高中数学3.1.3两角和与差的正切学案新人教B版必修4

3.1.3 两角和与差的正切1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的正切公式 阅读教材P 140内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立.( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β).( )【解析】 (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z ).(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子.【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.【精彩点拨】 解决本题的关键是把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的.【自主解答】 (1)tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1.公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示或求出第三个.2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 【解】 (1)原式＝1－tan 75°1＋ta n 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°) －3tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.如图α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为2 10，255.图3­1­1(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.【导学号：72010081】【精彩点拨】解决本题可先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值.【自主解答】由条件得cos α＝210，cos β＝255，∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝－3＋121－－12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.1.通过先求角的某个三角函数值来求角.2.选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.3.给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.[再练一题]2.(2016·北京高一检测)(1)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)如图3­1­2所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小.图3­1­2【解】 (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.(2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.[探究共研型]探究1 【提示】 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等.探究2 在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？【提示】根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B ＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状.【精彩点拨】【自主解答】由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan Ctan B tan C－1＝3－3tan B tan Ctan B tan C－1＝－ 3.而0°＜A＜180°，∴A＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan Btan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.利用和差角公式判断三角形形状时，应考虑借助同名三角函数之间关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意对三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用.[再练一题]3.已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角，求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tanC.【证明】∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan A tan B＝－tan C，∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C，即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.[构建·体系]1.tan 105°－1tan 105°＋1的值等于( )A.33B. 3C.－ 3D.－33【解析】tan 105°－1tan 105°＋1＝tan 105°－tan 45°1＋tan 45°tan 105°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3. 【答案】 B2.(2015·无锡高一检测)已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.2＋ 3 B.1 C.2－ 3D. 3【解析】 ∵1－tan α1＋tan α＝2＋3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3. 【答案】 C3.已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( ) A.2 B.1 C.12D.4【解析】 ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，∴tan αtan β＝12.【答案】 C 4.计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.【解析】3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 【答案】 15.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5的值. 【导学号：72010082】【解】 ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π5 ＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π51＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14 ＝322.我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(二十六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝( ) A.－ 5 B. 5 C.55D.－55【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55，∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B2.已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 B3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( )【导学号：72010083】A.23 B.4211 C.3211D.324【解析】 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tan β1＋α＋ββ＝324－241＋324×24＝4211，故选B.【答案】 B4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3.【答案】 A5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3 B.π4 C.π6D.π8【解析】 由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.【答案】 B 二、填空题6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________.【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，∴tan β－tanπ41＋tan βtanπ4＝tan β－11＋tan β＝14，∴tan β＝53，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝25＋531－25×53＝315.【答案】3157.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________.【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】π48.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则B ＝________.【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3. 【答案】π3三、解答题 9.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22， (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值. 【解】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.10.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值.【解】 由题意，有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.[能力提升]1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A.－ 3B. 3C.－33D.33【解析】 ∵α为第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33. tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tα＋β－tan α1＋α＋βα＝－3＋331＋－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33. 【答案】 C2.(2016·潍坊高一检测)设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1α＋β的值为( )A.b ＋ca B.b －ca C.c －abD.a －cb 【解析】 由题意得tan α＋tan β＝－b a，tan α·tan β＝c a， 所以1α＋β＝1－tan α·tan βtan α＋tan β＝1－ca －b a＝c －a b .【答案】 C 3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3＋＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】 134.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.【解】 由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3. 将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根.解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在.故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立.。