正弦交流电路的分析计算
电路分析-第4章 正弦交流电路
I m ＝I m i 或
I ＝I i
－
U m U mu
或
U U u
一、电阻元件:u(t)=Ri(t) 电阻元件伏安特性的相量形式为：
I
u = i
相量图
U
U ＝R I
U RI u i
相量模型： U
＋ I －
电阻元件的电压和电流同频率、同相位。
φ1 > φ2 , U1超前u2
t
i i1 i2 0
u i u i
t 2 1
0
t
2
0
t
u i
1
2
(a)
(b)
(c)
(d)
同相
先到达某一确定状态为 超前，后到达者为滞后
反相
正交
五、 正弦量的有效值
1 、定义：正弦交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
如某一交流电流和一直流电流分别通过同一电阻R, 在一
W L (t )
i
0
p dt
t
0
1 (t ) Li di Li 2
2
在动态电路中， 电感元件和外电路进行着磁场 能与其它能相互转换，本身不消耗能量。
4.4
三种元件伏安特性的相量形式
设 u(t)=Umsin(t+ u) i (t)=Imsin(t+ i) + i(t) u(t)
1 t iL (t ) iL ( t 0 ) uL (t )dt L t0
其中， t0为任选初始时刻，则iL(t0) 称为电感电流 的初始值，它体现了t0时刻以前电压对电流的贡献 ，所以电感电流对电压有记忆作用。
正弦交流电路的分析计算
2. 相位相同
3. 有效值关系：U IR
4. 相量关系：设 U U 0
则 I U 0 或 R
I U
U I R
(3-43)
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
R
i 2 I sin ( t) u 2U sin ( t)
p u i Ri 2 u 2 / R
则： I2 100 5 j5 10 2 45 A
I1 1090 j10 A I I1 I2 100 A A读数为 10安
R uR 若 i 2Isin t
u L uL 则 u 2IRsin t
C
uC
2I (L) sin(t 90 ) 2I ( 1 ) sin(t 90 )
C
(3-69)
相量模型
I
R U R
U
L U L
C U C
相量方程式：
U U R U L UC
设 I I0（参考相量）
则 U R IR
电感电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X L
U U 领先！
其中含有幅度和相位信息
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
(3-51)
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL
+R
_e L
UL I XL
ω
ω=0时
XL = 0
P UI cos Q UI sin
S UI
S
Q
P
（有助记忆）
(3-82)
R、L、C 串联电路中的功率关系
单一参数正弦交流电路分析
? 平均功率或有功功率 P=0
iut+-p
,
? 无功功率 QC
iQ
C
用无功功率 QC衡量电容元件与外界交换能量的规模，即
无功功率计算式
QC
?
?UI
?
?I 2 XC
?
?
U2 XC
无功功率单位 乏尔（Var）
交换能量过程分析 p ? ui ? ?U Isin2? t
i
u
ωt
i
i
u
u
i
i
u
u
p 放电 P > 0 放电
教学内容 电阻R、电感 L、电容 C元件的电压电流关系，相 量形式的基尔霍夫定律（ KVL、KCL）。
教学要求 1.掌握单一元件的电压电流关系。 2.熟练应用相量形式的 KVL、KCL进行电路分
析。 教学重点和难点
重点： 单一元件的电压电流关系和相量形式的 基尔霍夫定律应用。
难点： 电阻 R、电感 L、电容 C元件电压电流关 系的分析。
【讨论】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
I?U R
i? U R
i? u R
I? ? U? R
i? u XL
U ? jωL I
I? U ωL
U? I?
?
jX L
U? I?
?
XL u
?
L di dt
i? u ωL
U ? I ?ω C
u ? i ?X C
三、纯电容电路
1.电容元件
定义电容为 C ? q
u
根据电流 i ? dq dt
i ? C duc dt
正弦交流电路
二单元正弦交流电路引言正弦交流电的产生：正弦交流电路:含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。
因为交流电可以利用变压器方便地改变电压、便于输送、分配和使用。
所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。
着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流、电动势称为正弦电压、电流、电动势。
正弦量：正弦电压、电流、电动势统称为正弦量。
Riab)sin(m i t I i ψω+=规定电流参考方向如图：iωtiψ正半周：电流实际方向与参考方向相同负半周：电流实际方向与参考方向相反+-最大值角频率初相角正弦量的三要素课题1正弦交流电的基本概念一、正弦量的三要素表达式：波形：用带有下标m 的大写字母表示:I m 、U m 、E m有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的有效值。
用大写字母表示：I 、U 、 E1. 最大值描述正弦量变化范围的参数。
tiＴ最大值I m⎰=Tdti TI 021正弦量最大值与有效值的关系EE m 2=II m 2=UU m 2=2. 角频率ω描述正弦量变化快慢的参数。
单位：rad/s周期(T ): 变化一个循环所需要的时间，单位(s)。
频率( f ): 单位时间内的周期数单位(Hz)。
三者间的关系示为：=2π/T =2πfωTωt 2ππtiＴT/2我国和大多数国家采用50Hz 作为电力工业标准频率(简称工频)，少数国家采用60Hz 。
iωt)sin(i m t I i ψω+=iψt =0 时的相位角称为初相角或初相位。
i ψ同频率正弦量的相位角之差，用ϕ表示。
二、相位差：180±取值范围：相位差可反映同频率正弦量超前滞后关系。
180±相位差的取值范围：3. 初相iψ影响初相得因素：项前负号（±180°）Cos （90 °）)sin(1m ψtωU u +=如：)()(21ψωψωϕ+-+=t t 21ψψ-=若21>-=ψψϕ电压超前电流ϕ或电流滞后电压ϕuiu iϕωtO)2ψ+=t ωI i sin(m电流超前电压︒-=-=9021ψψϕ︒90电压与电流同相021=-=ψψϕ电流超前电压ϕ021<-=ψψϕ电压与电流反相︒=-=18021ψψϕu iωt ui ϕOu iωtui 90°O u i ωtui Oωtui u i O一、复数1. 复数的表示形式A = a + j b1）代数形式：为虚数单位1j -=ϕcos A a =ϕsin A b =22ba A +=ab=ϕtan aAb+1+jϕA实部虚部ϕA A =2）极坐标形式：模幅角2. 两种形式的互换代数极坐标代数极坐标课题2正弦量的相量表示法3. 复数运算（熟记公式）111j b a A +=222j b a A +=1）加减运算（用代数形式）：则()()212121j b b a a A A ±+±=±设则222ϕA A =111ϕA A =212121ϕϕ+=⋅A A A A 212121ϕϕ-=A A A A 设2）乘除运算（用极坐标形式）：1A 2A 3A 321A A A ++思考如何用作图的方法得到复数的差？3）复数的相等111j b a A +=222j b a A +=21a a =如果21b b =则21A A =222ϕA A =111ϕA A =如果21A A =21ϕϕ=则21A A =4. 旋转因子（模为1，辐角为的复数）ϕ一个复数乘以ϕj e等于把其逆时针旋转角。
正弦交流电路的相量(图)法求解.
•
IR
•
U•
U R2
UR3
U
2 R1
U
2 AB
252 302 39.05V
•
IL U R3 / R3 39.05 / 65 0.6A
•
U R1
•
U AB
UL
•
URL
(U R1
U R1 )2
U
2 L
UR3
24.99V
•
U R3
•
U RL
IL
L UL / 2fI L 76.8 /(2 50 0.6) 0.407 H RL URL / IL 24.99 / 0.6 41.65
二、相量图法求解电路
1. 参考相量的选择 参考相量的选择方法为： 1）对于串联电路，选择电流为参考相量。 2）对于并联电路，选择电压为参考相量。 3）对于混联电路，根据已知条件综合考虑。 4）对于复杂混联电路，选择末端电压或电流为参考
相量。 2. 相量图求解电路的方法
例题4-14：用相量图法求各电表读数。
3A
•
URቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL
_
•
IR
O
I
•
U
A
•
IL
B
•
•
•
I IL IR
由直角三角形OBA得：
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为4A。
例题4-15：定性画出RLC串联电路的相量图。
I
+ U–+R
U U+–L
– U–+C
R jXL – jXC
《电工》教案第十讲正弦交流电路的分析计算
第十讲正弦交流电路的分析计算正弦交流电路中的功率功率因数的提高及最大功率的计算时间：2学时重点和难点：正弦交流电路向量法求解；有功功率与无功功率的计算目的：让学生用向量图分析求解正弦交流电路的主要依据,掌握参考向量的选择方法，掌握用向量图分析电路的方法，能熟练应用向量法求解各类实际电路问题；让学生掌握瞬时功率、平均功率的意义和计算方法，掌握功率因数的概念、意义、计算方法，掌握引起无功功率的原因，掌握无功功率、复功率、视在功率、容量的计算方法。
教学方法：多媒体演示、课堂讲授主要教学内容：一、正弦交流电路的分析计算对于任意正弦交流电路，只要用相量表示正弦交流电路中的电压、电流，用阻抗或导纳对应直流电路的电阻或电导，所有的运算采用复数运算规则进行，计算电阻电路时的一些公式和方法，就可以完全用到正弦交流电路中来。
这就是说，运用相量并引用阻抗及导纳，正弦交流电路的计算方法可以仿照电阻电路的处理方法来进行。
正弦交流电路的分析，一种是依靠相量图来解决实际问题，这种方法称为相量图法，而把依靠列出相量方程来解决实际问题的方法称为相量解析法。
两者均属相量法的范畴，它们的依据是共同的。
1、正弦交流电路的相量图法分析计算：1）对于简单的正弦交流电路常借助于相量图进行辅助分析，这样可以直观表现出各电量之间的大小和相位关系。
画相量图时，应遵循以下几点：a、选择参考相量；b、画在同一相量图上的各电量一定是同频率的；c、依据欧姆定律及KCL、KVL的相量形式；d、单一参数R、L、C各元件电压与电流的相量关系；2）参考相量的选取原则：a、串联电路宜选用电流为参考相量，并联电路宜选用电压为参考相量；b 、对于较复杂的混联电路，应根据已知条件综合考虑。
可以选电路内部某并联部分电压为参考相量，也可以选其中某部分的电流为参考相量；或选用端电压或电流为参考相量。
例1 并联电路如图（a ）所示，用相量图定性表明各电流相量的关系。
解：并联电路宜从两端电压入手，选电压相量S U 为参考相量。
34简单正弦交流电路的分析
34简单正弦交流电路的分析简单正弦交流电路是电气工程中常见的一种电路，通过对交流电路中的电压、电流等进行分析可以帮助我们理解电路的工作原理和性能特点。
下面我将为您介绍简单正弦交流电路的分析方法。
首先，我们需要了解正弦交流电的特点。
正弦交流电是一种周期性变化的电信号，它的波形呈现出正弦曲线。
在分析正弦交流电路时，我们通常使用相量法进行求解，相量法可以简化计算过程并且能够清晰地描述正弦交流电的性质。
在分析简单正弦交流电路时，我们通常会遇到以下几个基本问题：1.计算电压和电流的大小：我们可以根据交流电的幅值和相位来计算电压和电流的大小，使用欧姆定律和欧姆法则。
对于电压，我们可以使用V=V_msin(ωt+θ)的公式，其中V是电压的大小，V_m是电压的幅值，ω是角速度，t是时间，θ是相位差。
对于电流，我们可以使用I=I_msin(ωt+θ)的公式进行计算，其中I是电流的大小，I_m是电流的幅值。
2.计算电路中元件的阻抗：在交流电路中，电阻、电感和电容的阻抗会随频率的变化而变化。
电阻的阻抗始终为实数，电感的阻抗为复数，电容的阻抗也为复数。
通过这些阻抗的计算，我们可以确定电路中元件对电流和电压的影响。
3.计算功率：在交流电路中，电功率的计算需要考虑电压和电流的相位差。
根据功率的定义，我们可以得到交流电路的有功功率和无功功率的表达式，并根据相位差的值来判断电路是容性负载还是感性负载。
4.计算电路的响应：在交流电路中，我们还可以通过计算电压和电流的相位差来确定电路对频率的响应。
在频率较低时，电感的阻抗较大，电路表现出感性特性；在频率较高时，电容的阻抗较小，电路表现出容性特性。
通过以上的分析，我们可以获得交流电路的各种性能参数，如电压、电流、功率、频率响应等。
对于不同的电路结构和元件特性，我们需要根据具体的情况来进行分析和计算。
在实际应用中，简单正弦交流电路广泛应用于电力系统、通信系统、电子设备等领域。
通过对交流电路的分析，我们能够更好地理解和设计电路，提高电路的稳定性和工作效率。
第3章 正弦交流电路
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
1.纯电阻电路 (1) 电压与电流的关系
+
u iR
u
i I m sin t
_
u iR I m R sin t U m sin t
i R
对于正弦交流电路中的电阻电路(又称纯电阻 电路)，一般结论为：
1)电压、电流均为同频率的正弦量。
2)电压与电流初相位相同，即两者同相。
y
i
ω
Im
i1
ωt1 φ
Im
i0
90
o
x
o
ωt1
ωt
φ
t t1 i1 I m sin(t 1)
对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之， 一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量。
3.2.2 复数及复数的运算 1、复数
A a jb
A r cos r sin
e j cos j sin
作相量图时要注意： 只有同频率的正弦量才 能画在一个相量图上，不 同频率的正弦量不能画在 一个相量图上。
+j
U
Φu
o
Φi
+1
I
3.3正弦交流电路的简单分析与运算
电阻元件、电感元件与电容元件都是组成 电路模型的理想元件。
所谓理想元件，就是突出元件的主要电磁 性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具 有消耗电能的性质（电阻性），其它的电 磁性质如电感性、电容性等忽略不计。。
f = 1/T T = 1/f
i
角频率是指交流电在1s内变化的电 Im
角度。正弦量每经过一个周期T，
o
对应的角度变化了2π弧度，所以
φ
ωt
T
2f 2
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U U 领先！
其中含有幅度和相位信息
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL
+R
_e L
UL I XL
ω
ω=0时
XL = 0
R
+
E
_
直流
电感电路中的功率
1. 瞬时功率 p ：
i
i 2 I sint u L u 2 U sin(t 90 )
电感电路中电流、电压的关系
设：
i 2I sin t
u 2 I L sin( t 90 )
2 U sin( t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 领先 i 90 °）
u i
90
U
IL
t
I I
u 2 I L sin( t 90 ) 2 U sin( t 90 )
u
I
i
UC
90
t
U
U
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
I
3. 有效值
或
定义：
容抗（Ω）
则： U I X C
4. 相量关系
u 2U90 )
设： U U0
I I90 U C90
则：
U I
1 90
C
I
U
U
I 1
C
90
p i u 2UI sin t cost UI sin 2t
i uL
p i u UI sin 2t
u
i
t
i
i
i
i
u uuu
P
可逆的 能量转换
过程
+
P <0
+ P <0
t
P >0
P >0
储存 释放 能量 能量
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
P 1
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
p UI sin 2t
Q UI
（电容性无功取负值）
例 求电容电路中的电流
i
u
C
已知： C ＝1μF
u 70.7 2sin(314 t )
求：I 、i
6
解：X C
1
C
1 314106
3180
电流有效值 I U 70.7 22 . 2 mA X C 3180
T p dt 1
T
u i dt
T0
T0
大写 1 T 2UI sin2 t dt
T0
P UI
1
T
UI(1 cos2 t)dt UI
T0
二.电感电路
基本关系式： u L di dt
设 i 2 I sin t
i uL
则 u L di dt
2 I L cost
2 I L sin(t 90 ) 2 U sin(t 90 )
3. 有效值 定义：
感抗（Ω）
则： U I X L
4. 相量关系
i 2I sin t
u 2 U sin( t 90 )
设： I I0
U
U U90 I L90
则：U I
U I
90
L90
I
U I L e j90 I ( jX L )
电感电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X L
T
p dt
T0
1
T
U I sin (2t) dt 0
T0
结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）。
3. 无功功率 Q
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。
p i u UI sin 2t
Q U I I2XL U2 XL
Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)
基本关系 u L di dt
复阻抗 jX L j L
U I
电路参数 C 基本关系 i C du
I
复阻抗
jX C
dt
j1
C
U
2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U、I 表示，
电路参数用复数阻抗（ R R、L jX L、C jX C )
u
u 2Usin(t 90 )
p i u U Isin2t
p i u U Isin2t
i
u
ωt
i
i
i
i
u
u
u
u
p 放电 P > 0 放电
P < 0 充电
充电
释放 能量
储存 能量
2. 平均功率 P
p i u U Isin2t
P 1
T
Pdt
T0
1
T
U Isin2t 0
T0
3. 无功功率 Q
p u i Ri 2 u 2 / R
小写
p u i Ri 2 u 2 / R
iu
ωt
p
ωt
结论：
1. p 0 （耗能元件）
p 2. 随时间变化
3. p 与 u2、i2 成比例
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
i 2 I sin t
u
R
u 2 U sin t
P 1
jIX C
电容电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X C
其中含有幅度和相位信息
I I领先！
U
关于容抗的讨论
容抗（X C
1 ）是频率的函数， 表示电容
C
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效。
+
Xc
1
C
-e
+
ω
-E
ω＝0 时
Xc
直流
电容电路中的功率
1. 瞬时功率 p
i i 2Isin t
电流有效值
瞬时值
I U 70.7 22 . 2 mA X C 3180
i 领先于 u 90°
i 2 22.2sin(314t )
62
2 22.2sin(314t ) mA
3
I
3
6 U
小结
1. 单一参数电路中的基本关系
电路参数 R 基本关系 u iR
复阻抗 R
I
U
电路参数 L
§9 正弦交流电路的分析计算
9.1 单一参数的正弦交流电路 9.2 R-L-C串联交流电路 9.3 交流电路的一般分析方法
9.1 单一参数的正弦交流电路
一. 电阻电路
根据 欧姆定律
i
u
R
设 u 2 U sin t 则 i u 2 U sin t 2 I sin t
RR
电阻电路中电流、电压的关系
三.电容电路
i
u
C
基本关系式:
i C du dt
设： u 2U sin t
则： i C du 2UCcost
dt
2U C sin(t 90 )
电容电路中电流、电压的关系
u 2U sin t
i 2U C sin(t 90 )
1. 频率相同
2. 相位相差 90° （u 落后 i 90° ）
u 2 U sin t
i u 2 U sin t 2 I sin t
R
R
1. 频率相同
2. 相位相同
3. 有效值关系：U IR
4. 相量关系：设 U U 0
则 I U 0 或 R
I U
U I R
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
R
i 2 I sin ( t) u 2U sin ( t)