高等数学预备知识
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第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
高数-预备知识
绝对值有以下一些基本性质： 绝对值有以下一些基本性质：
为任意实数， 设 x，y 为任意实数，则
1. x ≥ 0; 2. − x = x ; 4. x± y ≤ x + y ;
3.− x ≤ x≤ x ;
5. x − y ≤ x− y ;
6 . xy = x y ;
x x 7. = y y
( y ≠ 0) .
−1
O
1
2
P
x
数轴上的点 P
实数 x
一一对应
的右侧时， 当点 P 在原点 O 的右侧时，点 P 对应的实数 x 是 线段 OP 的长度 OP ，
x
P
x P O 的左侧时， 当点 P 在原点 O 的左侧时，点 P 对应的实数 x 是
通常称数轴为 1 维坐标系 .
线段 OP 的长度的相反数 − OP .
性质4 证明： 性质 证明：只证 x + y ≤ x + y .
由性质 3 可得
− x ≤ x ≤ x， y ≤ y ≤ y −
因此
这等价于
−( x + y)≤ x + y ≤ x + y x+ y ≤ x + y
性质5 证明： 由性质4 性质 证明： 由性质 可得
x = x− y+ y ≤ x− y + y
a x O b 类似地还有半开半闭区 间 (a , b] 和 [a , b ) .
这里 a , b分别为区间的左右端点 ， b − a 称为区间的长度 .
端点为无限的区间表示及其含义： 端点为无限的区间表示及其含义：
[a , + ∞ ) = { x a ≤ x < +∞ } = { x x ≥ a } ;
高等数学预备知识二---高等数学
Dxt
积分与求和： 积分与求和： [ ∑ un ( x , t )]dxdt = ∑ [ ∫∫ un ( x , t )dxdt ] 0预 ∫∫
D xt
d ∂ u( x , y, t ) 求导与积分： dxdt 求导与积分： ∫∫ u( x , y, t )dxdt = ∫∫ Dxt dy Dxt ∂y
0 预 备 知 识 高 数 f (x)dx 部 分
1 x y(x) = C1 coskx + C2 sinkx + ∫ f (τ)sin[k(x − τ)]dτ 西安交通大学理学院 k 0
4. y′′ + k y = f (x)的通 解
2
数 学 物 理 方 程
1)r ≠ r2 ⇒ y = c1e + c2e 1 rx 2)r = r2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 1 1 0 αx 3)r ,2 = α ±βi ⇒ y = e (c1 cosβx + c2 sinβx) 预备 1
数 学 物 理 方 程
常数变易法 y 记 ′′ + py′ + qy = 0 线 无 解1(x), y2 (x) 的 性 关 y 设 齐 程 为y(x) = c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) 非 方 解 ′ ′ 充 件 y1c1 + y2c2 = 0 − − − −补 条 解方程组 y′c′ + y′c′ = f ( x) − −代 方 入 程 2 2 1 1
0 预 备 知 识 高 数 部 分
三. 交换运算次序---各式成立的条件 交换运算次序 各式成立的条件: 各式成立的条件
∞ ∞
∞ ∂ ∞ ∂ 求导与求和： ∑ un ( x , t ) = ∑ 求导与求和： un ( x , t ) L L
积分与求和： 积分与求和： [ ∑ un ( x , t )]dxdt = ∑ [ ∫∫ un ( x , t )dxdt ] 0预 ∫∫
D xt
d ∂ u( x , y, t ) 求导与积分： dxdt 求导与积分： ∫∫ u( x , y, t )dxdt = ∫∫ Dxt dy Dxt ∂y
0 预 备 知 识 高 数 f (x)dx 部 分
1 x y(x) = C1 coskx + C2 sinkx + ∫ f (τ)sin[k(x − τ)]dτ 西安交通大学理学院 k 0
4. y′′ + k y = f (x)的通 解
2
数 学 物 理 方 程
1)r ≠ r2 ⇒ y = c1e + c2e 1 rx 2)r = r2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 1 1 0 αx 3)r ,2 = α ±βi ⇒ y = e (c1 cosβx + c2 sinβx) 预备 1
数 学 物 理 方 程
常数变易法 y 记 ′′ + py′ + qy = 0 线 无 解1(x), y2 (x) 的 性 关 y 设 齐 程 为y(x) = c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) 非 方 解 ′ ′ 充 件 y1c1 + y2c2 = 0 − − − −补 条 解方程组 y′c′ + y′c′ = f ( x) − −代 方 入 程 2 2 1 1
0 预 备 知 识 高 数 部 分
三. 交换运算次序---各式成立的条件 交换运算次序 各式成立的条件: 各式成立的条件
∞ ∞
∞ ∂ ∞ ∂ 求导与求和： ∑ un ( x , t ) = ∑ 求导与求和： un ( x , t ) L L
高等数学预备知识
b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
(1) (2)
(3) (4)
(5)
k dx k x C (k是常数)，
1 m1 x C ， x dx m 1 1 dx ln |x|C ， x 1 dx arctan x C ， 2 1 x 1 dx arcsin x C ， 2 1 x cos x dx sin x C ，
基本求导公式：
(1) (C)0， (2) (xm)m xm1，
(11)
(12)
(13) (14)
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ，
f ' ( x) tan
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导 数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢 量。
注意：以下是易混淆的两个表示：
y
和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即
kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
高等数学第一章课件-预备知识
a12 ⋯ a1 n a22 ⋯ a2 n 求和 ? 求和? ∑ aij 1≤ i ≤ j ≤ n ⋱ ⋮ ann (2) a0bn+1 + a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1
n
= ∑ ai bn+1− i
i=0
=
i + j = n+ 1 0≤ i ≤ n
∑
ai b j
∑∑ a = ∑∑ a
ij i =1 j =1 j =1 i =1 m m i =1 n j =1
n
( ∑ ai ) ⋅ ( ∑ b j ) = ∑∑ ai b j
i =1 j =1
上述连加号下标间没有关系，但现实中经常会 遇到下标间存在一定关系的情形 . 遇到下标间存在一定关系的情形. 例 (1) a11
i =1 n −1
n
a11 a12 ⋯ a1 n a21 a22 ⋯ a2 n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
∑a
j =1 n j =1
1j
≜ A1 ≜ A2
∑a
n
2j
⋯
am 1 am 2 ⋯ amn
∑a
j =1
mj
≜ Am
m n
m i i =1
∑ A = ∑∑ a
i =1 j =1 m i1 i =1 m i2 m
n
也可记为 ∑ ai
1≤ i ≤ n
. 等形式 等形式.
a1 + a2 + ⋯ + an = ∑ ai
i =1
a1a2 ⋯ an = ∏ ai
i =1
n
,“ ∑ ”称为连加号 ,“ ∏”称为连乘号 . 这里 这里, 称为连加号, 称为连乘号.
大学物理、高等数学的预备知识
a1 1 a1 2 a1 3
引入分母行列式 D a 2 1 a 2 2 a 2 3
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
b1 D1 b 2 b3
方程组的解能表述为
a1 2
a1 3
a 2 2 a 2 3 , D2 a3 2 a3 3
Di xi D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
a1 3 a3 3
7
ka1 1 ka1 2 ka1 3 0
A.2 应用
线性代数方程组
a1 1x1 a1 2x 2 a1 3x 3 b1 a 2 1x1 a 2 2x 2 a 2 3x 3 b 2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y ( x dx) y ( x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx
y Ax , dy A(2 x dx)dx
2
y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
数学预备知识
数学预备知识
A B C D 行列式 矢量的代数运算 一元函数微积分 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
2 1 -1 1 -2 -1 1 -1 2
i j k x y z Fx Fy Fz
2
a1 1 a1 2 a1 3
三阶行列式可以一般地表述成
a21 a22 a23 a3 1 a3 2 a3 3
A B
矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘
引入分母行列式 D a 2 1 a 2 2 a 2 3
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
b1 D1 b 2 b3
方程组的解能表述为
a1 2
a1 3
a 2 2 a 2 3 , D2 a3 2 a3 3
Di xi D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
a1 3 a3 3
7
ka1 1 ka1 2 ka1 3 0
A.2 应用
线性代数方程组
a1 1x1 a1 2x 2 a1 3x 3 b1 a 2 1x1 a 2 2x 2 a 2 3x 3 b 2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y ( x dx) y ( x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx
y Ax , dy A(2 x dx)dx
2
y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
数学预备知识
数学预备知识
A B C D 行列式 矢量的代数运算 一元函数微积分 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
2 1 -1 1 -2 -1 1 -1 2
i j k x y z Fx Fy Fz
2
a1 1 a1 2 a1 3
三阶行列式可以一般地表述成
a21 a22 a23 a3 1 a3 2 a3 3
A B
矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘
学高数预备知识
学高数预备知识要想把高数学好，就必须把高中的一些知识再重温一遍，例如三角公式、重要的不等式、基本初等函数等，这些知识点，在高数老师看来，只要是到了大学的学生都是掌握了的，他不会再带你去回顾，直接就过了这个知识点。
以下就是高数中需要用到的高中的知识：一、集合论A∪B，称A并B，即子集A中的元素加上子集B的元素所得的元素。
A∩B，称A交B，即子集A与子集B中共同的元素。
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ4.倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2αtan2α=2tanα1−tan2α5.半角公式(sin α2)2=1−cosα2(cos α2)2=1+cosα26.诱导公式奇变偶不变（对于π2而言），符号看象限（对于整个括号而言）。
一全正，二正弦，三两切，四余弦。
（对于正号而言）sin(2kπ+α)=sinα sin(π+α)=−sinαcos(π2−α)=sinαtan(π2−α)=cotαcot(π2−α)=tanα7.三角形记忆法 8.万能替换公式sin α=2tan α21+tan 2αcos α=1−tan 2α21+tan 2α2 tan α=2tan α21−tan 2α2三、基本不等式⑴a 2+b 2≥2ab由此不等式得出其它不等式：(a +b)2≥4aba 2+b 2≥(a +b)22⑵a +b 2≥√ab 由此不等式得出其它不等式：ab ≤(a +b 2)2ab ≤a 2+b 22(a +b 2)2≤a 2+b 22 a b +b a≥2 (ab >0) √a 2+b 22≥a +b 2≥√ab ≥21a +1b sin αcos αtan αcot αsec αcsc α1 (1) 对角连接乘积为1，例:sin α∙csc α=1(2) 六边形每个端点都等于相邻两端点乘积，例：sin α=tan α∙cos α(3) 阴影三角形中，上两端点平方和等于下端点平方（包括中间的1点），例:sin 2α+cos 2α=12,tan 2α+12=sec 2α。
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2 5 3 2
4
x
y=cosx
y
-3
-4 -7 2
-5
2 -2
- -3 2
-2
1
o
-1
2
3 2
2
3 5 2
7
2 4
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
（3）反三角函数的相互关系
arcsin x arcsin(x) arccos x arctan x
其图形见图 1-3。
图 1-1
图 1-2 6
图 1-3
在 工 程 中 ， 常 以 无 理 数 e ＝ 2.718281828 … 作 为 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 底 ， 并 且 记
e x exp x，log e x ln x ，而后者称为自然对数函数。
对数运算： log a 1 0 ， log a a 1 ， log a xy log a x log a y ，
y
max{1,
x2
,
x3}
1
1 x 1；
x3
x 1
⑤狄利克雷函数：
y
D(x)
1 0
x为有理数
。狄利克雷函数无法描绘出图像。
x为无理数
9
Pn Ann n! n(n 1)(n 2)3 2 1
（3）组合
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
（
C
k n
也记作
n k
）
13．二项式定理与多项式定理 二项式定理：
n
(a b)n
Cn0 a nC1 na源自n1bC2 n
a
n2
b
2
C
n1 n
ab
n1
C
n n
b
n
C
k n
a
nk
b
k
k 0
y cot x 、正割函数 y secx 和余割函数 y cscx 。其中正弦、余弦、正切和余切函数
的图形见图 1-4。
图 1-4
（ⅴ）反三角函数
反三角函数主要包括反正弦函数 y arcsin x 、反余弦函数 y arccosx 、反正切函数 y arctanx 和反余切函数 y arc cot x 等．它们的图形如图 1-5 所示。
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2
5．倍角公式
sin 2 2sin cos 2 tan 1 tan2
1
cos 2
cos2
sin 2
2 cos2
1
1
2sin 2
1 1
tan 2 tan 2
tan 2 2 tan 1 tan2
高等数学 预备知识
1．不同三角函数间的关系
tan sin cos
cot cos sin
sec 1 cos
csc 1 sin
sin 2 cos2 1
sec2 tan2 1
csc2 cot2 1
2．加法公式（注意“ ”与“ ”）
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan(
)
tan tan 1 tan tan
cot( ) cot cot 1 cot cot
3．和差化积
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
2
cos cos 2cos cos
(1 x) 1 x ( 1, x 0)
（3）某些重要不等式
① a2 b2 2ab ， ab 1 (a2 b2 ) ； 2
4
②
1 (a b) ab 2
，
1 n
(a1
a2
an ) n a1 a2
an
；
（ a 0,b 0, ai 0,i 1, 2, , n ）
③ | a | | b || a b || a | | b | ，
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为奇数)
11．不等式 （1）有关绝对值的不等式
| a b || a | | b | | a | | b || a b || a | | b |
| a b k || a | | b | | k | （
| a1 f1(x) a2 f2 (x) an fn (x) || a1 || f1(x) | | a2 || f2 (x) | | an || fn (x) |
a1 a2 an a12 a22 an2
n
n
n
a1a2 an
a1 a2 an n
n
n
n
( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) （柯西不等式）
y
2
2
0 y
反正切 若 x tan y ，则 y arctanx 反余切 若 x cot y ，则 y arc cot x
x x
y
2
2
0 y
（2）图像
（附加）三角函数的图像
2
y=sinx
y
-4 -7 -3 2
-5
2 -2 -3 - 2
-2 1 o
-1
2
3
7
2
2
6．半角公式
sin 1 cos
2
2
cot 2 cos2 1 2 cot
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos
cot 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos
（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
sin x x tan x (0 x ) 2
cosx sin x 1 (0 x ) x
e x 1 x (x 0)
ex 1
(x 1, x 0)
1 x
ln x x 1 (x 0)
x ln(1 x) x (x 1, x 0) 1 x
a 2 b2 (a b)(a b)
a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为正整数)
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为偶数)
多项式定理： (a b k)n
pqsn
n! p!q!
a s!
p
b
q
k
s
14．指数运算
am an amn
am amn an
(a m )n a mn
(ab)m a mbm
5
a m b
am bm
15．对数运算
log a 1 0
m
a n n am (n a )m
am 1 am
函数表达式，则称此函数为分段函数。 常见函数大家庭中主要成员：（常见的几种分段函数）
x x0
①绝对值函数：
y
|
x
|
0
x0 ；
x x 0
1 x0
②符号函数：
y
sgn
x
0
x0 ；
1 x 0
③取整函数： y x n, n x n 1， n Z ；
x2 x 1
④最大（小）值函数：例如
7．降幂公式
sin 2 1 (1 cos2 ) 2
cos2 1 (1 cos2 ) 2
8．反三角函数
（1）反三角函数的定义域与主值范围
函数
主值记号
定义域
主值范围
反正弦 反余弦
若 x sin y ，则 y arcsin x 若 x cos y ，则 y arccosx
1 x 1 1 x 1
a0 1(a 0)
log a a 1
log a xy log a x log a y
log a
x y
log a
x log a
y
log a xb b log a x
对数恒等式： log a a x x
aloga x x
换底公式： log a
y
log b log b
y a
log a b log b a 1
2 4 6 2n n(n 1)
1 3 5 (2n 1) n2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 n3 (1 2 3 n)2
10．乘法与因式分解
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
数学中常见基本初等函数和初等函数： ①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这 6 类函数称为基本初等函数。
（ⅰ）幂函数： y xa a R
它的定义域和值域依 a 的取值不同而不同，但是无论 a 取何值，幂函数在 x 0,内
总有定义。当 a N 或 a 1 ，n N 时，定义域为 R 。 2n 1
7
图 1-5
（ⅵ）常量函数为常数 y c （ c 为常数）
定义域为 ， ，函数的图形是一条水平的直线，如图 1-6 所示。
图 1-6
②初等函数：通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成 的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。
例如， y lnsin x 4，y e2x sin3x 1，y 3 sin x ，…都是初等函数。初等函