广西玉林市2020届高三毕业班第一次高考适应性考试数学(理)试题
2020届广西玉林市、百色市高三5月份高考数学理质检试题一模解析版
2020届广西玉林市、百色市高三（5月份）高考数学（理）质检试题（一模）一、单选题1．112ii-+的共轭复数为（ ） A ．1355i -- B ．1355i -+C ．1355i + D ．1355i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简1131255i i i -=--+，再利用共轭复数定义求出结果. 【详解】 因为1(1)(12)1312555i i i i i ---==--+，所以112i i -+的共轭复数为1355i -+. 故选：B 【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．2．若集合{A xy ==∣，{B x y ==∣，则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞ D ．[][)2,12,--+∞【答案】B【解析】利用函数定义域的求法化简集合A ，B ，然后利用交集的运算求解. 【详解】∵集合{{2}A x y x x ===≥-∣∣，{{|1B x y x x ==≤-∣或}1x ≥，[][)2,11,A B ∴=--+∞.故选：B ． 【点睛】本题主要考查交集的求法以及函数定义域的求法，属于基础题． 3．设向量(1,2)a =-，(2,4)b =-，则（ ） A ．a b ⊥ B ．a 与b 同向C ．a 与b 反向D ．()15a b +是单位向量【答案】C【解析】根据条件即可得出2b a =-，从而得出a 与b 反向，可求出()15a b +的坐标，进而判断选项D 错误，从而得出正确的选项． 【详解】解：∵()1,2a =-，()2,4b =-， ∴2b a =-， ∴a 与b 反向，又()()1515,25a b +=-，∴()15a b +不是单位向量． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量坐标的数乘运算，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】点(1,)2代入方程，与12c e a ==及222+=a b c 联解可得.【详解】依题意，可得22213141 12 aba⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2243ab⎧=⎨=⎩，故C的方程是22143x y+=.故选：A【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.求椭圆标准方程的两种思路方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定22a b，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a b，的方程组．如果焦点位置不确定，也可把椭圆方程设22100()mx ny m n m n>>≠＋＝，，的形式．5．在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点，6AD=，4BC=，2EF=，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（）A．34B．56C．910D．1112【答案】D【解析】取CD的中点G，连接EG，FG，则EGF∠为异面直线AD与BC所成的角（或补角），再利用余弦定理求解可得.【详解】取CD的中点G，连接EG，FG，则//FG BC，//EG AD，则EGF∠为异面直线AD与BC所成的角（或补角），因为122FG BC==，132EG AD==，所以49211cos22312EGF+-∠==⨯⨯，故异面直线AD与BC所成角的余弦值为1112.故选：D 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力. 用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 6．()()21na xx ++的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中4x 的系数为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．81【答案】B【解析】常数项为2各项系数之和为192，赋值0x =，求出2a =；各项系数之和为192，赋值1x =，求出6n =，再求展开式中4x 的系数即可. 【详解】令0x =，得2a =，所以()()22(1)2(1)nna xx x x ++=++，令1x =，得32192n⨯=，所以6n =，故该展开式中4x 的系数为4266245C C +=.故选：B 【点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用. 求解形如()()nma b c d ＋＋的展开式问题的思路： (1)若n m ，中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222()()()(2)m m a b c d a ab b c d ＋＋＝＋＋＋，然后展开分别求解．(2)观察()()a b c d ＋＋ (a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如5752252()()[()()11]()11111()()x x x x x x x ＋－＝＋－－＝－－；(3)分别得到()()n m a b c d ＋，＋的通项公式，综合考虑．7．a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知()sin 9sin 12sin a A B A +=，1sin 3C =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．43D ．23【答案】D【解析】利用正弦定理化角为边得到()912a a b a +=，利用基本不等式求出4ab ≤，利用面积公式求出最大值. 【详解】因为(sin 9sin )12sin a A B A +=，所以()912a a b a +=，又0a >，所以91229a b ab +=≥， 则4ab ≤，所以ABC 的面积的最大值为1124233⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用与基本不等式的应用，考查推理论证能力. 三角形中最值范围问题的解题思路:要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．也可利用基本不等式求最值.8．设[]t 表示不大于t 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的x =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】变量初始值1x =，100t =执行第一次循环列举结果，再执行第二次循环，直到循环终止得到答案. 【详解】1x =，100t =，[]100t =；2x =，50t =，[]50t =；3x =，506t =，[]16t =；4x =，256t =，[]4t =.故输出的4x =. 故选：C 【点睛】本题考查程序框图，考查运算求解能力与推理论证能力.最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．9．在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元.若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX =（ ） A ．18.12 B ．18.22 C ．19.12 D ．19.22【答案】C【解析】独立重复试验，列出随机变量X 的可能取值为28，13.2，-1.6再求出各可能值的概率可解得. 【详解】X 的可能取值为28，13.2，-1.6，且()2280.70.49P X ===，()13.220.70.30.42P X ==⨯⨯=，()21.60.30.09P X =-==，故280.4913.20.42 1.60.0919.12EX ⨯+⨯-⨯==.故选：C 【点睛】本题考查随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力与应用意识.求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n p ，→写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．10．若(0,2)απ∈，则满足114sin 4cos cos sin αααα-=-的所有α的和为（ ） A ．34πB ．2πC ．72π D ．92π【答案】D【解析】先化简方程，得到tan 1α=或1sin 22α=，求得角α的值，即可求解，得到答案. 【详解】因为114sin 4cos cos sin αααα-=-， 所以11sin cos 4(sin cos )cos sin sin cos αααααααα--=-=， 所以sin cos 0αα-=或4sin cos 1αα=，即tan 1α=或1sin 22α=， 又由(0,2)απ∈，所以513517,,,,,4412121212ππππππα=， 则满足条件的所有α的和为513517944121212122πππππππ+++++=. 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换、同角三角函数的基本关系，考查推理论证能力与运算求解能力，同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．11．设,x y 满足约束条件01020x y x y x y m +≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，且该约束条件表示的平面区域Ω为三角形.现有下述四个结论：①若x y +的最大值为6，则5m =；②若3m =，则曲线41xy =-与Ω有公共点；③m 的取值范围为3(,)2+∞；④“3m >”是“x y +的最大值大于3”的充要条件. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①③④【答案】B【解析】作出满足约束条件平面区域Ω，利用约束条件表示的平面区域Ω为三角形求出23m >，再验证其他选项得到答案. 【详解】作出满足约束条件01020x y x y x y m +≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域Ω，如图所示，联立010x y x y +=⎧⎨-+=⎩，得11,22x y =-=，因为Ω为三角形区域，所以112022m --⨯+> ，即32m >，故③正确. 当直线z x y =+经过点(2,1)A m m --时，z x y =+取得最大值，且最大值为23m -， 若x y +的最大值为6，则 4.5m =；故①错误，当233m ->时，3m >，必要性成立，当3m >时，233m ->，充分性成立，故④正确.当3m =时，A 的坐标为(1,2)，当1x =时，函数41xy =-的值为32>， 则曲线41xy =-与Ω有公共点，故②正确. 故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想与逻辑推理的核心素养，线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 12．已知函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，当1x ≤时，函数()f x 单调递增，则（ ）A ．()()22234242log 4log 33()log f f f >> B ．()()22224342log log 3log 43()f f f >>C ．()()222324log 4log o (3l g 3f f f >> D ．()()222432log 3log 43()log f f f >> 【答案】A【解析】函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，得到()f x 关于点()1,0对称，利用条件得到()2fx 的图象关于直线1x =对称，且当1≥x 时，()2f x 单调递增.再利用函数单调性求解 【详解】 因为函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 关于点()1,0对称，又当1x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增， 所以()2fx 的图象关于直线1x =对称，且当1≥x 时，()2f x 单调递增.因为334log 41log 3-=，44434log 31log =log 43-=，244147log 1log 1log 336-=-=，且34444487log log log log 3366>=>，所以222342log 4log 3lo ()(3)(g f f f >>. 故选：A 【点睛】本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的的核心素养. 对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底; （2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.二、填空题13．若曲线sin()(0)52y x ππωω=-<<关于点()2,0对称，则ω=______.【答案】10π 【解析】关于点()2,0对称，则利用(2)0f =得()25k k Z πωπ-=∈求解.【详解】依题意可得，()25k k Z πωπ-=∈，又02πω<<，则10πω=.故答案为：10π 【点睛】本题考查三角函数图象的对称性，考查运算求解能力.正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x 轴的交点，即函数的零点.14．若双曲线221(22)22x y m m m-=-<<+-上一点到()2,0A -，()2,0B 两点的距离之差的绝对值为______. 【答案】2【解析】由2224c m m =++-=得()2,0A -，()2,0B 是双曲线的焦点，由双曲线定义求出1m =可得虚轴长22b = 【详解】由题意可知，2224c m m =++-=，则()2,0A -，()2,0B 分别是双曲线的左、右焦点，则2a ==，解得1m =，从而21b =，虚轴长为22b =. 故答案为：2 【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查推理论证能力与运算求解能力. 在“焦点三角形”中，定义12||2PF PF a －＝优先考虑是破题关键． 15．如图，实心铁制几何体AEFCBD 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知cm BC EF π==，2cm AE =，4cm BE CF ==，7cm AD =，且AE EF ⊥，AD ⊥底面AEF .某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗20%，则铸得的铁球的半径为______cm .33【解析】几何体AEFCBD 由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，求出体积，利用等体积转换法求出球的半径. 【详解】设铸得的铁球的半径为cm r ， 依题意，可得该几何体的体积为111242(74)5232πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-=， 则345(120%)3r ππ⨯-=， 解得33r =故答案为： 33【点睛】本题考查简单几何体的体积，考查运算求解能力与应用意识.求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.16．已知函数()52()164f x x x x x =-+-，且()0()f x f x 对x ∈R 恒成立，则曲线()f x y x =在点()000,f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为______.【答案】17【解析】依题意可得()263232()1648(2)68f x x x x x x x =-+-=-+--，求出02x =，再求出函数()f x y x=的导函数，求出其在0x 处的导数值，即可得解； 【详解】因为()263232()1648(2)68f x x x x x x x =-+-=-+--，所以当2x =时，()f x 取得最小值，即02x =，因为4()5321f x x x x '⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以所求切线的斜率为42()52322117x f x k x '=⎛⎫==⨯-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：17 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数的最值，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数m ，将完成订单数超过m 记为“优秀”，不超过m 记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）甲配送方案的效率更高，理由见解析；（2）填表见解析；（3）有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．【解析】（1）利用茎叶图即可求出各组内25位骑手完成订单数的中位数，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为49，且4952<，所以甲配送方案的效率更高； （2）先利用茎叶图求出m 的值，再根据题目所给的数据填写2×2列联表即可； （3）计算K 的观测值2K ，对照题目中的表格，得出统计结论． 【详解】（1）由茎叶图知用甲配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为53，用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的中位数为49，因为用乙配送方案的骑手完成外卖订单数的平均数为3738393960624925++++⋅⋅⋅++=，且4952<，所以，甲配送方案的效率更高； （2）由茎叶图知2552254950.550m ⨯+⨯==，列联表如下：（3）因为2250(171689)2005.13 3.8412525262439K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异． 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了平均值和中位数的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题．18．在递增的等比数列{}n a 中，316a =，2468a a +=，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，11b a =，22S a =.（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列的前n 项和n T .【答案】（1）14n n a -=，21n b n =-；（2）()1122n n T n +=-+.【解析】（1）本题首先可根据316a =、2468a a +=得出213111668a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，然后通过计算得出4q =以及14n n a -=，再然后根据11b a =、22S a =得出11b =以及2d =，最后根据等差数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可结合（1）得出2n S n =2n n ，然后写出n T 以及2n T 的表达式，最后通过错位相减法求和即可得出结果. 【详解】（1）设递增的等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ， 因为316a =，2468a a +=，所以213111668a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，即1174q q +=，解得4q =或14（舍去）， 故4q =，33131644nnn na a q ，因为111b a ==，224S a ==， 所以2213b S b ，212d b b =-=，()12121n b n n =+-=-，故14n n a -=，21n b n =-，（2）因为21n b n =-，所以()21212n n n S n +-==2n n ，则212222n n T n =⨯+⨯++⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，故112222222n n n n n nT T T n11212212212n n n n n ，故()1122n n T n +=-+.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解，在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//ADBC ，AD CD ⊥，且AD CD =，45ABC ∠=︒．（1）证明：AC PB ⊥．（2）若2AD PA =，试在棱PB 上确定一点M ，使DM 与平面PAB 所成角的正弦值为2121． 【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为棱PB 的中点．【解析】（1）由AC AB ⊥，PA AC ⊥可证得AC ⊥平面PAB ，再由线面垂直的性质定理可得AC PB ⊥；（2）建立空间直角坐标系，设(2,2,)(01)PM PB λλλλλ==-≤≤，求出平面P AB 法向量(2,2,0)AC =及直线DM 方向向量，再根据题设条件建立方程，解出即可． 【详解】（1）证明：∵AD CD ⊥，且AD CD =， ∴45ACD DAC ∠=∠=︒， ∴45BCA ∠=︒， 又∵45ABC ∠=︒，∴90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内， ∴PA AC ⊥， 又PA AB A ⋂＝， ∴AC ⊥平面PAB ， ∵PB 在平面PAB 内， ∴AC PB ⊥；（2）取BC 的中点E ，以A 为坐标原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设1PA =，则(0,0,0)A ，(0,0,1)P ，2,2,0)B ，2,2,0)C ，2,0)D ， ∴(2,2,1)PB =--，(0,2,1)PD =-，(2,2,0)AC =， 设(2,2,)(01)PM PB λλλλλ==-≤≤， 则(2,22,1)DM PM PD λλλ=-=--+， 由（1）可知，AC ⊥平面PAB ，∴(2,2,0)AC =为平面PAB 的一个法向量， 设DM 与平面PAB 所成的角为θ，则()()222222221sin cos ,22112DM AC DM AC DM ACλλθλλλ⋅--====+++-+⨯ 整理得220890λλ+-=，解得12λ=（负值舍去），即12PM PB =，∴点M为棱PB的中点．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．20．已知F（0，1）为抛物线C：y＝mx2的焦点．（1）设11mAm m+⎛⎫⎪⎝⎭，，动点P在C上运动，证明：|PA|+|PF|≥6．（2）如图，直线l：y12=x+t与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第二象限），分别过M，N作l的垂线，这两条垂线与y轴的交点分别为D，E，求|DE|的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）（5，+∞）．【解析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标，再由椭圆可得m的值，求出抛物线的方程及准线方程，进而可得A的坐标，当P A垂直于准线时取等号，可证得结论；（2）将直线l的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而可得两根之差的范围，由题意求出直线DM，NE的方程，令x＝0求出M，N的纵坐标，进而可得|DE|的表达式，再由前面两根之差的范围求出|DE|的取值范围．【详解】解：（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标（0，14m），由题意可得14m=1，所以m14=，即抛物线的方程为：x2＝4y，所以A（4，5），且抛物线的准线方程为：y＝﹣1，设P到准线的距离为d，由抛物线的性质可得|PF|＝d，因为A到准线的距离为5+1＝6，所以|P A|+|PF|＝|P A|+d≥6．（2）由2412 x y y xt⎧=⎪⎨=+⎪⎩整理可得x2﹣2x﹣4t＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），（x1＞0，x2＜0），则x1+x2＝2，x1x2＝﹣4t＜0，所以t＞0，x1﹣x221212()4416>x x x x t=+-=+2，直线DM的方程为：()112y y x x---＝，令x＝0，得112Dy x y=+，直线EN的方程为：()222y y x x---＝，令x＝0，得222Ey x y=+，所以|DE|＝y D﹣y E＝2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）＝2（x1﹣x2）12+（x1﹣x2）52=（x1﹣x2）5>2⨯2＝5，所以|DE|＞5，所以|DE|的取值范围（5，+∞）．【点评】本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，及求两点间的距离的取值范围，属于中档题．21．已知函数()()22lnf x x m x m x=+--.（1）讨论()f x的极值点的个数；（2）设函数()21ln 2g x x m x =+，P ，Q 为曲线()()y f x g x =-上任意两个不同的点，设直线PQ 的斜率为k ，若k m ≥恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）当2m =-时，()f x 极值点的个数为0；当0m ≥时，()f x 的极值点的个数为1；当2m <-或20m -<<时，()f x 的极值点个数为2. （2）1(,]2-∞-【解析】（1）函数求导得()(2)(1')=0x m x xf x -=+的根，对根进行讨论得到函数单调区间从而求得极值.（2）令()()()h x f x g x =-，求出()()1212h x h x k x x -=-.等价转换()()1212h x h x k m x x -=≥-得()()1122h x mx h x mx ->-，构造新函数()()c x h x mx=-求导转化为不等式恒成立问题求解. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22(2)'22(2)(1)x m f x x m m x m x x m x x x+-=+---+-==. 令()'0f x =，得2mx =-或1x =. ①当12m->，即2m <-时， 在()0,1和(,)2m -+∞上，()'0f x >，在(1,)2m-上，()'0f x <，当1x =时，()f x 取得极大值，当2mx =-时，()f x 取得极小值，故()f x 有两个极值点；②当012m<-<，即20m -<<时，在(0,)2m -和()1,+∞上，()'0f x >，在(,1)2m-上，()'0f x <，同上可知()f x 有两个极值点； ③当12m-=，即2m =-时， 2(2)(1)2(1)'()0x m x x f x x x+--==≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值点；④当02m-≤，即0m ≥时，在()0,1上，()'0f x <，在()1,+∞上，()'0f x >，当1x =时，()f x 取得极小值，无极大值，故()f x 只有一个极值点.综上，当2m =-时，()f x 极值点的个数为0；当0m ≥时，()f x 的极值点的个数为1；当2m <-或20m -<<时，()f x 的极值点个数为2. （2）令()()()h x f x g x =-，则()()2122ln 2h x x m x m x =+--，设()11,P x y ，()22,Q x y ，()12,0,x x ∈+∞，则()()1212h x h x k x x -=-.不妨设12x x >，则由()()1212h x h x k m x x -=≥-恒成立，可得()()1122h x mx h x mx ->-恒成立.令()()c x h x mx =-，则()c x 在()0,∞+上单调递增，所以()'0c x ≥在()0,∞+上恒成立，即()'0h x m -≥恒成立.则220m x m m x +---≥恒成立，即2220x x m x--≥恒成立. 又()0,x ∈+∞，所以2220x x m --≥恒成立，则()2min22m x x≤-，因为()222111x x x -=--≥-，所以21m ≤-， 解得12m ≤-，即m 的取值范围为1(,]2-∞-.【点睛】本题考查含参数函数的极值及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数()f x 在(,)a b 内单调性和极值的步骤: (1)求()f x '；(2)确定()f x '在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：()0f x '>时为增函数；()0f x '<时为减函数．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．不等式恒成立问题的求解方法：(1)已知不等式()0f x ，λ≥(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法， (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为26cos 6sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 203πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线l '与曲线C 交于M ，N 两点，求|PM |﹣|PN |的最大值．【答案】（1）C ：（x ﹣2）2+y 2＝36，l 40y --=；（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】（1）曲线C 的参数方程为26cos 6sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 转化为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝36，直线l 的极坐标方程为sin 203πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．整理得1sin cos 202ρθρθ+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩40y --=．（240y --=与y 轴的交点坐标为（0，﹣4），直线l ′的参数方程为tcos 4sin x y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． 代入（x ﹣2）2+y 2＝36得到：t 2﹣（8sinα+4cosα）t ﹣16＝0，所以t 2+t 1＝8sinα+4cosα，t 1t 2＝﹣16＜0．故|PM |﹣|PN |＝|()12|αθ+=+≤t t【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知函数()411f x x x kx =-+---.（1）若2k =，求不等式()0f x >的解集；（2）若方程()0f x =有实数根，求k 的取值范围.【答案】（1）(),1-∞（2）()1,2[,)2-∞-+∞ 【解析】（1）2k =，函数等价变形为分段函数()44,122,146,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩，由()0f x >列不等式可解.（2）方程()0f x =等价变形得411x x kx -+--=，作出两函数图形，由图象得解.【详解】解：（1）因为2k =，所以()44,122,146,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=-+<<⎨⎪-≥⎩，由()0f x >， 1440x x ≤⎧⎨-+>⎩，得1x <，或14220x x <<⎧⎨-+>⎩得x φ∈， 综上有1x <故不等式()0f x >的解集为(),1-∞.（2）由()0f x =，得411x x kx -+--=，令()411g x x x =-+--，则()42,12,1426,4x x g x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，作出()g x 的图象，如图所示.直线y kx =过原点，当此直线经过点()4,2B 时，12k =； 当此直线与直线AC 平行时，2k =-.由图可知，当2k <-或12k ≥时，()g x 的图象与直线y kx =有公共点. 从而()0f x =有实数根，所以k 的取值范围为()1,2[,)2-∞-+∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.。
广西玉林市2020届高中毕业班第一次适应性测试答案-理数
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2020年广西高考数学一诊试卷(理科)
2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 ．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =； 当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值． 【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…， 解得8a …或8a -„， 所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 第一次运行时，2k =，332S =+⨯； 第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确； 令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误； 令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确． 故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=． 如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ， 根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+． 则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ． 【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=， 解得2k =． 故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-， 令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解． 【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+， 故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-， 所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以sin()2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =． 由正弦定理，得2b c =． 因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=， 解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ． 所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥． 又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒． 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出． （2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+． 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ． 因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =． 所以直线AB 的方程为2x =． （2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====， 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立． 【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ． （2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩， 解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=． 【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+． 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数． 所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…， 所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…， 故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数． 所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=． 从而()10f x mx --<，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)， 不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+， 所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+． 【思路分析】（1）解绝对值不等式即可； （2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞． 证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)(有解析)
2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2， 故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题． 解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283， 故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ， 过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ， 则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37， 故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围． 解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解． 令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12． 故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2． 故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π． 故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积． 本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根， 设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0， 设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)， 易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增， 又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0， 解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。
广西省玉林市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
广西省玉林市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【答案】A 【解析】 【分析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接'A M .由图可知'A MO πα∠=-，''A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以①正确.②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以αγπ+≤，所以②正确.综上所述，①②都正确. 故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+【答案】A 【解析】 【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
【详解】设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为231214*********V V V πππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A 。
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题
2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∪B＝（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]2．（5分）设（1﹣i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．1B．2C．4D．104．（5分）已知α∈（0，π），，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设a为正实数，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2，若∀x∈（a，2a），f（x）＜0，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A．线段F1A的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）过曲线y＝e x﹣x外一点（e，﹣e）作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣e e B．﹣e e+2C．﹣e e+1D．e e+210．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C 上，过点A作AA'⊥l，垂足为A'，若cos∠F AA'＝，则四边形AA'PF的面积为（）A．8B．10C．14D．2811．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足（﹣）⊥（﹣），则||的值．14．（5分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m ＝68，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860）[860，880）[880，900）[900，920）[920，940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82818．（12分）已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+3×2n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD＝A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝2AD＝2AA1＝4．（1）证明：A1D⊥平面ABC1D1；（2）若DC＝1，求二面角B1﹣BC1﹣A的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．（1）求△PQF面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1＜x2，x≠1），若m≤1，①证明：0＜x1＜2；②证明：﹣x12）．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点P∈l1，记是直线l1的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线l1的参数方程；②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）记函数y＝f（x）的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，求证a+2b+3c ≥9．。
2020届高三适应性考试(一)数学(理)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）数学（理）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. (1+i)2B. i 2(1-i)C. i(1+i)2D. i(1+i)【★答案★】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2. 已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A .9B. 8C. 5D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个， 故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3. 正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1AA 的中点(如图)用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D ，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查． 4. (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 80【★答案★】C 【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5. 已知cos5a π=，则3sin5π=（ ） A. 21a a - B. 21a a --C. 221a a -D. 221a a --【★答案★】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】cos=5a π，2sin =15a π∴-，332sin=sin =sin =2sin cos 55555ππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3sin5π∴=221a a - 故选：C .【点睛】本题主要考查了正弦的二倍角公式，诱导公式，同角三角函数间的关系，属于中档题.6. 函数ln |1|()1x f x x +=+的大致图像为（ ）A.B.C. D.【★答案★】A 【解析】 【分析】此题主要利用排除法，当x →+∞时，可得()0f x >，故可排除C ，D ，当x →-∞时，可排除选项B ，故可得★答案★.【详解】当x →+∞时，()ln 10x +>，10x +>，∴()0f x >，故可排除C ，D 选项； 当x →-∞时，()ln 10x +>，10x +<，∴()0f x <，故可排除B 选项， 故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切，则圆C 的面积的最小值为（ ）A. ()1245π- B.59π C.516π D.165π【★答案★】D 【解析】 【分析】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为AB 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小．【详解】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ， 由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ， 交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为(0,0)O 到直线280x y +-=的距离为： 22|8|8521d -==+， 此时5412r d ==∴圆C 的面积的最小值为：2416()55min S ππ=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用,属于中档题．8. 某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，,A B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.1627B.5281C.2027D.79【★答案★】C 【解析】 【分析】先确定A 队的得分高于B 队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最后根据加法计数原理求结果.【详解】A 队的得分高于B 队的得分的情况有三种：A 队的得分为5分，A 队的得分为4分，A 队的得分为3分.当A 队的得分为5分时，概率为42()3当A 队的得分为4分时，概率为223212()()()333C当A 队的得分为3分时，概率为12333321221()()()()()33333C C + 因此所求概率为4221233333221221221162412820()()()()()()()()()+++3333333338181818127C C C +++==故选：C【点睛】本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为( ) A. 3 B. 1 C.32D.12【★答案★】C 【解析】 【分析】根据正弦定理：由2sin 2sin a C A =得ac 的值，再由()226a c b +=+得222a c b +-的值，利用公式可得结论．【详解】∵2sin 2sin a C A =，∴22a c a =，2ac =，因为()226a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC ∆的面积为221232422⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查给出新的公式，并用新的公式解题的能力，比较基础．10. 已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A. 43y x =±B. 34yx C. 35y x =±D. 53y x =±【★答案★】A 【解析】 【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解． 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．11. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为1V ，三棱锥O 一ABC 的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为( ) A.169πB.649πC.32π D. 6π【★答案★】B 【解析】 【分析】设ABC ∆的外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =，根据体积比求得2R d =，利用球的性质，得23R r =，再由三角形的性质，求得23r =，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设ABC∆外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =依题意可知12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =，显然222R d r =+，故23R r =， 又由42sin 3AC r ABC ==∠，故23r =，∴球O 的表面积为221664439R r πππ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题．12. 己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围.【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，则3a b +=__________. 【★答案★】52【解析】 【分析】根据向量垂直关系求得1y =，利用2239a b a b +=+即可求得模长. 【详解】由题：平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥， 所以0,220a b y ⋅=-+=，解得：1y =，223954552a b a b +=+=+=.故★答案★为：52【点睛】此题考查根据向量垂直求参数，求向量的模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算法则.14. 设函数32()(2)f x x ax a x =+++.若()f x 的图象关于原点(0,0)对称，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.【★答案★】520x y --= 【解析】 【分析】根据()f x 的图象关于原点(0,0)对称，求得0a =，再求()f x 在1x =处的导数，即为切线斜率，再写出切线方程.【详解】由题知()f x 为奇函数，可得(1)(1)=--f f 即233a +=，则0a =，32()2,()32f x x x f x x '∴=+=+，(1)325,(1)3f f '∴=+==，∴切线方程为35(1)y x -=-即520x y --=.故★答案★为：520x y --=.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.15. 已知函数()cos 2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.【★答案★】14【解析】 【分析】由题意可得2()2sin sin 1f x x x =-++，令sin x t =，则219()248f x t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，利用二次函数的性质即可得11sin 4x =，2sin 1x =-，利用诱导公式即可得解.【详解】由题意2()cos2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++， 令sin x t =，则[1,1]t ∈-，则2219()21248f x t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，故14t =时，即11sin 4x =时，()f x 取得最大值； 1t =-时，即2sin 1x =-时，()f x 取得最小值，此时()2322k k Z x ππ=+∈，∴()12111cos co 3s sin 422x x x k x ππ+⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了三角函数最值的求解及诱导公式的应用，考查了换元法的应用，属于中档题. 16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ､CD ，若AB CD +的最小值为16，则抛物线的方程为__________. 【★答案★】24y x = 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，分别与抛物线的方程联立可得 1222px x p k +=+， 2342x x p pk +=+，1234||||2AB CD x x x x p +=++++，利用基本不等式可得最值，进而可得抛物线的方程.【详解】解：设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化为()22222204k p k x pk p x -++=， 2122222pk p p x x p k k +∴+==+，同理可得2342x x p pk +=+， 2212342221||||22224k p AB CD x x x x p p p pk p p k p k ⎛⎫∴+=++++=++++=++ ⎪⎝⎭2212248p k p p k≥⋅⋅+=，当且仅当1k =±时取等号， ∴AB CD +的最小值为8p ，816p ∴=，则2p =，所以抛物线的方程为24y x =. 故★答案★为：24y x =.【点睛】本题考查了焦点弦长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（共70分）17. 在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【★答案★】(1)证明见解析. (2)n S =2(1)nn +.【解析】 【分析】（1）根据数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征，我们对21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同时除以(1)n n +，得到121n n a a n n +-=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【详解】（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，又141a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得12(1)n a a n n =+-，即222,22n n an a n n n=+∴=+, 故2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和． 已知1n n na b c =⋅，,n n b c 都是等差数列，那么数列{}n a 的前n 和就可以用裂项相消法来求解． 18. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【★答案★】（1）1；（2）277.【解析】【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD ，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC, 所以12＋a2＝(2)2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1 (2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值22，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系o xyz(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为 ,设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角. 19. 小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； (2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为502n +单．若将频率视为概率，回答下列问题： ①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ； ②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.【★答案★】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出解析式，即可（2）①分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值②分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小，做出选择．【详解】（1）甲：100y n =+，乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>，故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩； （2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲: P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 152154156158160EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙： P （概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 140140180220260EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．【点睛】本道题是一个统计题，掌握好平均数和数学期望的计算方法，即可得出★答案★． 20. 已知O 为坐标原点，圆M ：222150x y x +--=，定点(1,0)F -，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若直线FA 、FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【★答案★】（1）22143x y +=（2）(4,0)-【解析】 【分析】（Ⅰ）由垂直平分线性质与椭圆的定义可知点Q 的轨迹为椭圆，长轴长等于半径,点F 、点N 分别为左右焦点，由椭圆参数的性质可求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意假设直线l 的方程与交点坐标，与椭圆联立，由斜率公式，表示出两直线斜率，由斜率之和为0列式可求得参数的等量关系，代入直线，即可求得恒过某点.【详解】（Ⅰ）由题意可知4MQ FQ +=，又24MF =<，由椭圆的定义知动点Q 的轨迹是,M F为焦点的椭圆，故24,22a c ==，即所求椭圆的方程为22143x y +=（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立曲线C 与直线l 的方程得()2223484120k xkmx m +++-=，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++ 由已知，直线FA 、FB 的斜率之和为()()121212121212121222011111kx x k m x x m y y kx m kx m x x x x x x x x +++++++=+==+++++++， ()()1212220kx x k m x x m ++++=，即有：()22241282203434m km k k m m k k--+++=++，化简得：4m k = 直线l 的方程为()4y k x =+，所以直线过l 过定点()4,0-．【点睛】本题综合考察直线与圆锥曲线的知识，若求轨迹方程时与圆有关，则一般会根据圆的半径列等式，证明恒过某点需要将直线表示出来，说明参数对某个点的取值无影响即可. 21. 已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围. 【★答案★】（1）()ln f x x =；（2）21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式；（2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e= 可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s⨯=，化简得s ae =， 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =， 所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+，()()22221m x x mx x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根， 由根与系数的关系知121x x =+，122mx x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=，将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得1t e=， 当11,2t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '<，()h t 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； 当1,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； 所以()min 12211e e e h t h e ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x 的取值范围是21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.选作题，共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.【★答案★】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】 【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到★答案★. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P 的极坐标22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2.设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=， 即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=.证明：（1）13ab bc ac ++≤； （2）11110a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ 【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据分析法，结合不等式关系中222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，即可证明不等式成立；（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.【详解】（1）1a b c ++=，2222()2221a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++=，又由均值不等式， 得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 则222222222222a b b c a c a b c ab bc ac +++++=++≥++， 3()1ab bc ac ∴++≤， 即13ab bc ac ++≤得证； （2）a ，b ，0c >，1a b c ++=，1a ∴，1b ，10c>， 则1111a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又由均值不等式得22b a b a a b a b+≥⨯=， 同理可得2c a a c+≥，2b c c b +≥， 则1114610a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
广西省玉林市2019-2020学年高考第一次适应性考试数学试题含解析
广西省玉林市2019-2020学年高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．2π C ．πD ．32π 【答案】D 【解析】 【分析】依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【详解】当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确； 当2πθ=时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确； 当32πθ=时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.2．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，12=，∴4m =，∴双曲线的离心率52cea==.故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．已知函数13log,0()1,03xx xf xa x>⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x的方程[()]0f f x=有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．(,0)(0,1)-∞U B．(,0)(1,)-∞⋃+∞C．(,0)-∞D．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】【分析】利用换元法设()t f x=，则等价为()0f t=有且只有一个实数根，分0,0,0a a a<=>三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a的取值范围.【详解】解：设()t f x=，则()0f t=有且只有一个实数根.当0a<时，当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅<⎪⎝⎭，由()0f t=即13log0t=，解得1t=，结合图象可知，此时当1t=时，得()1f x=，则13x=是唯一解，满足题意；当0a=时，此时当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a>时，当0x≤时，()[)1,3xf x a a⎛⎫=⋅∈+∞⎪⎝⎭，此时()f x最小值为a，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.4．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）A 3B ．6 C 3D 23【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以13a =3,1a b == ，2224c a b =+= ，即2c = ，233c e a == D. 5．已知(1,2)a =r ，(,3)b m m =+r ，(2,1)c m =--r ，若//a b r r ，则b c ⋅=r r（ ） A ．7- B ．3-C ．3D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由平行求出参数m ，再由数量积的坐标运算计算． 【详解】由//a b r r，得2(3)0m m -+=，则3m =，(3,6)b =r ，(1,1)c =-r ，所以363b c ⋅=-=-r r．故选：B ． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．6．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ）A ．B ．C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 7．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B ．4C ．154D ．4【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 60532224ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.8．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.9．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且3PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =±【答案】D 【解析】 【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴= 223a b ∴=，解得3ba= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.10．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( ) A ．1 B ．13C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可. 【详解】联立方程：22y xy x⎧=⎨=⎩可得：11xy=⎧⎨=⎩，2211xy=⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：)312312211|333S x dx x x⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎰.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.11．定义在R上的函数()()f x xg x=+，()22(2)g x x g x=--+--，若()f x在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t-<<，使得(0)()0f f t⋅<.则下列不等式不一定成立的是（）A．()2112f t t f⎛⎫++> ⎪⎝⎭B．(2)0()f f t->>C．(2)(1)f t f t+>+D．(1)()f t f t+>【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x xg x x g x x g x x f x--=--+--=--+++=+=∴函数()f x关于直线1x=-对称；()f xQ在[1-，)+∞上单调递增，且在20t-<<时使得(0)()0f f t<g；又(2)(0)f f-=Q()0f t∴<，(2)(0)0f f-=>，所以选项B成立；223112()0224t t t++-=++>Q，21t t∴++比12离对称轴远，∴可得21(1)()2f t t f++>，∴选项A成立；22(3)(2)250t t t+-+=+>Q，|3||2|t t∴+>+，∴可知2t+比1t+离对称轴远(2)(1)f t f t∴+>+，选项C成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。