高等数学考研大汇总系列之一预备知识
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品
2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）)解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。
高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备
大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
考研随身知识点总结
考研随身知识点总结一、高等数学1. 数列与级数(*1) 等差数列：通项公式An=A1+(n-1)d，前n项和Sn=(A1+An)n/2(*2) 等比数列：通项公式An=A1*q^(n-1)，前n项和Sn=A1*(q^n-1)/(q-1)(*3) 收敛级数：若∑(an)收敛，则an趋于0。
计算收敛级数时，要考虑首项、末项、公比等因素。
(*4) 泰勒级数：函数f(x)在点x=a处的泰勒级数展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+…+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)，其中o((x-a)^n)是n次小量。
2. 微分与积分(*1) 微分：导数f'(x)=limΔx→0(f(x+Δx)-f(x))/Δx(*2) 积分：定义积分J(Δx)=f(x)Δx，当Δx趋于0时，J(Δx)极限存在时，积分∫f(x)dx 存在。
(*3) 常见函数的导数与积分a) 指数函数：f(x)=e^x，f'(x)=e^x，∫e^xdx=e^x+Cb) 对数函数：f(x)=ln(x)，f'(x)=1/x，∫(1/x)dx=ln|x|+Cc) 三角函数：f(x)=sin(x)，f'(x)=cos(x)，∫cos(x)dx=sin(x)+C3. 空间解析几何(*1) 直线的方程：a) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0b) 对称式方程：(x-x₀)/l=(y-y₀)/m=(z-z₀)/n(*2) 平面的方程：a) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0b) 三点式方程：[x-x₁,y-y₁,z-z₁]·[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]=0(*3) 空间曲面的方程a) 椭球面：x²/a²+y²/b²+z²/c²=1b) 椭圆锥面：x²/a²+y²/b²-z²/c²=1c) 双叶双曲面：x²/a²-y²/b²-z²/c²=1d) 单叶双曲面：x²/a²-y²/b²+z²/c²=1二、线性代数1. 矩阵(*1) 矩阵的基本概念：行数、列数、转置矩阵、单位矩阵、零矩阵等。
考研 高等数学必看知识点
考研高等数学必看知识点对于准备考研的同学来说，高等数学是一门至关重要的科目。
高等数学的知识点繁多且复杂，需要我们花费大量的时间和精力去理解和掌握。
在这篇文章中，我将为大家梳理一些考研高等数学中必看的知识点，希望能对大家的备考有所帮助。
一、函数、极限与连续函数是高等数学的基础，理解函数的概念、性质和分类是学好高等数学的第一步。
要掌握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，以及常见的函数类型，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
极限是高等数学中的核心概念之一，它贯穿了整个高等数学的学习。
要熟练掌握数列极限和函数极限的定义、性质和计算方法。
极限的计算方法包括四则运算、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式等。
连续是函数的一个重要性质，要理解函数在一点连续的定义，以及连续函数的性质，如最值定理、介值定理、零点定理等。
二、一元函数微分学导数是微分学的核心概念，要掌握导数的定义、几何意义和物理意义，以及基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则。
能够熟练运用导数求函数的单调性、极值、最值、凹凸性和拐点。
微分是导数的一种应用，要理解微分的定义和几何意义，掌握微分的基本公式和运算法则，能够用微分进行近似计算和误差分析。
中值定理是微分学中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
要掌握这些定理的条件和结论，并能够运用它们解决相关的问题。
三、一元函数积分学不定积分是积分学的基础，要掌握不定积分的定义、性质和基本积分公式，能够熟练运用换元积分法和分部积分法求不定积分。
定积分是不定积分的应用，要理解定积分的定义、几何意义和物理意义，掌握定积分的基本性质和计算方法，能够用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
反常积分是定积分的拓展，要掌握反常积分的定义、收敛性的判断和计算方法。
四、多元函数微积分学多元函数的概念和性质是多元函数微积分学的基础，要理解多元函数的定义域、值域、偏导数、全微分等概念，掌握多元函数的连续性和可微性的判断方法。
数学一考研必备知识点总结
数学一考研必备知识点总结数学一考研是考研数学的一个科目，它的题目和知识点覆盖范围很广，包括高等数学、线性代数、概率统计和数学分析等内容。
在备考数学一考研的过程中，掌握一定的知识点是非常重要的。
本文将对数学一考研的必备知识点进行总结，希望能对考生们有所帮助。
一、高等数学高等数学是考研数学一的重要基础知识，包括微积分、常微分方程、多元微积分等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：1.1 微积分微积分是高等数学的基础，包括极限、导数、积分、微分方程和无穷级数等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用函数的导数和积分公式。
1.2 常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用，包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性常微分方程和非线性常微分方程等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握常微分方程的基本概念、解法和应用，特别是一阶线性常微分方程和二阶线性常微分方程的解法。
1.3 多元微积分多元微积分是微积分的一个重要拓展，包括重积分、曲线积分、曲面积分和梯度、散度和旋度等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握多元微积分的基本概念、性质和运算方法，以及常用的重积分和曲线积分公式。
二、线性代数线性代数是考研数学一的另一个重要基础知识，包括向量空间、线性方程组、矩阵和特征值等内容。
学生在备考数学一考研的时候，需要掌握以下几个方面的知识点：2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础，包括向量的概念、线性相关和线性无关、基和维数、子空间和直和等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握向量空间的基本概念和性质，以及子空间和直和的相关定理和应用。
2.2 线性方程组线性方程组是线性代数的一个重要应用，包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组、解的结构和解的存在唯一性等内容。
在备考数学一考研的过程中，学生需要掌握线性方程组的基本概念、解的性质和解的求法，特别是线性方程组的解的结构和解的存在唯一性的定理和应用。
考研数一归纳知识点
考研数一归纳知识点考研数学一（高等数学）是考研数学中难度较大的科目，它涵盖了高等数学的多个重要领域。
以下是考研数学一的归纳知识点：1. 函数、极限与连续性：- 函数的概念、性质和分类。
- 极限的定义、性质和求法。
- 函数的连续性及其判断方法。
2. 导数与微分：- 导数的定义、几何意义和物理意义。
- 基本导数公式和导数的运算法则。
- 高阶导数的概念和求法。
- 微分的概念和微分中值定理。
3. 积分学：- 不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
- 换元积分法和分部积分法。
- 定积分的应用，如面积、体积和物理量的计算。
4. 级数：- 级数的概念、收敛性判断。
- 正项级数的收敛性判断方法，如比较判别法和比值判别法。
- 幂级数和泰勒级数。
5. 多元函数微分学：- 多元函数的概念、偏导数和全微分。
- 多元函数的极值问题和条件极值问题。
6. 重积分与曲线积分：- 二重积分和三重积分的概念和计算方法。
- 对坐标的曲线积分和曲面积分。
7. 常微分方程：- 一阶微分方程的解法，如可分离变量方程、线性微分方程等。
- 高阶微分方程的解法，如常系数线性微分方程。
8. 解析几何：- 空间直线和平面的方程。
- 空间曲线和曲面的方程。
9. 线性代数：- 矩阵的运算、行列式、特征值和特征向量。
- 线性空间和线性变换的概念。
- 线性方程组的解法。
10. 概率论与数理统计：- 随机事件的概率、条件概率和独立性。
- 随机变量及其分布，包括离散型和连续型随机变量。
- 数理统计中的参数估计和假设检验。
结束语：考研数学一的知识点广泛且深入，要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
因此，考生在复习过程中需要注重理解、练习和总结，以提高解题能力和应试技巧。
希望以上的归纳能够帮助考生更好地准备考研数学一的考试。
【考研数学】01.考研数学预备知识初高中知识点01讲义
预备知识轻松学一、函数基础知识1.函数的概念设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，通常简记为D x x f y ∈=),(，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域，{}D x x f y y D f ∈==),(|)(称为值域，f 称为对应法则。
2.函数的性质（1）单调性任取21x x <，有)()(21x f x f <，则函数)(x f 单调递增；任取21x x <，有)()(21x f x f >，则函数)(x f 单调递减。
（2）周期性若)()(x f T x f =+，则()f x 是以T 为周期的周期函数。
（3）奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称.如果对其定义域D 内的任意一点x ，都有()()f x f x -=（或()()f x f x -=-），则称()f x 是一个偶函数（或奇函数）。
（4）有界性若M x f ≤)(，则函数有上界；若m x f ≥)(，则函数有下界；若0>M，对于I x ∈∀，有⇒≤M x f )(函数有界。
3.复合函数和反函数（1）复合函数设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x g u =的定义域为g D ，且其值域f g D D g ⊂)(，则由下式确定的函数[]g D x x g f y ∈=,)(称由函数)(x g u =与函数)(u f y =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量。
（2）反函数设函数)(:D f D f →是单射，则它存在逆映射D D f f →-)(:1，称此映射1-f 为函数f 的反函数，即：对每个)(D f y ∈，有唯一的D x ∈，使得y x f =)(，于是有)(1y f x -=.由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，所以D x x f y ∈=),(的反函数也常记为)(),(1D f x x f y ∈=-.二、常用函数1．基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数.以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质：名称及表达式定义域图形（举例）特性幂函数y x α=随α而不同，但在(0,)+∞中都有意义经过点(1,1)；在第一象限内当0>α时，为增函数；当0<α时，为减函数指数函数xy a =(0,1)a a >≠(,)-∞+∞图象在x 轴上方，过点(0,1)．当01a <<时，为减函数；当1a >时，为增函数对数函数log a y x=(0,1)a a >≠(0,)+∞图像在y 轴的右侧；过点(1,0)；当01a <<时，为减函数；当1a >时为增函数三角函数正弦函数sin y x=(,)-∞+∞以2π为周期；奇函数，图形关于原点对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1sin 1x -≤≤余弦函数cos y x=(,)-∞+∞以2π为周期；偶函数，图形关于y 轴对称；在两直线1y =与1y =-之间，即1cos 1x -≤≤正切函数tan y x=(21)2x k π≠+(0,1,2,)k =±±⋅⋅⋅以π为周期；奇函数；在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；值域为R反三角函数反正弦函数arcsin y x=[1,1]-单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦反余弦函数arccos y x=[1,1]-单调减少；值域：[0,]π反正切函数arctan y x=(,)-∞+∞单调增加；奇函数；值域：,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.3．分段函数12(),()(),g x x I f x h x x I ∈⎧=⎨∈⎩；(1)符号函数：1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；(2)绝对值函数：(),()0()(),()0f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨-<⎩；(3)取整函数：[()]f x ：不超过()f x 的最大整数值；(4)最值函数：{}(),()()max (),()(),()()f x f x g x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩；{}(),()()min (),()(),()()g x f x g x f x g x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩.三、常用公式1．代数（1）幂函数公式1(0)aa x x x-=≠，a b a bx x x +⋅=，()a k ak x x =，a b a b x x =.（2）对数公式ln ln ln (0),(0)x x v v u e e x x u e u ==>=>ln ln ln()a b ab +=，ln ln lnaa b b-=,ln ln k a k a =，其中0,0a b >>.（3）一元二次方程（2(0)y ax bx c a =++≠）图像：若0a >，开口向上；若0a <，开口向下；对称轴为2bx a-=。
考研数学高数重要知识点总结
考研数学高数重要知识点总结职高一数学知识点总结篇一一、求导数的方法（1）基本求导公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的导数设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即二、关于极限1、数列的极限：粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。
记作：=A。
如：2、函数的极限：当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作三、导数的概念1、在处的导数。
2、在的导数。
3、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=（）A—1B—2C1D四、导数的综合运用（一）曲线的切线函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。
具体求法分两步：（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。
职高一数学知识点总结篇二一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性。
3、集合的表示：(1){？}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}(2)。
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
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高等数学考研大汇总系列之一预备知识————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章 预备知识 一， 函数1 函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。
⑵近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。
记：()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。
()x f 表示函数f 在点x 处的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){}B A x x f A f ⊆∈=称为函数的值域，记为：()f R 。
解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。
函数的本质就是对应关系。
2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
解析：⑴常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。
②)(*2N n x y n∈=定义域{}0≥x x 。
③)(N n x y n∈=-定义域{}0≠x x 。
④xa y log =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。
⑤x y tan =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ。
⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。
⑦x y arcsin =定义域{}11≤≤-x x 。
⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。
⑨x y sec =定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ。
⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。
⑾某些实际问题要注意函数的实际意义。
⑿求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。
⑵在研究函数时要树立定义域优先的原则。
⑶注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -=x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成而无定义区间。
（结合幂级数的收敛域和收敛区间）⑷函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。
④均值定理法。
⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。
⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。
）⑨形如)0(>+=k xkx y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，单减区间为(]k ,0，单增区间为[)+∞,k 其分界点为()k k 2,至于x <O 的情况可根据奇偶性解决。
3 函数的表示法：⑴具体函数的表示法：①表格法（清晰，直观，精确） ②图象法（形象，明显，易比较） ③解析法，公式法（便于分析与计算）⑵抽象函数的表示方法：①坐标法()y x ,（概括）②叙述法（语言描述具有启发性） 4 函数的性质（定义域范围内，假设性定义）：㈠界性：①有界性：如果存在正数M 使得()M x f ≤对任意ｘ∈Ｘ都成立，则称函数()x f 有界；若()M x f ≤则()x f 有上界，若()M x f ≥则()x f 有下界。
既有上界又有下界称为有界。
②无界性：对于任给的正数Ｍ，总存在X x ∈使得()M x f >则称函数()x f 无界。
即：对任意给定一个正数Ｍ都不可能是()x f 的界，但相对于每一部分却是有上或下界的。
㈡单调性：设函数R I f →:，对于任意的．．．∈21,x x I （代数角度）①如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f ≤(或()()21x f x f ≥)则称()x f 在I 上是单调增(减) 函数(单调函数)。
②如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f < (或()()21x f x f >)则称()x f 在I 上是严格增(减)函数(严格单调函数)。
解析：与导数的关系：设∈21,x x []b a ,那么()()2121x x x f x f -->0(或<0)⇔()x f 在[]b a ,上是增(减) 函数,几何属性: 增(减) 函数图象上任意两点连线的斜率．．．．．．．．．大于(小于)0。
㈢奇偶性:设对于任意的x 属于A 有-x 属于A 如果f 在A 上定义并且对于任意的x 属于A 满足()x f - =()x f -（()()x f x f =-)则称f 是一个定义在A 上的奇(偶)函数。
解析：⑴定义域关于原点对称是奇偶性存在的必要条件。
⑵奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称。
（利用其画图象） ⑶如果()x f 是奇函数,那么()x f 在关于原点对称的区间上的单调性相同,若为偶函数,那么()x f 在关于y 轴对称的区间上的单调性相反。
⑷一般情况，证明定义在R 奇函数时要考虑特殊点()0,0即:()00=f ；此外若函数()x f 满足()()()y f x f y x f +=+，则函数()x f 是奇函数。
⑸可对关系等式进行四则运算即：①奇函数()()0=-+⇔x f x f 或()()1-=-x f x f 。
②偶函数⇔()()0=--x f x f 或()()1=-x f x f ，这样的操作对于某些函数是行之有效的。
⑹奇，偶函数的运算性质：①几个奇函数的代数和为奇函数，几个偶函数的代数和为偶函数。
②几个偶函数的积为偶函数。
奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数。
③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
④若()x f 是奇函数则()dt t f x⎰0是偶函数；若()x f 是偶函数则()dt t f x⎰0是奇函数。
㈣周期性：设有函数R A f →:如果存在常数0≠T 使对于任意的x ∈A 有A T x ∈+并且()()x f T x f =+则称f 是定义在A 上的周期函数，并且Ｔ是它的一个．．周期。
解析：⑴从()()x f T x f =+来看是自变量x 本身（即：单位x ）加的常数。
⑵周期函数的周期不止一个，若T 是周期则()Z k kT ∈一定也是周期。
⑶在周期函数()x f 中T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则kT x +也属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集（无界的）。
⑷如果周期函数中存在一个最小的正数就把这个最小的正数叫做最小正周期（或基本周期），但并不是每个周期函数都有最小正周期，如常数函数。
⑸周期函数的定义域不一定是实数集R .如x y tan =。
⑹若T 是()x f 的周期则()b ax f +(R b a ∈≠,0)其周期为aT。
⑺如果函数是几个周期函数的和且仍为周期函数此函数的周期为:分子是几个周期的分子的最小公倍数,分母是几个周期的分母的最大公约数。
⑻如何求出周期T :对定义中()x f =()T x f +变形为()x f -()T x f +=0或()T x f +-()x f =0将T 看作末知量求解.若解出的T 依赖于自变量x 或0则()x f 不是周期函数。
若可以求出不依赖于x 的非零常数解(一般都不唯一)其中最小的正数解．．．．．．就是所求的周期。
⑼若()x f 的周期是T 则()x f /的周期也是T 。
5 常用的几类函数关系:⑴反函数:假设函数y=()x f 作为映射()()f R f D f →:我们将f 的逆映射1-f叫做y =()x f 的反函数.解析：⑴单调性：原函数与反函数在其相对应的定义域内具有相同的单调性。
⑵奇偶性：原函数是奇函数则其反函数是奇函数，原函数是偶函数则一般不存在反函数。
⑶互换法：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
⑷对称性：原函数与反函数的图象关于直线x y =对称。
⑸还原性：设原函数的定义域为Ａ，值域为Ｂ，则：①()[]()B x x x f f ∈=-1②()[]()A x x x f f∈=-1⑹连续性：如果函数()x f 在区间上严格单调且连续，那么它的反函数也在对应的区间上严格单调且连续。
⑺反函数存在定理：严格单调的函数存在反函数。
（一一映射的函数）⑵复合函数：假设函数()u f y =的定义域为()f D ，值域为()f R ，而函数()x g u =的定义域为()g D 值域为()()f D g R ⊆则对任意的ｘ∈()g D 通过()x g u =有唯一．．的()()f D g R u ⊆∈再通过()u f y =又有唯一．．的y ∈()f R ，这样对任意ｘ∈()g D 通过ｕ有唯一．．的ｙ∈()f R 与之对应，因此我们称这个函数为()u f y =与()x g u =的复合函数。
记作：()()()[]()g D x x g f x g f y ∈=,:ο并称ｕ为中间变量，其中称()x g u =为内层函数，()u f y =外层函数。
解析：⑴单调性：内层函数与外层函数的增减性相同时，整个复合函数为增函数。
内层函数与外层函数的增减性相异时整个复合函数为减函数。
⑵奇偶性：：内层函数与外层函数同为奇函数时，整个复合函数才为奇函数，其余全部为偶函数。
⑶显隐函数：①显函数：我们把用仅含自变量ｘ的解析式()x f 直接表示出来的函数()x f y =称为显函数。
②隐函数：如果ｘ与ｙ的对应关系是由方程()0,=y x F 给出的，则称ｙ是ｘ的隐函数。
⑷分段函数：在自变量不同变化范围内对应法则用不同的式子来表示的函数。
有些分段函数并不一定要分段，分段只是为了更加明确而已。
6 常用函数及其性质⑴第一类：初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数）：①常数函数：C y =。
无增减性，无最小正周期，平行于ｘ轴的水平直线。
②线性函数（一次函数）：b kx y +=。
ｋ为斜率，ｂ为纵截距。
③二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y （标准型）a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（顶点坐标型。
其顶点坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）()()21x x x x a y --=（横轴截距型。
21,x x 横轴交点且()ac b ax x 4221-=∆∆=）。
重要特性：ⅰ。
()()()a f f f 20211=--+ ⅱ。