第9章 正弦电流电路分析
第九章 正弦电流电路的分析3
§9-6 正弦电流电路的串联谐振一、 定义R 、L 、C 串联，阻抗()jX R j Z +=ω()C L X X j R -+=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C L j R ωω1当C L X X =时：X = 0Z = R ，为纯电阻性U、I 同相──称该电路发生了串联谐振。
这时的电路就叫做串联谐振电路。
二、谐振条件∵ ()()jX R X X j R j Z C L +=-+=ω发生串联谐振时X = 0，电路呈电阻性，其条件()[]0Im =ωj Z对以上电路，亦即C L ωω1=要达到串联谐振，有两种办法： ⎩⎨⎧的值改变改变C L ,ω三、谐振频率假设电路的R 、L 、C 为定值，电源角频率ω可变，则使电路发生串联谐振的频率，称为谐振频率。
用0ω表示。
U∙C U ∙RL∙由谐振条件 C L ωω1=得LC10=ω表明：0ω仅由电路参数L 、C 确定。
因此，0ω也称作电路的固有频率。
上式还表明：当电源频率等于电路固有频率0ω时，电路发生串联谐振。
思考：－RLC 串联电路并未与电源相接，该电路是否存在谐振频率？四、谐振时电路的特性1. 输入阻抗、电流与电压输入阻抗 ： ()R j Z =ω||Z 达最小值。
电流：设端电压 t U U S 0sin 2ω=︒∠=0 U US则 ︒∠=︒∠==0 0 RU R U Z U I S I 与SU 同相，I 达最大值。
电压：I L j U L 0ω= I C j U C1ω-=∵ 谐振时 CL 001ωω=， ∴ CL U U -=及C L U U =。
L 与C 上电压大小相等，相位相反。
L 、C 之间的端电压为零，电感电压与电容电压相互抵消。
0=+=CL X U U U 对电路其余部分来说，L 、C 串联部分相当于短路，于是，串联谐振也叫电压谐振。
电路端电压（电源电压）等于电阻上的电压RX R S U U U U =+=电流、电压相量图：2. L 与C 中的能量设 t I i 0s i n 2ω= 在时刻t ，L 中的储能为()()()t LI t I L t Li t L 022202sin sin 22121ωωω===磁场能量最大值为 2LI W Lm =∵ ()()︒-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=90sin 1200t I C t u c ωω ∴ ()()t LI t cu t C C 0222cos 21ωω== 电场能量最大值为 2LI W cm =o∙∙∙==I R U U R S L U ∙C U ∙∙I表明：① cm Lm W W =──谐振时，磁场能量最大值等于电场能量最大值。
邱关源《电路》第五版第章-正弦稳态电路分析
2.欧姆定律的相量形式
电阻、电感、电容的串联阻抗：
在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗
其中：阻抗Z的模为
阻抗角分别为 。
可见，电抗X是角频率ω的函数。
当电抗X＞0(ωL＞1/ωC)时，阻抗角φZ＞0，阻抗Z呈感性；
当电抗X＜0(ωL＜1/ωC＝时，阻抗角φZ＜0，阻抗Z呈容性；
邱关源《电路》第五版第章-正弦稳态电路分析
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第9章正弦稳态电路分析
9-1阻抗和导纳
一．阻抗
1．定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的阻抗，记为Z，
注意：此时电压相量 与电流相量 的参考方向向内部关联。
（复数）阻抗
其中 —阻抗Z的模，即阻抗的值。
—阻抗Z的阻抗角
—阻抗Z的电阻分量
—阻抗Z的电抗分量
电阻元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
则
电感元件的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
则
电容的阻抗：在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
Z(jω)＝R(ω)+jX(ω)
式中R(ω)＝Re[Z(jω)]称为Z(jω)的电阻分量，X(ω)＝Im[Z(jω)]称为Z(jω)的电抗分量。式中电阻分量和电抗分量都是角频率ω的函数。所以，要注意到电路结构和R、L、C的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如下图电路的等效阻抗
同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳Y(jω)也是外施正弦激励角频率ω的函数，即
电路原理第9章 正弦量与相量
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
9-2正弦电路的向量分析方法
第九章正弦稳态电路的分析2讲授板书掌握利用基尔霍夫定律等电路分析法分析正弦信号电路。
正弦稳态电路的分析方法。
正弦稳态电路的分析方法1. 组织教学 5分钟3. 讲授新课70分钟1）方法介绍152）例题55 2. 复习旧课5分钟阻抗、导纳4.巩固新课5分钟5.布置作业5分钟一、学时：2二、班级：06电气工程（本）/06数控技术（本）三、教学内容：[讲授新课]：第九章正弦电路的向量分析法1．电阻电路与正弦电流电路的分析比较结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的。
因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。
2. 典型例题例9-6求图 (a) 电路中各支路的电流。
已知电路参数为:例 9 — 6 图（ a ）（ b ）解：电路的相量模型如图（b）所示。
设则各支路电流为例9-7 列写图（a）电路的回路电流方程和节点电压方程例 9 — 7 图（a）解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为: 回路 1回路 2回路 3回路 4（ b ）（ c ）结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为:结点 1结点 2结点 3例9-8 求图（a）电路中的电流已知：例 9 — 8 图（a）（b）解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中方法二：应用戴维南等效变换图（ c ）（ d ）求开路电压：由图（c）得求等效电阻：把图（c）中的电流源断开得等效电路如图（d）所示，因此电流例9-9 求图（a）所示电路的戴维南等效电路。
例 9 — 9 图（ a ）（ b ）解：把图（a）变换为图（b），应用 KVL 得解得开路电压求短路电流：把图（b）电路端口短路得所以等效阻抗:例9-10 用叠加定理计算图（a）电路的电流，已知例 9 — 10 （ a ）（ b ）（ c ）解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得：由图（b）得则所求电流例9-11 已知图示电路：Z =10+j50Ω,Z1=400+j1000Ω,问：β等于多少时，相位差90°？例 9 — 11 图解：根据 KVL 得所以令上式的实部为零，即得: ,即电压落后电流90°相位。
第九章正弦稳态电路分析
uL 176 2 sin ( 314t 163 )V
uC 352 2 sin ( 314 t 17 )V
通过计算可看出：
U C IX C 4.4 80 352V
I
U U R U L UC
UL
UR 53 U
而是 U U R U L U C (3)相量图 U L UC (4) P UI cos 220 4.4 cos ( 53)W
I
Im
Z R jX | Z | cos Z j | Z | sin Z R：电阻，X：电抗
(1) R、L、C元件的阻抗
Z R R R 0 Z L jL L90 1 1 ZC j 90 C C
（2）RLC串联电路的阻抗: 根据KVL 和相量形式的欧姆定律得
§9-3 正弦稳态电路的分析
正弦电流电路的稳态计算：利用相量形式的基尔霍夫电流 定律和电压定律以及电路元件相量形式的伏安关系。
分析方法：网孔电流法和节点电压法。 用网孔电流法时，应注意什么是自阻抗、互阻抗，特别是 互阻抗正负号与流经此阻抗的两网孔电流方向的关系：相 同取正，相反取负。对网孔中的电源，包括独立电压源、 独立电流源以及受控源，处理方法均与电阻电路的回路分 析法相同。
i 4.4 2 sin ( 314 t 73 )A
(2)
50 X L XC 40 - 80 arctan arctan -53 R 30
Z
U R IR 4.4 30V 132V
uR 132 2 sin ( 314t 73 )V
U L IX L 4.4 40 V 176V
9章_正弦稳态电路的分析n
9-1 阻抗和导纳 9-2 电路的相量图 9-3 正弦稳态电路的分析 9-4 正弦稳态电路的功率 9-5 复功率 9-6 最大功率传输
一、复阻抗Z
9-1 阻抗和导纳
I
+
U
无源 线性
-
I
+
U
Z
-
正弦激励下的无独立源线性网络，定义其入端等效复阻抗Z:
Z
UI
U I
(u
Z 2Ω I=8A ?
两个阻抗并联时,在什么情况下:
1 1 1 成立。
Z Z1 Z2
1. 图示电路中,已知 X L XC R 2Ω 电流表A1的读数为3A,
试问(1)A2和A3的读数为多少? + A1 A2 A3 (2)并联等效阻抗Z为多少? U L R C -
2. 如果某支路的阻抗 Z (8 j6)Ω, 则其导纳
阻抗三角形(impedance triangle)
|Z|
z
R
z > 0
X或
R
z
X |Z|
z < 0
| Z |
R2 X 2
φ arctan X R
R = |Z|cos z X = |Z|sin z
阻抗Z可以用加压求流法计算（含受控源），也可以用复阻 抗的串并联等效计算。
UL超 前I90°
由相量图可求得：
V 读数为141V
UL
100I1 10
U
45°I 45°
100UAB
10 2 I2
练习题
一、 如图电路中，已知：
i
u(t) 10cos(400π t 60o) V
9正弦稳态电路的分析
一、瞬时功率(instantaneous power)
吸收
p( t ) ui
网络N0吸收能量 O
i、 u 、 p
p( t ) 0
p( t ) 0 网络N0释放能量
• 有正有负，表明有能量交换; 正大于负,表明耗能。
2019/1/23
ωt
Z
24
二、平均功率(average power) ：+
I L
j17.3
-j10
20
10
I 10 A, L: I L 1 17.390 V U
L
I 2
I 1
10 j17.3 V, I U / 20 160 A 20电阻：U R2 R2 2
I I 1.73230 A, U j10 I 17.32 60 V C: I C 1 2 C C
I
+ U Y
对于无源网络N0: + U
I
R
jX
Z Y 1
I
+ U -
| Z | | Y | 1
2019/1/23
0
Z Y
G
jB
8
R、L、C元件的阻抗与导纳
I
+ U R + U -
I
jL
+ U -
I
1 j C
ZR
Y G
22
U n3
2019/1/23
例2：求图示电路的戴维南等效电路。
50 5 I j300 I 解： 6000 50 I 1 1 1
j300 I U OC 1
60 UO C 30 2450 1 j
第九章 正弦稳态电路的分析
第九章正弦稳态电路的分析 §9－1阻抗和导纳§9－2阻抗(导纳)的串联和并联§9－3正弦稳态电路的分析§9－4正弦稳态电路的功率§9－5复功率§9－6最大传输功率§9－7串联电路的谐振§9－8并联电路的谐振串、并联谐振的特性比较§9－1阻抗和导纳一、阻抗1、阻抗的定义无源线性一端口网络等效电路§9－1阻抗和导纳2、单个元件的阻抗电阻电容电感§9－1阻抗和导纳3、RLC 串联电路的阻抗或§9－1阻抗和导纳对于RLC 串联电路：（1）当ωL ＞1/ωC 时§9－1阻抗和导纳（2）当ωL ＜1/ωC时§9－1阻抗和导纳（3）当ωL ＝1/ωC时§9－1阻抗和导纳二、导纳1、导纳的定义无源线性一端口网络等效电路§9－1阻抗和导纳2、单个元件的导纳电阻电容电感§9－1阻抗和导纳3、RLC 并联电路的导纳或§9－1阻抗和导纳对于RLC 并联电路：（1）当ωL ＞1/ωC时§9－1阻抗和导纳（2）当ωL ＜1/ωC 时§9－1阻抗和导纳（3）当ωL = 1/ωC时§9－1阻抗和导纳三、复阻抗和复导纳的等效互换同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为：即：§9－1阻抗和导纳串联电路和其等效的并联电路它的阻抗为：其等效并联电路的导纳为：即等效电导和电纳为：§9－1阻抗和导纳同理，对并联电路，它的导纳为其等效串联电路的阻抗为：即等效电阻和电抗为：§9－1阻抗和导纳)60sin(25 +=t u ωHz f 4103⨯=例9-1电路如图(a)所示，已知：R =15Ω,L =0.3mH,C =0.2μF, ，。
求i ,u R ,u L ,u C 。
VU 605∠=•解：电路的相量模型如图（b ）所示，其中：§9－1阻抗和导纳C j L j R Z ωω1-+=A Z U I 4.3149.04.6354.33605-∠=∠∠==••V I L j U L 4.8642.84.3149.0905.56∠=-∠⨯∠==••ωV I R U R 4.3235.24.3149.015-∠=-∠⨯==••V I Cj U C 4.9395.34.3149.0905.261-∠=-∠⨯-∠==••ω因此总阻抗为总电流为电感电压为电阻电压为电容电压为相量图如图（c ）所示，各量的瞬时式为：§9－1阻抗和导纳例9-2 RL 串联电路如图（a ）所示，求在ω＝106rad/s 时的等效并联电路图（b ）。
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等效阻抗为一个2Ω的电阻，如图(c)所示。
画出=2rad/s时的相量模型如图(d)所示，
用阻抗串并联阻抗的公式求得等效阻抗为
(1 j2)( j1) 2 j1 1 j3 Z ( j2) (0.5 j1.5) 1 j2 j1 1 j1 2
等效阻抗为一个0.5Ω的电阻与-j1.5Ω的容 抗串联，其等效电路如图(e)所示。
5 2COS (314t 120 90 ) 5 2COS (314t 30 ) A 10060V , I 530 A U
则所求阻抗和导纳为
10060 U Z 2030 I 530 1 1 Y 0.05 30 S Z 2030
郁 金 香
第9章 正弦电流电路的分析
主要内容：阻抗和导纳，正弦稳态电 路分析，正弦电路的瞬时功率、平均功率、 无功功率、视在功率和复功率、最大功率 传输等问题。
重点：阻抗和导纳，正弦稳态电路分析。 难点：正弦稳态电路分析。
9.1
阻抗和导纳及相量模型
阻抗和导纳是正弦稳态分析中的两个重要 概念，它们可以用来表示RLC元件以及由这些 元件组成的单口网络的特性。现在将这两个概 念推广到一般单口网络的相量模型，正式给出 它们的定义。
根据时域模型中RLC元件的参数，用相 应的阻抗(或导纳)表示，并标明在电路图上。
(2)
时域形式 电阻 电感 电容 R L C
相量形式 R 或 j L 或 1 j C G 1 j L
或 j C
2, 根据KCL、KVL和元件VCR相量形 式，建立复系数电路方程或写出相应公式， 并求解得到电压电流的相量表达式。
1 2 3 n
Z Z1 Z 2 Z3 Z n
结论：n个阻抗串联组成的单口网络，
就端口特性来说，等效于一个阻抗，其等 效阻抗值等于各串联阻抗之和，即 n U Z Z1 Z 2 Z 3 Z n Z k I k 1
n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的 U U 关系为 I
k 1
求得第k个导纳中的电流相量与端口电流相量 的关系为
I k YkU Yk Yk I I n Y1 Y2 Yn Yk
k 1
(9 16)
这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。 常用的两个阻抗并联时的分流公式为
I1 Z2 I Z1 Z 2 I2 Z1 I Z1 Z 2 (9 16)
BC C
例9－1 不含独立源二端网络NO如图9－1 所示，已知其端口电压和端口电流分别为
u 100 2 cos(314t 60 )V , i 5 2 sin( 314t 120 ) A
求该二端网络的阻抗和导纳。
图9－1
解：将电流和电压用相量表示：
i 5 2 sin( 314t 120 )
I YU
(9 3)
从以上几个公式中可以得到以下关系
U ZI RI jXI I YU GU jBU 1 Z Y
此式表明： 单口网络的相量模型的端口特性而言， 用一个电阻和电抗元件的串联电路来等效。 用一个电导和电纳元件的并联电路来等效。
由此可以得到图(a)所示的串联等效电路。
从以上计算中也可以看出，电阻R与电导 G以及电抗jX与电纳jB不是倒数关系,即
1 1 R1 2 G 0.5
1 1 jX j1 j2 jB j0.5
书面作业 9－1 9－4 9－5 9－12 9－13
郁 金 香
9.2 正弦电流电路的相量分析法
R G 2 R X2 X B 2 R X2
已知单口网络的阻抗和串联等效电路，求其 导纳和并联等效电路。根据阻抗和导纳的倒数 关系得到 Y G jB 1 1 1 R jX
Z R jX R jX R jX R jX 2 2 2 R X R X2
9.2.1 相量法分析法的一般步骤 1, 画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方 法是 (1) 将时域模型中各正弦电压电流，用相 应的相量表示，并标明在电路图上。 对于已知的正弦电压和电流，计算出相应 的电压电流相量。
计算相应的电压电流相量。
时域形式 相量形式 正弦 u (t ) U 2 cos(t ψ u ) U Ue jψ u Uψ u 电压 正弦 电流 i (t ) U 2 cos(t ψi ) I Ie jψi Iψi
I I1 I 2 I n Y1U Y2U YnU (Y Y Y )U YU
1 2 n
计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络， 等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导 n I 纳之和，即 Y Y1 Y2 Yn Yk U k 1 得到n个导纳并联的电压相量与其端口电流相 量的关系为 I I U n Y1 Y2 Yn Yk
9.2.2 阻抗串、并联电路分析
1. 阻抗串联 图(a)表示n个阻抗的串联，流过每个阻抗 的电流相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定 律和欧姆定律得到以下关系
U U1 U 2 U 3 U n Z1 I Z 2 I Z 3 I Z n I ( Z Z Z Z ) I ZI
补充例题： 单口网络如图所示，已知 =100rad/s。试计算该单口网络相量模型等 效阻抗和相应的等效电路。
解：相量模型如图(b)所示。在端口外加电 流源，如图（C）所示
用相量形式KVL方程计算端口电压相量 U j2 I 1I j8( I 0.5U1 )
基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 欧姆定律
Ik 0
k 1 n
n
Uk 0
k 1
U ZI
I YU
3, 根据所计算得到的电压相量和电流相 量，写出相应的瞬时值表达式。
相量形式 域形式
正弦 U Ue jψ u Uψ u ω u (t ) U 2 cos( t ψ u ) 电压 正弦 I Ie jψi Iψi 电流 ω i (t ) U 2 cos( t ψi )
1，阻抗和导纳
假设端口电压与电流相量采用关联的参考 方向，其电压相量与电流相量之比为一个常量， 这个常量称为阻抗，即
U U Z (u i ) | Z | Z R jX I I (9 4)
阻抗是一个复数，单位为欧姆（Ω） 实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量， 阻抗的幅角 Z u i 称为阻抗角，它表示 端口正弦电压u(t)与正弦电流i(t)的相位差。上 式可以改写以下形式
解：并联等效电路的电导G与电纳jB如下： R 1 G 2 S 0.5S 2 R X 11 X 1 B 2 S 0.5S 2 R X 11 由此可以得到图(b) 所示的并联等效电路。
串联等效电路的电阻R与电抗jX如下：
G 0.5 R 2 2 1 2 2 G B 0.5 (0.5) B 0.5 X 2 2 1 2 2 G B 0.5 (0.5)
由此得到由阻抗变换为导纳的公式
R G 2 R X2 X B 2 R X2 (9 5)
G R 2 G B2 B X 2 G B2
已知单口网络的导纳和并联等效电路， 求其阻抗和串联等效电路。
1 1 G jB Z R jX 2 2 2 Y G jB G B G B 2
电阻元件： 电感元件： 电容元件：
ZR R
1 YR R 1 YL j jBL L YC jC jBC
Z L jL jX L 1 ZC jX C jC
式中：
X L L 1 BL L 叫感抗 叫感纳 XC 1 C 叫容抗 叫容纳 X L , X C 统称为电抗。 BL , BC 统称为电纳。
Z1 Z 2 Z 3 Z n
Z
k 1
n
k
第k个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系 Zk 为 Z I Zk U U U
k k
Z1 Z 2 Z 3 Z n
Z
k 1
n
k
U k Z k I
Zk Zk U U n Z1 Z 2 Z 3 Z n Zk
例9-2 单口网络如图(a)所示，试计算该 单口网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效 阻抗 和相应的等效电路。
替代149页的例9－2，原例9－2请同学们自学。
解：画出图(a)电路在 =1rad/s时的相量模型 如图(b)所示，用阻抗串并联阻抗的公式求得单 口等效阻抗为
(1 j1)( j2) 2 j2 Z ( j1) 2 1 j1 j2 1 j
j2 I 1I j8 I j8 0.5 ( j2 I ) (9 j6) I
求得等效阻抗为
U Z (9 j6) I
等效电路为一个电阻和电感的串联电路。 6 6 L 6 L 60mH 100
2, 阻抗和导纳的等效变换 无源单口网络相量模型有两种等效电路， 如图所示。这两种等效电路之间也可以进行等 效变换。
以上几个公式与n个电导并联时得到的公式相类似。
例9－4 正弦电流电路如图所示，已知 us 10 2 cos1000tV ，求电压 u L 及电流 iR 和 iC 。
解：图(a)电路的相量模型如图(b)所示。
Z RC
R j R 1000 C (500 j 500) 1 1 jRC 1 j R j c