质可得结果.详解：（1）因为，所以，所以（2）因为，所以，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值-1.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）. 21．数列满足，.（1）设，求证：为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1），所以是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）知,从而，利用分组求和及错位相减求和法，结合等比数列求和公式可得结果.详解：（1）由题意，，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知,从而令,两式相减有所以点睛：本题主要考查等差数列的定义与等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.22．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】分析：（1）整理，得，即，从而可得结果；(2)设,当，显然不存在正整数，使得；当，可得；当，只需或，可得，综上可得结果详解：（1）由函数方程，得整理，得，即，从而；（2）设当，，显然不存在正整数，使得，舍去；当，对称轴为，此时；当，开口向下，对称轴为，此时只需或，即综上，或.点睛：本题主要考查数列的递推关系求通项、二次函数的性质、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。
2017-2018学年重庆八中高一(下)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1=1，a4=8，则公比q=（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°3．（5分）已知，则z=x﹣2y的最小值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣44．（5分）若a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（）A．＞B．＜C．ab＜b2D．ab＞a25．（5分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）实数a，b均为正数，且a+b=2，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．+7．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．0.81，78 D．0.09，838．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n=1，m=5，则输出p的值为（）A．﹣4 B．1 C．2 D．59．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n≥1），且a1=9，其前n项之和为S n，则满足不等式的最小正整数n是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5=9，则a2+a4=．12．（5分）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人．现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则n=．13．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为．14．（5分）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4．根据图3所示的程序框图，若知x1，x2，x3，x4分别为1，2，1.5，0.5，则输出的结果S为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设{a n}是公差大于0的等差数列，a1=2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和为S n．17．（12分）已知x1，x2，…，x n（n∈N*，n＞100）的平均数是，方差是s2．（Ⅰ）求数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差；（Ⅱ）若a是x1，x2，…，x100的平均数，b是x101，x102，…，x n的平均数．试用a，b，n表示．18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n•2n，为了求数列{a n}的和，现已给出该问题的算法程序框图．（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求n=4时，输出S的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言．19．（12分）已知函数f（x）=log2（x2﹣x），g（x）=log2（ax﹣a）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若g（x）的定义域为（1，+∞），求当f（x）＞g（x）时x的取值范围．20．（13分）已知变量S=sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的概率．21．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1=1，a4=8，则公比q=（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a1=1，a4=8，∴1×q3=8，解得公比q=2．故选：B．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的通项公式的求法．2．（5分）已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°【分析】先根据正弦定理将题中所给数值代入求出sinA的值，进而求出A，再由a＜b确定A、B的关系，进而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．3．（5分）已知，则z=x﹣2y的最小值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图：由图得当位于点B（0，2）时，z=x﹣2y的最小值为﹣4．故选：D．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）若a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（）A．＞B．＜C．ab＜b2D．ab＞a2【分析】根据不等式的性质逐个选项进行判断即可．【解答】解：（1）∵a＜b＜0，∴＞成立，故排除选项B；（2）∵a＜b＜0，b＜0，∴ab＞b2，故排除选项C；（3）∵a＜b＜0，a＜0，∴ab＜a2，故排除选项D；故选：A．【点评】本题主要考查了不等式性质的运用，属于基础题，解答此题的关键是要熟练的掌握不等式的性质，注意不等式成立的条件．5．（5分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．【分析】任意取出1球，共有6种等可能的方法，要求其重量大于号码数的概率，根据号码为n的球的重量为n2﹣6n+12克，构造关于n的不等式，解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数，代入古典概型公式即可求解．【解答】解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选：D．【点评】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）实数a，b均为正数，且a+b=2，则+的最小值为（）A．3 B．3+2C．4 D．+【分析】先把原式转化成（+）（a+b），展开后利用基本不等式的形式求得其最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（1+++2）=（++3），∵+≥2，当=，即a=2﹣2时，等号成立，∴+的最小值为+故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是构造出基本不等式的形式．7．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78 B．0.27，83 C．0.81，78 D．0.09，83【分析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：身高在（1.60，1.62]的学生人数为100×0.01=1人，身高在（1.62，1.64]的学生人数为100×0.03=3人，身高在（1.64，1.66]的学生人数为3×3=9人，身高在（1.66，1.68]的学生人数为9×3=27人，后6组的频数成等差数列，则这个等差数列的首项为27，设公差为d，则6×27+15d=87，解得d=﹣5，∴身高在（1.68，1.70]的学生人数为27﹣5=22人，身高在（1.70，1.72]的学生人数为22﹣5=17人，身高在（1.72，1.74]的学生人数为17﹣5=12人，∴m=，n=27+22+17+12=78．故选：A．【点评】本题考查了频率分布直方图及应用，考查等差数列、等比数列，综合性强．8．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n=1，m=5，则输出p的值为（）A．﹣4 B．1 C．2 D．5【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的结果是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m=5，n=1，k=1，p=1，p=1×（1﹣5+1）+1=﹣2；1＜5，是，k=2，p=﹣2×（1﹣5+2）+1=5；2＜5，是，k=3，p=5×（1﹣5+3）+1=﹣4；3＜5，是，k=4，p=﹣4×（1﹣5+4）+1=1；4＜5，是，k=5，p=1×（1﹣5+5）+1=2；5＜5，否，输出p=2．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．9．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA 的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选：B．【点评】本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．10．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=4（n≥1），且a1=9，其前n项之和为S n，则满足不等式的最小正整数n是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先根据题意，将3a n+a n=4变形为3（a n+1﹣1）=﹣（a n﹣1），可得{a n+1﹣1}是等比数列，结合题意，可得其前n项和公式，进而可得|S n﹣n﹣6|=6×（﹣）n；依题意，有|S n﹣n﹣6|＜，解可得答案．【解答】解：根据题意，3a n+a n=4，化简可得3（a n+1﹣1）=﹣（a n﹣1）；+1则{a n﹣1}是首项为a n﹣1=8，公比为﹣的等比数列，进而可得S n﹣n=（a1﹣1）+（a2﹣1）+…+（a n﹣1）==6[1﹣（﹣）n]，即|S n﹣n﹣6|=6×（﹣）n；依题意，|S n﹣n﹣6|＜，即（﹣）n＜，且n∈N*，分析可得满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小正整数n是7．故选：B．+a n=4转化为3（a n+1﹣1）=【点评】本题考查数列的应用，解题时注意将3a n+1﹣（a n﹣1），进而利用等比数列的相关性质进行解题．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5=9，则a2+a4=6．【分析】根据等差数列的性质，利用p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n，求出a3的值，进而可得到a2+a4的值．【解答】解：∵等差数列a n中，a1+a5=2a3，又由题意a1+a3+a5=9，∴3a3=9，a3=3，则a2+a4=2a3=6，故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的性质，其中利用p+q=m+n时，a p+a q=a m+a n，是解答本题的关键，属基础题．12．（5分）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人．现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则n=220．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，利用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率等于样本容量n，运算求出结果．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，个体的总数为400+3000+3200=6600，样本容量n=6600×=220，故答案为：220【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了个体的总数乘以每个个体被抽到的概率等于样本容量n，属于基础题．13．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为．【分析】先根据排列组合求出从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处的种数，再求出A处不安装红灯的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处共有=24种，A处不安装红灯共有=18种，故A处不安装红灯的概率P=．故答案为：．【点评】本题主要考查了排列组合的问题和古典概型的概率问题，属于基础题．14．（5分）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4．根据图3所示的程序框图，若知x1，x2，x3，x4分别为1，2，1.5，0.5，则输出的结果S为．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加S的值并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：1，2，1.5，0.5第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+2=3第三（i=3）步：s1=s1+x i=3+1.5=4.5第四（i=4）步：s1=s1+x i=4.5+0.5=5，s=×5=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．【分析】根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2﹣ab，结合题中的等式得a2+b2﹣ab=25﹣3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．【解答】解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：【点评】本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设{a n}是公差大于0的等差数列，a1=2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和为S n．【分析】（1）运用等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项公式；（2）运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差d大于0的等差数列，a1=2，，可得2+2d=（2+d）2﹣10，解得d=2（﹣4舍去），则a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，即b n=2n﹣1，数列{a n+b n}的前n项和为S n=（2+4+…+2n）+（1+2+…+2n﹣1）=n（2+2n）+=n2+n+2n﹣1．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．17．（12分）已知x1，x2，…，x n（n∈N*，n＞100）的平均数是，方差是s2．（Ⅰ）求数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差；（Ⅱ）若a是x1，x2，…，x100的平均数，b是x101，x102，…，x n的平均数．试用a，b，n表示．【分析】（Ⅰ）由题意有，由此能求出数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差．（Ⅱ）由已知条件得，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意有设数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差分别为，则=…（5分）=．…（9分）（Ⅱ）=．…（13分）【点评】本题考查平均数和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=n•2n，为了求数列{a n}的和，现已给出该问题的算法程序框图．（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求n=4时，输出S的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言．【分析】（I）由已知可得程序的功能是：求数列{n•2n}的和，由于S的初值为0，故循环时须执行S=S+ab，又因为循环变量b的初值为2，故循环变量b的值须执行b=2b．据此可得①②处填上的表达式．（II）由于程序是求数列{n•2n}的和，故n=4时，S=1×2+2×22+3×23+4×24，从而求出结果；（III）先判定循环的结构，然后选择对应的循环语句，对照流程图进行逐句写成语句即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得程序的功能是：数列{a n}的通项公式为a n=n•2n，为了求数列{a n}的和，由于S的初值为0，故第①处填S=S+ab，循环需要执行21次，又因为循环变量b的初值为2，故循环变量b的值须执行b=2b．第②处填b=2b…（4分）（Ⅱ）n=4时，S=1×2+2×22+3×23+4×24=98…（6分）（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言：S=0i=1a=1b=2While i≤nS=S+abi=i+1a=a+1b=2bWendPrint SEnd．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．19．（12分）已知函数f（x）=log2（x2﹣x），g（x）=log2（ax﹣a）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若g（x）的定义域为（1，+∞），求当f（x）＞g（x）时x的取值范围．【分析】（Ⅰ）由对数的真数大于0，求出f（x）的定义域；（Ⅱ）由g（x）的定义域求出a的取值范围，由f（x）＞g（x），得出不等式x2﹣x＞ax﹣a，从而求出x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，x2﹣x＞0，解得x＜0，或x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＜0，或x＞1}；…（4分）（Ⅱ）∵g（x）=log2（ax﹣a），∴ax﹣a＞0，即a（x﹣1）＞0；又∵g（x）=log2（ax﹣a）的定义域为（1，+∞），∴x﹣1＞0，即所以a＞0；…（6分）当f（x）＞g（x）时，x＞1；且x2﹣x＞ax﹣a，即（x﹣1）（x﹣a）＞0；∴①当0＜a≤1时，x＞1；②当a＞1时，x＞a．…（12分）【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用函数的性质解不等式的问题，解题时应利用转化思想，把所求的问题转化为可以解答的问题，是基础题．20．（13分）已知变量S=sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的概率．【分析】由题意可得S≥0等价于a≥b，（Ⅰ）为古典概型，列出总的基本事件，找出符合条件的基本事件即可；（Ⅱ）为几何概型，由区域的面积之比可得答案．【解答】解：设事件A为“S≥0”，当0≤a≤3，0≤b≤2时，对S=sin≥0成立的条件为a≥b，（Ⅰ）基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A包含9个基本事件，（后9个）故P（A）==；（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，（如图）所以所求的概率为=【点评】本题考查古典概型和几何概型的求解，由题意得出a≥b是解决问题的关键，属基础题．21．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，由此能求出a n=n．（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＞+．【解答】解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．。
2017-2018年重庆市部分区县高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年重庆市部分区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）不等式（x﹣3）（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣∞，3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，A＝45°，C＝60°，则a＝（）A．3﹣B．C．D．3+3．（5分）已知等差数列{a n}，a3＝6，a7＝8，则a5＝（）A．6B．7C．8D．94．（5分）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用如图的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个红色球的编号为（）A．13B．32C．25D．185．（5分）执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是（）A．4B．10C．46D．226．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b＜ab：③+＞2中，正确的不等式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（5分）有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里9．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为（）A．11B．12C．13D．1410．（5分）已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1＝+（n≥2），a1＝1，则a n＝（）A．n B．2n﹣1C．n2D．2n2﹣111．（5分）已知△ABC三边a，b，c满足＝＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形12．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣8，0）B．（﹣9，1）C．D．（﹣8，1）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡的相应位置上13．（5分）用系统抽样法从100名学生中抽取容量为10的样本，将100名学生从1～100编号，按编号顺序平均分成10组（1～10号，11～20号，…，91～100号），若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c；若a＝2，b＝6，cos C＝，则△ABC的面积S＝．15．（5分）记函数f（x）＝的定义域为D．若在区间[﹣5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为．16．（5分）数列{a n}前n项和为S n，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有a m+n＝a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A．（Ⅰ）求边AB的值；（Ⅱ）求sin A的值．18．（12分）某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如表所示：采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件．（Ⅰ）求分别抽取三种产品的件数；（Ⅱ）将抽取的6件产品按种类A，B，C编号，分别记为A i，B i，∁i，i＝1，2，3…．现从这6件产品中随机抽取2件．（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率．19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和A n．20．（12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率＝获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（用区间中点值代替该区间的取值）（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y（万份）与x（元）的回归方程为＝b+a；（ⅱ）若把回归方程＝b+a当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益．参考公式：＝，＝﹣．21．（12分）在△ABC中，sin C＝（1﹣cos C）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知数列{a n}满足a n＝2a n﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3＝27．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）记b n＝，是否存在一个实数t，使数列{b n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．2017-2018学年重庆市部分区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）不等式（x﹣3）（x+1）＜0的解集是（）A．（﹣∞，3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【解答】解：不等式（x﹣3）（x+1）＜0对应方程的实数根为3和﹣1，∴不等式的解集是（﹣1，3）．故选：C．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，A＝45°，C＝60°，则a＝（）A．3﹣B．C．D．3+【解答】解：∵c＝，A＝45°，C＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝．故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}，a3＝6，a7＝8，则a5＝（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3＝6，a7＝8，得2a5＝a3+a7＝6+8＝14，∴a5＝7．故选：B．4．（5分）福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，小明利用如图的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个红色球的编号为（）A．13B．32C．25D．18【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为13，18，25，32，26，12．∴选出来的第4个红色球的编号为32．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是（）A．4B．10C．46D．22【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，s＝1执行循环体，i＝2，s＝4不满足条件i＞3，执行循环体，i＝3，s＝10不满足条件i＞3，执行循环体，i＝4，s＝22此时，满足条件i＞3，退出循环，输出s的值为22．故选：D．6．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a+b＜ab：③+＞2中，正确的不等式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|，错误，②a+b＜ab，正确③+＞2＝2，正确，故正确的为②③，故选：C．7．（5分）有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从这四条线段中任取三条，共有中情况．其中只有当取3，5，7时，才能组成三角形．因此所取三条线段能构成一个三角形的概率P＝．故选：A．8．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．24里B．48里C．96里D．192里【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得＝378，解得a1＝192，∴第此人二天走192×＝96步故选：C．9．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最大值为（）A．11B．12C．13D．14【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝x+y，变形为y＝﹣x+z；则当直线y＝﹣x+z过点C时，z取得最大值；由，解得C（8，3）；∴z的最大值为8+3＝11．故选：A．10．（5分）已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1＝+（n≥2），a1＝1，则a n＝（）A．n B．2n﹣1C．n2D．2n2﹣1【解答】解：由S n﹣S n﹣1＝+，得＝+，∴，∴数列{}是一个首项为1公差为1的等差数列．∴＝1+（n﹣1）×1＝n，∴S n＝n2．当n≥2，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1；a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1，故选：B．11．（5分）已知△ABC三边a，b，c满足＝＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形【解答】解：令＝＝＝k，（k＞0），则a＝13k＞b＝11k＞c＝5k．由余弦定理，可得cos A＝∴△ABC钝角三角形．故选：C．12．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣8，0）B．（﹣9，1）C．D．（﹣8，1）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴（x+y）（）＝5++≥5+2＝9，当且仅当x＝3，y＝6时取等号，∵x+y＞m2+8m恒成立，∴m2+8m＜9，解得﹣9＜m＜1，故选：B．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡的相应位置上13．（5分）用系统抽样法从100名学生中抽取容量为10的样本，将100名学生从1～100编号，按编号顺序平均分成10组（1～10号，11～20号，…，91～100号），若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是43．【解答】解：样本间隔为100÷10＝10，若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是3+4×10＝43，故答案为：43．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c；若a＝2，b＝6，cos C＝，则△ABC的面积S＝3．【解答】解：∵cos C＝，C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴S＝ab sin C＝＝3．故答案为：3．15．（5分）记函数f（x）＝的定义域为D．若在区间[﹣5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为．【解答】解：函数f（x）＝，则4﹣3x﹣x2≥0，即x2+3x﹣4≤0，解得﹣4≤x≤1；∴f（x）的定义域为D＝[﹣4，1]；在区间[﹣5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为P＝＝．故答案为：．16．（5分）数列{a n}前n项和为S n，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有a m+n＝a m•a n，若S n＜a恒成立，则实数a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：令m＝1，n＝1，得到a2＝a12＝，同理令m＝2，n＝1，得到a3＝，…所以此数列是首项为，公比也为的等比数列，故此数列是无穷递缩等比数列，则S n＝＝（1﹣），要使S n＜a恒成立，需S n≤a，所以，a≥＝，∴a≥，∴实数a的取值范围为[）．故答案为：[，+∞）．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A．（Ⅰ）求边AB的值；（Ⅱ）求sin A的值．【解答】解：（Ⅰ）BC＝a＝，AC＝b＝3，sin C＝2sin A．由正弦定理可得：c＝2a，∴AB＝c＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c＝2，a＝，b＝3，由余弦定理：cos A＝＝．那么：sin A＝＝．18．（12分）某公司需要对所生产的A，B，C三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如表所示：采用分层抽样的方法从上产品中共抽取6件．（Ⅰ）求分别抽取三种产品的件数；（Ⅱ）将抽取的6件产品按种类A，B，C编号，分别记为A i，B i，∁i，i＝1，2，3…．现从这6件产品中随机抽取2件．（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设C产品抽取了x件，则A产品抽取了2x件，B产品抽取了3x件，…（2分）则有：x+2x+3x＝6，解得x＝1．…（4分）所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件．…（5分）（II）（i）设A产品编号为A1，A2；B产品编号为B1，B2，B3，C产品编号为C1，…（6分）则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，C1}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B3，C1}，共15个．…（10分）．（ii）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，C1}，{B1，C1}，{B2，C1}，{B3，C1}，共11个…（12分）因此这两件产品来自不同种类的概率为p＝．…（13分）19．（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若（n∈N*）．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和A n．【解答】解：（1）证明：因为等差数列{a n}的首项和公差都为2，所以a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，又因为b n＝22n，所以，所以数列{b n}是以4为首项和公比的等比数列；…（8分）（2）解：因为c n＝a n+b n＝2n+4n，等差数列{a n}的前n项和s n＝，等比数列{b n}的前n项和T n＝所以{c n}的前n项和A n＝s n+T n＝n（n+1）+．…（13分）20．（12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率＝获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（用区间中点值代替该区间的取值）（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y（万份）与x （元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y（万份）与x（元）的回归方程为＝b+a；（ⅱ）若把回归方程＝b+a当作y与x的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益．参考公式：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均获益率为0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05＝0.275；（Ⅱ）（i）由题意，计算＝×（25+35+40+45+55）＝40，＝×（7.4+6.6+5.8+5.9+4.3）＝6，∴＝≈﹣0.1，＝﹣＝6﹣（﹣0.1×40）＝10，则y（万份）与x（元）的回归方程为＝﹣0.1x+10；（ii）设每份保单的保费为20+x元，则销量为y＝﹣0.10x+10.0，则保费获益为f（x）＝（20+x）（﹣0.10x+10.0）万元，f（x）＝﹣0.1x2+8x+200＝﹣0.1（x﹣40）2+360；当x＝40元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获益为360×0.275＝99万元．21．（12分）在△ABC中，sin C＝（1﹣cos C）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若AB＝2，且sin C+sin（B﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，sin C＝（1﹣cos C）．所以：sin C+，整理得：，由于：0＜C＜π，故：，所以：C＝，（Ⅱ）由于sin C+sin（B﹣A）＝2sin2A，故：sin（A+B）+sin（B﹣A）＝2sin2A，整理得：2sin A cos B＝2sin A cos A，由于sin A≠0，则：cos A＝cos B，解得：A＝B．由于：，故△ABC为等边三角形．由于：AB＝2，所以：AB＝BC＝AC＝2，则：．22．（12分）已知数列{a n}满足a n＝2a n﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3＝27．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）记b n＝，是否存在一个实数t，使数列{b n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（I）数列{a n}满足a n＝2a n﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3＝27．∴a3＝2a2+23+1，∴27＝2a2+23+1，∴a2＝9．∴9＝2a1+22+1，解得a1＝2．（II）由a n＝2a n﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），变形为：﹣＝1+．∴＝++…++＝n+＝n+﹣．∴a n＝n•2n+2n﹣1﹣1．∴b n＝＝n++．可得t＝0时，b n＝n+，使数列{b n}为等差数列．（III）由（II）可得：a n＝（2n+1）•2n﹣1﹣1．设数列{（2n+1）•2n﹣1}的前n项和A n＝3+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1．2A n＝3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，∴﹣A n＝3+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n＝1+2×﹣（2n+1）•2n，∴A n＝（2n﹣1）•2n+1．∴数列{a n}的前n项和S n＝（2n﹣1）•2n+1﹣n．。
重庆市2017-2018学年高一下学期期末考试试题数学含答案
秘密★启用前2018年重庆一中咼2018级咼一下期期末考试数学试题卷 2018.7数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定 的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.(1)已知集合 A 二{x|(x 2)(x-3) "}，B 二{-1,0,1,2,3}，则 A" B 二(B) {0,1,2} (D ) {-1,0,1,2}b = (3,1),若a_b ,贝U 实数k 的值等于 5 5 3(B) - 3 (C ) 3( D )2(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S,若a 5 + a i4= 10,则$8等于(A) 20( B ) 60 ( C )90( D )100(4)圆(x 2)2 y 2 =4与圆(x-2)2 • (y -1)2 =9的位置关系为(A )内切(B )相交 (C) 外切 (D) 相离(A ) {0,1} (C ) {-1,0,1}(5)已知变量x , y 满足约束条件x - y _1 , x - y _1 (B ) 11 则z=3x+y 的最大值为 (A) 12 (C ) 3 (D)-1 (6)已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 1, q = 2,则 1 1 1 1' +…+ 的结果 a n a n +1可化为 (B) 1-2 (C )3(1—》) (D )彳(1 —寺) (7)“m=1 ”是“直线mx y — 2 = 0与直线x my 1 — m = 0平行” (A )充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C )充要条件(D) 既不充分也不必要条件(8) 阅读右面的程序框图，运行相应的程序,输出S 的值为15 (9) (B ) 105 (C ) (D ) 245945 现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2 3, 4”, 第二组卡片上分别写有数字“34, 5”，现从每组卡片中各随机 抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上 的数字，差为负数的概率为 (B)書(D)(10)在平行四边形 ABCD 中，AD = 2, / BAD = 60° E 为 CD 的中点, =1,则AB 的长为 (A ) .6(B) 4(C ) 5若 AD BE(D) 6(11)(原创)已知函数f(x)= ^x，且对于任意实数a，(0,1)厂x2+2mx —2m +1,x >1关于x的方程f (x) 一a= 0都有四个不相等的实根石，x, x3 x,则X1+X2 • x^ x的取值范围是(A)(2,4] (B)(-：：,0山[4,：：)(C)[4，+::) ( D)(2,+：：)(12 )(原仓U )已知集合M ={(x,y)|2x • y—4=0}，N = {(x, y) | x2 y2 2mx 2ny = 0}，若M 门N =，则m2n2的最小值4 3 l 5(A) 5 ( B) 4 ( C)(6- 2,5) (D) -4第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3： 3: 4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取名学生.(14 )(原创)在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若兀47a=3,B ,cAs —6 4则b= ___________ .(15)已知点P，Q为圆C: x2+ y2= 25上的任意两点，且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(16) (原创)点C 是线段AB 上任意一点，0是直线AB 外一点，OC = xOA+yOB , 不等式x 2(y 1) - y 2(x 2) k(x 2)(y 1)对满足条件的x , y 恒成立， 则实数k 的取值范围—三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分10分) 已知厶ABC 的面积是3,角代B,C 所对边长分别为a,b,c ,(I )求 A ^U AC ；(n )若b =2，求a 的值.(18) (本小题满分12分)已知圆 C :(X -3)2 • (y 一4)2 =4，直线 I 过定点 A(1,0).(I)若I 与圆C 相切，求直线I 的方程；(n)若I 与圆c 相交于p 、Q 两点，且PQ = 22，求直线I 的方程.(19) (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满 分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50), ［50,60)，…，［90,100］ 后得到如图所示的频率分布直方图.(I)若该校高一年级共有学生 640名，试估计 该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60分的人数；(n)若从数学成绩在［40,50)与［90,100］两个分数 段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学 成绩之差的绝对值不大于10的概率.cosA = ?5频率(20) (本小题满分12分)已知数列｛a n ｝满足a =1,耳-a nA = n (其中n _ 2且n N ).(I)求数列｛a n ｝的通项公式；2a7(U)设b n 二一-，其前n 项和是T n ,求证：T n <9.n x 49(21) (原创)(本小题满分12分)已知动点P(x, y)满足方程xy =d (x 0).(I)求动点P 到直线丨：x • 2y 一2二0距离的最小值；(U)设定点A(a,a)，若点P, A 之间的最短距离为2 2,求满足条件的实数a 的取值.(22) (本小题满分12分)已知函数f(x)= ax 〒b 为奇函数，且f(1) = 1 .x(I)求实数a 与b 的值； (U)若函数g(x) J _f (x)，设｛a n ｝为正项数列，且当n_2时，x[g(a n ) g(a n4)+ * 2*2 21] a n 2 =q ，(其中 q=2016 )，｛a .｝的前 n 项和为 S n ，a n anJb n 二' ，若bn _2017n 恒成立，求q 的最小值.i 二 S命题人：付彦审题人：邹发明2018年重庆一中高2018级高一下期期末考试数学答案 2018.7一、选择题：1— 5 DACBB 6—10 CCBDD 11—12 CA、填空题：15,解答题:4 3(17)解：由cos A 二一，得sin A = 一又2bcsinA^30，2bCSin A(i)A B A C = bccosA = 8(U) ；b=2,. c = 5, a2二b2c2-2bccosA =13 二a -、13(18)解：(i)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；3k _ 一_ kl 3当L1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则’ k =2，解得，Jk2+1 4 所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;(U)由题意，直线斜率存在且不为0,设其方程是y=k(x-1),则圆心到直线的距.k 1：2.4-d2=2 2, d=、2，此时k=1 或k=7，所以所求直线方程是x-y-1=0或7x-y-7=0.(19)解：(I)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1 —10 X0.005+ 0.01) = 0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640X).85= 544.(U)成绩在［40,50)分数段内的人数为40X0.05= 2,成绩在［90,100］分数段内的人数为40X0.1= 4,则记在［40,50)分数段的两名同学为A1, A2,在［90,100］分数段内的同学为B1, B2, B3, B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.如果2名学生的数学成绩都在［40,50)分数段内或都在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10;如果一个成绩在［40,50) 分数段内，另一个成绩在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的d =、_(t — a)2 a 2 -2 ,设 f(t) =(t — a)2 a 2 —2(t 一2)绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10的取法有(A i , A 2), (B I , B 2), (B i , B 3)，(B i ，B 4)，(B 2, B 3)，(B 2, B 4), (B 3, B 4)共 7 种取法，所以所求概(20)解：(I)解：an- a 1(a2- a 1)(a 3 -a2) 1 H (an-an八…宀1)("正明：0=罟=即, 2 3 n +1n 项和T n = 4+孑+…+ _4^，123 n n +14&=42+ 43+^+ 羊+4nT T ， T 1 2 1 1 1 n +1 二 T n — 4T n = 4 + 孑 + 戸+…+ 4n _ 厂1 丄1 4(1—4n)n +17 3n + 74+r —盯 二 12— 3^4^，1—4T_7— 3n + 7 7 T n= 9— 9X 4n<9.当且仅当X —2时距离取得最小值』51( n ) 设 点 P(x-)( x 0),Xd =J(x _a)2 +(丄—a)2 =i ；(x 2 十4) _2玄&十丄)+2a 2* x \ x x1 1设 x _ =t (t _ 2),则 x 2-2 =t 2 _2xx其前 (21)解：(I) d 二|xT 幕|x 2y - .2 |对称轴为t 二a 分两种情况：(1)a 乞2时，f(t)在区间上是单调增函数，故t=2时,f(t)取最小值 ••• d min 二」(2二a)2—a 2二2 二2.-2 ,二 a 2 _2a _3 二0 ,二 a =_1(a =3舍) ⑵a >2时,■/ f(t)在区间2,a 上是单调减，在区间la, •：：上是单调增，••• t =a 时，f(t)取最小值••• d min=.(a —a) a 一2=2、. 2,二 a = . 10 (a = -10 舍)综上所述，a = -1或• 10(22)解：(I)因为f (x)为奇函数，b一巴),x得 b =0，又 f(1)=1，得 a =1 1 X —1 (U)由 f (x)二一，得 g(x) = —2~ X X q(1-q n ) 1-q ' a q(n 一 2) . Sn = a n J.n S 由：曽I 1-q 2 J-q 3■/ b n -2017n 恒成立，即: 当 q _2016 时, n 1 + * 1 _q n 1-q n 1 ｛1 ^―｝为单调递减数列, 1-q _2017 时a + a — 1,且[g(a n ) g(a n 」)—a n 2 二 q ,a n an」1-S n 1 1 _ q。
【精品】2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷(文科)(逐题解析版)
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量=（2，k），=（﹣1，2），满足⊥，则实数k=（）A．﹣1 B．1 C．4 D．02．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3=3，S4=10，则数列{a n}的公差d=（）A．B．1 C．2 D．33．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B=60°，，A=30°，则a=（）A．2 B．4 C．6 D．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞05．（5分）已知函数f（x）=2lnx+ax在x=1处取得极值，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．0 D．16．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则=或者=﹣B．若•=•，则=C．若△ABC中，点P满足2=+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则=7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．89．（5分）若直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．（5分）数列{a n}中，a1=2，a n=2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12=（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）12．（5分）已知f（x）=a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）圆x2+y2=r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1相外切，则半径r的值为．15．（5分）△ABC是正三角形，AB=2，点G为△ABC的重心，点E满足，则=．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3=0，直线l：kx﹣y=0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x=0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c=5，求b2的值．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2=S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n=a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2=0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+1．（1）若a=1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量=（2，k），=（﹣1，2），满足⊥，则实数k=（）A．﹣1 B．1 C．4 D．0【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（2，k），=（﹣1，2），满足⊥，∴=﹣2+2k=0，解得实数k=1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3=3，S4=10，则数列{a n}的公差d=（）A．B．1 C．2 D．3【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a3=3，S4=10，∴a1+2d=3，4a1+d=10，联立解得d=1．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B=60°，，A=30°，则a=（）A．2 B．4 C．6 D．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵B=60°，，A=30°，∴由正弦定理，可得：a===4．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．5．（5分）已知函数f（x）=2lnx+ax在x=1处取得极值，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．0 D．1【分析】求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值，检验即可．【解答】解：f′（x）=+a，若f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2+a=0，解得：a=﹣2，故f（x）=2lnx﹣2x，f′（x）=﹣2，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，x=1是极大值点，符合题意，故选：A．【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．6．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则=或者=﹣B．若•=•，则=C．若△ABC中，点P满足2=+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则=【分析】根据共线向量以及单位向量的定义判断即可．【解答】解：对于A，根据共线向量的定义显然不成立，对于B，令=，显然不成立，对于C，根据向量的运算性质，成立，对于D，根据单位向量的定义，显然不成立，故选：C．【点评】本题考查了向量的定义以及向量的运算性质，是一道基础题．7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4 B．5 C．6 D．7【分析】分别令x=0，1，2，3，代入进行求解即可．【解答】解：当x=0时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y=0，y=1，当x=1时，不等式组等价为，得0≤y≤1，此时y=0，y=1，当x=2时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y=0，当x=3时，不等式组等价为，得y=0，综上共有6个整数点，故选：C．【点评】本题主要考查整数点的求解，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．8．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，可得a4a6=a2a8=2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，∴a4a6=a2a8=2，则a42+a62≥2a4a6=4，当且仅当a4=a6=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）若直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0配方可得圆心C（﹣1，2）．根据直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，可得a+2b=1．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0配方可得：（x+1）2+（y﹣2）2=4，可得圆心C（﹣1，2）．∵直线ax﹣by+1=0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，∴﹣a﹣2b+1=0，即a+2b=1．∵a＞0，b＞0则=（a+2b）=3++≥3+2，当且仅当a=b=﹣1时取等号．∴最小值为3+2．故选：A．【点评】本题考查了圆的方程及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】利用cos2=可得，再利用两角和差的余弦可求．【解答】解：由题意，即sinBsinC=1﹣cosCcosB，亦即cos（C﹣B）=1，∵C，B∈（0，π），∴C=B，故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合．属于基础题．11．（5分）数列{a n}中，a1=2，a n=2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12=（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）【分析】由数列{a n}中，a1=2，a n=2a n+1（n∈N*），可得数列{a n}为等比数列，首项为2，公比为．利用通项公式可得：a n，a n a n+2，再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由数列{a n}中，a1=2，a n=2a n+1（n∈N*），可得数列{a n}为等比数列，首项为2，公比为．∴a n==22﹣n，a n a n+2=22﹣n•22﹣（2+n）=．则a1a3+a2a4+…+a10a12===×．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知f（x）=a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a=（）A．B．C．D．【分析】f（x）=a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，即方程a（x2﹣x）=﹣有且仅有两个实数根，也就是函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象有两个交点，可得当a=0时，不合题意；当a ＜0时，由函数y=a（x2﹣x）的图象过原点，不合题意；当a＞0时，两函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象在第二象限必有1个交点，得到则两函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象在第四象限必相切，设切点为P（x0，y0），分别求出两函数在切点处的切线方程，由系数相等即可求得a值．【解答】解：f（x）=a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，即方程a（x2﹣x）=﹣有且仅有两个实数根，也就是函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象有两个交点，如图，当a=0时，不合题意；当a＜0时，由函数y=a（x2﹣x）的图象过原点，不合题意；∴a＞0，两函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象在第二象限必有1个交点，则两函数y=a（x2﹣x）与y=﹣的图象在第四象限必相切．设切点为P（x0，y0），由y=a（x2﹣x），得y′=2ax﹣a，由y=﹣，得y．∴函数y=a（x2﹣x）在P点处的切线方程为y﹣=（2ax0﹣a）（x﹣x0），即；函数y=﹣在P点处的切线方程为，即y=，则，解得：．故选：D．【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）圆x2+y2=r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1相外切，则半径r的值为4．【分析】用两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和来求出r的值．【解答】解：圆x2+y2=r2（r＞0）的圆心坐标（0，0），半径为r；圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心坐标（3，4），半径为1，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴=5=1+r，∴r=4，故答案为：4．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和是解题的关键．15．（5分）△ABC是正三角形，AB=2，点G为△ABC的重心，点E满足，则=﹣．【分析】建立坐标系，画出图象，结合图象求出A，E，C，G的坐标，求出，的坐标，从而求出答案即可．【解答】解：如图所示：，△ABC是正三角形，AB=2，点G为△ABC的重心，点E满足，则A（1，），E（，0），C（2，0），G（1，），则=（，﹣），=（﹣1，），故=﹣﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的运算，考查数形结合思想，是一道常规题．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3=0，直线l：kx﹣y=0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是[] ．【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心M关于直线y=kx 的对称点，由对称点的纵坐标的绝对值小于等于1求解k的取值范围．【解答】解：化圆M：x2+y2﹣4y+3=0为x2+（y﹣2）2=1，可知圆M的圆心坐标为（0，2），半径为1，设圆心M关于直线y=kx的对称点为M′（x′，y′），则，即．由|y′|=||≤1，解得：．∴k的取值范围是[]．故答案为：[]．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x=0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由斜截式方程可得切线的方程；（2）求得f（x）的单调区间和极值、端点处的函数值，可得最值．【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣4x+4的导数为f′（x）=x2﹣4，斜率k=f′（0）=﹣4，切点（0，4），所以切线为y=﹣4x+4；（2）所以函数最小值为﹣，最大值为．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c=5，求b2的值．【分析】（1）由已知及正弦定理化简已知等式可得sinCcosB=sinCsinB，结合sinC≠0，可求tanB=1，由范围B∈（0，π），可得B=．（2）由三角形面积公式可得ac=4，进而利用余弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵a=bcosC+csinB，∴由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，即sin（B+C）=sinBcosC+sinCsinB，∴得sinCcosB=sinCsinB，又∵sinC≠0，∴tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=．=acsinB=2，得ac=4，（2）∵由S△ABC∴b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=17﹣8．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【分析】（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，由A、B的坐标求得AB所在直线的斜率，可得CD所在直线的斜率，再由中点坐标公式求得AB中点坐标，代入直线方程点斜式得答案；（2）由题意知线段CD为圆的直径，可得r=2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=40，把A、B的坐标代入圆的方程，联立求得a，b的值，则圆的方程可求．【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，∵A（﹣1，0），B（3，4），∴AB的中点M（1，2），又，∴k CD=﹣1，∴直线CD的方程为：y﹣2=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3=0；（2）由题意知线段CD为圆的直径，∴2r=，得r=2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=40，∵圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），∴，解得或．∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40或（x﹣5）2+（y+2）2=40．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2=S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n=a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．【分析】（1）直接利用赋值法求出数列的首项和公比．（2）利用（1）的结论求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．=S n+，（n∈N*），【解答】解：（1）正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2令n=1和2，得到：，两式相减得：，解得．由于q为正数，则q=．又，可知，解得：a1=1，（2）由（1）得：，所以b n=a n+log2a n+1=，利用分组求和得：，=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2=4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2=0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【分析】（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d=．根据d2+=22，解得d．即可得出m．（2）由题知，直线MC的方程为：x=4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），=λ，得|PM|2=λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2=4﹣（y﹣1）2，整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28=0，由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，可得（2﹣2t）λ2+8=0，且（3+t2）λ2﹣28=0，解得t与λ．【解答】解：（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d==．∵d2+=22，解得d=1．∴=1．平方化为：m（3m+1）=0，解得m=0或m=﹣．（2）由题知，直线MC的方程为：x=4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），=λ，得|PM|2=λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2=4﹣（y﹣1）2，∴4﹣（y﹣1）2+（y﹣5）2=4λ2﹣λ2（y﹣1）2+λ2（y﹣t）2，整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28=0，由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，∴（2﹣2t）λ2+8=0，且（3+t2）λ2﹣28=0，解得：t2﹣7t+10=0，∴t=2，或t=5（舍去，与M重合），λ2=4，λ＞0，解得λ=2．综上可知，在直线MC上存在定点N（4，2），使得为常数2．【点评】本题考查了直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax+1．（1）若a=1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由题意可得a≤在x∈（0，b）恒成立，运用e x﹣1≥x，可得不等式右边函数的范围，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣x+1的导数为f′（x）=e x﹣1，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，则f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（2）存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，可得a≤在x∈（0，b）恒成立，由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，可得函数y在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，即为e x﹣x﹣1≥0，即有e x﹣1≥x，则＞=x+1＞1，可得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想和构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
重庆市七校2017-2018学年高一下学期期末考试数学(文)试题含答案
2017—2018学年度第二学期期末七校联考高一数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名．准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1．（原创）不等式(1)(2)0x x --<的解集为（ ） A ．{|1,x x <或2}x > B ．{|12}x x <<C ．{|2,x x <-或1}x >-D ．{|21}x x -<<-2．（改编）设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b >D ．a c b c +>+3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ） A ．15B ．105C ．245D ．9454．（原创）若变量x y 、满足约束条件1110x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．5B ．4C ．1D ．－55．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品，用频率 估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则 其为二等品的概率是（ ） A ．0.09 B ．0.20C ．0.25D ．0.456．（改编）一船以每小时的速度向东行驶，船在A 处看到一灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（ ） A ．60mB．mC．m D ．30m7．（改编）一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为（ ） A ．9B ．4C ．3D ．28．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。