用相量法分析正弦交流电路
正弦交流电的相量表示法
之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按 正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用 的电能形式，其电压和电流的大小和 方向随时间变化，且变化规律呈正弦 波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系 统、通信和控制等领域有广泛应 用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的 关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电 的幅度，虚部表示正弦交流电的相位 。
相量长度（模）表示正弦交流电的有 效值或最大值，相量的角度表示正弦 交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复 杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛 应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法 能够将时域的三角函数形式转换 为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分 析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴坐标，虚部 为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数 形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB， 其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系
浅析正弦交流电路的相量法解题
浅析正弦交流电路的相量法解题作者：陈新芬来源：《速读·上旬》2015年第12期教学中笔者发现，在高职学生电路分析的教材中，关于正弦交流电的相量法分析，大多数的教科书都是直接给出具体的解题步骤，但对其中隐含的一部分电路特性的说明、描述线性电路的数学方程的特点、相量法来源的简单介绍有所欠缺，导致学生对此方法的掌握和熟练应用都存在一定的困难。
本文就关于正弦交流电路的相量法进行简单程度的来龙去脉的分析讲解，旨在让高职的学生能够在阅读此文后，对电路分析中的相量法有一个更加深刻的理解和掌握，便于熟练应用于各种电路模型的分析计算。
正弦交流电是人类智慧的创造发明，现实生活中，大型电站发电、传输、供电以及耗电基本都是发生在正弦稳态的条件下;其次，掌握正弦电路的行为是分析非正弦电路的前提，再次，正弦稳态可以简化电力系统的设计，在很多场合下，设计师首先设计出吻合正弦交流电要求的电力设备，而后，此设备对于非正弦交流电通常也会有令人满意的响应结果。
在研究电路对正弦交流电的响应时，首先明确电路的研究范围，我们这里的电路是线性电路，所以有必要对线性电路的概念进行简单讲述。
一、线性电路线性电路是指完全由线性时不变无源元件、独立源或线性受控源构成的电路。
线性就是指输入和输出之间关系可以用线性函数表示，从而使之与非线性区分开来。
线性电路最基本的特性应该是它具有叠加性与均匀性。
叠加性与均匀性的含义可以用图1来说明。
<D：＼书＼排版＼速读·上旬201512＼速读排版12上定稿打包＼Image＼image1.png>图1：线性电路示意图图1电路中，x表示加在电路上的输入信号，即激励;y表示电路对该输入信号产生的输出，即响应。
叠加性的含义：若激励x1产生的响应为y1，激励x2产生的响应为y2，则当x1和x2共同作用于电路时产生的响应为y1+y2。
均匀性的含义：若激励x作用于电路产生的响应为y，则激励kx作用于电路产生的响应必为ky。
第四章-正弦交流电路的相量法
.
原理：
+.
I
.
U
IC
.
.
I1
IC
R
jL
j 1 C
12
.
U
.
I
.
IC
-
a）
.
b） I 1
图4-11 功率因数的提高
根据图4-11分析如下:
a）电路图 ； b）相量图
并联电容前，总电流
I
I1
,电压超前电流的相位差为
; 1
并联电容后，总电流
I
I1
IC
,电压超前电流的相位差为 2
因 2 1 故 cos 2 cos 1 首页
U
Z1
+
Z2
•
U2
-
1053.13 -
图4-2 例4-1图
首页
U 2 Z2I (1 j7)1036.87V 7.07 81.87 1036.87 V 70.7 45 V
U1 Z1I (5 j15)1036.87V 15.8171.57 1036.87 V 158.1108.44 V
Y Y
对比可得
Y 1 Z
•
•
当电压、电流关联参考方向时，相量关系式U Z I
也可表示为 U I 或 I YU
Y
首页
二、用复导纳分析并联电路
图4-6所示是多支路并联电路，根据相量形式的基尔霍
夫电流定律，总电流
.
.
.
.
I I1 I2 In
.
.
.
Y1 U1 Y2 U2 Yn Un
因并联电容前后电路消耗的有功功率是相等的,故
并联电容前
P UI1 cos 1
用相量法分析正弦交流电路
作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中，电感元件和电容元件 计算输出电压U2与端口电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端口正弦电压u的频率可以调节变化。
用网孔电流法分析正弦电路
的复阻抗分别为 其中，电感元件和电容元件的复阻抗分别为 j L j3 0 0 0 1 j1 k 作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。
.
1 2j . 1 j2 . 3 j1 .
IL
I
I
I
1 j1 j2 1 j1
2
由各相量写出对应的正弦量
i(t)16 2sin3(00t0370)mΑ iC(t)11.3 2sin3(00t0980)mΑ iL(t)25.3 2sin3(00t045.30)mΑ
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端 口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口 电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示， 则
.
I.3Z U i O R C 15 7 j/3 2 .3 9 .8 1 0 3 16 . 7 / 3 /9 2 .6 3 0 .8 1 0 2.9 9 /1.8 1 0
网孔方程为
Ib
180j380 13
则
I1
.
Ia
200j300 13
I2
Ib
180j380 13
.
I3
Ia
.
Ib
380j80 13
用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例３-１９中R支路 的电流。
解 先将例３－１９中所示的电路改画为下图 (a)所示的电路
电工技术：正弦交流电的相量表示法
同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项 （1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。 （4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些 特殊角时，用相量图中的几何关系 很方便求相量和、相量差。 例:题3： 已知 解：
正弦交流电路的相量表示法
03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。
正弦交流电路的相量表示法
220
23
3
220 [cos( ) j sin( )] (110 j 190 .5)V
3
3
I
100 / 6
/3
220
U
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号：Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 意正弦：量在的实相量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
U I
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量 u Umsin(ωt ψ)
相量表示:
U Uejψ Uψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
或
Um Umejψ Umψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
U• 220 45？
4 2 sin (ω t 30 ) ？
2
有效值
j45
瞬时值
4.已知：
U m 220 ？ e45
U 100 15V
2.已知：I 1060A
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
+j
b
A
相量形式的基尔霍夫定律
相量形式的基尔霍夫定律欧姆定律和基尔霍夫定律是分析各种电路的理论依据。
在正弦交流电路中，电压、电流都是同频率的正弦量，它们可以用相量表示。
我们已经讨论了电阻、电感、电容元件的欧姆定律的相量形式，本节介绍相量形式的基尔霍夫定律，这样就可以用相量法对正弦交流电路加以分析。
一、相量形式的基尔霍夫电流定律在交流电路中，任一瞬间电流总是连续的，因此基尔霍夫电流定律适用于交流电路的任一瞬间。
即任一瞬间，对正弦交流电路中任一节点而言，流入（或流出）该节点各支路电流的瞬时值的代数和为零，即由于各个电流都是同频率的正弦量，只是初相和有效值不同，因此根据正弦量的和差与它们的相量和差的对应关系，可以推出：任一瞬间，对正弦交流电路中任一节点而言，流入（或流出）该节点各支路电流相量的代数和为零，即式（4.38）就是基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式。
式中电流前的正负号由参考方向决定。
二、相量形式的基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律也适用于交流电路的任一瞬间。
即任一瞬间，对正弦交流电路中任一回路而言，沿该回路绕行一周，各段电压瞬时值的代数和为零，即同理可以得出基尔霍夫电压定律（KVL）的相量形式，对于正弦交流电路中任一回路而言，沿该回路绕行一周，各段电压相量的代数和为零，即注意式（4.38）及式（4.39）中各项均是电流或电压的相量，而它们的有效值一般是不满足KCL和KVL定律的。
三、参考正弦量和参考相量为了简化正弦交流电路的分析计算，常假设某一正弦量的初相为零，该正弦量叫作参考正弦量，其相量形式称为参考相量。
例4.15 如图4-33（a）、（b）所示电路中，已知电流表A1、A2、A3都是10 A，求电路中电流表A的读数。
解：并联电路设端电压为参考相量较容易计算，即（1）选定电流的参考方向如图（a）所示，则图4-33 例4.15的图由KVL得所以电流表A的读数为（注意：这与直流电路是不同的，总电流并不是20 A。
）（2）选定电流的参考方向如图（b）所示，则由KCL得所以电流表A的读数为10 A。
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0
179 . 7 / 21 . 8 6 / 33 . 6
0
0
29 . 9 / 11 . 8
0
0 0
0
179 . 1 / 21 . 8 V
再求输入复阻抗
Z i j5 //( j2 )
j5 ( j2 ) j5 j 2
10 j3
j33 . 3
计算电流的等效电路如图3-8-4(b)所示， 则
. .
I3
U OC Zi R
179 / 21 . 8 5 j3 . 33
2 0 RC
0 RC
2
.
U2
.
1 1 Z1 / Z 2
1 3
U U2 1 3
.
U
则 U2=1/3U 且为最大值。
3.8.2用网孔电流法分析正弦电路
例3-19
下图所示电路中，求各支路的电流
解 各支路电流
I 1 I 2 I 3
网孔电流a，b的参考方向如图中所示， 网孔方程为
R ＋ ＋ u u1 － R ＋ u2 － － C － C ＋ ＋ . U Z1 . U1 － ＋ . U2 －
Z2
(a )
(b )
解 RC串联部分和并联部分的复阻抗分别用Z1和Z2表示，
且
Z1 R 1 j C
1 j C 1 j C R 1 j RC
1 j RC j C
0 0
i C ( t ) 11 . 3 2 sin( 3000 t 98 ) m Α i L ( t ) 25 . 3 2 sin( 3000 t 45 . 3 ) m Α
0
例 3-19 图3-8-2(a)所示为电子电路中常用的RC选频网络，端 口正弦电压u的频率可以调节变化。计算输出电压U2与端口 电压u同相时u的频率ω0，并计算U2/U。
0
. 0
I
0 . 707 / 135
.
16 / 37
.
11 . 3 / 98 m Α 3 j1 2
I
L
1 2j 1 j1 j 2
I
1 j2 1 j1
.
I
I
由各相量写出对应的正弦量
i ( t ) 16 2 sin( 3000 t 37 ) m Α
3.8 用相量法分析正弦交流电路
相量法一般步骤为：
(1) 作出相量模型图 (2) 运用直流线性电路中所用的定律、定理、分析方法进行 计算。直接计算的结果就是正弦量的相量值。 (3) 根据需要，写出正弦量的解析式或计算出其他量。
3.8.1 复阻抗混联电路的分析计算
例 3.17电路如图3-8-1(a)所示，US(t)=40sin3000t V， . . 求i、 C 、 。 I I
解 先将例３－１９中所示的电路改画为下图 (a)所示的电路
由R两端向左看进去，是一个有源二端网络。
先求其开路电压
. .
U
OC
U
S1
Y1 U Y1 Y 2
.
S2
Y2
100
j 2
j100 ( j 2 j 5
j 5
)
20 j50 j 0 .3
53 . 9 / 68 . 2 0 . 3 / 90
L
解 写出已知正弦电压的相量
作相量模型, 如图3-8-1(b)所示。其中，电感元件和电容元件 1 的复阻抗分别为
j L j3 0 0 0 1 j C j 3000 j1k 1 1 6 Z 1 .5 Z a b 1 .5 1 .5 j1(1 j2 ) j1 1 j2 1 .5 1 j3 2 2 j1 1 j1 2 j1 .5 10
6
3 j2 k
( 2 j1)(1 j1) (1 j1)(1 j1)
0
1 .5
2 .5 3 7 k Ω
IC
.
j1 1 j1 j 2
.
I
.
j1 1 j1
.
I
.
( j1)(1 j1) 2
I
0
1 j1 2
I
0
0 . 707 / 135
R Z2 R
原电路的相量模型为Z1﹑Z2的串联，如图3-8-2(b)， 由分压关系得
.
U
2
Z
2
Z1 Z 2
U
.
1 1 Z1 / Z 2
.
U
Z1 由题意知， 2 与 U 同相时， Im 0 U Z2
，
而
R C
2 2
2
1 0
.
那么
Z1 Z2
Ib 180 j 380 13
则
I 200 j 300 I1 a 13
.
I 180 j 380 I2 b 13
I I 380 j 80 I3 a b 13
. .
3.8.3用戴维南定理分析正弦电路
例 3-20 用戴维南定理计算例３-１９中R支路 的电流。