《解直角三角形的应用》复习课
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解直角三角形及其应用(复习课)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90° ，∠A、∠B、∠C所对的边为 a、b、c，则下列关系式正确的是( C ) A．c＝asinA B．c＝acosA a a C．c＝ D．c＝ sinA cosA
a a [解析] 因为sinA＝ c ，所以c＝sinA.
)
3. 4.[2010· 漳州]如图（2） ，当太阳光线与水平地面成 30° 角时，
[解析]由题意得∠A＝30° ，∠B＝60° ，AD＝ CD ＝50 tanB 200 3. BD＝
图（ 3）
CD ＝150 3 ， tanA 3 ＋50 3＝
3 ，则AB＝AD＋BD＝150
·新课标
例1：某海滨浴场的沿岸可以看作直线AC，如图所示，1号救生员 在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B 点最近的地点C，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。 （ 3 取1.73）
A A
D
300
C
8 m
600
60
0
B
B
4m
13
C
硕果累累
通过本节课的学习，你有哪些收获？
14
设计方案测量下面两幢楼的高度。写出需要的数据并画出 示意图、给出计算方案。
15
一棵树的影长为 24 m，则该树高为( A )
A．8 3 m C．12 2 m
图（2） B．12 3 m D．12 m
4. 5 一段公路路面的坡度 i＝ ，这段公路路面长 100 米，那么这 3
段公路升高( D ) A．30 米 C．30 10 米 B．10 米 D．10 10 米
1
[解析] 设公路升高x米，则水平距离为3x米，根据勾股定 理，x2＋(3x)2＝1002，解得x＝10 10(米)．
a a [解析] 因为sinA＝ c ，所以c＝sinA.
)
3. 4.[2010· 漳州]如图（2） ，当太阳光线与水平地面成 30° 角时，
[解析]由题意得∠A＝30° ，∠B＝60° ，AD＝ CD ＝50 tanB 200 3. BD＝
图（ 3）
CD ＝150 3 ， tanA 3 ＋50 3＝
3 ，则AB＝AD＋BD＝150
·新课标
例1：某海滨浴场的沿岸可以看作直线AC，如图所示，1号救生员 在岸边的A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B 点最近的地点C，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上 跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒。 （ 3 取1.73）
A A
D
300
C
8 m
600
60
0
B
B
4m
13
C
硕果累累
通过本节课的学习，你有哪些收获？
14
设计方案测量下面两幢楼的高度。写出需要的数据并画出 示意图、给出计算方案。
15
一棵树的影长为 24 m，则该树高为( A )
A．8 3 m C．12 2 m
图（2） B．12 3 m D．12 m
4. 5 一段公路路面的坡度 i＝ ，这段公路路面长 100 米，那么这 3
段公路升高( D ) A．30 米 C．30 10 米 B．10 米 D．10 10 米
1
[解析] 设公路升高x米，则水平距离为3x米，根据勾股定 理，x2＋(3x)2＝1002，解得x＝10 10(米)．
解直角三角形 复习课课件
九年级上册 义务教育教科书
解直角三角形复习课
知识树
解直角三角形
三角函数的
解 直
定义
Hale Waihona Puke 角三角形
解直角三角形 的应用
(一)三角函数定义
正弦 余弦 正切
a
c
B
b
c
a
c
a
C
A
b
b
跟踪练习(一)
1.如图，sinA的值等（ C ）.
（A） 1 （B）2
2
（C） 5 （D）
5
5
跟踪练习(一)
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
3
跟踪练习(二)
※3.在△ABC中，∠A为锐角， AC=4,sinA= 1 ,AB= 5 3 ,
2
则BC= 31 。
(三)三角函数的应用
1. 仰角与俯角：
2.坡度
视线
铅
（ 仰角 ）
垂 线
（ 俯角 ） 水平线
视线
3.方位角 北
C
A
300
45 °
O
60 °
B
坡度i= h = tan
l
位于点O北偏东30°的是点 A ；
（参考数据：tan31 3，sin31 1 ，tan39 9 ，sin39 7 ）
5
2
11
11
39° 80
x
D
链反接思中提考高
拓展延伸
(青岛中考)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，
栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在
D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木
解直角三角形复习课
知识树
解直角三角形
三角函数的
解 直
定义
Hale Waihona Puke 角三角形
解直角三角形 的应用
(一)三角函数定义
正弦 余弦 正切
a
c
B
b
c
a
c
a
C
A
b
b
跟踪练习(一)
1.如图，sinA的值等（ C ）.
（A） 1 （B）2
2
（C） 5 （D）
5
5
跟踪练习(一)
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
3
跟踪练习(二)
※3.在△ABC中，∠A为锐角， AC=4,sinA= 1 ,AB= 5 3 ,
2
则BC= 31 。
(三)三角函数的应用
1. 仰角与俯角：
2.坡度
视线
铅
（ 仰角 ）
垂 线
（ 俯角 ） 水平线
视线
3.方位角 北
C
A
300
45 °
O
60 °
B
坡度i= h = tan
l
位于点O北偏东30°的是点 A ；
（参考数据：tan31 3，sin31 1 ，tan39 9 ，sin39 7 ）
5
2
11
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39° 80
x
D
链反接思中提考高
拓展延伸
(青岛中考)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，
栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在
D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120m，BD=80m，求木
解直角三角形的应用复习课课件
3.
思想方法小结: 思想方法小结
转化思想贯穿全章。 转化思想贯穿全章。把实际问题转化为数学 问题构造出相应数学模型。 问题构造出相应数学模型。 函数思想。锐角的三个三角函数， 函数思想。锐角的三个三角函数，角度与函 数值一一对应。 数值一一对应。 数形结合思想。画出图形， 数形结合思想。画出图形，使已知元素和未 知元素更直观。 知元素更直观。 方程思想。若某个元素无法直接求解， 方程思想。若某个元素无法直接求解，往往 设未知数，根据三角形的边角关系列出方程。 设未知数，根据三角形的边角关系列出方程。
北 C 45° 5 60° 0 A D B
能力训练
选作： 为了申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。 年冬奥会， 选作： 为了申办 年冬奥会 须改变哈尔滨市的交通状况。 在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB， 在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树 ，在地面上事先划定 为圆心， 等长的圆形危险区。 以B为圆心，半径与 等长的圆形危险区。现在某工人站在 为圆心 半径与AB等长的圆形危险区 米远的D处测得树的顶端 点的仰角为60° 离B点3米远的 处测得树的顶端 点的仰角为 °，树的底部 点 米远的 处测得树的顶端A点的仰角为 B点的俯角为 °。问距离 B点8米远的保护物是否在危险区 点的俯角为30° 点的俯角为 点 米远的保护物是否在危险区 结果保留根号） 内？(结果保留根号） 结果保留根号 A
回思： 回思： 本题要掌握的规律是 相等的角的三角函数值相同
1 2
)2+(
3 2
△ABC 的 形 状 是
( ) BD ( ) CD
。
三角 形网 格纸中的位 置如图 所 示 5. 三5 形在 正方 形网格 纸中的位置 如图 所示 , 则 sinA 的 值是 角 C A C 5 ____. ____.
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
5.分析方位角在实际生活中的应用，如地图定向、航海导航等。
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
解直角三角形的应用复习专题PPT课件
第11页/共Байду номын сангаас3页
中考预测
如图23－9，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上 的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼 的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt△ACD 中，∵tan∠ACD＝AD， CD
∴AD＝CD·tan30°＝9× 3＝3 3.在 Rt△BCD 中， 3
第4页/共13页
例3：某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图5，他们 在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方 向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°。求该兴趣小组 测得的摩天轮的高度AB，结果保留整数 。
第5页/共13页
例4：在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之
第9页/共13页
例6：某片绿地的形状如图10，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m， 求AD、 BC的长．（精确到1m）
第10页/共13页
评析：解两对角均为直角的四边形问题时，常需延长两对边，得到形如图 10的图形． 解直角三角形的方法: 角的关系有互余，边的关系有勾股；有斜边用正余弦，没有斜边用正切； 选用乘法毋用除，采取原始避中间。 这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边 时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用 除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避 免用中间数据。
间的距离．现测得
m,
AC 30
BC 70 m, CAB 120°，请计算A,B两个凉亭之间的距离．
第6页/共13页
中考预测
如图23－9，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上 的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼 的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt△ACD 中，∵tan∠ACD＝AD， CD
∴AD＝CD·tan30°＝9× 3＝3 3.在 Rt△BCD 中， 3
第4页/共13页
例3：某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图5，他们 在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，再往摩天轮的方 向前进50m至D处，测得最高点A的仰角为60°。求该兴趣小组 测得的摩天轮的高度AB，结果保留整数 。
第5页/共13页
例4：在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之
第9页/共13页
例6：某片绿地的形状如图10，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m， 求AD、 BC的长．（精确到1m）
第10页/共13页
评析：解两对角均为直角的四边形问题时，常需延长两对边，得到形如图 10的图形． 解直角三角形的方法: 角的关系有互余，边的关系有勾股；有斜边用正余弦，没有斜边用正切； 选用乘法毋用除，采取原始避中间。 这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边 时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用 除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避 免用中间数据。
间的距离．现测得
m,
AC 30
BC 70 m, CAB 120°，请计算A,B两个凉亭之间的距离．
第6页/共13页
中考总复习课件-解直角三角形的应用课件
了解定义域和值域对于理解三 角函数的性质和应用非常重要 。
03
CATALOGUE
解直角三角形的应用
利用三角函数解决实际问题
计算角度
通过已知的边长和角度， 利用三角函数计算出未知 的角度。
计算距离
利用三角函数和已知的距 离、角度，计算出未知的 距离。
计算高度
在垂直问题中，利用三角 函数和已知的高度、角度 ，计算出未知的高度。
交流与合作。
反思总结
及时总结学习过程中的 收获和不足，调整学习 策略，提高学习效果。
实践应用
结合生活实例，引导学 生运用数学知识解决实 际问题，培养应用意识
。
02
CATALOGUE
解直角三角形的基本概念
锐角三角函数
锐角三角函数是解直 角三角形的基础，包 括正弦、余弦、正切 等。
掌握锐角三角函数的 概念和性质是解决相 关问题的关键。
解直角三角形的方法和 步骤
实际应用中的问题解决
学习收获和体会
掌握了直角三角形的基本性质和 解法，能够解决一些实际问题。
通过学习，对数学中的函数和几 何知识有了更深入的理解。
在解题过程中，学会了如何运用 数学模型和逻辑思维来解决问题
。
下一步学习计划
进一步巩固解直角三角形的知识 和方法，加强实际应用能力的训
04
CATALOGUE
解题技巧和策略
建立数学模型
总结
示例
在解决解直角三角形的问题时，首先 需要将实际问题抽象为数学模型，即 直角三角形。
如测量一个建筑物的高度，可以通过 测量建筑物的影子的长度，再利用相 似三角形的性质建立数学模型。
描述
通过测量、计算等手段，将实际问题 中的数据代入数学模型中，建立与问 题相关的直角三角形。
解直角三角形及应用复习课
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
B
A
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
必做题： 书本P96/4、P97/7题．
选做题： 1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯 角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD ＝200米，求塔高AB？ 2.有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米， AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场 地的面积．
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 (100 3 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
图1
2.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 3 1.5)m（根号保留）． BE= (40 _________
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解直角三角形复习课课件
解直角三角形在测量中应用广泛 ，如测量高度、距离等。通过已 知的直角三角形角度和一边长度
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
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《解直角三角形的应用》复习课
一、复习目标：
1. 熟悉仰角、俯角、坡度的意义。
2. 培养学生数形结合的能力。
3. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
二、自主学习整理
三、交流提升：
1.一根电线杆在离地面a 米处固定一拉线，拉线与地面夹角α ，则拉线长为
A 、a tan α米
B 、
αsin a
米 C 、α
tan a 米
D 、a cos α米 2.身高相同的三名同学甲、乙、丙放风筝（放出的风筝线是直的），各项数据如下表：则三人所放风筝最高的是 .
A
a
B
C α
四．典型例题：
1.已知：四边形ABCD, ∠A=60°, ∠B=∠D=90°,AB=200,CD=100。
求四边形ABCD 的面积。
Ａ
Ｄ
Ｂ Ｃ
2.已知：△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6。
求：ＢＣ的长及Ｓ△ABC 。
Ａ Ａ
Ｂ Ｃ
总结：构造直角三角形，可以补，也可以割。
五．典型例题
现有一高压电线杆，周围５米不能靠近，运用所学知识设计测量方案，并计算出电线杆高度。
【要求：（1）工具有刻度尺、测角仪。
（2）测量数据用具体数据（自定）】 说明：学生先交流讨论方案，教师及时引导，最后统一方案。
强调：（1）电线杆5米外。
（2）从C’处沿直线A’C’后退到点B’处。
（3）图形中一定出现测角仪高度。
计算过程让学生根据所学知识详尽写出。
六．课后练习及提升：
1. 甲、乙两楼相距50米，站在甲楼顶看乙楼底俯角45°，看乙楼顶仰角30°。
求：甲、乙两楼高度
B A
D
A’
C
B’ C’
甲
乙
2.台风中心P在城市A的西偏南30°处，距城市A 80km，正以15km/h的速度向正东移动，台风中心周围50km范围内受台风影响，若风力不变继续移动，是否对城市A造成影响？若
不受影响，请说明理由；若受影响，求出受影响时间。
P 北A
东。