数列第一讲课件(黑底白字)
则为递增等差数列， 2、若公差 d > 0 ，则为递增等差数列，若公差 d < 0 ，则为递减等差数列，若公差 d = 0 ，则为 则为递减等差数列， 常数列。 常数列。 特别地， 3、当 m + n = p + q 时,则有 am + an = ap + aq ，特别地， 当 m + n = 2 p 时，则有 am + an = 2ap . 注： a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = ⋅⋅⋅ ，
公 式 法 分组求和 数 列 求 和 错 位 相 减 求 和 裂 项 求 和 倒 序 相 加 求 和 分 期 付 款 数列的应用 其 他
数列有关概念
一：知识导学： 知识导学： 1.数列： 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做 数列 数列. 数列.
注：（1）数列中的数是按一定的次序排列 ） 如果组成的数相同而排列次序不同， 的，如果组成的数相同而排列次序不同， 则就是不同的数列； 则就是不同的数列； （2）同一数列中可以出现多个相同的数； ）同一数列中可以出现多个相同的数； （3）数列看做一个定义域为正整数集或其 ） 有限子集(｛ ， ， ， ， ｝ 的函数 有限子集 ｛1，2，3，…，n｝)的函数
四、等差数列的性质 1、当公差 d ≠ 0时，等差数列的通项公式 an = a1 + (n −1)d = dn + a1 − d 是关于 n 的一次 函 数 ， 且 斜率 为 公 差 d ； 前 n 项 和
n(n −1) d 2 d Sn = na1 + d = n + (a1 − )n 是 2 2 2 关于 n 的二次函数且常数项为 0.
1 n 1
等差数列知识点
特别地， 特别地，当项数为奇数 2n + 1时， an +1 是 项数为 2n+1 的等差数列的中间项
S2 n +1
( 2n + 1) ( a1 + a2 n+1 ) = =
2
( 2n + 1) an+1
（项数为奇数的等差数列的各项和等于 项数乘以中间项） 项数乘以中间项）
等差数列知识点
5、等差数列的判定方法 定义法： （1） 定义法： 若 an − an −1 = d 或 an +1 − an = d (常数 ∗ n ∈ N ) ⇔ {an } 是等差数列． 是等差数列． (2)等差中项: (2)等差中项:数列{an } 是等差数列 等差中项
⇔ 2an = an -1 + an +1 (n ≥ 2) ⇔ 2an +1 = an + an + 2 ．
数列有关概念
有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 无穷数列: 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（ 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或 数列的递推公式 前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一 前几项）及相邻两项（或几项） 个公式来表示， 则这个公式就叫做这个数列的递 个公式来表示， 推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法， 推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法， 其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出 数列中的项. 数列中的项.
9、 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm = n ， m 项和 Sn = m ， 前 则前 m+n 项和 Sm+ n = − ( m + n ) 10、 10、 两个等差数列 {an } 与 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 、
an S 2 n −1 Tn ，则 = bn T2 n −1
a1 + a2 n −1 (2n − 1) an (2n − 1)an S 2 n −1 2 略证： = = （略证： = ） bn (2n − 1)bn (2n−1 2
11、 是等差数列， 为公差， 11、设数列 {an } 是等差数列，d 为公差， S奇 是奇 数项的和， 是偶数项项的和， 数项的和，S偶 是偶数项项的和，Sn 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 1.当项数为偶数 2n 时， n ( a1 + a2 n −1 )
等差数列知识点
三、等差数列 1.等差数列 一般地，如果一个数列从第二项起， 等差数列: 1.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的 前一项所得的差都等于同一个常数， 前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 2.等差中项 等差中项: 2.等差中项: 成等差数列， 的等差中项． （1） 如果 a ，A ，b 成等差数列， 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． ： 即 a+b A= 或 2A = a + b 2 (2) 等 差 中 项 ： 数 列 {an } 是 等 差 数 列
2.项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项， 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各 项依次叫做这个数列的第 1 项 或首项）第 2 项， ， （或首项） ， … 第 n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与 3.通项公式：一般地，如果数列｛ 的第ｎ 通项公式 序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示， 序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这 个公式叫做这个数列的通项公式. 个公式叫做这个数列的通项公式.
S奇 nan an = = S偶 nan +1 an +1 a1 + a2 n S 2 n = 2n ⋅ = n(a1 + a2 n ) 2
= nan
2.当项数为奇数 2n+1时，则 S2n+1 = S奇 +S偶 =(2n+1) an+1 S奇 =(n+1)an+1 S奇 n+1 ⇒ ⇒ = S奇 −S偶 =an+1 S偶 n S偶 =nan+1 的等差数列的中间项） ． （其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） a1 +a2n+1 S2n+1 =(2n+1)⋅ =(2n+1)⋅an+1 2
等差数列知识点 设项技巧： （2）设项技巧： ①一般可设通项 an = a1 + (n − 1) d ②奇数个数成等差，可设为…， a − 2d , a − d , a, a + d , a + 2d … （ 公差为 d） ； ③偶数个数成等差，可设为…， 注意； a − 3d , a − d , a + d , a + 3d ,…（注意；公 差为 2 d ）
第一讲：等差数列 第一讲：等差数列
主讲人：王莉莉
知识纵横
数 列 的 分 类 数 列 的 概 念 数 列 的 通 项 公 式 数 列 的 递 推 公 式
等差数列的定义 等差数列 等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 等差数列的性质 两个基本数列 等比数列的定义 等比数列的通项公式 等比数列 等比数列的求和公式 等比数列的性质
S奇 = a1 + a3 + a5 + ⋅⋅⋅ + a2 n −1 = 2 n ( a2 + a2 n ) S偶 = a2 + a4 + a6 + ⋅⋅⋅ + a2 n = = nan +1 2 S偶 − S奇 = nan +1 − nan = n ( an +1 − an ) ,则 S偶 − S奇 = nd
等差数列知识点
⑶ 数 列
⇔
{an }
是 等 差 数 列
an = kn + b
（其中 k , b 是常数）。 是常数）。 (4 ） 数 列 {a } 是 等 差 数 列 2 ⇔ S n = An + Bn , 是常数）。 （其中 A、B 是常数）。
n
等差数列知识点
6、等差数列的证明方法 定义法：若 an − an−1 = d 或 an+1 − an = d (常数 n ∈ N ∗ ) ⇔ 定义法： {an } 是等差数列 7.解题技巧 解题技巧： 7.解题技巧： 和公式中， （1） 等差数列的通项公式及前 n 和公式中， 涉及 个元素： 到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称 作为基本元素。 作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
14、在等差数列 {an } 中,有关 Sn 的最值问题 法一： 的二次函数， 法一：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数， 故可转化为求二次函数的最值， 故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列 的特殊性 n ∈ N * 。 法二： 1） 首正”的递减等差数列中，前 n 项 法二： “首正”的递减等差数列中， （1 （ 和的最大值是所有非负项之和
数列知识点
的关系： 二、任意数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系：
S1 (n = 1) an = S n − Sn −1 (n ≥ 2)
(n>2),则 不用分段形式表示， 若 a1 适合 an(n>2),则 an 不用分段形式表示， 需 要统一“合写” 若不满足， 要统一“合写” 若不满足，则数列的通项应 ； 分段表示。 分段表示。切不可不求 a1 而直接求 an
7、等差数列 {an}的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，则数列
Sn Sm S2m S3m d { } 是等差数列，公差为 。特别地 、 是等差数列， 、 组 n 2 m 2m 3m
成等差数列。 成等差数列。 两个等差数列 8、两个等差数列 {an}与 {bn}的公差分别为 d1 和 d2 ，则 为等差数列， 数列 {pan + qbn}为等差数列，且公差为 pd1 + qd2
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数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
数列ppt课件
判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
第一讲数列的概念PPT教学课件
（4）利用换元思想 （5）先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
7
由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
2020/12/10
6
题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
7
由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
2020/12/10
6
题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列ppt课件
数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
数列_课件PPT
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
数列第一节ppt课件
序号 1 2 3 4 5 6 7 说明：数列的项是序号的函数，序号从
1 开始依次增加时，对应的函数值 按次序排出就是数列。
;
y=f〔x）
函数值
自变量
an=f(n)
如果数列{ an }中的第n项an与n之 间的关系可以用一个公式来表示， 则称此公式为数列的通项公式。
并不是所有的数列都有通项公式， 如数列(5)15, 5, 16, 16, 28，
32
有些数列的通项公式不唯一，如数 列〔4）-1，1，-1，1，…
;
an an=1/n的图象
1
这些点是
½
孤立的！
¼
O 1234567
n
;
an an=n+3的图象
10
9
数列图象
8
7
是一些点
6
5
4
3
2
1
O 1234567
n
;
(1) 1，2， 22 ，23，24，…， 263
(2) 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10
12131415请你观察?按一定次序排成的一列数叫数列?数列中的每一个数叫做这个数列的项项?各项依次叫做这个数列的第第1项项第第2项第第n项项定义根据数列的定义知数列是按一定次序排列的一列数因此若数列中被排列的数相同但次序不同则可能不是同一数列
第三章 数列
§3.1 数列
调兵山一高 罗英凤
;
新 课 引 入
数列〔5〕15 , 5 , 16, 16, 28, 32 改为数列〔5’）15 , 16 , 5 , 16 , 28 ,32
它们不是同一数列。
;
表示方法
数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}， 其
1 开始依次增加时，对应的函数值 按次序排出就是数列。
;
y=f〔x）
函数值
自变量
an=f(n)
如果数列{ an }中的第n项an与n之 间的关系可以用一个公式来表示， 则称此公式为数列的通项公式。
并不是所有的数列都有通项公式， 如数列(5)15, 5, 16, 16, 28，
32
有些数列的通项公式不唯一，如数 列〔4）-1，1，-1，1，…
;
an an=1/n的图象
1
这些点是
½
孤立的！
¼
O 1234567
n
;
an an=n+3的图象
10
9
数列图象
8
7
是一些点
6
5
4
3
2
1
O 1234567
n
;
(1) 1，2， 22 ，23，24，…， 263
(2) 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10
12131415请你观察?按一定次序排成的一列数叫数列?数列中的每一个数叫做这个数列的项项?各项依次叫做这个数列的第第1项项第第2项第第n项项定义根据数列的定义知数列是按一定次序排列的一列数因此若数列中被排列的数相同但次序不同则可能不是同一数列
第三章 数列
§3.1 数列
调兵山一高 罗英凤
;
新 课 引 入
数列〔5〕15 , 5 , 16, 16, 28, 32 改为数列〔5’）15 , 16 , 5 , 16 , 28 ,32
它们不是同一数列。
;
表示方法
数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}， 其
《数列的概念》课件
奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如，奇数项都是正数， 而偶数项都是负数；或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。
数列第一节课PPT课件
共同特点
1、都是一列数； 2、有一定的次序。
数列的有关概念
1、定义 按一定次序排列的一列数 (数列的确定性、有序性) 2、名称 (1)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 (2)序号 :项数。
(3)一般形式:a1,a2,…,an ，简记为数列{an} 如果数列{an}的第n项与项数之间的关系可以用一 3、通项公式： 个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。 4、实质： 从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域 为正整数集 N* （或它的有限子集 {1 ， 2 ， … ， n} ）的 函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数 值，通项公式即相应的函数解析式，即数列是特殊的 函数。
an=3+n
项 4 5 6 7 8 9 1:
an=3+n(1≦n≦7)。
一群孤立的点
作其图象
2、作数列{ an }：
an=1/n n∈{1,2,3,4,5,6,7}
的图象
数列的分类
数列
有穷数列
无穷数列
项 数 有 限 的 数 列
项 数 无 限 的 数 列
数 列
目 标：
1、知识目标：理解数列的概念、通项公式、数列 和函数之间的关系；理解数列的递推公式，明确 递推公式与通项公式的异同；理解数列前n项和Sn 与通项an之间的关系。 2 、能力目标：会用通项公式写出数列的任意 一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写 出它的一个通项公式；会根据数列的递推公式写 出数列的前几项；能根据数列的前n项和公式写出 通项公式；培养学生观察、归纳、推理的能力。 3、德育目标：培养学生联系、类比的能力。
1、集合{4，5，6，7，8，9，10}与数列4,5,6,7,8,9,10 是否相同？