数学史上无理数π地几种三角函数求法---第三篇
关于圆周率π的几种计算方法
关于圆周率π的几种计算方法圆周率π是一个无限不循环的小数，它在数学和科学领域具有重要的应用。
为了准确计算圆周率π，人们发展出了多种方法。
下面将介绍几种计算π的方法。
1.随机法随机法是一种探索性的计算方法，它利用随机数的特性来逼近π的值。
随机法是通过在一个给定的区域内生成大量的随机点，并计算这些点落在给定区域内部的比例，从而得到π的估计值。
随着生成的随机点数量的增加，π的估计值会趋向于真实值。
这种方法的缺点是需要大量的计算，且误差随机。
2.连分数法连分数法是一种通过递推的方式计算π的方法。
连分数是一种分数形式的无理数表达方式，通过不断递推分数项来逼近π的值。
使用连分数法计算π可以得到较快的收敛速度，但每一步的计算量较大。
3.面积法面积法是一种几何推导的方法，通过对圆的面积和周长进行计算来得到π的估计值。
该方法的基本思想是，通过构造一个与单位圆相切的正多边形，然后利用割圆法构造出一个逼近圆形的多边形，通过计算多边形的面积和周长来估算π的值。
随着多边形的边数增加，π的估计值会不断接近真实值。
4.迭代法迭代法是一种通过逐步逼近的方式计算π的方法。
该方法通过使用特定的迭代公式和初值，将前一步的结果代入公式中得到下一步的结果，使得最终的结果逐渐趋近π。
其中比较有名的迭代公式是Leibniz公式和Nilakantha公式。
5.主值法主值法是一种以黎曼积分为基础的计算π的方法。
该方法通过对函数sin(x)/x在一个区间上的主值进行近似，从而得到π的估计值。
主值法的优点是计算简单，但误差较大。
6.快速傅里叶变换法快速傅里叶变换法是一种通过数值计算的方法计算π的方法。
该方法利用傅里叶变换的性质，将π的计算问题转化为求解无穷级数的问题，通过计算级数的部分和来逼近π的值。
总结起来，计算圆周率π的方法有很多种，每种方法都有其特点和适用范围。
随机法和面积法适用于初步的估算，连分数法和迭代法适用于较精确的计算，主值法和快速傅里叶变换法适用于数值计算。
兀的计算过程
兀的计算过程
π（圆周率）是一个无理数，其计算过程是一个不断逼近的过程。
以下是其计算过程：
1.初始阶段：古人使用各种简单的几何方法来估算圆周率。
例如，古希
腊人使用正多边形来逼近圆，随着边数增加，多边形的周长会越来越接近圆的周长。
2.阿基米德方法：阿基米德使用圆的外切和内接正多边形来逼近圆周率。
通过计算正多边形的周长和直径的比值，不断减小误差，最终得到π的近似值。
3.托勒密方法：托勒密使用了一种更复杂的方法来计算圆周率。
他通过
计算正12面体的所有棱长的平均值，然后将其与圆的直径进行比较，得到π的近似值。
4.印度数学家阿叶彼海特发明了“无穷大分数法”，将π表示为一个无穷
大分数。
5.到了16世纪，欧洲数学家开始使用更精确的几何方法来计算π，例
如莱布尼茨级数法和蒙特卡洛方法。
这些方法利用了更复杂的几何概念和计算技巧，可以提供更精确的π值。
6.计算机的出现使得π的计算更加精确和快速。
目前，世界上最精确的
π值是由超级计算机计算得到的，小数点后已经达到了数十亿位。
初中三角函数知识点归纳总结
初中三角函数知识点归纳总结三角函数是中学数学中的重要概念，在中学课堂中，老师们对学生的学习要求也不断提高，对三角函数的理解和应用能力也有了新的要求。
以下将以三角函数的基本概念为主线，总结出初中三角函数知识点。
首先，什么是三角函数？简单来说，三角函数就是根据角度自身属性来求出该角度的值的一类函数。
三角函数在数学中有着广泛的应用，并且具有一定的基础性，所以在学习数学方面非常重要，初中三角函数知识点以下分为几个部分，如正弦函数、余弦函数、正切函数、反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
一、正弦函数：正弦函数的值可以用角度来表示，基本性质是正弦函数的图像关于x轴对称，其图像范围是-1≤sinθ≤1，正弦函数的值是由一个正圆周上角度θ的弧长l决定的，其关系公式为sinθ＝l/2πR。
二、余弦函数：余弦函数的值也可以用角度θ来表示，其图像关于原点对称，范围也是-1≤∠cosθ≤1，其值是由一个正圆周上角度θ的半径r决定的，其关系公式为cosθ＝r/2πR。
三、正切函数：正切函数的值也可以用角度θ来表示，其图像关于x轴对称，范围是-∞≤tanθ≤∞，其值是由一个正圆周上角度θ的斜边S决定的，其关系公式为tanθ＝S/R。
四、反正弦函数：反正弦函数的值也可以用角度θ来表示，其图像关于x轴对称，范围是-π/2≤arcsinx≤π/2，其值是由一个凸圆周上角度θ的弧长l决定的，其关系公式为arcsinx＝l/πR。
五、反余弦函数：反余弦函数的值也可以用角度θ来表示，其图像关于原点对称，范围是0≤arccosx≤π，其值是由一个凸圆周上角度θ的半径r决定的，其关系公式为arccosx＝r/πR。
六、反正切函数：反正切函数的值也可以用角度θ来表示，其图像关于x轴对称，范围是-π/2≤arctanx≤π/2，其值是由一个凸圆周上角度θ的斜边S决定的，其关系公式为arctanx＝S/πR。
另外，在初中，要学习三角函数的三角学公式。
圆周率π的近似计算方法
圆周率π的近似计算方法圆周率π是一个无理数，它的精确值无法用有限的分数或小数表示。
然而，通过数学方法和计算技术，我们可以使用一些近似计算方法来得到π的近似值。
下面将介绍一些常见的计算π的方法。
1.随机法（蒙特卡洛方法）：随机法是一种通过随机事件的频率来近似计算π的方法。
它的原理基于以下思想：在一个正方形区域内，有一个内切圆。
通过随机生成大量的点并统计落入圆内的点的比例，可以估计圆的面积与正方形面积的比例，从而近似计算出π的值。
2. 雷马势数法（Leibniz series）：雷马势数法是一种使用级数展开来近似计算π的方法。
它基于以下公式：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过对该级数进行截断，可以得到π的近似值。
截断级数的项数越多，近似值越准确。
3. 阿基米德法（Archimedes's method）：阿基米德法是一种使用多边形逼近圆的方法来计算π的近似值。
它的基本思想是：将一个正多边形逐步扩展，使其接近一个圆，通过计算多边形的周长和半径，可以得到π的逼近值。
随着多边形边数的增加，逼近值会越来越接近π。
4. 飞镖法（Buffon's needle problem）：飞镖法是一种使用投掷飞镖来近似计算π的方法。
假设有一条平行线的间距为d，并且在这条线上放置一根长度为L的针。
通过投掷大量的针并统计与线相交的次数，可以推导出π的近似值。
这些是计算π近似值的一些常见方法，当然还有其他更精确的方法，如使用数学公式或使用超级计算机算法等。
计算π的近似值是数学和计算机领域的研究课题之一，有时也涉及到数值计算的算法和技术。
π的计算方法范文
π的计算方法范文π是一个无理数，它的计算一直是数学界的一个重要问题。
本文将探讨几种计算π的方法，并分析它们的优缺点。
一：基于几何形状的计算方法之圆面积法圆面积法是最早被人们提出的计算π的方法。
它的思想是通过比较圆的面积和正方形的面积来估算π的值，具体步骤如下：1.画一个半径为R的圆心O，以O为中心画一个边长为2R的正方形。
2.计算圆的面积：S1=πR^23.计算正方形的面积：S2=(2R)^2=4R^24.比较S1和S2，得到π的近似值：π≈S1/S2=π/4这种方法的优点是简单易懂，可以通过纸和铅笔进行实际操作。
缺点是精度较低，仅能计算到几位小数。
二：基于无穷级数的计算方法之莱布尼茨级数莱布尼茨级数是一种无穷级数，可以用来计算π的近似值。
它的形式如下：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是可以通过计算机程序进行高效计算，精度较高。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
三：基于三角函数的计算方法之莫特隆公式莫特隆公式是一种基于三角函数的计算π的方法。
它的形式如下：π/4 = tan(1/2) + tan(1/2^2) + tan(1/2^3) + ...通过逐项相加，可以得到π的近似值。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是收敛速度较慢，需要计算多项才能得到较精确的结果。
四：基于随机数的蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种随机抽样的统计方法，也可以用来计算π的近似值。
具体步骤如下：1.在一个正方形内部画一个半径为R的圆，圆心位于正方形中心。
2.随机在正方形内部生成N个点，统计落在圆内的点的数量M。
3.根据概率统计原理，有M/N≈π/4，可得π的近似值：π≈4M/N。
这种方法的优点是计算精度较高，可以通过计算机程序进行高效计算。
缺点是计算复杂度较高，需要生成大量的随机数来增加计算精度。
综上所述，计算π的方法多种多样，每种方法都有其优点和缺点。
三角函数公式大全及推导过程
三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ab =ϕtan ） 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
数学历史典故：寻找π的历史
数学历史典故：寻找π的历史一“竭尽法”——早期的π历史上的π首次出现于埃及。
1858年，苏格兰一位古董商偶然发现了写在古埃及莎草纸(古埃及人广泛采用的书写介质)上的π的数值。
古代巴比伦人计算出π的数值为3。
但是希腊人还想进一步计算出π的精确数值,于是他们在一个圆内绘出一个多边形,这个多边形的边越多，其形状也就越接近于圆。
希腊人称这种计算方法叫“竭尽法”。
事实上这也确实让不少数学家精疲力竭。
阿基米德的几何计算结果的寿命要长一些，他通过一个九十六边形估算出π的数值在3至3.17之间。
在以后的700年间，这个数值一直都是最精确的数值，没有人能够取得进一步的成就。
到了公元5世纪，中国数学和天文学家祖冲之和他的儿子在一个圆里绘出了有24576条边的多边形，算出圆周率值在3.1415926和3.1415927之间，这样才将π的.数值又向前推进了一步。
达·芬奇计算π的数值的方法既简单又新颖。
他找来一个圆柱体，其高度约为半径的一半(你可以用扁圆罐头盒来做)，将它立起来滚动一周，滚过的区域就是一个长方形，其面积大致与圆柱体的圆形面积相等。
但是这种方法还是太粗略了，因此后人还是继续寻找新的精确方法。
二、确立与徘徊1665年，英国伦敦瘟疫流行，伊萨克·牛顿只好休学养病。
在此期间，他潜心研究π的数值，终于创造出一种新的计算π值的方法。
不久，科学家们就将π值不断向前推进。
1706年，π的数值已经扩展到小数点后100位。
也就是在这一年，一位英国科学家用希腊字母对圆周率进行了命名，这样圆周率就有了今天的符号“π”。
在整个19世纪，人们还是希望计算出π的最后数值。
当时，德国汉堡有一位数学天才约翰·达斯能够心算出两个八位数的积。
他在计算时还能够做到一算就是几个小时，累了就睡觉，醒来时能够在睡前的基础上接着再计算下去。
1844年，这位天才开始计算π的数值，在两个月之内，他将π值又向前推进到小数点后第205位。
数学史上无理数π的几种三角函数求法---第三篇
数学史上无理数π的几种三角函数求法【读《三角之美 边边角角的趣事》有感】江苏东海高级中学 222300 孟剑卫序言：笔者本人在读了马奥尔的这本精彩的书以后着实震惊，感觉到三角函数在数学的发展中与其他分支有着不可分割的关系，是代数与几何深入结合的产物。
当三角函数用弧度制来表示的时候，就与一个无理数π联系到了一起。
据了解现在计算机已经能够计算出圆周率π小数点后面206,158,430,000位十进制精度，这是怎么精确计算出来的？好，转入今天的正题，接下来我们就来看看几种常见的算法。
一．sin X1【倍角公式法】.先看一个三角函数中熟悉的二倍角公式X Xsin X=2cos .sin 22. (1)反复运用倍角公式，则;sin =2cos .sin 4cos .cos .sin 22424x x x x xx = ,=12sin .cos .cos .......cos cos .cos 222842n n n n x x x x x x-sin ,2n x x 对求极限当取充分小时,sin 22n n x x=则上式等价于sin x =12.cos .cos .......cos cos .cos 222842nn n n x x x x x x - = 1.cos.cos .......cos cos .cos 22842n n x x x x xx - (2) 于是1sin cos .cos .......cos cos .cos 22842n n x x x x x xx -= (3) 上式也可写成：sin xx =1cos 2nn k x =∏（其中∏表示“乘积”）sin0(0,R =说明：因为上式对任意实数都成立，包括x 如果我们定义=1，) 等式右边不可能出现π，只能让左边出现π，可令2x π=cos42π=,再重复利用半角公式cos 2x =2π=(4) 根据上式可以精确算出π的值.2【泰勒展开式法】sin ,x 由泰勒公式可得的展开式即它的幂级数形式：(5)n n 上面的式子是一个次多项式，著名学者欧拉认为既然一般的次多项式可以1sin i x n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭写成个形如的因子的乘积，那么也可以写成无穷乘积的形式，那到i 底是什么样的形式呢？只需将每个因子中的x 用的零点代入即可。
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数学史上无理数π的几种三角函数求法【读《三角之美 边边角角的趣事》有感】东海高级中学 222300 孟剑卫序言：笔者本人在读了马奥尔的这本精彩的书以后着实震惊，感觉到三角函数在数学的发展中与其他分支有着不可分割的关系，是代数与几何深入结合的产物。
当三角函数用弧度制来表示的时候，就与一个无理数π联系到了一起。
据了解现在计算机已经能够计算出圆周率π小数点后面206,158,430,000位十进制精度，这是怎么精确计算出来的？好，转入今天的正题，接下来我们就来看看几种常见的算法。
一．sin X1【倍角公式法】.先看一个三角函数中熟悉的二倍角公式X Xsin X=2cos .sin 22. (1)反复运用倍角公式，则;sin =2cos .sin 4cos .cos .sin 22424x x x x xx = , =12sin .cos .cos .......cos cos .cos 222842n n n n x x x x x x -sin ,2n x x 对求极限当取充分小时,sin 22n n x x=则上式等价于sin x =12.cos .cos .......cos cos .cos 222842nn n n x x x x x x - = 1.cos.cos .......cos cos .cos 22842n n x x x x xx - (2) 于是1sin cos .cos .......cos cos .cos 22842n n x x x x x xx -= (3) 上式也可写成：sin xx =1cos 2nn k x =∏（其中∏表示“乘积”）sin0(0,R =说明：因为上式对任意实数都成立，包括x 如果我们定义=1，) 等式右边不可能出现π，只能让左边出现π，可令2x π=cos42π=,再重复利用半角公式cos 2x =22π=(4) 根据上式可以精确算出π的值.2【泰勒展开式法】sin ,x 由泰勒公式可得的展开式即它的幂级数形式：(5)n n 上面的式子是一个次多项式，著名学者欧拉认为既然一般的次多项式可以1sin i x n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭写成个形如的因子的乘积，那么也可以写成无穷乘积的形式，那到i 底是什么样的形式呢？只需将每个因子中的x 用的零点代入即可。
所以:有222222222sin .1.1.1.......149x x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(6)在上式中右边含有单独的X 项，下面就从这个X 入手，作为联系π的工具：令2x π=得: 11111.1.1.1.1......24163664π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （７）整理得：224466............2133557π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是: ()()22120221n n n π∞=-=-∏（８） π当然，利用（６）式还可得到其他含的形式，例如，令6x π=，则会得到：166********............625711131719π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是 : 3π=()()2216061n n n ∞=--∏ (9)二.tan X１【泰勒展开式法】类似于上面的sin X 的求法，（10）上式等价为:()2222222224444cos 1.1.1.......192521x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（11） 到这里你也许要问了明明标题是用tan X 来求π，怎么写的是cos X ，没错，但细心的人很快就已经发现了这里的cos X 是不具有引出π的能力的，在这里只起到为下一步作铺垫的作用。
既然上式两边都不具备X 项，那就可以与sin X 结合起来作用，既可以与sin X 相乘，也可作sin X 的分母，还可以作幂指数，当然幂指数在这里不好使就不必说了。
相乘的话则有sin X cos X =12sin 2X ，接下来的处理方法与(7)类似这里就不一一赘说了，下面主要讨论做分母的情况。
将sin X ，cos X 展开式分别代入tan X 得：()222222222222222222.1.1.1.......14944441.1.1.......19252t 1an x x x x x n x x x x x n ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎭⎝⎝=⎝⎭⎭(12)上面出现的这个式子看上去确实有点吓人，不过如果我们利用有理函数的部分分式分解这一技巧就方便多了，即如下的分解方法：()()1122332121tan ...22222222111111113355n nA B A B A B A B x x x x x x x n n x x ππππππππ=++++++++-+-+-+--+- (13)“”13为了求出上式的各项系数，我们采用一种清除分母的方法，即让（）式cos sin x x 左右两边同时乘上它的右式的每一个分母，即，那么左式就剩下了，:所以有222222222sin .1.1.1.......149x x x x x x n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ()222222124441.1.......19225211x A x x x n ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ +()222222124441.1.......19225211x B x x x n ππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ +()222222224441.1.......1252.1.213x x x n x A ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭+()222222224441.1.......1252.1.213x x x n x B ππππ⎛⎫- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎭ +…… (14)112211......x x A B ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上式只有项中不含有也只有项中不含有根据以上特点，121,.1.24x A ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭为了求出令，则其余项都被消去。
于是有1116⎛⎫- ⎪⎝⎭1.136⎛⎫- ⎪⎝⎭1224466.................133557A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (15)22211111:.1.1.1.......241636π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解出A A 由于上式右边2221111.1.141636⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.......()7部分可以用式代替，所以化简得：211122==2B πππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ，同理得到A()221i i i i i π-（以）马奥尔曾给出A ，B 的通式 A =-B (16)将这些系数带入(13)式，再两两分组分别相加，于是我们得到：222222221111tan 8......494254494x x x x x x ππππ⎡⎤=+++++⎢⎥----⎣⎦(1７) 在(1７)式中，x 除了π3π5π7π9π,,,,22222外，其余实数均可取得，而且有一个单独的x 项可以用来引出π。
接下来的事就是将一些特殊的角度带入，例如πππ,,436......先举个特殊的例子吧，令4x π=，得到22222222111118......4925494444πππππππππ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥----⎣⎦()222211118......33599197πππππ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦(18) 观察中括号的数字，均为2,6,10等数字的平方减去一，即()2421n --我们对其先因式分解，再裂项求和，得到41111111.1......35791113π⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以:1111111......435791113π=-+-+-+（19）苏格兰数学家James Gregory 曾在1675年用正切的反三角函数发现并证明出结论上述结论。
他将Z=1带入正切的反三角函数就得到了（19）式。
【注】从（17）式中我们还可以得到一个有趣的结论，令0x =，将x 除到左边去，对tan xx 求极限000tan sin 1lim lim .lim 111cos x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以（17）式就变为2811111......192549π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭即21111......8192549π=++++ （20） 多说一句，由上式可以联想到11111 (1491625)T =+++++211111111 (1925494163684)T T π⎛⎫⎛⎫=++++++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解出26T π=，是一个定值。
上面涉及到一个无限循环小数的转换为分数的形式的方法，在这里稍微提一下：例如，0.999999……0,9999……=0,9+0.0999……,在这里我们让0,9999……=T ，则T=0.9+T10,解出T 得T=1，再比方说，3.67836783678……,在这里让S=3.67836783678…… 所以S=3.678+S10000，同样可以解出S 。
在第一个例子中，如果我们对0.9999…求极限的话，那它的值也是1.好了，关于tan X 的用法就先说到这里。
【小结】上面主要介绍的是泰勒展开式法，下面先列出常用的几个三角函数的幂级数展开式，在这里就不一一讨论了，不过有一点，那就是一定要构造出等式两边一边含有X 的一项，而另一边带入X 的时候，π能够被消掉。
对于上面几个式子只要细心对比，找出共同之处，给予合适的构造一样可以有不可思议的用途。
下面继续介绍上面在SinX中提到的倍角公式法在cotX中的应用。
三cot X在这里我们主要介绍倍角公式法，先来看看余切倍角公式：21tan cot tan tan cot cot 22tan 222x x x x xx x --===-+同样，对cot X 有： cottan tan cot 2222cot 222x x x xx -==-+ (20)对上式重复使用倍角公式（当然，这里的(),,02nx n Z n π≠∈≠其中），可以得到一个无限的式子：cot tan cot tan 2222cot 222x x x x x -==- =2cot tan tan 4421122x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭- 112233*********cot tan tan tan ......tan tan tan 22222222222222n n n n n n n n x x x x x x x ----⎛⎫=-++++++ ⎪⎝⎭(21)对1cot 22n n x 求极限得： 11111lim cot limcot lim 22222tan 2n n n n n n n n nx x x x→∞→∞→∞===于是我们得到：11223322111111tan tan tan ......tan tan tan 222222222222n n n n n n x x x x x x ----++++++1cot x x=-这回好办了，等式两边的一边出现了含有Ｘ的独立项，下面只需对Ｘ进行赋值就大功告成了。