牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
合集下载
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以
newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
chap4第1节 Cotes型求积公式
令：Ak
ba n
k i dt
0 i 0 i k
n
n
t i
b a ( 1) n
b
(t i )dt k! ( n k )!
0 i 0 i k
n k 0
n k
n n
则得定积分的近似计算公式： f ( x )dx Ak f ( x k )
a
1 0 2
(
4
1 0 11
利用 Simpson 公式
b
a
ba ab f ( x )dx f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b ) 6
1 4 1 0 4 4 0 1 x 2 dx 6 4 4 1 1 1 3.1333 1 4 利用Cotes公式得
R1[ f ]
12
f ( )
(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 12
(b a )
3
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( x k ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
R2 [ f ]
(b a ) 2880
5
f
(4)
( ) , (a , b)
Cotes求积公式
b
f ( x )dx
ba 90
a
7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x4 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
k =0
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
Newton-Cotes求积公式
Ck( n )称为Cotes系数,独立于区间[a,b]和被积函数, 只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.
所以Newton-Cotes公式化为
(n) ( b a ) C I n ( f ) Ak f ( xk ) k f ( xk ) k 0 k 0 n n
Nowton-Cotes型求积公式的误差分析
不同的 插值方 法 有不同 的 基函数, 不同的 表示形 式
用Ln ( x)作为被积函数 f ( x)的近似, 有
b
a
f ( x)dx Ln ( x)dx
a
n b k 0 a
b
b n
a
f ( x )l ( x)dx
k 0 k k
f ( xk ) lk ( x)dx
x xj xk x j
dx
令
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差)
R( I n ) Rn ( x)dx
a
b
即有
I ( f ) I n ( f ) R( I n )
I ( f ) In ( f )
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
i 0 i 0
n 1
n
(1)
(b a ) A0 A1 A2 An 1 h , An 0 n
y
f ( x) f0
a=x0
f1
x1
f2
x2
fi
xi
fi+1
xi+1
4.2牛顿-柯特斯公式
函数值f ( xk )的计算引起
只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影 响
假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值)
k f ( xk ) f ( xk ) 为误差
记
(n) ( b a ) C In k f ( xk ) k 0 n n
梯形(trapezia)公式具有1次代数精度
2.Simpson公式及其余项
ba ba 取n 2 , 则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为
C
(2) 0
1 2 1 (t 1)( t 2 )dt 4 0 6 1 2 4 t (t 2 )dt 0 2 6 1 2 1 (t 1)tdt 4 0 6
n
n
n 2
n
n 2
2
被积函数 ( j )是奇函数
n 2
n 2
n n n n g ( ) ( j ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 2 2 2 n 2 n n n n g ( ) ( )( 1) ( ) ( 1)( ) 2 2 2 2 g ( ) (1) n1 g ( ) g ( )
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
4.5 4 3.5
Simpson公式的余项为
3 2.5
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x)dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
2 1.5 1 0.5 0 -0.5
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
牛顿-柯特斯公式
(a, b )
3 . 柯特斯公式的余项
若f
( x ) 在 [ a , b ]上连续 , 则柯特斯公式的余项为
6 (6)
2 (b a ) b a R4 [ f ] I C f 945 4
( ), [ a , b ]. (2.8)
四 复化求积公式
所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多 项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛 卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三 次。
定理3
2 n 阶 N C 公式至少具有 2 n 1次代数精度 .
2 n1
证明 : 设 f ( x ) a 2 n 1 x R2 n ( f )
b a
H ( x ) dx
ba 6
( H (a ) H (
a b 2
) H ( b ))
因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分： (4) f ( ) ab 2 b
RS I S
a
2
由于 ( x a )( x
ab
4!
( x a )( x
2
0 t ( t 2 ) dt
2
4 6
( 1)
1
2 1! 1!
0 t ( t 2 ) dt
2
1 6
当 n 2 时 , 得到 辛普森(Simpso n)公式 6 当 n 4 时 ,得到 柯特斯(cotes) 公式
C ba 90
a f ( x )d x S
此时复化梯形公式为
12
( b a ) k 1
f ( k ) n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
在插值求积公式
n
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∫ P ( x ) dx = ∑ Ak f ( x k )
的误差） 定理 2（柯特斯公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的 （柯特斯公式的误差 在 上具有连续的 六阶导数， 柯特斯求积公式的误差为 六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 8 b a 7 (6) R4 ( f ) = ( ) f (η ) , η ∈ (a, b) 945 4
1 b 证 R1 ( f ) = ∫ f ′′ (ξ )( x a )( x b ) dx 2 a 中连续， 中连续 由于(x-a)(x-b)在[a, b] 中不变号， f ′′(ξ ( x )) 在[a, b ]中连续， 中不变号， 由于 在
1
12
辛普生） 定理 2（抛物线 辛普生）公式的误差）设f(x)在[a,b]上具 （抛物线(辛普生 公式的误差） 在 上具 有连续的四阶导数， 有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差为
1 b a 5 (4) (b a )5 (4) R2 ( f ) = ( ) f (η ) = f (η ) , η ∈ (a, b) 90 2 2880
ba T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
梯形面积近似 用梯形面积近似
k =0
1次代数精度 次
-y = f (x)
a
b
n=2时的求积公式 时的求积公式
2
Simpson公式 公式
I2 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 )
近似等于曲边梯形的面积 近似等于曲边梯形的面积 等于
-y = f (x)
a
b
P163 表7.2.1给出了 从1～8的柯特斯系数 给出了n从 ～ 的柯特斯系数 的柯特斯系数。 给出了
柯特斯求积系数表： 柯特斯求积系数表： c ( n ) k
n 1 2 3 4 5 6
7 8
( ( ( c0n ) , c1 n ) , ......, c nn )
x–xj=(t–j )h, dx=hdt,
xk x j = (k j) h
(xk x0)(xk xk1)(xk xk+1)(xk xn)
=k(k-1)…1(-1)(-2)…(-(n-k))hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn
(xx0)(xxk1)(xxk+1)(xxn)
= t(t-1)…t-k+1)(t-k-1)(t-n) hn 若变量替换为x= 若变量替换为 a+th, 则
求积公式 定理7.2.1 对于Newton—Cotes求积公式 定理5.2.2 对于 Th
In ( f ) = (b a)∑C f (a + kh)
k=0 ( n) k
n
时至少具有n次代数精度 当n为奇数时至少具有 次代数精度；当n为偶数时至少 为奇数时至少具有 次代数精度； 为偶数时至少 具有n+1次代数精度。 次代数精度。 具有 次代数精度
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
根据定积分的第二中值定理,存在一点 ∈ 根据定积分的第二中值定理 存在一点η∈[a,b],使 存在一点 使
f ′′(η ) b R1 ( f ) = ∫a ( x a )( x b) dx 2
f ′′(η ) ( x b) [( x a ) = 2 2
f ′′(η ) ( x b ) = 2 6
例如： 例如：n=2时，有 时 n=3时，有 时
( c 03 )
1 ( 2) 4 ( 2) 1 , c1 = , c2 = 6 6 6 1 ( 3 ( 3 ( 1 = , c1 3 ) = , c 23 ) = , c 33 ) = 8 8 8 8
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
b x =) k
与步长h无关，可以预先求出
∴ Ak = (b a) c ,
( n) k
( ckn)
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
得牛顿－柯特斯求积公式 牛顿－
∫
b
a
( f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c k
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
i=0
理由：取f(x)≡1，则 f(n+1)(x)≡0, Rn(f)≡0，于是 理由：
∫
b
a
1 dx = ( b a ) ∑ c
i=0
n
(n) i
,
ci( n ) = 1 ∑
i =0
n
( (2) 系数有对称性。 ci( n ) = c nn )i 系数有对称性。
(3) 当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数
1/2 1/6 1/8 7/90 19/288 41/840
751/ 17280 989/ 28350
1/2 4/6 3/8 16/45 25/96 9/35
3577/ 17280 5888/ 28350
1/6 3/8 2/15 25/144 9/280
1323/ 17280 -928/ 28350
( 2) 0
ba I3 [ f ] = ( f (a ) + 3 f (a + h) + 3 f (a + 2h) + f (b)) 8 ba 其中h = 。 3
n＝4时
(4) C0 =
n=3时
Simpson3/8公式
7 32 12 32 (4) 7 (4) C1(4) == C2 = C3(4) = C4 = 90 90 90 90 90
C1(1)
1 = ∫ (t 1)dt = 0 2 1 1 = ∫ tdt = 0 2
1
1 1 I1 ( f ) = (b a ) f (a ) + (b a ) f (b) 2 2
n＝2时
梯形公式 1 2 1 C = ∫ (t 1)(t 2)dt = 6 4 0 1 2 4 ( 2) C1 = ∫ t (t 2)dt = 2 0 6 1 2 1 ( 2) C2 = ∫ t (t 1)dt = 4 0 1 6 4 b+a 1 I 2 ( f ) = (b a )[ f (a ) + (b a ) f ( ) + (b a ) f (b)] 6 6 2 6 Simpson公式 (b a ) b+a [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] = 6 2
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
在插值求积公式
n
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∫ P ( x ) dx = ∑ Ak f ( x k )
的误差） 定理 2（柯特斯公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的 （柯特斯公式的误差 在 上具有连续的 六阶导数， 柯特斯求积公式的误差为 六阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 8 b a 7 (6) R4 ( f ) = ( ) f (η ) , η ∈ (a, b) 945 4
1 b 证 R1 ( f ) = ∫ f ′′ (ξ )( x a )( x b ) dx 2 a 中连续， 中连续 由于(x-a)(x-b)在[a, b] 中不变号， f ′′(ξ ( x )) 在[a, b ]中连续， 中不变号， 由于 在
1
12
辛普生） 定理 2（抛物线 辛普生）公式的误差）设f(x)在[a,b]上具 （抛物线(辛普生 公式的误差） 在 上具 有连续的四阶导数， 有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差为
1 b a 5 (4) (b a )5 (4) R2 ( f ) = ( ) f (η ) = f (η ) , η ∈ (a, b) 90 2 2880
ba T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
梯形面积近似 用梯形面积近似
k =0
1次代数精度 次
-y = f (x)
a
b
n=2时的求积公式 时的求积公式
2
Simpson公式 公式
I2 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) + A2 f ( x2 )
近似等于曲边梯形的面积 近似等于曲边梯形的面积 等于
-y = f (x)
a
b
P163 表7.2.1给出了 从1～8的柯特斯系数 给出了n从 ～ 的柯特斯系数 的柯特斯系数。 给出了
柯特斯求积系数表： 柯特斯求积系数表： c ( n ) k
n 1 2 3 4 5 6
7 8
( ( ( c0n ) , c1 n ) , ......, c nn )
x–xj=(t–j )h, dx=hdt,
xk x j = (k j) h
(xk x0)(xk xk1)(xk xk+1)(xk xn)
=k(k-1)…1(-1)(-2)…(-(n-k))hn = (-1)n-k k! (n-k)! hn
(xx0)(xxk1)(xxk+1)(xxn)
= t(t-1)…t-k+1)(t-k-1)(t-n) hn 若变量替换为x= 若变量替换为 a+th, 则
求积公式 定理7.2.1 对于Newton—Cotes求积公式 定理5.2.2 对于 Th
In ( f ) = (b a)∑C f (a + kh)
k=0 ( n) k
n
时至少具有n次代数精度 当n为奇数时至少具有 次代数精度；当n为偶数时至少 为奇数时至少具有 次代数精度； 为偶数时至少 具有n+1次代数精度。 次代数精度。 具有 次代数精度
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
根据定积分的第二中值定理,存在一点 ∈ 根据定积分的第二中值定理 存在一点η∈[a,b],使 存在一点 使
f ′′(η ) b R1 ( f ) = ∫a ( x a )( x b) dx 2
f ′′(η ) ( x b) [( x a ) = 2 2
f ′′(η ) ( x b ) = 2 6
例如： 例如：n=2时，有 时 n=3时，有 时
( c 03 )
1 ( 2) 4 ( 2) 1 , c1 = , c2 = 6 6 6 1 ( 3 ( 3 ( 1 = , c1 3 ) = , c 23 ) = , c 33 ) = 8 8 8 8
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
b x =) k
与步长h无关，可以预先求出
∴ Ak = (b a) c ,
( n) k
( ckn)
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
得牛顿－柯特斯求积公式 牛顿－
∫
b
a
( f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c k
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
i=0
理由：取f(x)≡1，则 f(n+1)(x)≡0, Rn(f)≡0，于是 理由：
∫
b
a
1 dx = ( b a ) ∑ c
i=0
n
(n) i
,
ci( n ) = 1 ∑
i =0
n
( (2) 系数有对称性。 ci( n ) = c nn )i 系数有对称性。
(3) 当n≥8时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数。 时开始出现负值的柯特斯系数
1/2 1/6 1/8 7/90 19/288 41/840
751/ 17280 989/ 28350
1/2 4/6 3/8 16/45 25/96 9/35
3577/ 17280 5888/ 28350
1/6 3/8 2/15 25/144 9/280
1323/ 17280 -928/ 28350
( 2) 0
ba I3 [ f ] = ( f (a ) + 3 f (a + h) + 3 f (a + 2h) + f (b)) 8 ba 其中h = 。 3
n＝4时
(4) C0 =
n=3时
Simpson3/8公式
7 32 12 32 (4) 7 (4) C1(4) == C2 = C3(4) = C4 = 90 90 90 90 90
C1(1)
1 = ∫ (t 1)dt = 0 2 1 1 = ∫ tdt = 0 2
1
1 1 I1 ( f ) = (b a ) f (a ) + (b a ) f (b) 2 2
n＝2时
梯形公式 1 2 1 C = ∫ (t 1)(t 2)dt = 6 4 0 1 2 4 ( 2) C1 = ∫ t (t 2)dt = 2 0 6 1 2 1 ( 2) C2 = ∫ t (t 1)dt = 4 0 1 6 4 b+a 1 I 2 ( f ) = (b a )[ f (a ) + (b a ) f ( ) + (b a ) f (b)] 6 6 2 6 Simpson公式 (b a ) b+a [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] = 6 2