高二上期末数学试卷
山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（含答案解析）
2022-2023山西省晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+28．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．2022-2023晋中市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“∃x＞0，使2x＞3x”的否定是（）A．∀x＞0，使2x≤3x B．∃x＞0，使2x≤3x C．∀x≤0，使2x≤3x D．∃x ≤0，使2x≤3x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，使2x≤3x，故选：A2．（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：由题意，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，故选C．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），=（﹣2，0，2），=（0，1，1），设直线BC1与EF所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．故选：B．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，则“l1∥l2”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0，且l1∥l2，∴a2﹣a﹣2=0，解得：a=2或a=﹣1，故a=2或a=﹣1是a=﹣1的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a ⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c．其中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故①②不正确，若a∥b，b⊥c则a⊥c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故③正确，综上可知有一个正确的说法，故选B．6．（5分）设点P为椭圆上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆，∴b=2，c=．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a，|F1F2|=2，∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°=4a2﹣3|F1P|•|PF2|=4a2﹣16，∴|F1P|•|PF2|=．∴=|F1P|•|PF2|sin60°=××=．故选：C．7．（5分）已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．6 B．C．D．4+2【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|==故选C．8．（5分）已知圆O为Rt△ABC的外接圆，AB=AC，BC=4，过圆心O的直线l交圆O于P，Q两点，则的取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣8，0]C．[﹣16，﹣1]D．[﹣16，0]【解答】解：【解法一】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；当直线PQ的斜率不存在时，有P（0，2），Q（0，﹣2），=（2，2），=（﹣2，﹣2），则•=﹣4﹣4=﹣8；当直线PQ的斜率存在时，设直线l为：y=kx，代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），则=（2﹣，﹣），=（﹣2，），所以•=（2﹣）（﹣2）+（﹣）=﹣8+，由1+k2≥1可得0＜≤8，所以﹣8＜﹣8+≤0；又题目中没有要求P、Q的具体位置，所以P、Q坐标互换时，比如，当k=0时，若P（2，0），Q（﹣2，0），则向量=（4，0），向量=（﹣4，0），所以•=﹣16．故选：D．【解法二】以O为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示；在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，所以△ABC的外接圆圆心是BC的中点，半径为r=BC=2，所以A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），圆O的方程为：x2+y2=4；设P（2sinθ，2cosθ），Q（﹣2sinθ，﹣2cosθ），把转化为三角函数计算更简单．9．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．10．（5分）在四面体S﹣ABC中，，二面角S﹣AC ﹣B的余弦值为，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．24πD．6π【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，因为AB=BC=，所以BD⊥AC，因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，所以AC=2．取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，所以cos∠EDO=，OD=，所以BO==OA=OS=OC所以O点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为6π．故选：D．11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（）A．B．C．2 D．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB=1+4﹣2×1×2×（1﹣x）=1+4x，由双曲线的定义可得a1=，c1=1，e1=，由椭圆的定义可得a2=，c2=x，e2=，则e1+e2=+=+，令t=∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+）在（0，﹣1）上单调递减，所以e1+e2＞×（﹣1+）=，故选：B．12．（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的动点．给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点D距离为的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若DP∥面ACB1，则DP与面ACC1A1所成角的正切值取值范围是；③若，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如图，①错误，与点D距离为的点P形成以D1为圆心，半径为的圆弧MN，长度为=；②错误，因为面A1DC1∥面ACB1，所以点P必须在面对角线A1C1上运动，当P 在A1（或C1）时，DP与面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值为最小，当P在O1时，DP与面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值为最大，所以正切值取值范围是；③正确，设P（x，y，1），则x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，所以六个面上的正投影长度之和为，当且仅当P在O1时取等号．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）直线的倾斜角为150°．【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式y=x﹣，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，则tanα=，可得α=150°故答案为：150°14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为16．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6=，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V==16，故答案为16．15．（5分）已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为[1，5] ．【解答】解：如图，设点A的坐标为（x0，6﹣x0），圆心M到直线AC的距离为d，则d=|AM|sin30°，∵直线AC与⊙M有交点，∴d=|AM|sin30°≤2，∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2≤16，∴1≤x0≤5，故答案为[1，5]．16．（5分）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，，其中m、n是常数，当s+t 取最小值时，m、n对应的点（m，n）是双曲线一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x﹣2y+1=0．【解答】解：由已知得=，由于s+t的最小值是，因此，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有①．又该两点在双曲线上，则有，，两式相减得②，把①代入②得，即所求直线的斜率是，所求直线的方程是，即x﹣2y+1=0．故答案为x﹣2y+1=0三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程mx2﹣2x+1=0有实数解”．若“p∨q”为真，“￢q”为假，则实数m的取值范围．【解答】解：∵直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交，∴（1，0）到x+y﹣m=0的距离小于1，即＜1，解得：1﹣＜1+，故p：m∈（1﹣，1+）；m=0时，方程mx2﹣2x+1=0有实数解，m≠0时，若方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故q：m∈（﹣∞，1]，若“p∨q”为真，“￢q”为假，则p真q真或p假q真，故m∈（﹣∞，1]．18．（12分）已知线段AB的端点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，（Ⅰ）试求M点的轨C2方程；（Ⅱ）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），则由题意可得：，解得：，∵点B在圆C1：x2+（y﹣4）2=16上，∴（x′）2+（y′﹣4）2=16，∴（2x﹣4）2+（2y﹣4）2=16，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．∴轨迹C2方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）由方程组，解得直线CD的方程为x﹣y﹣1=0，圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离为，圆C1的半径为4，∴线段CD的长为．19．（12分）如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB 的平分线，点E在线段AC上，CE=4．如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．（1）求证：DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B﹣DEG 的体积．【解答】解：（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=，∠DCP=30°，∠PDC=60°，又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC∴DE⊥平面BCD；（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，所以BD=，DC=，所以B到DC的距离h===，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，所以B到DC的距离h就是三棱锥B﹣DEG的高．三棱锥B﹣DEG的体积：V====．20．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）21．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP ⊥AB∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∵=﹣1×0+0×2+=0，∴⊥．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．理由如下：∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则．令y=1，得=（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．设=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴=+=（2λ，2﹣2λ，λ）．∴|cos＜，＞|==．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于．22．（12分）在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P 到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得，，化简得3x2+4y2=12，所以，动点P的轨迹C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，，因为点A、B在椭圆C上，所以，，所以，=，化简得．①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=；②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为，所以△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，所以，=，所以．所以，四边形ABA1B1的面积为定值．。
河南省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ， 平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。
2023-2024学年广东省深圳高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，则3a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】直接把1n =和2n =代入递推关系式求解即可．【详解】解： 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=，故选：C ．2．设R a ∈，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，若12l l ⊥，则=a （）A ．1B ．2-C ．23-D ．1或2-【正确答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得a 的值．【详解】R a ∈ ，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，12l l ⊥，()1210a a ∴⨯+⨯+=，求得23a =-，故选：C ．3．已知数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．32D ．3【正确答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，所以2111a a a =-，解得223a =，由2321a a a =-，解得312a =-，由3431a a a =-，解得413a a ==，L ，故可得数列{}n a 是周期为3的数列，且前三项为：3，23，12-，因为202367431=⨯+，所以202313a a ==.故选：D4．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则FE =（）A ．111232PA PB PC-+B ．111242PA PB PC-+C ．111343PA PB PC ++D ．212343PA PB PC -+ 【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC =+=-++=-+．故选：B ．5．已知直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈与圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，给出下面三个结论：①直线n l 与直线1n l +平行且两直线距离为1；②若直线n l 与圆n C 相切，则22n a n =；③若直线n l 与圆n C 相切，圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】D【分析】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1n l +的方程，进而判断两直线的关系，判n a =，进而求得22n a n =，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1:345(1)60n l x y n +-++-=，即34510x y n -+-=，∴直线n l 与直线1n l +平行，直线n l 与直线1n l +1=，故①正确；由圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，得圆心(2,0)n C ，半径为n a ，若直线n l 与圆n C 相切，n a =，22n a n ∴=，故②正确；圆1n C +与圆n C 是同心圆，且*N n ∈，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积为221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥，当且仅当1n =时取等号，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D ．6．设椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若||2MN c =，22:1:MF NF =C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．37【正确答案】B【分析】由已知易得四边形12MF NF 是矩形，设2||MF m =，1MF =，进而可得123F F m =，利用212+=MF MF a ，求解即可．【详解】 过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，MN ∴被O 平分，又12F F 被O 平分，∴四边形12MF NF 是平行四边形，又122MN c F F ==，∴四边形12MF NF 是矩形，22:1:MF NF = ，由对称性可得12MF NF =，∴设2||MF m =，1MF =，123F F m ∴=，23c m ∴=，21223c MF MF a ∴+==，∴c a =．故选：B ．7．关于x4kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）A ．2k ≤-或2k ≥B ．2k ≤-或2k ≥或k =C ．2k <-或2k >或k =D ．2k <-或2k >【正确答案】C【分析】将问题转化为曲线y =与4y kx =+有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.4kx =+有唯一解等价于曲线y =4y kx =+有唯一交点，由y =得：()2204y x y +=≥，则其图形为以()0,0为圆心，2为半径的圆的上半部分；4y kx =+为恒过定点()0,4的直线；作出y =与4y kx =+图象如下图所示，由图象可知：当3k k =或4k k =或1k k >或2k k <时，曲线y =与4y kx =+有唯一交点；当直线4y kx =+与圆()2204y x y +=≥2，解得：k =即3k =，4k =又140202k -==+，240202k -==--，∴4kx =+有唯一解时，实数k 的取值范围为2k <-或2k >或k =.故选：C.8．已知曲线22:1C x y x y +=-）ABC ．1D ．1+【正确答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】 曲线22:1C x y x y +=-，221()x y x y ∴=-+，又222222x y x y x y ++-≤≤，当且仅当x y =时取等号，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，∴221132x y +≤≤，∴22232x y ≤+≤，∴3≤≤，．故选：A ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．a c + ，b c + ，c a +一定能构成空间的一个基底C ．对空间中的任一向量p ，总存在有序实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb=+【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A ，a b ⊥ ，b c ⊥，不能得出a c ⊥ ，也可能是a 、c 相交不一定垂直，选项A 错误；对于B ，假设向量a b +，b c + ，c a + 共面，则()()a b x b c y c a +=+++ ，x 、R y ∈，化简得()(1)(1)x y c x b y a +=-+-r r r，所以a 、b 、c 共面，这与已知矛盾，所以选项B 正确；对于C ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x ,y ,)z ，使p xa yb zc =++，选项C 正确；对于D ，因为{},,a b c 是空间一个基底，所以a 与b 、c不共面，选项D 错误．故选：BC ．10．已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A ．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28【正确答案】BD【分析】由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，对于A ，因为圆心()3,0到直线:50l x y -+=的距离为d ==min MC =min MA =A 错误；对于B ，假设存在点M 使得AMB ∠为60 ，如图，则30∠= AMC ，故在Rt AMC △中，24MC r ==，由A 选项知min 4MC =>，故矛盾，即不存在点M 使得AMB ∠为60 ，故B 正确；对于C ，由于MC AB ⊥,故四边形MACB 的面积为1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△，所以，4MC AB MA ⋅=，故当MC AB ⋅最小时，MA 最小，由A 选项知min MA =此时MC l ⊥，//l AB ，即直线AB 的斜率为1，由于直线210x y --=的斜率为12，故C 错误；对于D ，由题知()()1,0,5,0P Q ，设(),5M x x +，则()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥，当且仅当=1x -时等号成立，故MP MQ ⋅的最小值为28，故D 正确；故选：BD11．已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的离心率2e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于,A B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则123k k =【正确答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线C 的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得D 点坐标进而求得2k 判断D.【详解】双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±即0ay x ±=，因为圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，1=，解得a =C 的方程为2231x y -=，选项A ：双曲线C的实轴长23a =，正确；选项B：c ==2c e a ==，正确；选项C ：设P 点为00(,)x y ，则220031x y -=，点P0y x ±=，则2222000012211(3)1334413x y x y d d --==+⎝⎭，错误；选项D ：直线1y k x m =+与双曲线C 联立可得22211(3)210k x k mx m ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得1122123k m x x k +=-，所以12112216()23my y k x x m k +=++=-，因为点D 为弦AB 的中点，所以D 点坐标为122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以2121121303303ODmk k k k mk k --===--，所以123k k =，正确；故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +【正确答案】BCD【分析】直接由递推公式求出4a 即可判断A 选项；分n 为奇数或偶数即可判断B 选项；分n 为奇数或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=，A 错误；对于B ，当n 为奇数时，1n +为偶数，则211n n a a n ++=++，11n n a a n +=++，可得()221n n a a n +=++；当n 为偶数时，1n +为奇数，则2111n n a a n ++=+++，1n n a a n +=+，可得()221n n a a n +=++，B 正确；对于C ，当n 为奇数且2n ≥时21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a aan a an ---=++=+=++=+-+=+- ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=，1n =时也符合；当n 为偶数且2n ≥时21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a an a an ---=++=+=++=+-=+-+ ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=；则221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，C 正确；对于D ，设数列{}(1)nn a -的前2n 项和为2n S ，则21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ ，又()()222212211222n n n n a a n ----=-=，()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ ，D 正确.故选：BCD.本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n 项和，使问题得以解决.三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______.【正确答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为DM ==故15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =__________．【正确答案】3【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，可设()0,,4G a ，求出平面AEF 的法向量，再根据0AG m ⋅= 求出a ，即可得出答案．【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A，)1A ，()0,2,2E，1,42F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题可设()0,,4G a ，则()2AE =，1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,4AG a =- ，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则201402y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =93,55y z ==，故93,55m ⎫=⎪⎭ ，由()91231055AG m a ⋅=-+-+= ，得43a =，则11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13A G ==．16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列；②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【正确答案】①②【分析】①数列{}n c 为斐波那契数列,根据数列的性质代入211n n n na a a a +++-化简即可判断;②数列为等比数列,所以代入公式211n n n n a a a a +++-化简即可判断;③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列{}n c 为斐波那契数列,所以21111111n n n n n n n n n n n n n nc c c c c c c c c c c c c c +++--+++++-=-=-≠常数不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②,数列132n n a -=⋅,则1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列11n n a a q -=,则1211111110n n n n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时,2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=也是比等差数列,所以③错误;对于④,{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,所以设,2n n na b n ==则2n n n a b n =⋅所以()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++常数不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知,①②正确故答案为:①②本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线1:1y x l =--上，且经过(0,1)A -，(2,1)B -两点．(1)求圆C 的方程；(2)已知过点(0,2)P 的直线2l 与圆C 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)0x =或158160x y +-=．【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线=1y x --联立，可得圆C 的圆心，求得||AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线2l 的方程．【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)-，直线AB 的斜率为11020AB k -+==-，所以线段AB 的垂直平分线为1x =，由11y x x =--⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为(1,2)C -，半径为AC ==所以圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，则方程为0x =，由220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为1(3)2---=，符合题意，当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1=1=，解得158k =-，所以1528y x =-+，即158160x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为0x =或158160x y +-=．18．已知函数21()2cos 2f x x =-．(1)求函数()f x 的单调增区间与值域；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()0f A =，1b =，ABC 求tan B 的值．【正确答案】(1)单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan 3B =或tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据()0f A =求出A ，再由面积可得c 边长度，再利用余弦定理可得a 边长度，再利用正弦定理即可得sin B ，从而可得tan B 的值．【详解】（1）211()2cos cos 222f x x x =-=+，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，则πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，则()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当22πx k =，即πx k =，Z k ∈时，max 13()122f x =+=，当22ππx k =+，即ππ2x k =+，Z k ∈时，min 11()122f x =-+=-，则()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由()0f A =，1cos 202A ∴+=，1cos 22A ∴=-，0πA << ，022πA ∴<<，2π23A ∴=或4π3，π3A ∴=或2π3，则sin A =，又ABC的面积为2，∴1sin 22bc A =，1b =Q ，2c ∴=，当π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=+-，a ∴=则ABC为直角三角形，则tan 3B =，当2π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=++，a ∴=在ABC中，1sin sin 3B =sin B ∴=π02B <<，cos B =则tan 5B =，综上tan B =tan B 19．设首项为112a =的数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1211134n S S S +++< ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++ ．【正确答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得111n n n n a a ++-=，即数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；（2）由参考公式可得()()123n n n n S ++=，则()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，然后累加求和即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-.则111n n n n a a ++-=,又112a =，112a =，则数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，则()211n n n n a =+-=+1n n a n ⇒=+；（2）由（1）可得1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ ，则2n n n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++ ()()123n n n ++=.则()()()()()133********n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦则()()()121113111121223233411112n S S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.20．已知双曲线22 1.416x y -=(1)过点(1,4)N 的直线与双曲线交于,S T 两点，若点N 是线段ST 的中点，求直线ST 的方程；(2)直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程.【正确答案】(1)30.x y -+=(2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+，因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯，即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y x =+,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>，故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=，因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩，得224(4)m k =-，则244M km k x k m ==--,则4(16M k m y k mm =⨯+=--,所以M 的坐标为416(,k m m--，其中0km ≠，因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k y x m k m +=-+，令0y =，得020k x m =-，令0x =，020y m =-，所以2222002224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为.221(0)10025x y y -=≠方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求点P 到平面MAC 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面MAC 的法向量，根据距离的向量求法求点P 到平面MAC 的距离．【详解】（1）证明：PA ⊥ 平面ABCD ，ABCD 为正方形，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1P M 为PD 的中点，110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CD =- ，()1,1,0AC = ，所以·0AM CD = ，所以AM CD ⊥，又点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，PD CD D = ，,PD CD ⊂平面PCD ，AM ∴⊥平面PCD ，又因为AM ⊂平面MAC ,故平面MAC ⊥平面PCD ．（2）设平面MAC 的法向量为(),,n x y z = ，则1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=- ，()0,0,1PA =- ，设点P 到平面MAC 的距离为d，3PA n d n ⋅∴== ,∴点P 到平面MAC的距离为3．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点A．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OMPN 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，10x ±-=或10x =．【分析】（1）由离心率的值，可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将A 点的坐标代入椭圆的方程，可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形OMPN 为平行四边形可得P 的坐标，将P 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线OM ，ON 的斜率之积，由直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l 的方程．【详解】（1）由离心率2c e a =，可得222a b =，所以椭圆的方程为：222212x y b b +=，将点A代入椭圆的方程可得：2213144b b+=，解得21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my t =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222()2220m y mty t +++-=，222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->，即222t m <+，且12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，()12122422t x x m y y t m +=++=+，因为四边形OMPN 为平行四边，OP 与MN 互相平分，所以2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，则2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理可得：2242t m =+，①又因为直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，即122121y y m x x =⋅，即21212x x m y y =，而()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---，可得2222t m t =，②由①②可得：22m =，21t =，符合△0>，可得m =，1t =±，所以直线l的方程为：10x -=或10x +=．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点P 的坐标，以及表示写了的关系.。
高二上学期数学期末测试题
高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。
余姚高二上期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. f(x) = √(x-1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = log2(x)2. 函数y = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 03. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，则f(3)的值为（）A. 8B. 9C. 10D. 114. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > -1B. |x| < 1C. |x| ≤ 1D. |x| ≥ 15. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴C. 单位圆D. 双曲线6. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a^3 > b^3C. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a/b < b/a7. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a3 + a5 = 18，则a2 + a4 + a6 =（）A. 18B. 24C. 30D. 368. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 3, 9, 27, 81, ...C. 1, 4, 16, 64, 256, ...D. 1, 2, 6, 18, 54, ...9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0, 2]上存在极值，则该极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 210. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 9，a4 + a5 +a6 = 27，则该等差数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(x)的图像关于点(1, 0)对称，则函数f(x)的图像还可能关于哪一点对称？12. 已知复数z满足|z - 1| = |z + 1|，求复数z的实部。
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干汊河中学2015-2016学年度高二上学期期末考试
数 学 试 卷
时间：120分钟 满分：150分
一 选择题（每题5分，共60分）
1. 已知集合11
{2,1,0,1,2}{|
28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =
A ．{0,1}
B ．{10}-，
C ．{1,0,1}-
D ．{2,1,0,1,2}--
2. 已知过两点P （－2，m ），Q （m ，4）的直线的倾斜角为A,且tanA=21
，则实
数m 的值为（ ）
A ．2
B ．10
C ．－8
D ．0
3. 已知实数列1，a ，b ，c ，2成等比数列，则abc 等于（ ） A ．4 B ．±4 C ．22 D ．±22
4. 从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N 等于（ ）
A ．200
B ．150
C ．120
D ．100
5. 下列命题中，错误的是（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．平行于同一个平面的两个平面平行
C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
6.已知1,4,20,x y x y y -≥-+≤-≥则24x y +的最小值是
A ．8
B ．9
C ．10
D ．13
7. 如右图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有
A ．3块
B ．4块
C ．5块
D ．6块
8. 若
,62
ππα⎡⎫∈⎪
⎢⎣
⎭, 则直线2x cos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围（ ）
(A),62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (B) 5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (C) (0,6π) (D) 5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
图1
9. 已知数列{}n a
是等差数列，且74321,0a a a -=-=，则公差=d （ ）
A ．－2
B
C
D ．2
10. 若,a b 为实数，则下面一定成立的是（ ）
A ．若||a b >,则22a b >
B ．若||a b >,则22a b >
C ．若a b >,则22a b >
D ．若||a b ≠,则22
a b ≠已知a ∈[－1,1]，
11.不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．(1,3)
12. 若 ,,a b c 成等比数列，则函数
2
y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 0或1
二．填空题（每题4分，共16分）
13．阅读图1的程序框图，若输入4m =，
6n =，则输出a = ________ ，i =____________
14. 已知a ∈(2π
，π)，sin α=，则tan2α
=____________
15某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为____________ ．
16. 在钝角△ABC 中，a =1,b =2, 则最大边c 的取值范围是 ____________ .
干汊河中学2015-2016学年度高二上学期期末考试
数学试卷
二填空题.(每小题5分,共20分)
13．___________________________ 14．________________________ 15．___________________________ 16．_________________________
三解答题.(6小题,共70分)
a b c且bsinA
17. (本题满分10分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,
＝3a cosB .
(1)求角B的大小； (2)若b＝3，c=2a，求△ABC的面积．
18. (本题满分12分) 张三卖鸡50天，每天卖鸡的数可用茎叶图表示如下：
1 3 4 5 6 6 6 7 8 8 8 8 9 9 9
2 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2
3 3 3 3
4 4
5 5 5
6 6
6 6
7 7 7
8 8 8 9
3 0 1 1 2 3
将其分成7组：
⑴填频率分布表，并回答卖鸡数从25只到30只的频率是多少？
⑵在同一坐标系中，画出频率分布直方图和折线图．
（只）
19．(本题满分12分) 一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)
之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．(日销售量=日生
产件数)
(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
20. (本题满分12分)
如图，在三棱柱A
1B
1
C
1
中，四边形ABB
1
A
1
和ACC
1
A
1
都为矩形．
（Ⅰ）设D是AB的中点，证明：直线BC
1∥平面A
1
DC；
（Ⅱ）在△ABC中，若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC
1A
1．
21.（本小题满分12分）
已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程
22. （本小题满分12分）已知数列{}n a
的前n 项和为n s ，且n s ＝2n 2＋n ，n ∈N *，
数列{
}
n b 满足
n a ＝3＋4log 2
n b ，n ∈N *.
(1)求n a ，n b ； (2)求数列{n a ·n b }的前n 项和。