2018年高中数学第二章数列2.3第一课时等比数列的概念及通项公式课件苏教版选修5

3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取 值范围是________． 解析：若数列{an}是等比数列，则数列中an≠0，即a≠1且a≠0. 答案：a≠0且a≠1
4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________. 解析：由题意知：q3＝aa52＝18，∴q＝12. 答案：12
是特殊的等比数列．
2．等比数列的通项公式 首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1 .
[点睛] (1)在已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式an＝ a1qn－1可求出等比数列中的任一项；
(2)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，可改写为an＝
a1 q
·qn.
(2)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)等价于{an}是 等比数列．
[活学活用] 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝13(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，∴a1＝－12.
等比数列的公比．通常用字母 q 表示．
[点睛] (1)“从第二项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝aan－n 1或q＝
an＋1 an
.
特别
注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列
等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q 后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1， 最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[活学活用] 1．在等比数列{an}中，若a1＝217，a7＝27，试求an.
[解] [法一 利用通项公式设项] 设这三个数依次为a，aq，aq2， 由题意知aa·2a＋q·aa2qq22＝＋2a72q，4＝91. ∴aa2q1＋3＝q22＋7，q4＝91， 即aaq2＝1＋3，q2＋q4＝91，
故1＋qq22＋q4＝991得9q4－82q2＋9＝0， 解得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13. 若q＝3，则a＝1；若q＝－3，则a＝－1； 若q＝13，则a＝9；若q＝－13，则a＝－9. 故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
等比数列的判断与证明
[典例] (1)若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的 通项公式是________．
(2)已知等比数列{an}的通项公式an＝3·12 n－1，且bn＝a3n－2＋a3n－1 ＋a3n，求证{bn}成等比数列．
[解] (1)由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得 an－an－1＝2an(n≥2)，
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又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
1 3
(an－1)－
1 3
(an－1－1)，得
aan－n 1＝－12，又aa21＝－12，
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列.
巧设项计算等比数列问题
[典例] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方 和为91，求这三个数．
等比数列的通项公式
[典例] 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求{an}的通项公式．
[解] 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， a2＝aq3＝2q，a4＝a3q＝2q， ∴2q＋2q＝230，解得q＝13或q＝3. 当q＝13时，a1＝18，此时an＝18×13n－1＝2×33－n； 当q＝3时，a1＝29，此时an＝29×3n－1＝2×3n－3.
解：法一：∵a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，
∴a1q2＋a1q5＝36，
①
a1q3＋a1q6＝18，
②
②①得q＝12，∴14a1＋312a1＝36，∴1＝128，
而an＝a1qn－1，∴12＝128×12n－1，∴n＝9.
法二：∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝q(a3＋a6)， ∴q＝aa43＋ ＋aa76＝1386＝12，而a3＋a6＝a3(1＋q3)， ∴a3＝a13＋＋qa36＝1＋3618＝32. ∵an＝a3qn－3，∴12＝32×12n－3，∴n＝9.
[法二 对称设项] 由题意，可设这三个数分别为aq，a，aq，
∴aqaq·22a＋·aaq2＝＋2a72q，2＝91，
a＝3， 即a2q12＋1＋q2＝91，
得9q4－82q2＋9＝0.解得q2＝9或q2＝19. ∴q＝±3或q±13. 故这三个数为1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.
当q＞0且q≠1时，这是指数型函数．
[小试身手]
1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．
解析：∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝－3，∴a5＝405. 答案：405 2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－12，则a6＝______. 解析：由题知a6＝a1q5＝32×－125＝－1. 答案：－1
3n－3·1＋12＋14＝241123n－3，
∴
bn＋1 bn
＝
1 2
3，当n＝1时，b1＝
21 4
，∴{bn}是以
21 4
为首项，
公比为18的等比数列．
判断或证明数列为等比数列常用的方法
(1)定义法：
an＋1 an
＝q(q为常数且q≠0)等价于{an}是等比
数列．
解：由a7＝a1q6，得27＝217·q6. ∴q6＝272＝36.∴q＝±3. 当q＝3时，an＝a1qn－1＝217×3n－1＝3n－4； 当q＝－3时，an＝a1qn－1＝217×(－3)n－1 ＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4. 故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
2．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n.
一般地，关于等比数列的“对称设”，当项数为奇数时，
可设中间一个数为a，再以公比为q向两边对称设其项；当项数
为偶数时，可设中间两项分别为
a q
、a，再以公比为q向两边对
称设其项．
[活学活用]
已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－
3 2
，
求这四个数． 解：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3.
a4q6＝1，
①
则aq1＋q＝－32，
②
由①得a2q3＝±1，
③
由②得a2q2(1＋q)2＝94，
④
把a2q2＝1q代入④得q2－14q＋1＝0，此方程无解． 把a2q2＝－1q代入④得q2＋147q＋1＝0， 解得q＝－4或q＝－14. 当q＝－14时，a＝8； 当q＝－4时，a＝－18. 所以，这四个数分别是： 8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.
第一课时 等比数列的概念及通项公式
预习课本P49～53，思考并完成以下问题
(1)等比数列的定义是什么？它和等差数列有什么不同？ (2)等比数列的通项公式怎样表述？ (3)怎样证明一个数列是等比数列？
1．等比数列
[新知初探]
一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做
∴an＝－an－1(n≥2)，aan－n 1＝－1(n≥2)． 故{an}是公比为－1的等比数列， 令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1. [答案] an＝3·(－1)n－1
(2)证明：∵an＝3·12n－1，
∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝3123n－3＋3123n－2＋3123n－1＝312