【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(九)-答案
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷
广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A B U =⊆，，则满足{1,2}A B =I 的集合B 有( ) （A ）1个（B ）3个 （C ）4个 （D ）8个（2）若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( )（A ）12（B ）2 （C ）12- （D ）－2（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为{}n S ，若36a =，312S =， 则公差d 等于( ) （A ）1（B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为( ) （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）7（5）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π(0]2x ∈，时， .()cos f x x =.，则5π()3f 的值为( ) （A ）12-（B ）12（C ）32- （D ）32（6）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )（A ）49π9（B ）7π3（C ）28π3（D ）28π9（7）下列叙述中，正确的个数是( )①命题p ：“2R 20x x ∃∈-，≥”的否定形式为p ⌝：“2R 20x x ∀∈-，＜”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，则O 是△ABC 的垂心；③“M N ＞”是“22()()33M N >”的充分不必要条件；④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”． （A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4（8）有以下四种变换方式：k 开始是 否输出k 结束s ＜100?k =k ＋1s =s +2sk =0 s =0 （第4题）2222 正视图 侧视图俯视图（第6题）①向左平行移动π4个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；②向右平行移动π8个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；③每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平行移动π8个单位长度；④每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平行移动π8个单位长度．其中能将函数3πcos()2y x =+的图象变为函数πsin(2)4y x =+的图象是（ ）（A ）①和④（B ）①和③ （C ）②和④ （D ）②和③（9）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ) （A ）144（B ）120 （C ）108 （D ）72（10）已知函数2 0 ()()ln 0kx x f x k x x +⎧=∈⎨⎩R ，≤，＞，若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是( )（A ）2k ≤（B ）10k -＜＜ （C ）21k --≤＜（D ）2k -≤（11）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为( ) （A ）4（B ）8 （C ）16 （D ）32（12）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c ＜＜，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ＞； ②(0)(1)0f f ＜； ③(0)(3)0f f ＞； ④(0)(3)0f f ＜； ⑤4abc ＜； ⑥4abc ＞． 其中正确结论的序号是( ) （A ）①③⑤（B ）①④⑥ （C ）②③⑤ （D ）②④⑥第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试
揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(一)第I 卷（60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
A .1+iB. -iC. 1-iD. i2.设全集为U,则如图所示的阴影部分所表示的集合为 A. B C A U B. A C B U C. )(B A C U <0} D. )(B A C UA 1 B.－3 C. 3 D.－14. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为5.高等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 则{a n }的值为6. 已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，是z =3x +y 的最大值为A, -1 B.3 C.11D.127. 算法如图，若输入m=210,n = 117，则输出的n 为 A.2 B.3C,7 D.118. 函数f (x )= )sin(ϕω+x A (其中A>0, 2||πϕ<)的图象如图 所示，为了得到g(x=cos 2x的图象,则只需将f(x)的图象9.如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且10.已知点G是ΔABC的重心，A ∠ = 1200，= -2,则的最小值是A.4311.已知正方形AP 1P 2P 3的边长为2，点B，C是边P 1P 2，P 2P 3的中点，没AB，BC，CA拆成一个三棱锥P－ABC（使P 1，P 2，P 3重合于点P）则三棱锥P－ABC的外接球表面积为A. π9B. π8C. π6D. π412.已知f(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧≥<---)0()0(2|1|2x e x x x a x ,且函数y=f(x)－1恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是A. (－1，∞+]B. (－2,0]C. (－2，∞+]D. (0,1]第II 卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(五)(附答案与解析)
广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（五）第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题．本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中与函数||y x =相等的是（ ） A．2y =B．y =C．yD ．2x y x=2．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知定义在复数集C 上的函数i,x R ()1,x f x x R x-∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩，则((1))f f 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设甲为：05x <<，乙为：|2|3x -<，那么乙是甲的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是（ ） A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)6．设函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 的切线方程为（ ） A ．y x =-B ．2y x =-C ．12y x =-D ．32y x =-7．在数列{}n a 中，1111,ln(1),n n n a a a a n+=-=+=则（ ） A ．1ln n n ++B ．1ln n n +C ．1(1)ln n n +-D ．1ln n +8．函数cos sin y x x x =-在下面区间中是增函数的区间为（ ） A ．π3π(,)22B ．(π,2π)C ．3π5π(,22） D ．(2π,3π)9．某加工厂用同种原材料生产出A 、B 两种产品，分别由此加工厂的甲、乙两个车间来生产，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两个车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ）A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱10．与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大的圆的方程为（ ） A ．222()x y a a +-=B ．22211()()x y a a +-=C ．22211()()22x y a a+-= D ．22211()()44x y a a+-=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上． 11．已知任意两个非零向量、m n ，向量OA =+m n ，2OB =+m n ，3OC =+m n ，则A B C 、、三点________构成三角形（填“能”或“不能”）． 12．若20132013012013(12)(R)x a a x a x x -=+++∈，则20131222013222a a a +++=________． 13．若函数lg |1|y ax =-的图像关于2x =对称，则非零实数a =________．14．双曲线2213x y -=的两个焦点为12,,F F P 是双曲线上的点，当12F PF △的面积为2时，12PF PF 的值为________．15．已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数且(1)=1f ，当12[1,1]x x ∈-、，且120x x +≠时，有1212()()0f x f x x x ++＞，若2()21f x m am -+≤对所有[1,1]x ∈-、[1,1]a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内． 16．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，112a =，公比12q =． （Ⅰ）n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ； （Ⅱ）设21222log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．17．（本小题满分12分）已知函数π()sin()cos sin cos(π)2f x x x x x =--+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）在ABC △中，若A 为锐角，且()1f A =，2BC =，π3B =，求AC 边的长． 18．（本小题满分12分）某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修课，有3名学生A B C 、、选修什么课相互独立．（Ⅰ）求学生A B C 、、中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率； （Ⅱ）求课程丙或丁被这3名学生选修的人数ζ的数学期望． 19．（本小题满分12分） 设1()(0)x x f x ae a ae=++＞ （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在轴上，离心率为12，短轴长为． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）(2,)P n ，(2,)Q n -是椭圆C 上两个定点，A 、B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点．①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 两点在椭圆上运动，且满足APQ BPQ ∠=∠时，直线AB 的斜率是否为定值，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数321()1(,)3f x x ax bx x R a b =+-+∈，为实数有极值，且在1x =处的切线与直线10x y -+=平行． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得函()f x 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数()21()2ln f x ax b g x x x'-+-=-，试判断函数()g x 在(1,)+∞上的符号，并证明：*1111ln (1)(N )2ni n n n i=++∈∑≤．x20题（Ⅰ）=(cos m B ，=(cos sin n C ,，且12m n =-sin sin B -，即cos(B +（3分）A 又0π,3A =∴π6x ∴+∈）x 、y 可能的取值为，||y x -≤BO CO O = BCO DOAO O =，AD ⊆平面分）113，则(,OP x =，(,0)OQ x =，(2OM OP OQ x =+=2200,x x y +=）设向量OP 与OM 的夹角为2||||4x OP OMOP OM =1(2243≥（8分）12=6t -．1244t t -=2132x =， 123x x +-210．（103)(4,)+∞；（2|x m -+≥x R ∈时，恒有不等式|x。
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(六)-答案
广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（二）答 案一、选择题（1）~（5）DBCAA （6）~（10）CCACD （11）~（12）DC 二、填空题 （13）135 （14）3 （15）6- （16）37(,]6-∞ 三、解答题（17）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 依题意，有31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解之得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩；又由已知{}n a 单调递增，∴122q a =⎧⎨=⎩，∴2n n a = ………………4分（Ⅱ）依题意，, 122log 22n n n n b n ==-∴23122232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++ ①， ∴23121222...(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-⨯+ ②， ∴①－②得，2112(12)22 (22)212n nn n n S n n ++-=+++-=--11222n n n S n ++=-- ………………12分 （18）解：（Ⅰ）第3组的频率为0.3，第4组的频率为0.2，第5组的频率为0.1.……………2分（Ⅱ）（i ）设事件A学生甲和乙同时进入第二轮面试，则1283301()145C P A C ==（ii ）由分层抽样的定义知：6名学生有3名来自第3组，2名来自第4组，1名来自第5组，所以X 的可能取值为0，1，2，且21124242222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C ========= ………………10分分布列如下：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点， D E B C ∴∥．D E P B C B C P B ⊄⊂平面，平面，∴DE PBC ∥平面 ………………2分（Ⅱ）连结PD ，P A P B=， P D A B ∴⊥．D E B C B C AB ⊥∥，， D E A B ∴⊥． 又 PDDE D = ，∴AB PDE ⊥平面． PE PDE ⊂平面，∴AB PE⊥．………………6分（Ⅲ） PAB ABC PABABC AB PD AB ⊥=⊥平面平面，平面平面，，∴P D A B C ⊥平面．…………………7分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系∴(1,0,0)B ，P ，3(0,,0)2E ,∴(1,3)PB =，3(0,,2PE =． 设平面PBE 的法向量1(,,)x y z =n ， ∴0,30,2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =PABCED得1=n ．D E P A B ⊥平面，∴平面P AB 的法向量为2(0,1,0)=n ． 设二面角的A －PB －E 大小为θ， 由图知，1212121cos cos()2θ,n n =n n ==n n ，所以60θ︒=，即二面角的A －PB －E 的大小为60︒． ………………12分解之得224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分（Ⅱ）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-＞ ①设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++． ………………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=．从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足①式． 又||OP ===因为1||2k ≤，得23434k ≤＋≤，有2331443k +≤≤||OP …………12分 （21）解：（Ⅰ）由已知得01x x ≠＞，．因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故()2ln 1()0ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立． 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．又222ln 111111()()()ln ln ln 24(ln )x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4f x a '=-．所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………4分（Ⅱ）命题“若存在212,[e,e ],x x ∈使12()()f x f x a '+≤成立”等价于“当2[e,e ]x ∈时，有min max ()()f x f x a '+≤”．由（1），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴max 1()4f x a '+=．问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”．①当14a ≥时，由（1），()f x 在2[e,e ]上为减函数，则222min1()()24f x f a ==-e e e ≤，故21124a -≥e ． ………………8分②当14a ＜时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[e,e ]上为增函数，故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4a a --．（i ）0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥在2[e,e ]恒成立，故()f x 在2[e,e ]上为增函数， 于是， min 1()()4f x f a ==-e e e ≥e ＞，矛盾．（ii ）0a -＜，即104a ＜＜，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：当0(e,)x x ∈时，()0f x '＜，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '＞，()f x 为增函数； 所以，0min 0001()()ln 4x f x f x ax x ==-≤，20(e,e )x ∈． 所以，2001111111ln 44e 244ln e a x x ---=≥＞＞，与104a ＜＜矛盾．综上，得21124a -≥e ． ………………12分 （22）解：（Ⅰ）PE 切⊙O 于点E ，A BEP ∴∠=∠PC 平分A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠，，,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴= ………………5分（Ⅱ）,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆，PE PCPB PD∴=同理PDE △∽PCA △，PC CAPD DE∴=PE CAPB DE ∴=,CA PEDE CE CE PB=∴=………………10分 （23）解：（Ⅰ）由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得221x y +=，又∵()2cos 3cos ρθθθ==+π， ∴2cos sin ρρθρθ-=.∴220x y x +-=+，即221()(12x y -+=………………5分（Ⅱ）圆心距12d =＜，得两圆相交 由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得，(1,0)A ，B 1(,2-，∴ ||AB ………………10分（24）解：（Ⅰ）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧⎪⎨⎪++-⎩＞≤或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪++-⎩≤≤≤或12(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪-+--⎩＜≤ 解之得32,2x ＜≤或13,22x -≤≤或11,2x --≤＜即不等式的解集为{|12}x x -≤≤ ………………5分 （Ⅱ）∵()|21||23||(21)(23)|4f x x x x x =++-+--=≥，∴|1|4a -≥解此不等式得 3a -≤或5a ≥ ………………10分。
【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷(七)(附答案与解析)
A B =R ，C ．1是虛数单位，则点,1](2,)+∞ ,0](1,)+∞36k S -= ）9．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、是AB 的三等分点，G H 、是CD 的三等分点，M N 、分别是BC EH 、的中点，则四棱锥1A FMGN -的侧视图为（ ）A BC D23()||5CA CB AB AB +=，则 B ．4______15．点(,)A x y 在单位圆上从013(,)22A 出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周.则经过时间t 后，y 关于t 的函数解析式为______．22表示其中空气质量达到一级的天数，求ζ的分布列； 天计算）中大约有多少天的上，且，F 与直线与F 及y 轴都相切．的轨迹C 的方程；任作直线l ，交曲线、B 别向F 各引一条切线，切点分别为P 、是O的直径，和O切于点AC平分∠=，AB AD4=绕原点逆时针旋80广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（三）答 案一、选择题1~5．ABCCB 6~10．DCABD 二、填空题11．{}01x x x >≠且 1213．14．1215．333333212345621+++++= 三、解答题16．解：（Ⅰ）因为 ()1cos f x x x =+- ……………………1分π12cos 3x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………3分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[]1,3-． ……………………5分（Ⅱ）因为 π133f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以 112cos =3α+，即1cos 3α=-． ……………………6分因为 22cos2cos sin cos sin 1tan cos ααααααα-=-- ……………………8分 ()cos cos sin ααα=+2cos cos sin ααα=+， ……………………10分因为α为第二象限角， 所以sin 3α=． ……………………11分所以cos211tan 9αα==- ……………………12分17．解：（1）2t >（2）1a ≥18．解：（1）由已知11210,522.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得 12, 4.a d == ………………4分2(1)44 2.n a n n ∴=+-⨯=- ………………6分（2）令1n =，得1111.3b b =- 解得134b =， ………7分 由于113n n S b =-， ① 当2n ≥时，11113n n S b --=-② 第一节－②得11133n n n b b b -=- ， 114n n b b -∴= ……………10分又1304b =≠, 22113s b =- ，2316b ∴=，满足2114b b =11.4n n b b -∴=()2n ≥ ∴数列{}n b 是以34为首项，14为公比的等比数列. ……………………12分 19．证明：（Ⅰ）1,ABCD ACBD O O AC F DC =⇒菱形中是中点且是中点11ACC OF CC ∴△中又11OF BCC B ⊄面 111C C B C C B⊂面 11OF BCC B ∴面(Ⅱ)11,,ABCD AC BD O AA BD AC AA A ⊥=⊥=菱形中且11BD ACC A ∴⊥面 又1BD DBC ⊂面111D B C A C C A ∴⊥面面 20、解：（Ⅰ）由已知xy =3000 , 26a y +=，则y =()30006500,x x≤≤………………（2分） ()()()()46210210S x a x a x a x =-+-=-=-·62y -()()56x y =--30306x =--()150006500.x x≤≤…………（6分） (Ⅱ)30306S x =--150003030x x x ≤-=3030-2×300=2430……………（10分） 当且仅当6x =15000x,即50x =时，“=”成立，此时max 50 , 60 , 2430x y S === . 即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. ……………(13分)21．解：（1） ()()()21111f x ax a x a x x a ⎛⎫'=-++=-- ⎪⎝⎭ ………………2分10,1a<∴<，………………4分()221231==6a a f x f a a -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭极小值，()()()1=1=16f x f a --极大值……6分 （2）()()2221211231==66a a a a f a a a ----+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()11=16f a --()()12=213f a -， ()10=<03f - ……………8分 ① 当12a ≤时，()f x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2上为减函数，()10=<03f -，()()11=1>06f a --，()()12=2103f a -≤，所以()f x 在区间[]0,1，(]1,2上各有一个零点，即在[]0,2上有两个零点； ………………………10分1. 当1<12a ≤时，()f x 在[]0,1上为增函数，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，()10=<03f -，()()11=1>06f a --，()()2-12-11=>06a a f a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()12=21>03f a -，所以()f x 只在区间[]0,1上有一个零点，故在[]0,2上只有一个零点； …………………………12分③ 当>1a 时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()1,2上为增函数，()10=<03f -，()()2-12-11=<06a a f a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()11=1<06f a --，()()12=21>03f a -， 所以()f x 只在区间()1,2上有一个零点，故在[]0,2上只有一个零点； …………………………13分故存在实数a ，当12a ≤时，函数()f x 在区间[]0,2上有两个零点…………………14分。
2017年广东省揭阳市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．86．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣37．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．49．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A （0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3 12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只用一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}，则A∩B ＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝2x﹣3，x∈A}＝{﹣5，﹣3，﹣1，1}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：B．2．（5分）已知复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，且z1•是实数，则实数t＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵复数z 1＝3+4i，z2＝t﹣i，∴．z 1•＝（3+4i）•（t+i）＝3t﹣4+（4t+3）i是实数，∴4t+3＝0，即t＝．故选：D．3．（5分）若＝（cos20°，sin20°），＝（cos10°，sin190°），则•＝（）A．B．C．cos10°D．【解答】解：＝cos20°cos10°﹣sin20°sin10°＝cos（20°+10°）＝．故选：B．4．（5分）已知命题p：存在向量，，使得•＝||•||，命题q：对任意的向量，，，若•＝•，则＝．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得•＝||•||，真命题．命题q：取向量＝（1，0），＝（0，1），＝（0，2），则•＝•，≠，因此是假命题．则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．66B．33C．16D．8【解答】解：初始值n＝4，x＝2，程序运行过程如下表所示：v＝2，i＝4，v＝，2×2+3＝7，i＝2，v＝14+2＝16，i＝1，v＝16×2+1＝33，i＝0，v＝33×2+0＝66，i＝﹣1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．6．（5分）如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y＝t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选：B．7．（5分）在同一坐标系中，曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）【解答】解：由题意，构造函数f（x）＝（）x﹣，∵f（）＜0，f（）＞0，∴曲线y＝（）x与抛物线y2＝x的交点横坐标所在区间为（，），故选：B．8．（5分）在（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵（﹣1）4•（x﹣1）2＝（•x2﹣•+•x﹣•+）•（x2﹣2x+1），∴（﹣1）4•（x﹣1）2的展开式中，x项的系数﹣2＝4，故选：D．9．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（）A．B．1C．2D．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得x＝，故2x＝1，故新工件的体积为1．故选：B．10．（5分）已知正数a，b满足a+b＝4，则曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，）C．[，）D．[，）【解答】解：∵f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝+，∴f′（a）＝+＝（+）（a+b）＝（2++）≥（2+2）＝1，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴曲线f（x）＝lnx+在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为[，），故选：C．11．（5分）已知曲线﹣＝1右焦点为F，P为双曲线左支点上一点，点A（0，），则△APF周长的最小值为（）A．4（1+）B．4+C．2（+）D．+3【解答】解：曲线﹣＝1右焦点为F（，0），△APF的周长l＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+2a+|PF′|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|PF′|+|AP|，最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l＝2|AF|+2a＝4（1+）．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝|sin x|（x∈[﹣π，π]），g（x）＝x﹣2sin x（x∈[﹣π，π]），设方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0，g（g（x））＝0的实根的个数分别为m，n，t，则m+n+t＝（）A．9B．13C．17D．21【解答】解：（1）令f（x）＝|sin x|＝0得x＝kπ，k∈{﹣1，0，1}，又f（x）＝|sin x|的值域为[0，1]，f（f（x））＝0，∴f （x ）＝0，∴x ＝k π，k ∈{﹣1，0，1}． ∴f （f （x ））＝0有3个根，即m ＝3． （2）∵f （g （x ））＝0，∴g （x ）＝k π，k ∈{﹣1，0，1}，①若g （x ）＝0，则x ＝sin x ，作出y ＝x 和y ＝sin x 的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上有3个解，②若g （x ）＝π，则x ＝sin x +，作出y ＝x 和y ＝sin x +的函数图象如图所示：由图象可知g （x ）＝0在[﹣π，π]上只有1个解， ③同理可得：当g （x ）＝﹣π在[﹣π，π]上只有1个解， ∴f （g （x ））＝0的根的个数为5，即n ＝5．（3）由（2）中的第①种情况可知g （x ）＝0有3解，不妨设为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3， 则x 1+x 3＝0，x 2＝0，且＜x 3＜π，∵g （g （x ））＝0，∴g （x ）＝x i ，i ＝1，2，3． ①若g （x ）＝x 2＝0，则g （x ）＝0有3解，②若g（x）＝x3，则＝sin x+，设y＝sin x+b（b＞0）与直线y＝x相切，切点为（x0，y0），则，解得b＝﹣，∵＞＞b，∴g（x）＝x3只有1解，③同理可得：g（x）＝x1只有1解；∴g（g（x））＝0共有5个解，即t＝5．∴m+n+t＝13．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1，若f（a）＝8，则f（﹣a）＝﹣6．【解答】解：∵函数f（x）＝ax3+bx+1，∴f（﹣x）＝a（﹣x）3+b（﹣x）+1＝﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）＝2，∴f（﹣a）+f（a）＝2．∵f（a）＝8，∴f（a）＝﹣6．故答案为﹣6．14．（5分）连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率是．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后看到的点数m，n作为点P的坐标（m，n），基本事件总数n＝6×6＝36，点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，故点P在圆x2+y2＝17内部（不包括边界）的概率p＝＝．故答案为：．15．（5分）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB＝6，BC＝8，AC＝10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于400π．【解答】解：依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O﹣ABC的高为h，则由得h＝5，设球O的半径为R，则由h2+52＝R2，得R＝10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．16．（5分）在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝或．【解答】（本题满分为10分）解：设∠A＝∠ACD＝θ，0，则∠ADC＝π﹣2θ，又AC＝1，由正弦定理得：，可得：CD＝，在△BDC中由正弦定理得：，可得：，可得：cosθ＝sin（﹣2θ），可得：sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），由0，可得：0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，得﹣θ＝﹣2θ，或﹣θ+﹣2θ＝π，解得：θ＝或．故答案为：或．[注：该题若考生漏掉一解扣（2分）]三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则有，解得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，（2）由a1b1+a2b2+…+a n b n＝3﹣，①当n＝1时，a1b1＝，∴b1＝当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝3﹣，②①式减去②式得，求得b n＝，易知n＝1也成立，∴数列{b n}为等比数列，其前n项和T n＝＝1﹣18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB＝1，且AC•AD＝1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结ED，（1分）∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，（2分）∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB＝BC，∴BD⊥AC①，（3分）法一：由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．（5分）法二：由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，又平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，得BD⊥平面A1ACC1．解：（Ⅱ）由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由（Ⅰ）知DA＝AC，又AC•DA＝1，得AC2＝2，（6分）∵AC2＝2＝AB2+BC2，∴AB⊥BC，（7分）如图以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图示，则A1（1，0，1），B1（0，0，1），D（），得＝（1，0，0），＝（），设＝（x，y，z）是平面A1B1D的一个法向量，则，令z＝1，得＝（0，2，1），（9分）设＝（a，b，c）为平面A1BD的一个法向量，则，令c＝1，得＝（﹣1，1，1），（10分）依题意知二面角B﹣A1D﹣B1为锐二面角，设其大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，即二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值为．（12分）其它解法请参照给分．19．（12分）某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．（1）请把频率直方图补充完整；（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？【解答】解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为，（1分）＝＝，（2分）设在区间[0，30）上，＝a，则（a+）×30＝1，解得a＝，（3分）补充频率分布直方图如右图所示．（6分）（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，①若安装1台发电机，则Y的值为﹣500，4000，其分布列为：E（Y）＝﹣500×+4000×＝．（8分）zu②若安装2台发电机，则Y的值为﹣1000，3500，8000，其分布列为：E（Y）＝﹣1000×+3500×+8000×＝．（10分）③若安装3台发电机，则Y的值为﹣1500，3000，7500，12000，其分布列为E（Y）＝﹣1500×+3000×+7500×+12000×＝，∵，∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．（12分）20．（12分）如图，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左右顶点为B，C，右焦点为F，|AF|＝3，且△ABC的周长为14．（1）求椭圆的离心率；（2）过点M（4，0）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上，设λ＝＝，试判断点N是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由丨AF丨2＝b2+c2＝a2，则a＝3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）△ABC的周长为2（丨AC丨+a）＝14，即+a＝7，得b2＝7，则c＝＝，椭圆的离心率为e＝＝；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）方法一：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），由＝，得＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设k＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），y2＜y1，由λ＝＝，得λ＝＝，化简得2y1y2＝y0（y1+y2）①，（6分）由y1＝λ（y0﹣y1），y2＝λ（y2﹣y0），得y1+y2＝λ（y2﹣y1），②，由消去x，得（9k2+7）y2+56ky+49k2＝0，可知△＝（56k）2﹣4×（9k2+7）×49k2＝49k2﹣36（1﹣k2）＞0，得y1+y2＝﹣，y1y2＝，y1，2＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）代入①式得y0＝﹣k，由y0＝k（x0﹣4），得x0＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由②式得﹣＝λ•，得λ＝＝≥，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【法三：设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），x2＜x1，由λ＝＝，得＝λ，＝﹣λ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，将P（x1，y1），Q（x2，y2），代入椭圆方程得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）上面两式相减化简得x0＝，λ＝＝＝﹣1+＝﹣1+，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由＜x1≤3，得0＜x1﹣≤，则λ≥﹣1+＝，因此，N在一条直线x＝上，实数λ∈[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+ax（a∈R）（1）试确定函数f（x）的零点个数；（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，当x1+x2≤2时，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝（x﹣2）e x+ax＝0得ax＝（2﹣x）e x，令g（x）＝（2﹣x）e x，则g′（x）＝﹣e x+（2﹣x）e x＝（1﹣x）e x，∴当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x＝1时，函数g（x）有最大值g（1）＝e，又当x＜1时，g（x）＝（2﹣x）e x＞0，g（2）＝0；作出y＝g（x）与y＝ax的函数图象如图所示：∴当a≥0时，y＝ax与g（x）只有一个公共点，从而函数f（x）有一个零点；当a＜0时，y＝ax与g（x）有两个公共点，从而函数f（x）有两个零点．（II）设x1＜x2，由（I）知a＜0且x1＜0，x2＞2，由f（x1）＝（x1﹣2）e+ax1＝0，得a＝（x1＜0），由f（x2）＝（x2﹣2）e+ax2＝0，得a＝（x2＞2）．∴a2＝，∵x1+x2≤2，∴4﹣2（x1+x2）≥0，0＜e≤e2，（当且仅当x1+x2＝2时取等号）∴4﹣2（x1+x2）+x1x2≥x1x2，又x1x2＜0，∴≤1，∴a2≤e≤e2，又a＜0，∴﹣e≤a＜0．选做题（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ＝α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0．（II）联立θ＝α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2＝0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2＝2（cosα﹣sinα）＝2，由|OM|＝，得|OM|＝，当α＝时，|OM|取最大值．[不等式选讲]23．设函数f（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【解答】解：（I）当a＝1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）综上得原不等式的解集为＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）证明：|f（x2）+x|＝|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时取“＝”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。
广东省揭阳市高三第一次(3月)模拟考试数学理试题 扫描版含答案
揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：（9，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 222x-=，解得12x =，故2x =1，故新工件的体积为1.（10）设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α， 则122211)('tan =+≥≥+==ba ab b a a f α，故42ππα≤<．（11）易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(1AF a =+=+.（12）由条件可在函数()f x 的值域为[0,1]，方程()0f x =的根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，π-=)(x f 与()f x π=均无实根，所以方程(())0f f x =的实根个数为3，即3m =；因x x x g sin 2)(-=是奇函数，先考虑],0[π∈x 的图象，因x x g cos 21)('-=，由0)('>x g 得],3(ππ∈x ，可知)(x g 在],3(ππ上递增，在]3,0(π上递减，又0)0(=g ，ππ=)(g ，由图象关于原点对称得)(x g 的示意图如右，极小值为7.033)3(-≈-=ππg ，DCBA 分别为00,x x -，可知10>x ，方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根，显然方程()0g x =有3个根，方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有１个根，从而方程(())0g g x =根的个数为5，即t =5，故m n t ++=13. 二、填空题：（15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=得h =，设球O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）解法1：设A ACD θ∠=∠=，02πθ<<，则2ADC πθ∠=-，又1AC =,由正弦定理得：1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得：112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠- 55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-，由02πθ<<550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<，得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注：该题若考生漏掉一解扣2分]【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】 解法2：过点C 作CE AB ⊥于E ，A ACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt △AEC 中，sin CE θ=，则在Rt △CED 中，θθθ2tan sin 2tan -=-=CE DE ，在Rt △CEBEDB 1C 1A 1BCA中,tan6CE BE θπ==，由BD=1得sin 1tan 2θθθ=sin cos 2sin 2sin 2θθθθθ⇒+=cos 222cos θθθ⇒+=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩，解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分 1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由11222332n n nn a b a b a b ++++=-①当1n =时，1112a b =，所以112b =-----------------------------------------------------------------7分当2n ≥时，11221112132n n n n a b a b a b ---++++=-②-----------------------------8分①式减去②式得212n n nn a b -=， 求得12n n b =，易知1n =也成立， 所以数列{}n b 为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==--------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）连结ED ，-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，-------------------------------------------------------2分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①，--------------------------------3分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分 【法二:由A 1A⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】（Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------61701105x1210频率分∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，-----------------7分 如图以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -如图示，则)1,0,1(1A ，)1,0,0(1B ，)0,21,21(D ， 得)0,0,1(11=A B ，111(,,1)22B D =-，设),,(z y x m =是平面A 1B 1D 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B m A B m 111 ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x D B m x A B m ，令z =1，得)1,2,0(=m ，----------9分设(,,)n a b c =为平面A 1BD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n BDn ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a n ， 令1c =得(1,1,1)n =-， ---------------------------------------------------------------------------10分 依题意知二面角11B D A B --为锐二面角，设其大小为θ，则 |||||||,cos |cos m n m n m n⋅⋅=><=θ515353=⋅=， 即二面角11B D A B --的余弦值为515．----------------------------------------------------12分其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，-------------------------------------------------3分补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71，①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>>∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 （20）解：（I ）由2222||a c b AF =+=，得3=a ，--------------------------1分ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ，即722=++a a b ，得72=b ，所以2=c ，椭圆的离心率为32=e ；---------------------------------------------4分 （II ）显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 由||||||||QN MQ PN MP =，得022101y y y y y y -=-，化简得)(221021y y y y y +=①，-----6分由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，得7956221+-=+k ky y ，79492221+=k k y y ，----------------------------------------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ，---------------------------------------10分因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．------------------------------------------12分【法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，不妨设0>k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，12y y <， 由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得022101y y y y y y -=-=λ，化简得)(221021y y y y y +=①，6分由)(101y y y -=λ，)(022y y y -=λ，得)(1221y y y y -=+λ②，由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，)79(25622,1+∆±-=k k y ，----------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，---------------------------------------9分由②式得79562+-k k792+∆-⋅=k λ，得341341425622≥-=-=kk k k λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．--------------------------------------12分】 【法三：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，21x x <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ， 得,,MP PN MQ QN λλ==------------------------------------------------------------------------5分所以01010*********x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分 上面两式相减化简得490=x0110101744||4119||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---，因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．----------------------------------12分】（21）解法1：（I ）函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根，由(2)0-+=xx e ax 得(2)=-xax x e ，令()(2)=-xg x x e ， 则'()(2)(1)=-+-=-xxxg x e x e x e ，--------------------2分 由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增， 由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，----3分 ∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ， 又当1x <时，()g x >0，当→-∞x 时()0→g x ；当2<x 时()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时，ax y =与()g x 只有一个公共点，从而函数()f x 有一个零点；---------- 5分当0<a 时，ax y =与()g x 有两个公共点，从而函数()f x 有两个零点．-----------------6分（II ）设12<x x 由（I ）知0<a 且120,2<>x x ，由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ，得111(2)-=-x x e a x （10<x ）由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ，得222(2)-=-x x e a x （22>x ）-----------------------8分∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=， -------------------------9分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e ex x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ， ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，----------------------------------------------------------------------11分∴22211e ea x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．--------------------------------------------------------------------------------12分 【解法2：（I ）∵02)0(≠-=f ，0=∴x 不是函数的零点；当0≠x 时，由0)2()(=+-=ax e x x f x得xe x a x)2(--=，------------------------------1分设x e x x g x )2()(--=，则0)22()('22<+--=xe x x x g x，----------------------------------2分所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减，-----------------------------------------------------3分 当0>x 且0→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，-∞→)(x g ；当0<x 且0→x 时，-∞→)(x g ；当-∞→x 时，0)(→x g ； 当0<x 时，由0)(<x g ，有)0,()(-∞∈x g ，当0>x 时，有0)2(=g ，),()(∞+-∞∈x g ，所以当0≥a 时，曲线a y =与)(x g 只一个公共点，函数)(x f 有一个零点； -----------5分当0<a 时，曲线a y =与()g x 有两个公共点，函数)(x f 有两个零点； -----------------6分（II ）不妨设21x x <，由（I ）得0<a ，且01<x ，22>x ， 由0)(1=x f ，0)(2=x f ，得)(1x g a =，)(2x g a =，∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=，-----8分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号）∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ，----------------------------------------------------10分∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，------------------------------------------------------------------------11分∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2si n20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分（II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，-----------------------------------------------------------------6分 设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+，---------8分由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，--------------------------------9分当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分 【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =，-----------------------------------------------------6分∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，---------------------------------8分 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM ≤即||OM 的最大值为2．------------------------------------------------------------10分】 （23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤------------------------------2分当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，--------------------------------------3分综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3xxx x ≤--<≤=2{|}3x x ≤-------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分 ∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ，------------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分。
广东揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试
揭阳市普通高中2017届高考高三数学3月模拟考试试题(七)(卷面分值：150分考试时间：120分钟）第I卷（选择题共60分）一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A={x||x|>1}，B={x|x<m}，且=R，则m的值可以是A. -1B.O C 1 D. 22. 复数的共轭复数是a + bi(a，b R)，i是虛数单位，则点（a，b)为A. (1，2)B. (2，-i)C.(2,1)D.(1，-2)3. “a〉0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数，则是A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数5. 已知函数，则使函数有零点的实数m的取值范围是A. B.C D.6. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若，则k的值为A.8B. 7C. 6D.57. 函数的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是A. B.C. D._8. 执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为A.B.C.D9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1 -FMGN的侧视图为10. 设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部）.若点（x，y)∈ D,则x + y的最小值为A. -1B.0C. 1D.311.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长B1F2 与A2B2交于P点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为A. B.C D.12. 中，若，则的值为A.2B.4C.D.第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .14. 如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1的体积为______15. 点A(x，y)在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆周运动，每12秒运动一周.则经过时间t后，y关于t的函数解析式为______16. 设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______三、解答题：第17〜21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演 算步骤..17. (本小题满分12分）已知数列{a n}、{b n}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且(I) 求数列{a n}、{b n}的通项公式；(II )求使a bn<0.001成立的最小的n值.18. (本小题满分12分）PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；(II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.19. (本小题满分12分）在正四棱锥V - ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点，点M在边BC上，且BM: BC = 1：3，AB =，VA = 6.(I )求证CQ丄AP;(I I)求二面角B-A P-M的余弦值.20. (本小题满分12分）已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1＝0相切，动圆M与及y轴都相切.(I )求点M的轨迹C的方程；(II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向各引一条切线，切点分别为P，Q，记.求证是定值.21. (本小题满分12分）已知函数.(I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间；(II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. (本小题满分K)分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB是的直径，AC是弦，直线CE和切于点C，AD丄CE，垂足为D.(I) 求证:AC平分；(II) 若A B=4A D，求的大小.23. (本题满分10分)选修4 －4：坐标系与参数方程将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.(I)求直线l与曲线C的方程；(II)求C上的点到直线l的最大距离.24. (本题满分10分)选修4 - 5：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.选D.【解析】11x x >⇔>或1x <-，由A B =R ，得1m >．2.选C.【解析】122+=-ii i，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >⇒20a a +≥；反之20a a +≥⇒0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >．4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -21log 1xx+=-，则 ()F x -=21l o g 1x x -+121l o g 1x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭21l o g 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出(),0(),0x x x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221k k k k S S a a +++-=+12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =.7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即32T =，所以26T πω==， 3πω=由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=，函数为()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+， 解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z .8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=- nn S ，有121127+-=n ，故6=n .9.选C.【解析】（略）.10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12y x =±，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线过点()0,0O 时，min 0=z .11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫⎪++⎝⎭，又()()21,0,0,A a B b -，∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫= ⎪++⎝⎭ ，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭，∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ⋅<，即()()()()2222220a c a c ab a c a c a c ---+<++， 化简得2b ac <，22a c ac -<，故210c c a a⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即210e e +->，e >或e <01e <<1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由()235CA CB AB AB +⋅= 得235CA AB CB AB AB ⋅+⋅=即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=，∴3cos cos 5a Bb Ac -= ∴2222223225a cb bc a a b c ac bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=， ∴22222222222222223tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc+-++-=⋅=⋅===+-+--+. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50305=x =，由ˆ0.67+54.9y=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴62++75+81+89=755m ，故68=m .14.填16．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面1ACD间的距离，等于113B D =，而1111sin 602ACD S AD CD ∆=⋅︒=， ∴三棱锥1P ACD -的体积为1136=. 15.填sin 63y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以t 秒旋转6t π，06A OA t π∠=，63xOA t ππ∠=+，则sin y xOA =∠sin 63t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.16.填2222a b b a-．【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k =-， 则点()11,A x y 满足22221y kxx y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩故222222*********,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()222222112221k a b OA x y b a k+=+=-，同理()22222221k a b OBk b a+=-，故()()2222222222222211k a b k a b OA OBb a k k b a ++⋅=⋅--()()44222222221a b k a b a bk=-++⋅+∵()22222111412k k k k=≤+++（当且仅当1k =±时，取等号） ∴()44222224a b OA OB ba⋅≥-，又0b a >>，故12AOBS OA OB ∆=⋅的最小值为2222a b b a-. 三、解答题：共6小题，共70分.17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意()2422226d qd q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍） ∴212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22212n n b n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2210.0010.0012n n b a -⎛⎫<⇔< ⎪⎝⎭2221000n -⇔>，所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C ξ-⋅===.…6分（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴13601203E η=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ，OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt VOB ∆中，可得OV =则(,V ),A)B，(),C(),D,M ⎫⎪⎪⎝⎭,P ⎝⎭Q ⎛ ⎝⎭.于是(),0,,AP AB ⎛== ⎝⎭,3AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,222CQ ⎛=- ⎝⎭.（Ⅰ）∵,,0222222AP CQ ⎛⎛⋅=-⋅-= ⎝⎭⎝⎭，∴CQ AP ⊥，即CQ ⊥AP ； …6分（Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n得300a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩故)1=n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ，设二面角B AP M --的平面角为θ，则cos 11θ⋅==1212n n n n ． …12分ξ1 23 P24914591 2091 29120．（Ⅰ）⊙F1=，⊙F 的方程为()2211x y -+=，由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况：（1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况：作MH ⊥y 轴于H ，则1M F M H-=，即1M F M H=+，则M F M N =（N是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线．∴点M 的轨迹C 的方程为()240y x x =≠；（2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况：此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 ()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++== ∴121111sin sin 11AF BF x x αβ+=+=+++1212121212221111x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当l 与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=，对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l ，交C 于一个点或无数个点，而非两个交点）.综上，有sin sin 1αβ+=． …12分 21．（Ⅰ）∵()11f x ax'=-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a'==-， 依题意110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分 （Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有ln 0x a >，10x -<，所以ln 1xx a >-，与题意矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '=-，令()0f x '=，得1x a=.当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1x a=处取得最大值111ln a a a -，故对x +∀∈R ，()1f x ≤-恒成立，当且仅当对a +∀∈R ，111ln 1a a a-≤-恒成立． 令1t a =，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当11a =，即1a =时，111ln 1a a a-≤-成立． 故a 的取值集合为{}1． …12分22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=︒ACB .∴90∠+∠=︒B CAB∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ，∵AC 是弦，且直线CE 和O 切于点C ，∴∠=∠ACD B∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆ ABC ACD ，∴=AC AD AB AC，由此得2=⋅AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD=AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ，故∠BAD 的大小为120︒． …10分23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆224x y +=上，于是()2224x y +=即2214x y +=. 直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ，设直线l 上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线l 的方程为2380x y +-= …5分 （Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ，它到直线l 的距离为d == 其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55ϕϕ==.∴当0ϕϕπ-=时，max d …10分24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分222==≥，2成立，需且只需122x x -+-≥，即1122x x x <⎧⎨-+-≥⎩，或12122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩，或2122x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，解得12x ≤，或52x ≥ 故x 的取值范围是15,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …10分。
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广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（五）答 案一、选择题（每小题5分，共50分） 1~5．CBABC 6~10．ADBBC 二、填空题（每小题5分，共20分） 11．不能 12．1-13．1214．315．{202}x x x x -=≤或或≥ 三、解答题（共75分）16．解：（Ⅰ）等比数列{}n a 的首项112a =，公比12q =………………………（1分） 111(1)(1)122111212nn n na q S q --===---………………………（5分） （Ⅱ）21222log log log n nb a a a =+++2222111l o g l o g l o g 222n =+++………………………（6分） (123)n =-++++………………………（9分） (1)2n n +=-………………………（11分） 所以数列{}n b 的通项公式(1)2n n n b +=- (12)17．解：（Ⅰ）π()sin()cos sin cos(π)2f x x x x x =--+2cos sin cos x x x =+………（2分）211π1cos sin 2(sin 2cos21))2242x x x x x =+=++++……（3分）令πππ2π22π,242k x k k Z -+++∈＜＜所以函数()f x 的单调增区间为：3ππ(π,π),Z 88k k k -++∈ ………………………（5分）为同理可得函数()f x 的单调减区间为π5π(π,π),Z 88k k k ++∈………………………（6分）（Ⅱ）因为()1f A =π1)142A ++=所以πsin(2)4A +=因为A 为锐角，所以ππ5π2444A +＜＜ ………………（8分） 所以π3π244A +=，所以π4A = ………………（9分） 在ABC △中，由正弦定理得，sin sin BC AC AB =即2ππsin sin 43AC=………（11分）解得AC = ………………（12分）18．解：(Ⅰ)记“学生A 、B 、C 中有一人选修课程甲，且无人选修课程乙”为事件R ……（1分）133223()416C P R ⨯⨯== ………………（5分）答：学生A 、B 、C 中有一人选修课程甲，且无一人选修课程乙的概率为316. ………………（6分）(Ⅱ)课程丙或丁被这3名学生选修的人数0ζ=、1、2、3 ………………（7分） 3328(0)464P ζ===，112323224(1)464C A P ζ⨯===， 2122323232224(2)464C A C A P ζ⨯+⨯===，2231323238(3)464C A C A P ζ+===． …………（11分） 所以824248301+2+3=646464642E ζ=⨯+⨯⨯⨯（人）． ………………（12分） 19．解：（I ）设(1)xt e t =≥；则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ………………（2分）①当1a ≥时，10y y at b at'>⇒=++在1t ≥上是增函数………………（3分）得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a++………………（4分）②当01a ＜＜时，12y at b b at =+++≥………………（6分）当且仅当11(,ln )x at t e x a a====-时，()f x 的最小值为2b +………………（7分）（II ）11()()x xx xf x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-………………（8分） 由题意得：2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩………………（12分） 20．解：（Ⅰ）设C 方程为2222+1(0)x y a b a b =＞＞由已知b = 离心率2221,2c e a b c a ===+ ………………（3分）得4a =所以，椭圆C 的方程为22+11612x y =………………（4分）（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得占P 、Q 的坐标为(2,3)P ，(2,3)Q -，则||6PQ =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入22+11612x y =得22120x tx t ++-=由0∆＞,解得44t -＜＜，由根与系数的关系得1221212x x t x x t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩四边形APBQ的面积1216||2S x x =⨯⨯-=（6分）故，当max 0,t S ==………………（7分）②APQ BPQ ∠=∠时，PA PB 、的斜率之和为0，设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，P A 的直线方程为3(2)y k x -=-与22+11612x y =联立解得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--=，128(23)234k kx k -+=+………………（9分）同理PB 的直线方程3(2)y k x -=--，可得228(23)234k kx k ++=+所以2121222161248,3434k kx x x x k k --+=-=++………………（11分） 12121212(2)3(2)3AB y y k x k x k x x x x --++--==--3321212216121216()4241344848234k k k k k x x k k k k x x k k ---+--+====---+ 所以直线AB 的斜率为定值12………………（13分） 21．解：（Ⅰ）321()13f x x ax bx =+-+2()2f x x ax b '∴=+-，由题意(1)121f a b '∴=+-=，2b a ∴= ① …………………………………………………………（1分）()f x 有极值，∴方程2()20f x x ax b '=+-=有两个不等实根 2440a b ∴=+△＞，20a b ∴+＞ ②由①、②可得，220a a +＞．20a a ∴-＜或＞． 故实数a 的取值范围是(,2)(0,)a ∈-∞-+∞…………………………………（3分 ）（Ⅱ）存在8a 3=-．………………………………………（5分）由（1）可知2()2f x x ax b '=+-，令()0f x '=，1x a ∴=-2x a =-，且(,2)(0,)a ∈-∞-+∞2x x ∴=时，()f x 取极小值，则3222221()2113f x x ax ax =+=+=，20x ∴=或222360x ax a +-=.……………………………………………………（6分）若20x =，即0a -+=，则0a =()舍 ……………………………………（7分）若222360x ax a +-=，又2()0f x '=，222220x ax a ∴+-=，240ax a ∴-=．0a ≠，24x ∴=4a ∴-+823a ∴=--＜∴存在实数83a =-，使得函数()f x 的极小值为1．………………………………（8分）（Ⅲ）由()21()2ln f x ax b g x x x'-+-=-222112ln 2ln x ax b ax b x x x x x+--+-=-=--即1()2ln g x x x x =--故，222221221(1)()10x x x g x x x x x -+-'=+-==＞则g()x 在(1,)+∞上是增函数，故g()(1)0x g =＞，所以，g()x 在(1,)+∞上恒为正．.………………………………（10分） （注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分）当N*n ∈时，11n n+＞，设1n x n +=，则 111()2ln1n n n n g n n n n+++=--+ 11112[ln(1)ln ]1n n n n =+-+-+-+112[ln(1)ln ]01n n n n =+-+-+＞ 即，112[ln(1)ln ]1n n n n ++-+＞.………………………………（12分）上式分别取n 的值1、2、3、……、(1)n -累加得：11111111()()()()1223341n n++++++++-2[ln 2ln1ln3ln 2ln 4ln3ln ln(1)]n n -+-+-++--＞，(n 1)＞1111112()2ln 2341n n n ∴++++++-＞，(n 1)＞1111112(1)2ln 12341n n n n ∴++++++++-＞，(n 1)＞11111111ln (1)23412n n n n∴++++++++-＞，(n 1)＞即，1111ln (1)2ni n n i=++∑＜，(n 1)＞又当1n =时，1111ln (1)2ni n n i=++=∑，故1111ln (1)2ni n n i=++∑≤，当且仅当1n =时取等号．.……………………（14分）。