2020版高考数学大一轮复习第十一章数学建模与数学探究(自主阅读)第1节数学建模与数学探究讲义理含解析新人
(浙江专用)202x版高考数学新增分大一轮复习 第十一章 概率随机变量及其分布 11.2 离散型随机
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.(2018·金华模拟)若随机变量η的分布列如下：
完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为_2_2_0___. 解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故 P(X＝4)＝CC32C31219＝22270.
123456
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
1.离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝nna＋1(n＝1，2，3，4)，其中
2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列.
解 依题意知η的值为0，1，4，9，16.
列表为
X 0123 4
X2 0 1 4 9 16
从而η＝X2的分布列为
η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
思维升华
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证 每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机 变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
2.两点分布 如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布 . 其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
3.离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
【人教A版】2020年高考数学一轮总复习 第十一章 第1节 数学建模与数学探究
【课题研究】
课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需 教师要组织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献 路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述 建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研 结果，开展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业 程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.
6.考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用，重新考虑问题2 7.如果一座电视塔(例如300 m高)不能覆盖本市，请设计一个多塔 8.至少发射几颗地球定点的通讯卫星，可以使其信号覆盖地球？ 9.如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，请 卫星定点位置或卫星轨道. 10.在网上收集资料，了解有关“北斗卫星导航系统”的内容， 内容的综述，并发表对这件事的看法.
【实际意义】 数学建模的实际意义 1.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机 程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里 的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数 题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型 (如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在 拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替 中的现场实验、物理模拟等手段.
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第1节 数学建模与数学探究
【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题 模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发 分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模 问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一 是高中阶段数学课程的重要内容.
最新版高考数学文北师大版大一轮复习讲义第十一章 11.1.docx
1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(A)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (6)两互斥事件的概率和为1.( × )1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本事件的个数为5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 答案 B解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．题型一 事件关系的判断例1 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③(2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 (1)C (2)A (3)A解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ＋B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件．其中，真命题是()A．①②④B．②④C．③④D．①②答案 B解析对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A、B 为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．题型二 随机事件的频率与概率例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．(2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200＝0.2.1 000(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有 P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ＋B ＋C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.22．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]1．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56 B.25 C.16 D.13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④答案 B解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．3．(2016·安阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5答案 C解析“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.4．(2016·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.5．(2016·蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3答案 C解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45答案 D解析设区间[25,30)对应矩形的高为x，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x)×5＝1，解得x＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45.7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．答案③②①8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 10．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________． 答案 9解析 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．解记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k之间彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B＝A8＋A9＋A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率． 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}， 则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2) ＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋412＋212＝1112.方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝1－P (A 3＋A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4， 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.。
高三数学一轮复习 第11章第1课时课件
两个计数原理的综合应用
对于某些复杂的问题，有时既要用分类计数原理， 又要用分步计数原理，重视两个原理的灵活运用， 并注意以下几点： (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理 解题目中所讲的“事情”是什么，完成这件事情 的含义和标准是什么． (2)明 确 完 成 这 件 事 情 需 要 “ 分 类 ” 还 是 “ 分
2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律．
从近两年的高考试题来看，分类加法计数 原理和分步乘法计数原理是考查的热 点．题型为选择题、填空题，分值在5分左 右，属中档题．两个计数原理较少单独考 查，一般与排列、组合的知识相结合命 题．
(2010·广东卷)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大
楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每
个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5
个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪
烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一 步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方 法．由分步乘法计数原理，得到第二象限点 的个数是 3×2＝6.
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a ＝b.因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素， 共有 6 种取法，即在直线 y＝x 上的点有 6 个．由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－ 6＝30(个)．
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型课件 文 苏教版
题型三 古典概型与统计的综合应用 例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况， 随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直 方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…， [80,90)，[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果， 其中点数相同的结果共有6个， 所以点数不同的概率 P＝1－6×6 6＝56.
题型分类 深度剖析
题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做 投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四 面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出： ①试验的基本事件； 解答
跟踪训练2 (1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4
种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花 2
坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_3__. 答案 解析
从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛， 有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红 白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫 色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)， (黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝46＝23 .
§11.2 古典概型
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
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知识梳理
高三数学一轮复习 第十一章 第2课时 古典概型课件
3．概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－ P(A∩B) 公式使用中要注意： (1)公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝∅时， A、B 互斥，此时 P(A∩B)＝0，∴P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)； (2)要计算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要 的是把握事件 A∩B，并求其概率；
(3)记“至少摸出 1 个黑球”为事件 B，则事 件 B 包含的基本事件为 ab，ac，ad，ae，bc， bd，be，共 7 个基本事件． 所以 P(B)＝170＝0.7. 答：至少摸出 1 个黑球的概率为 0.7.
求较复杂的古典概型概率
对于较复杂事件的概率，关键是理解题目的 实际含义，把实际问题转化为概率模型，用 分析法、列表法求出基本事件的总数，必要 时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和， 或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥 事件的概率加法公式或对立事件的概率公式 求出所求事件的概率．
(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
从近两年的高考试题来看，古典概型是高考 的热点，可在选择题、填空题中单独考查， 也可在解答题中与统计或随机变量的分布列 一起考查，属容易或中档题．以考查基本概 念、基本运算为主．
(本小题满分12分)(2010·天津卷)有编号为A1， A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位： cm)，得到下面数据：
解析： 由集合 P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0} 可得 P＝{－6，－4,0}， 由 Q＝{y|y＝2n－1,1≤n≤2，n∈N*}，可得 Q ＝{1,3}， M＝P∪Q＝{－6，－4,0,1,3}． 因为点 A(x′，y′)的坐标 x′∈M，y′∈M， 所以满足条件的 A 点共有 5×5＝25 个． (1)正 好在第 三象限的 点有 (－ 6，－ 6)， (－ 4， －6)，(－6，－4)，(－4，－4)4 个点．
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版(课件+讲义+精练)第十一章 11.2
§11.2几何概型1.几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量.3.随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值.概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × ) 题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13. 3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13， ∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，。
高考数学大一轮复习 第十一章专题探究课六学案 理 新人教B版
专题探究课六高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；3.离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题形式考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】(2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116 （x i －x ）2＝116（∑i ＝116x 2i －16x 2）≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4， 0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)由题可知抽取的一个零件的尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸落在 (μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6).因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈1－0.959 2＝0.040 8.X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.探究提高 1.解第(1)题的关键是认清随机变量X 服从二项分布，并能够应用E (X )＝np 求解，易出现的失误是由于题干较长，不能正确理解题意.2.解第(2)题的关键是理解正态分布的意义，能够利用3σ原则求解，易出现的失误有两个方面，一是不清楚正态分布N (μ，σ2)中μ和σ的意义及其计算公式，二是计算失误. 【训练1】 (2018·沈阳调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124.(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 概率统计与函数的交汇问题(教材VS 高考)高考数学试题中对概率统计的考查有这样一类试题，题目非常新颖，又非常符合生活实际，这就是概率统计与函数的交汇问题，一般是以统计图表为载体，离散型随机变量的期望是某一变量的函数，利用函数的性质求期望的最值.【例2】 (满分12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？教材探源 本题第(2)问需对酸奶的需求量n 进行分类讨论，以确定利润的最大值，这种分类讨论的思想源自于人教版教材选修2－3 P63例3.满分解答 解 (1)由题意知，X 所有的可能取值为200，300，500，1分(得分点1) 由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0.2，2分(得分点2) P (X ＝300)＝3630×3＝0.4，3分(得分点3) P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.4分(得分点4)因此X 的分布列为P 0.20.40.45分(得分点5)(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.8分(得分点6)当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.11分(得分点7)所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.12分(得分点8)❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1分，也是每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此.❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个概率值的计算要正确，否则不得分.1.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.2.概率统计与函数交汇问题的解题步骤第一步：通读题目，仔细审题，理解题意；第二步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围；第三步：构建函数模型，写出函数的解析式；第四步：利用函数模型，求解目标函数的最值或最优解.【训练2】(2018·青岛模拟)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解全市市民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由；(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨.当x＝3时，估计该市居民的月平均水费(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).解(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)∵前6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，∴2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.(3)设居民月用水量为t吨，相应的水费为y元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0<t ≤3，3×4＋（t －3）×8，t >3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0<t ≤3，8t －12，t >3. 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下： 组号123456 7 8 9 分组 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8，10)[10，12)[12，16) [16，20) [20，24] 频率0.040.080.150.200.260.150.060.040.02根据题意，该市居民的月平均水费估计为1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元).热点三 概率统计与统计案例的交汇问题近几年的高考数学试题对统计案例的考查一般不单独命题，而是与概率、随机变量的数学期望交汇命题，高考对此类题目的要求是能根据给出的或通过统计图表给出的相关数据求线性回归方程，了解独立性检验的思想方法，会判断两个分类变量是否有关.【例3】 (2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg ，新养殖法的箱产量不低于50 kg ，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2解 (1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”.由题意知，P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C ). 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466χ2＝200×（62×66－34×38）100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量的频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为 (0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5， 箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35 (kg).探究提高 1.解答此类问题的关键是读懂所给的统计图表，从统计图表中得解题所需的相关数据，以频率为概率，结合互斥事件、对立事件的概率求解.2.应用独立性检验的方法解决问题，要特别注意计算χ2时计算量大，小心出错. 【训练3】 (2018·梅州模拟)中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分油井中的几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号Ⅰ 1 23456坐标(x ，y )(km) (2，30) (4，40) (5，60) (6，50) (8，70) (1，y ) 钻探深度(km) 2 4 5 6 8 10 出油量(L)407011090160205(1)1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y ＝6.5x ＋a ，求a ，并估计y 的预报值；(2)现准备勘探新井7(1，25)，若通过1，3，5，7号井计算出的b ^，a ^的值(b ^，a ^精确到0.01)相比于(1)中b ，a 的值之差都不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y )，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？(3)设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井,那么在原有6口中任意勘探4口井,求勘探优质井数X 的分布列与数学期望. 解 (1)因为x ＝5,y ＝50.回归直线必过样本中心点(x ,y ),则a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5,故回归直线方程为y ＝6.5 x ＋17.5.当x ＝1时, y ＝6.5＋17.5＝24,即y 的预报值为24. (2)因为x ＝4, y ＝46.25.a ^＝y －b ^x ＝46.25－6.83×4＝18.93.即b ^＝6.83，a ^＝18.93，b ＝6.5，a ＝17.5. b ^－bb ≈5%，a ^－a a≈8%，均不超过10%， 因此可以使用位置最接近的已有旧井6(1，24).(3)由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井， ∴勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4， P (X ＝2)＝C 24C 22C 46＝25，P (X ＝3)＝C 34C 12C 46＝815，P (X ＝4)＝C 44C 02C 46＝115.∴X 的分布列为：X 2 3 4 P25815115E (X )＝2×25＋3×815＋4×115＝83.1.(2018·临沂模拟)宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销量前5名的五个品牌奶粉的销量(单位：罐)，绘制出如下的管状图：(1)根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名； (2)分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量(仅指这5个品牌奶粉的总销量)的百分比(百分数精确到个位)，并将数据填入如下饼状图中的括号内；(3)试以(2)中的百分比作为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记X 为被采访中购买飞鹤奶粉的人数，求X 的分布列及数学期望.解 (1)该超市这两年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉. (2)(3)由(2)知，购买飞鹤奶粉的概率为14，X 的可能取值为0，1，2.则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＝916，P (X ＝1)＝C 12×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝38，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116.X 的分布列为X 0 1 2 P91638116故E (X )＝0×916＋1×38＋2×116＝12.2.(2018·佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解 (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3. P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15.应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3. P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127；P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝627；P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝1227； P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为E (η)＝0×127＋1×627＋2×1227＋3×827＝2.(或因为η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (η)＝3×23＝2) (2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，D (η)＝3×23×13＝23.所以D (ξ)<D (η).综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大.3.(2018·合肥模拟)美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元.假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：(1)求百度外卖公司的“骑手”一日工资y (单位：元)与送餐单数n 的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由.解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100，n ≤45，n ∈N +，6n －170，n >45，n ∈N +.(2)①根据条形图，当送单数为42，44时，X ＝100，频数为10＋10＝20，频率为20100＝0.2；当送单数为46时，X ＝100＋(46－45)×6＝106，频数为30，频率为30100＝0.3；当送单数为48时，X ＝100＋(48－45)×6＝118，频数为40，频率为40100＝0.4；当送单数为50时，X ＝100＋(50－45)×6＝130，频数为10，频率为10100＝0.1.故百度外卖的“骑手”一日工资X 的分布列如表所示X 100 106 118 130 P0.20.30.40.1数学期望E (X )＝100×0.2＋106×0.3＋118×0.4＋130×0.1＝112(元).②根据条形图，美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2＋44×0.4＋46×0.2＋48×0.1＋50×0.1＝45，所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70＋45＝115(元).由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去美团外卖应聘.4.(2018·沈阳模拟)以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：(1)计算该炮兵连这8周中总的命中频率p 0，并确定第几周的命中频率最高；(2)以(1)中的p 0作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；(3)以(1)中的p 0作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？(取lg 0.4＝－0.398) 解 (1)这8周总命中炮数为40＋45＋46＋49＋47＋49＋53＋52＝381，总未命中炮数为32＋34＋30＋32＋35＋33＋30＋28＝254. ∴p 0＝381381＋254＝0.6，∵5228>5330，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. (2)由题意可知X ～B (3，0.6)， 则X 的数学期望为E (X )＝3×0.6＝1.8. (3)由1－(1－p 0)n>0.99， 即1－0.4n >0.99得0.4n<0.01，∴n >log 0.40.01＝lg 0.01lg 0.4＝－2lg 0.4＝20.398≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 5.(2018·沈阳模拟)某企业有甲、乙两个分厂生产某种产品，按规定该产品的某项质量指标值落在[45，75)的为优质品.从两个分厂生产的产品中各随机抽取500件，测量这些产品的该项质量指标值，结果如下表： 指标值[25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85) [85，95](1)根据以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个分厂生产的产品的质量有差异？”(2)求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x (同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)经计算，甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差s 21＝142，乙分厂的500件产品质量指标值的样本方差s 22＝162.可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.由优质品率较高的分厂的抽样数据，能否认为该分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%(取142≈11.92)? 附注：参考数据：142≈11.92，162≈12.73.参考公式：χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4.解 (1)由以上统计数据填下面2×2列联表χ2＝1 000（400×140－100×360）2500×500×760×240≈8.772>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. (2)甲分厂优质品率＝400500＝0.8，乙分厂优质品率＝360500＝0.72，所以甲分厂优质品率高.甲分厂的500件产品质量指标值的样本平均数x ＝1500(30×10＋40×40＋50×115＋60×165＋70×120＋80×45＋90×5) ＝30×0.02＋40×0.08＋50×0.23＋60×0.33＋70×0.24＋80×0.09＋90×0.01＝60. (3)由(2)知μ＝60，σ2＝142，甲分厂的产品的质量指标值X 服从正态分布X ～N (60，142)， 又σ＝142≈11.92，则P (60－11.92<X <60＋11.92)＝P (48.08<X <71.92)＝0.682 6，P (X ≥71.92)＝1－P （48.08<X <71.92）2＝1－0.682 62＝0.158 7<0.18，故不能认为甲分厂生产的产品中，质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%. 6.(2018·河南百校联盟模拟)国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可参加一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：x 1 2 3 4 5 6 7 y58810141517经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若该分店此次抽奖活动自开业起，持续10天，参加抽奖的每位顾客抽到一等奖(奖品价值200元)的概率为17，抽到二等奖(奖品价值100元)的概率为27，抽到三等奖(奖品价值10元)的概率为47.试估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值多少元的奖品.解 (1)依题意知x ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17×(5＋8＋8＋10＋14＋15＋17)＝11，a ^＝y －b ^x ＝11－2×4＝3，则y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2x ＋3.(2)设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值X 元，则X 的分布列为X 200 100 10 P172747E (X )＝200×17＋100×27＋10×47＝4407. 由y 关于x 的线性回归方程为y ^＝2x ＋3，得x ＝8时，y ^＝19；x ＝9时，y ^＝21；x ＝10时，y ^＝23， 则此次活动参加抽奖的人数约为5＋8＋8＋10＋14＋15＋17＋19＋21＋23＝140，又140×4407＝8 800，所以估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值8 800元的奖品.。
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第节数学建模与数学探究
【内容要求】
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容. 【基本过程】
数学建模活动的基本过程如下：
数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容.
【过程解读】
掌握建模基本过程，会对实际问题进行问题分析，善于合理假设.
·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出.至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影
响.
·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素.
【实际意义】
数学建模的实际意义
.在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地.
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等)迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段.
.在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具.
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一.
.数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地.马克思说过，一门科学只有成功运用数学时，才算达到了完善的地步.展望世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期.
【课题研究】
课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告，教师要组
织开展开题交流活动，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报告研究结果，开展结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式. 【课题引例】
测量学校内、外建筑物的高度
[目的] 运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节.
[情境] 给出下面的测量任务；
()测量本校的一座教学楼的高度；
()测量本校的旗杆的高度；
()测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看到见的物体的高度.
可以每～个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题报告表，一周后上交.
测量课题报告表
项目名称：完成时间：
[要求] ()成立项目小组，确定工作目标，准备测量工具.
()小组成员查阅有关资料，进行讨论交流，寻求测量效率高的方法，设计测量方案(最好设计两套测量方案).
()分工合作，明确责任.例如，测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等.
()撰写报告，讨论交流.可以用照片、模型、等形式展现获得的成果.
根据上述要求，每个小组要完成以下工作.
()选题
本案例活动的选题步骤略去.
()开题
可以在课堂上组织开题交流，让每一个项目小组陈述初步测量方案，教师和其他同学可以提出质疑.在讨论的基础上，项目小组最终形成各自的测量方案.
()做题
依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量，这样有利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人.
()结题
在每一位学生都完成“测量报告”后，安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告最好有鲜明的特点，如测量结果准确，过程完整清晰，方法有创意，误差处理得当，报告书写规范等；或者测量的结果出现明显误差，使用的方法不当.
[分析] 测量高度是传统的数学应用问题，这样的问题有助于培养学生分析解决问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法，例如，比例线段、相似形
等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考虑自由落体的时间；等等. [拓展] 欢迎提出新的问题，积累数学建模资源.例如：
.本市的电视塔的高度是多少米？
.一座高度为的电视塔，信号传播半径是多少？信号覆盖面积有多大？
.找一张本市的地图，看一看本市的地域面积有多少平方千米？电视塔的位置在地图上的什么地方？按照计算得到的数据，这座电视塔发出的电视信号是否能覆盖本市？
.本市(外地)到省会的距离有多少千米？要用一座电视塔把信号从省会直接发送到本市，这座电视台的高度至少要多少米？
.如果采用多个中继站的方式，用高的塔接力传输电视信号，从省会到本地至少要建多少座高的中继传送塔？
.考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用，重新考虑问题，，.
.如果一座电视塔(例如高)不能覆盖本市，请设计一个多塔覆盖方案.
.至少发射几颗地球定点的通讯卫星，可以使其信号覆盖地球？
.如果我国要发射一颗气象监测卫星，监测我国的气象情况，请你设计一个合理的卫星定点位置或卫星轨道.
.在网上收集资料，了解有关“北斗卫星导航系统”的内容，在班里做一个相关内容的综述，并发表对这件事的看法.。