1.1 高等数学预备知识

有理数集
Q
p
q
p Z,
q
N
且
p 与q 互质;
实数集 R; 正实数集 R . 非零实数集 R+ .
复数集 C {z x iy | x, y R, i2 1}.
其中 i 称为虚单位，实数 x 和 y 分别称为复数 z 的实部和虚部， 记为 x Re z, y Im z 。
第一节 预备知识
性质：(1) (2) (3) ， C C.
第一节 预备知识
3.集合的运算：并、交、补 交集： AI B {x x A,且 x B}
并集: AUB {x x A,或 x B} 差集: A \ B {x x A,且 x B}
补集设: A是一个集合，B是A的一个子集，由A中所有
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
第一节 预备知识
分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用 不同的式子来表示的函数。
例如,
f
(x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
第一节 预备知识
2、几个特殊的函数举例
（1）
绝 对 值 函 数:
第一节 预备知识
为了叙述的方便和简洁，引入两个常用的逻辑符号：
逻辑符号 ：表示“任意给定”或“任取”或“对所
有的”。
例如 >表0示任意给定的一个正数 或任取一个正数 或对 所有大于零的数。
逻辑符号 ：表示“存在”或“至少存在一个”。
例如 n 表N示 存在正整数 n。
第一节 预备知识
定义1.1 设A R，且A ，若存在L R，使x A，
( 或 f ( x1) f ( x2 ))
则称函数 f ( x) 在区间 I 上是单调增加的。
（或单调减少的）
y y f (x)
f (x2 )
f ( x1)
o
I
x
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x
I
第一节 预备知识
（3）奇偶性:
（原点对称）
设 D 关于 y 轴对称，对于 x D ,有 f ( x) f ( x) ，
y arctan x
第一节 预备知识
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函 数统称为基本初等函数.
初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数.
第一节 预备知识
四、复数
1、复数的表示法
1. z x iy 2.复 平面 上的 点P ( x, y)或 向量OP
第一节 预备知识
4. Descartes（笛卡尔）乘积集（直积）
设 A,B 为两个集合，称集合{( x, y) | x A, y B}为 A 与 B 的 Descartes（笛卡尔）乘积集，记为 A B 。
Rn R R R
( x1, x2 , , xn ) xi R, i 1,2, , n
1、证明数列{ n cos n }无界。
2
2、证明函数f ( x) x sin x在[0, )上无界。
第一节 预备知识
（2）单调性:
设函数 f ( x) 的定义域为 D，区间 I D ，如果对于区间 I
上任意两点 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,
(3) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ), ( A B) C ( A C) (B C);
(4) 对偶律: ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc .
（摩根律）
(5) 幂等律: (6) 吸收律:
AU A A, AI A A. A U A, A I . 若A B, A U B B, A I B A.
第一节 预备知识
5、基本初等函数
(1)幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
第一节 预备知识
(2)指数函数 y a x (a 0, a 1)
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
第一节 预备知识
(3)对数函数 y loga x (a 0,a 1)
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
第一节 预备知识
• 函数f ( x)在数集X上有界 k 0，使得x X , 有 | f ( x) | k
• 函数f ( x)在数集X上无界 k 0，x0 X , 有 | f ( x0 ) | k
区间：设 a, b(a b) 为两个实数，称集合{x R | a x b} 为区间 (a, b) 。
同理可定义各种区间，有限区间[a, b),(a, b],[a, b] ， 无穷区间 (, b),(, b],(a, ),[a, ) 。
邻域: a 为给定的实数， 0，称区间 (a , a ) 为 a 的 邻域，记为 N(a, ) 。
称 f ( x) 为偶函数。
（奇函数）
( f ( x) f ( x))
y y f (x)
y
y f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
-x f (x)
o
xx
-x o x
x
第一节 预备知识
（4）周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
因变量
自变量
y
C (x , y) y f (x), x D
y f (x)
( 一般为曲线 )
o
D
x
第一节 预备知识
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
( f (D)
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的 一切实数值.
开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
第一节 预备知识
2.集合与集合的关系
定义：对于两个集合A与B，如果A的任何一个元素都是
集合B的元素，就说集合B是集合A的子集，记
作 .
若 且 A就说BA, 是B的真子集. 若 且 B A, 那么 .
如果一个数集存在上确界（下确界），则此确界是唯一的。
第一节 预备知识
例：数集 A {1, 1 , 1 ,L , 1 ,L } ，则 inf A 0, sup A 1. 23 n
例：数集
A {x |
x
sin t,
2
t
} ，则
2
inf
A 1,
sup A 1.
例：数集
A
{n n
1
|
n
a b, a b,a b ，且若 a b, b c ，则 a c 。
3、稠密性: 任意两个不相等的实数之间仍然有实数。
4、完备性：实数集与数轴上的点存在一一对应的关系。
第一节 预备知识
人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠的很近， 但人与人之间始终存在隔阂。
人不是孤独的，正如数轴上有无限多个有理点， 在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。 但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记 上以后，就一个人都不见了。
即 N (a, ) {x a x a } {x | x a | }
a
a
a
x
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
第一节 预备知识
去心邻域:
点 a 的 邻域去掉中心点 a 的集合称为 a 的去心 邻域，
o
记为 N (a, ) ，即
o
N(a, ) (a ,a) U(a,a ) {x 0 x a }.
D( f ) (, ), R( f ) Z
-4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
第一节 预备知识
3、反函数与复合函数
反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y 对x称.
y
|
x
|
x x
, ,
x0 x0
True 1
0.8 0.6 0.4 0.2
-1
-0.5
0.5
1
第一节 预备知识
(2) 符号函数
y
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
第一节 预备知识
(3)取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y
4321
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
第一节 预备知识
(4) 三角函数
正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数
y sin x y cos x y tan x y cot x y sec x
余割函数 y csc x
第一节 预备知识
(5) 反三角函数