关于《三角函数的周期性》的教案
高中数学教案：三角函数的周期性
高中数学教案：三角函数的周期性教案名称：三角函数的周期性教案目标：1. 了解三角函数的定义和性质；2. 掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 能够应用周期性解决相关问题。
教学重点：1. 三角函数的周期性；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 周期性的应用。
教学难点：1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性的理解；2. 周期性的应用和解题过程。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2. 备好三角函数的定义和性质的PPT或教材；3. 准备相关练习题。
教学过程：Step 1：引入教师用一个实际例子，如画家在画河流的起伏曲线时，引出周期性的概念，以引发学生对周期性的思考。
Step 2：三角函数的定义和性质回顾教师通过PPT或教材的方式回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，可以给出具体的函数图像以及函数值的变化规律。
Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性教师解释正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性概念，并给出周期的定义。
然后，详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的周期。
可以通过演示函数图像的变化来帮助学生理解。
Step 4：例题演练教师给出一些具体的例题，让学生通过观察函数图像或计算函数值等方法来判断函数的周期，并解答相应的问题。
教师可以给予提示和指导，引导学生理解和应用周期的概念。
Step 5：练习和讨论教师布置一些相关的练习题，让学生自主练习，并进行讨论和解答。
教师可以随机让学生上台解答问题，帮助学生巩固和深化对周期性的理解。
Step 6：小结和拓展教师对本节课的内容进行小结，并引导学生总结和归纳三角函数的周期性的特点和应用方法。
教师还可以拓展讲解正割函数、余割函数和余切函数的周期性。
Step 7：作业布置教师布置相关的练习题作为课后作业，巩固学生对周期性的理解和应用。
教学延伸：教师可以引导学生进行更多的实际问题应用，如舞蹈中的动作变化规律、物理中的周期性振动等，加深学生对周期性的认识和理解。
《三角函数的周期性》的教案
《三角函数的周期性》的教案关于《三角函数的周期性》的教案一、目标与自我评估1 掌握利用单位圆的几何作函数的图象2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期3 会用代数方法求等函数的周期4 理解周期性的几何意义二、学习重点与难点“周期函数的概念”，周期的求解。
三、学法指导1、是周期函数是指对定义域中所有都有，即应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构五、重点与难点探究例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示（1）求该函数的周期；（2）求时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
（1）（2）总结：（1）函数（其中均为常数，且的周期T= 。
（2）函数（其中均为常数，且的周期T= 。
例3、求证：的周期为。
例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。
（2）求证：的周期为（其中均为常数，且总结：函数（其中均为常数，且的周期T= 。
例5、（1）求的周期。
（2）已知满足，求证：是周期函数课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。
六、作业：七、自主体验与运用1、函数的周期为（）A、 B、 C、 D、2、函数的最小正周期是（）A、 B、 C、 D、3、函数的最小正周期是（）A、 B、 C、 D、4、函数的周期是（）A、 B、 C、 D、5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，若，则的值等于（）A、1B、C、0D、6、函数的最小正周期是，则7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数的最大值是9、已知函数是周期为6的奇函数，且则10、若函数，则11、用周期的定义分析的周期。
12、已知函数，如果使的周期在内，求正整数的值13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求时，该质点离开平衡位置的位移。
14、已知是定义在R上的函数，且对任意有成立，（1）证明：是周期函数；（2）若求的值。
高中高一数学教案：三角函数的周期性
高中高一数学教案：三角函数的周期性一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.了解三角函数的概念以及周期性的定义和判断方法；2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的周期性特征及其图像；3.实现对于具体函数的周期的计算。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括：1.三角函数的概念；2.三角函数的周期性特征；3.三角函数的具体例子及其周期的计算。
三、教学重点和难点教学重点：1.正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的周期性特征；2.对于具体函数的周期的计算方法。
教学难点：如何深入理解三角函数的周期性特征，如何应用三角函数的周期性进行具体函数的周期计算。
四、教学过程1. 引入新知识1.1 教师可以先设计一道有关周期性的问题，在引导学生认识周期性的基础上，向学生提出三角函数的周期性概念。
例如：某个人在上楼梯时，每走三层就会重复一次，这是什么现象？1.2 引导学生认识正弦函数和余弦函数的图像，并说明正弦函数和余弦函数的周期都为 $2\\pi$。
并可以通过以下图片简单地说明：正弦函数的图像：$$ y = f(x) = \\sin x $$余弦函数的图像：$$ y = f(x) = \\cos x $$2. 深入讲解2.1 正切函数的图像引导学生认识正切函数的图像，以及其周期性特征，由于正切函数没有周期性，因此需要通过讲解正切函数的图像和特性来说明：正切函数的图像：$$ y = f(x) = \\tan x $$2.2 三角函数的具体例子及其周期的计算引导学生通过给定的具体函数来求其周期，例如：$$ y = f(x) = 2\\sin \\frac{3}{4} x $$可以通过以下步骤计算：•当 $3x/4=\\pi$ 时，$y = 2 \\sin \\pi = 0$；•当 $3x/4=2\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 2\\pi = 0$；•当 $3x/4=3\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 3\\pi = 0$；•当 $3x/4=4\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 4\\pi = 0$；•…从上面的计算结果可以看出，$\\sin(3x/4)$ 以 $2\\pi/3$ 为周期，因此可以通过以下公式得出周期：$$ T = \\frac{2\\pi}{3} $$五、教学评价本节课主要考察学生对于三角函数周期性的理解以及其应用能力。
三角函数的周期性教学设计
三角函数的周期性【教学分析】三角函数周期性的学习是为学习三角函数的图像和性质提供了问题背景，教学时充分运用这些问题背景以突出“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题.周期函数的定义是教学中的一个难点.在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型，一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义.教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期及周期函数.不应对一般的周期函数作过多的讨论.【教学目标】1．了解周期函数的概念，会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期.2．从生活实际问题逐步抽象出函数周期性的定义，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用.【教学重点】1．周期函数的定义2．求一些简单的三角函数的周期.【教学难点】周期函数概念的理解.【教学过程】一、创设情境T：今天是星期一，7天之后星期几？S：星期一T：14天之后呢？S：还是星期一T：自然界还有许多类似的现象，比如每个星期都是从星期一到星期天…你能找到类似的实例吗？S ：每年都有春、夏、秋、冬，地理课上的地球的自转，公转…T ：这些现象有什么共同特点呢？S ：都给我们重复、循环的感觉T ：同学总结的很好，它们都可以用“周而复始”来描述，我们把这些现象叫做周期现象。
设计思路：通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，激发学生的求知欲二、学生活动提出问题：点P 自点A 起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动.如图T ：P 点的运动是周期运动吗？S ：是设圆的半径为1，每4秒运动一周.设P 到A 的距离为y ，运动时间为t ，则y 是t 的函数，记为 ()y f t =.（师引导留白，学生讨论得到下列结论）(0)(4)(8)(12)...0f f f f =====，（P 在A 点位置）(2)(6)10)(14)...2f f f f =====，（P 在C 点位置）（师生共同讨论，得到）一般地，点P 运行x 分钟到达的位置与运行(4x +)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：()(4)f x f x =+设计思路：通过点的圆周运动这一模型，将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，引导学生归纳出周期函数的定义三、建构数学1．周期函数及周期的定义通过上面的讨论，归纳出周期函数的定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.通过对上面问题的讨论我们知道()(4)(8)(12)...f x f x f x f x =+=+=+=因此可以认为4，8，12…都是它的周期.2．最小正周期的定义对于一个函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫()f x 的最小正周期.显然上面问题中最小正周期为4说明：今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期.提出问题：正弦函数sin y x =是周期函数吗？即能否找到非零常数T ，使sin()sin T x x +=成立？S ：由sin(2)sin x x π+=知，正弦函数是周期函数，2π是它的周期.S ：因为sin(4)sin x x π+=，所以是周期函数，4π是它的周期.T ：以上同学哪位是正确的？S ：都是正确的，正弦函数是周期函数，2π是它的最小正周期.讨论：余弦函数cos y x =和正切函数tan y x =也是周期函数，并找出它们的周期.总结三角函数的周期性，并提出问题：周期函数的图象具有什么特征？四、数学运用例1若钟摆的高度h （mm ）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。
高一数学三角函数的周期性 教案
高一数学三角函数的周期性教学目标:了解周期函数的概念，会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期； 教学重点:(1)周期函数的定义；(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性； 教学难点:周期函数的概念. 教学过程: 一.问题情境问题1.日出日落、寒去春来、花开花落等等，自然界有许多“按一定规律周而复始”的现象，这一现象称为周期现象；问题2.由()x x sin 2sin =+π、()x x cos 2cos =+π，每当角增加(或减少)π2，所得角的终边与原来角的终边相同，两角的正弦值相等，余弦值也相同，可知道正弦函数、余弦函数的函数值变化呈现周期现象.二.数学建构1.周期性:呈现周期现象的性质称为周期性2.周期函数的定义:对于函数()x f ，如果存在一个不为零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.3.定义说明:①周期函数()x f ，是对于定义域内的每一个x 都满足()()x f T x f =+成立.如:对于个别x 值满足或不满足()()x f T x f =+,都不能说T 是()x f 的周期；②等式()()x f T x f =+中非零常数T 是周期,是自变量x 加上的常数,如()()x f T x f 22=+,则T 就不是()x f 的周期，而应写成()()x f T x f T x f 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+，2T 是()x f 的周期； ③对于周期函数()x f ，它的周期不止一个，如果在它所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()x f 的最小正周期，今后无特别说明的话，函数的周期都是指最小正周期；④正弦函数R x x y ∈=,sin ，余弦函数R x x y ∈=,cos ，都是周期函数，()02≠∈k Z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2；4.思考:正切函数2,tan ππ+≠=k x x y 是不是周期函数？如果是，最小正周期是多少？如果不是，说明理由.三.数学应用例1.若钟摆的高度()mm h 与时间()s t 之间的函数关系如图所示. (1) 求该函数的周期； (2) 求s t 10=时钟摆的高度；例2.求下列函数的周期:(1)()x x f 2cos = (2)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g注:由例2发现:函数的周期与自变量x 的系数有关.一般地，o 1函数()ϕω+=x A y sin 或()ϕω+=x A y cos （其中ϕω,,A 为常数， R x A ∈≠≠,0,0ω）的周期为ωπ2=T ；o2若函数()x f y =的周期为T ，则函数()ϕω+=x Af y 的周期为ωT（其中ϕω,,A 为常数，R x A ∈≠≠,0,0ω）.例3.已知()0,4sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 的最小正周期为32π，则=ω ； 例4.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin 2πx k x f ,如果使()x f 的周期在⎪⎭⎫ ⎝⎛43,32内,求正整数k 的值.例5.(1)已知()()x f x f -=+1，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期； (2)已知()()x f x f 12-=+，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期. 四.练习1.写出下列函数的周期:(1)x y 3sin =； (2)3cosx y =； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos πx y ；(4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2.2.若0≠a ，则()π+=ax y sin 的最小正周期是（ ） A.aπB.a πC. a π2D. a π23.若⎪⎭⎫⎝⎛-=x y ωπ3cos 2的最小正周期是π4，则=ω ()0>ω. 五.小结1.周期性、周期函数；2.正弦、余弦函数的周期性. 六.作业1.27P 练习4 ；2.45P 习题1.3/ 1 ；3.设()x f 是R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，求()5.7f ；4.定义在R 上的函数()x f 既是偶函数又是周期函数，若()x f 的最小正周期是π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x x f sin =，求⎪⎭⎫⎝⎛35πf ；5.课课练1918P P - 第9课时。
三角函数的周期性教学案
三角函数的周期性教学案引言：三角函数是高中数学中一个重要的内容，它们在数学和工程学科中都具有重要的应用。
其中，三角函数的周期性是一个基本的性质，对于学生理解和应用三角函数至关重要。
本教学案将围绕三角函数的周期性展开，通过一系列的教学活动和案例演示，帮助学生深入理解三角函数的周期性，提高他们的数学应用能力。
一、认识周期性周期性的概念：周期性是指某个事物在一定时间内重复出现的性质。
在数学中，三角函数是一个典型的周期性函数。
通过观察和分析三角函数的规律，我们可以发现它们都具有周期性。
教学活动1：观察正弦函数的周期性1. 展示正弦函数的图像，并引导学生观察其特点。
2. 引导学生思考：在什么条件下，正弦函数会重复出现相同的图像？3. 提示学生考虑图像的起点和终点，以及相邻两个峰值之间的差值。
教学活动2：探究余弦函数的周期性1. 展示余弦函数的图像，让学生发现其与正弦函数的联系与区别。
2. 引导学生思考：余弦函数是否也具有周期性？3. 引导学生观察图像，发现余弦函数的周期性与正弦函数相同。
二、周期性的性质周期长度：周期性函数的一个重要性质是其周期长度。
对于正弦函数和余弦函数，它们的周期长度是2π。
教学活动3：计算正弦函数的周期长度1. 提供正弦函数的公式，让学生根据公式计算周期长度。
2. 引导学生发现，正弦函数的周期长度是2π。
教学活动4：计算余弦函数的周期长度1. 提供余弦函数的公式，让学生根据公式计算周期长度。
2. 引导学生发现，余弦函数的周期长度也是2π。
三、周期性的应用周期性函数的应用非常广泛，涉及到物理、工程、音乐等多个领域。
在数学中，周期性函数的应用也非常重要。
教学活动5：探究三角函数在波动问题中的应用1. 提供一个实际问题，例如弦上产生的波动问题。
2. 引导学生运用三角函数的周期性，分析和解决波动问题。
教学活动6：了解调和运动及其三角函数表示1. 引导学生了解调和运动的概念和特点。
2. 让学生通过分析调和运动，推导出调和运动与三角函数的关系。
数学三角函数的周期性与变换教案
数学三角函数的周期性与变换教案一、引言在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们具有周期性和变换特点。
本教案将重点介绍三角函数的周期性与变换，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
二、周期性1. 三角函数的周期1.1 正弦函数和余弦函数的周期正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即当自变量增加2π时，函数值会重复出现。
这可以用图像进行展示。
1.2 正切函数的周期正切函数的周期为π，即当自变量增加π时，函数值会重复出现。
同样，我们可以通过图像来观察和理解。
2. 周期的应用2.1 解三角函数方程由于三角函数的周期性，我们可以利用这一特点来解三角函数方程。
例如，对于sin(x)=0.5的方程，我们可以找到一个周期内的解，并利用周期性推导出其他解。
2.2 周期性的物理应用周期性在物理学中有广泛的应用，比如在振动领域中，三角函数的周期性可用于描述物体的振动状态和周期性的运动规律。
三、变换1. 水平位移1.1 正弦函数和余弦函数的水平位移正弦函数和余弦函数在自变量上发生水平位移时，会影响函数图像的整体位置。
这种变换可以通过公式y=sin(x-a)或y=cos(x-a)来表示，其中a为水平位移的大小。
1.2 正切函数的水平位移正切函数的水平位移也可以通过类似的公式来表示，即y=tan(x-a)。
2. 垂直位移2.1 正弦函数和余弦函数的垂直位移正弦函数和余弦函数在函数值上发生垂直位移时，会使函数图像整体上下移动。
这种变换可以通过公式y=a*sin(x) + b或y=a*cos(x) + b来表示，其中a为振幅，b为垂直位移的大小。
2.2 正切函数的垂直位移正切函数的垂直位移也可以通过类似的公式来表示，即y=a*tan(x) + b。
四、综合应用1. 绘制三角函数图像1.1 通过周期性绘制图像我们可以利用三角函数的周期性来绘制其图像。
首先，确定一个周期内的函数值，然后利用周期性将其扩展到整个定义域。
1.2 通过变换绘制图像利用水平和垂直位移的概念，我们可以通过对基础函数进行适当的变换来绘制各种三角函数的图像。
三角函数的周期性教学设计
三角函数的周期性教学目标1、知识目标（1）能根据实际问题了解周期性现象。
（2）了解周期函数和最小正周期的含义。
（3）会求简单的三角函数的周期。
2、水平目标（1）初步掌握用定义证明y=ƒ(x)的周期为T的一般格式。
（2）培养学生观察、分析及归纳水平，逻辑推理水平。
3、情感目标（1）使学生体会事物周期变化的奥秘，激发学生求知欲望，提升学习兴趣。
（2）在合作学习中学会交流，提升学生的合作意识和探究水平。
教学重点：函数周期性的定义和正弦、余弦函数周期性。
教学难点：周期函数的概念课时安排：一课时。
教学过程设计：一、创设情景：教师引言：日出日落，冬去春来，在我们周围，存有很多周而复绐循环不息的现象，这样有规律的重复叫什么现象？学生：周期现象。
教师：用几何画板展示圆周运动和简谐振动的动画，请同学们观察这两种运动有什么共同特征？它们与三角函数有什么关系？二、师生互动，建构数学：通过学生讨论得出：物体的运动表现周期现象。
三角函数是圆周运动的数学模型。
教师：三角函数有没有周期性？如何定义？演示单位圆中三角函数线的动画（几何画板所做），请同学们观察。
1sin α=MP=y cos α=OM=xα运动 点P -P'P''P'''M P 11x oy师生共同讨论，得到正弦函数、余弦函数正切函数的周期性：sin(2π+x )=sinxcos(2π+x )=cosxtan(π+x)=tanx教师：如何用数学语言刻画函数的周期性？师生互动：从特殊到一般，从正、余弦函数的周期性抽象出一般函数的周期性概念：一般地，对于函数f(x)，如果存有一个非零．．．．的每．．．T．，使得定义域内．．的常数一个．．x．值，都满足f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数（periodic function），非零的常数T叫做这个函数的周期（period）。
教师：请同学们找出上述概念中的关键词。
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关于《三角函数的周期性》的教案一、目标与自我评估1掌握利用单位圆的几何作函数的图象2结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期3会用代数方法求等函数的周期4理解周期性的几何意义二、学习重点与难点“周期函数的概念”，周期的求解。
三、学法指导1、是周期函数是指对定义域中所有都有，即应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构五、重点与难点探究例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示（1）求该函数的周期；（2）求时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
（1）（2）总结：（1）函数（其中均为常数，且的周期T=。
（2）函数（其中均为常数，且的周期T=。
例3、求证：的周期为。
例4、（1）研究和函数的图象，分析其周期性。
（2）求证：的周期为（其中均为常数，且总结：函数（其中均为常数，且的周期T=。
例5、（1）求的周期。
（2）已知满足，求证：是周期函数课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。
六、作业：七、自主体验与运用1、函数的周期为（）A、B、C、D、2、函数的最小正周期是（）A、B、C、D、3、函数的最小正周期是（）A、B、C、D、4、函数的周期是（）A、B、C、D、5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，若，则的值等于（）A、1B、C、0D、6、函数的最小正周期是，则7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数的最大值是9、已知函数是周期为6的奇函数，且则10、若函数，则11、用周期的定义分析的周期。
12、已知函数，如果使的周期在内，求正整数的值13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求时，该质点离开平衡位置的位移。
14、已知是定义在R上的函数，且对任意有成立，（1）证明：是周期函数；（2）若求的值。
分类计数原理与分步计数原理、排列一.教学内容：分类计数原理与分步计数原理、排列二.教学重、难点：1.分类计数原理，分步计数原理2.【典型例题[例1]有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。
（1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？解：（1）任取一个小球的可分三类，一类取红球，有20种取法；一类取白球，有15种取法；一类取黄球，有8种取法。
由分类计数原理共有20158=43种不同取法。
（2）取三色小球各一个，可分三步完成高中历史，先取红球。
有20种取法；再取白球，有15种取法；最后取黄球，有8种取法。
由分步计数原理，共有种不同的取法。
[例2]在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？解：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，……，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，……，7中的一个，故有7个；与上同样。
个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个。
由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个）[例3]如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字，表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为多少？解：沿12?D5?D3路线传递的信息最大量为3（单位时间内），沿12?D6?D4路线传递信息的最大量为4……由于以上每个线路均能独立完成这件事（传递信息），故单位时间内传递的最大信息量为3466=19。
[例4]用6种不同的颜色对下图中5个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解：分五步进行，第一步给5号域涂色有6种方法第二步给4号涂有5种方法第三步给1号涂有5种方法第四步给2号涂有4种方法第五步给3号涂有4种方法根据分步计数原理，共有值（1）；（3）。
解：（1）由排列数公式，得得或（舍去）∴解得（3）由排列数公式，得∴；（2）∴（3）∵[例7]由0，1，2，3，4，5共六个数字可组成多少个没有重复数字且能被5整除的六位数？解：组成的六位数与顺序有关，但首位不能排0，个位必须排0或5，因此分两类：第一类：个位必须排0，此时前五位数由1，2，3，4，5共五个数字组成，这五个数字的每一个排列对应一个六位数，故此时有个六位数。
第二类：个位数排5，此时为完成这件事（构造出六位数）还应分两步，第一步排首位，有4种排法，第二步排中间四位，有个。
[例8]用0，1，2，3，4五个数字组成的无重复数字的五位数中，其依次从小到大的排列。
（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？解：（1）1、2是首数时各组成个；2在万位，0、1在千位的共有个，还有23104比23140小，故23140是第种方法，然后让剩下的5个人（其中包括甲）站在中间的5个位置，有种站法。
方法二：因为甲不在两端，分两步排队，首先排甲，有种方法，第二步让其他6人站在其他6个位置上，有种方法，第二步让甲插入这6个人之间的空当中，有种，故共有种站法。
方法四：在排队时，对7个人，不考虑甲的站法要求任意排列，有种方法，因此共有种排法，再考虑其余5个元素的排法有种。
方法二：甲、乙两人不能站在两端，应包括同时不在两端，某一人在两端，故用排异法，应减去两种情况，同时在两端，有种不同站法。
（3）分三步：第一步，从甲、乙以外的5个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种方法，第三步，对甲、乙进行全排列，故共有种不同站法。
（4）方法一：男生站在前4个位置上有种站法，男女生站成一排是分两步完成的，因此这种站法共有种站法，这两种站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有种排法，然后排四名男生，有种排法，根据分步计数原理，将四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有种排法，在四名男生间的三个间隔共有三个位置安排三名女生，有种排法符合要求，故四名男生三名女生相间排列的排法共有种。
（6）在7个位置上任意排列7名，有排法中每一种情况均以种。
[例10]某班开设的课程有、、、、、、、体育共8门。
若星期一上午排4节不同的课，并且规定体育课不能排在第一节及第四节，那么星期一上午该班的课程表有多少种不同的排法？解：若不排体育课，则有，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有（）A.2个B.3个C.4个D.5个2.书架上、下两层分别放有5本不同的数学书和4本不同的语文书，从中选两本数学书和一本语文书，则不同的选法有种（）A.9B.13C.24D.403.不等式B.或或4.已知的值为（）A.7B.2C.6D.85.2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有（）A.种C.种6.27位女同学排队照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，则所有不同的排法种数为（）A.C.二.解答题1.（1）某教学楼有三个不同的楼梯，4名学生要下楼，共有多少种不同的下楼方法？（2）有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有多少种可能？2.现有年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组。
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人作中心发言，这两人需不同的班级，有多少种不同的选法？3.解下列各式中的值。
（1）（2）【答案】一.选择题1.D2.D3.C4.A5.A6.C二.解答题1.解：（1）4名学生分别下楼，即问题分4步完成。
每名学生都有3种不同的下楼方法，根据分步计数原理，不同的下楼方法共有种。
（2）确定3项冠军人选可逐项完成，即分3步，第1项冠军人选有4种可能，第2项与第3项也均有4种可能，根据分步计数原理：冠军获得者共有（种）（2）分四步，易知不同的选法总数（种）（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有种不同选法；从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法，所以共有不同的选法数∴∴（舍）（2）∴（舍）4.解：（1）先排乙有2种方法，再排其余5位同学有种排法。
（4）种排法。
（5）种排法。
（6）7个学生的所有排列中，3名女生交换顺序得到的排列只对应一个符合题意的排队方式，故共有种排法。
高中数学学习技巧----方法指导考上高中的学生应该说基础是好的，然而进入高中后，由于对知识的难度、广度、深度的要求更高，有一部分学生不适应这样的变化，由于学习能力的差异而出现了成绩分化，有一部分学生由众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，多次阶段性评估考试不及格，有的难以提高，直至在高考中再次体现出来，甚至有的家长会不断提出这样的困惑：“我的××以前初中怎么好，现在怎么了？”对尤其对高一学生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。
另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生“松口气”想法，入学后无紧迫感。
也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、异面直线等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。
以上这些因素都严重影响高一新生的学习质量。
那么怎样才能学好高中数学呢？一、认清学习能力状态1、心理素质。
由于学生在初中特定环境下所具有的荣誉感与成功感能否带到高中学习，这就要看他（或她）是否具备面对挫折、冷静分析问题、找出克服困难走出困境的办法。
会学习的学生因学习得法而成绩好，成绩好又可以激发兴趣，增强信心，更加想学，知识与能力进一步发展形成了良性循环，不会学习的学生开始学习不得法而成绩不好，如能及时总结教训，改变学法，变不会学习为会学习，经过一番努力还是可以赶上去的，如果任其发展，不思改进，不作努力，缺乏毅力与信心，成绩就会越来越差，能力越得不到发展，形成恶性循环。
因此高中学习是对学生心理素质的考验。
2、学习方式、习惯的反思与认识（1）学习的主动性。
许多同学进入高中后还象初中那样有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动性，表现在不订计划，坐等上课，课前不作预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，忽略了真正听课的任务，顾此失彼，被动学习。
高三数学复习中的几个注意点1．复习要精，不可超过两套，使用过程中，始终注重其系统性。
千万不要贪多，多了，不但使自己身陷题海，不能自拔，而且会因为你的顾此失彼，而使体系得不到延续。