热学分子动理论1

dI i (2mix )( niixdtdA) 2ni m dtdA
2 ix
14
第3步：dt时间内所有分子对dA的冲量
dI

ix
1 dI i dI i 2 i 0
2 ix
dI i 2ni m dtdA
2 ix
ni m dtdA
i
第4步：由压强的定义得出结果
用统计方法
分析结果 得出结论
2.平衡态下 微观量的统计分布规律
介绍三个统计规律（宏观表现）
2
§1 理想气体的压强和温度
一、 理想气体的微观图象
二、 平衡态下气体分子集体行为的几个结果
三、 气体分子动理论的压强公式
四、 温度的统计意义
五、 气体分子运动的方均根速率
3
一、 理想气体的微观图象 1. 质点
P nkT
P 0
在 T 一定的情况下 n 值小
意味着分子间距大 2 .完全弹性碰撞
3. 除碰撞外 分子间无相互作用
f=0
范德瓦耳斯力(简称：范氏力)
4
f
斥力
合力
气体之间的距离
r 8r0
s
10 -9m
r0
O
d 引力
r
引力可认为是零
可看做理想气体
分子力
范德瓦耳斯力
5
二、 平衡态下气体分子集体行为的几个结果
的分子被碰撞出来？
2. 如果考虑分子间有引力存在 压强的数值 与理想气体模型时的压强数值相比应该是大 些还是小些？
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四、 温度的统计意义
2 P n t 3
P nkT
1. 温度 是大量分子的集体行为,是统计的结果 (N-- 数目少无意义)
反映宏观量T与微观量εt的平均值之间的联系 2. 物理意义 温度是分子热运动剧烈程度的量度
ix i i i
2 ix i i
i

2 x
N N
i
8
i
0 x y z

2 x 2 y
2 x


2 i 2 ix 2 iy
2 y
2 iz
2 z

2 2 x
2 z
1 2 3
2 y 2 z
9
3.分子在各处分布的等概率假设 无外场时 分子在各处出现的概率相同
计算平均值的公式
1
2
1

在1区和2区 计算的平均 值相同
N N
i i i
i i
1
分子速率分布 各处等概率
7

2.分子速度分布的等概率假设 速度取向各方向等概率 结果：
y
i N i
x
0

i N i
z
2 z
x y z

2 x 2 y
x
N
dN N n dV V
结果：
y
i N i
i N i
x
分子数密度处处相同
注意：平衡态
z
10
总结：
理想气体的微观模型：
1、分子线度与分子间距相比较可忽略，分子被看 作质点。 2、除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作用。 3、气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设碰撞 为弹性碰撞。
v
2 1
3RT1 3 8.311273 1194 (m s 1 ) 3 M mol 28 10
3 3 2 kT2 1.38 10 23 273 5.65 10 21 ( J ) 2 2
29
3RT2 3 8.31 273 1 v 493 (m s ) 3 M mol 28 10
26
一容器内贮有氧气，其压强 P 1.013 105 Pa ， 例题2、 温度 t 27 C ，求： （1）单位体积内的分子数； （2）氧分子的质量； （3）分子的平均平动动能。 解：压强不太大，温度不太低，可视为理想气体。
（1）由 P nkT 可得到单位体积内的分子数：
P n 2.45 1025 (m-3 ) kT （2）氧气分子的质量： m 5.311026 (kg ) NA
1.平衡态时 微观量分布的等概率假设的必要性 •因为宏观量是某些微观量的平均值 •平衡态时各处宏观量相同
所以用系统中 任何部分气体计算出的
微观量的平均值必须相同 •分子又是处于不断地无规则的运动中 所以必须假设平衡态时微观量分布等概率
6
如平衡态情况下
温度是宏观量
温度必须处处相同
一定与分子运动速率的平均值有关 即要求在各处计算的速率平均值必须相同
20
3 t kT 2
3.分子运动的平均平动能
3 t kT 2
气体分子的平均平动能只与温度有关，并与 热力学温度成正比， 与分子种类无关 如在相同温度的平衡态下 氧气和氦气分子的平均平动能相同
T 0, 0, v 0, 分子是否停止运动了呢？
21
五、气体分子运动的方均根速率
（3）分子平均平动动能：
3 t kT 6.211021 ( J ) 2
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例题3、两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动 能相等，但分子数密度不同。问：它们的温度是否 相同？压强是否相同？ 解：
3 t kT 2
t1 t 2
T1 T2
n1 n2 , T1 T2
分子数密度 n = N/V 足够大
的分子数密度 速度为
i
ni=Ni/V
N= Ni
n= ni
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取器壁上小面元 dA >> 分子截面面积
第1步：一个分子碰壁 对dA的冲量 设该分子速度为 i 冲量是 2mix
器壁

i
ix dt
dA
x
第2步：dt时间内所有 i
分子对dA的冲量
p 1.013 10 3 25 3 (1)n ＝ m 2.45 10 m 23 kT 1.38 10 300
5
p 1.33 10 5 ( 2)n ＝ m 3 3.21 1015 m 3 kT 1.38 10 23 300
可以看到，两者相差1010倍
16
1 2 P mn 3
分子的平均 1 m 2 t 平动动能 2
2 还可表示成 P n t 3
压强公式指出:有两个途径可以增加压强
1)增加分子数密度n 即增加碰壁的分子个数
2)增加分子运动的平均平动动能 t
即增加每次碰壁的强度
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讨论：
1 1、上式表明了宏观量 p 与微观量 mv 2 2 的平均值 t 之间的联系
(汽 液 固)分子每个自由度 具有相同的平均动能 讨论 1)能量分配

2
N
i
2 i i
N
分子动理论部分:
速率分布规律是根本
计算相关平均值是核心
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例题1 、一容器内装有气体，温度为 270C 问:（1）压强为1.013105 Pa时，在1m3中有多 少个分子； （2）在高真空时，压强为1.3310-5 Pa , 在1m3中有多少个分子? 解:按公式 p=nkT 可知
3 1 2 t m kT 2 2
3RT 3kN AT 3kT m mN A
2

2
3RT

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讨论
1.应记住几个数量级
1) 标况下 分子的平均平动动能
3 3 23 t kT 1.38 10 273 2 2
5.6 10 J 3.5 10 eV
理想气体分子是自由地、无规则地运 动着的弹性质点。
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平衡态气体的统计假设（分子的混沌假设）：
N dN 1、平衡态气体分子数密度 n 分布均匀。 n V dV 2、分子沿各个方向运动的物理量（速率等）概率均等。
v v v v
2 x 2 y 2 z
2
vx v y vz
2 2
例3
由 N 个独立的粒子组成的
质点系的自由度 (一般性讨论)
● 每个独立的粒子各有3个自由度
系统最多有3N个自由度
●基本形式
平动 +
t
转动 + 振动
r s
随某点平动 t = 3
过该点轴的转动 r=3
其余为振动
s = 3N-6
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3. 气体分子的自由度
将每个原子看作质点
所以分子是 质点系
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单原子分子
dI dF P dA dtdA
n m
i i
2 ix
i
ix dt
dA
15
dF dI 2 P ni mix dA dtdA i
Ni 2 mix i V
m 2 N iix V i

2 x
N
i i
2 ix
N
P nm
或
2 x
1 2 P mn 3
2、在推导过程中对单个分子使用力学规律处 理，对大量分子采用了统计平均的方法，n、 t 都是统计平均值。所以，p也是统计平均量， 而非简单的力学量。压强只有统计意义 3、不同时刻，观察到的n、p会有差别，即存在 有涨落(或起伏)现象。
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思考 ：
1. 推导过程中为什么不考虑小柱体内会有 速度为 i
若受到限制自由度降低
平面上 2个 平动自由度 t 2
直线上 1个 平动自由度 t 1
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例2 自由运动的刚体 (如大家熟悉的手榴弹) 首先应明确 刚体的 振动自由度 s = 0 自由度？