2018年高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点10函数的图象与其变换

考点十函数的图象及其变换知识梳理1．函数图象的作法(1)直接法(2)图象变换法(3)描点法2．描点法作函数图象(1)基本步骤：列表、描点、连线．(2)注意事项：①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) ．②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点．③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点．3．基本初等函数的图象(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)(2) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k ≠0)(4) 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)(5) 对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)4．函数图象的变换 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――――→a>0，右移a 个单位a<0，左移|a|个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――――→b>0，上移b 个单位b<0，下移|b|个单位y ＝f (x )＋b . 口诀：左加右减，上加下减． (2)伸缩变换：y ＝f (x )―――――――――――→0<ω<1，伸长为原来的1ω倍ω>1，缩短为原来的1ω y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――――――――――→A>1，伸为原来的A 倍0<A<1，缩为原来的A y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|口诀：绝对值作用在x 上，右翻左；作用在y 上，下翻上．典例剖析题型一 函数的图像识别例1 下列所给图象是函数图象的个数为________．答案 2解析：选 ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.变式训练 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是________．① ② ③ ④答案 ①解析 容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除④.当0<x <π2时，y ＝x sinx >0，当x ＝π时，y ＝0，可排除②、③，故选①. 解题要点 函数图像的识别要点：(1)对于函数的图像，一个x 只有一个y 值与之对应；(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (5)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (6)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 题型二 作函数的图象 例2 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x |≤2； (2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)；答案：(1) (2)变式训练作出下列函数图象||x>1；(1) y＝x2－2x()(2) y＝x|2－x|.解析(1) ∵||x>1，∴x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图.(2) ∵ y ＝x |2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x （x≥2）－x2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图.题型三 函数图象的变换 例3 作出下列函数图象： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2) y ＝|－x 2＋2x ＋1|解析 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋2x ＋1，x≥0，－x2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝错误!画出函数图象如图所示，(2) 函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．变式训练 作出下列函数图象 (1)y ＝2x ＋2；(2) y ＝x ＋2x －1.解析 (1) 将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如下左图(2)因y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如上右图. 题型四 函数图象的应用例4 方程x 2－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________． 答案 (1，54)解析 方程解的个数可转化为函数y ＝x 2－|x |的图象与直线y ＝1－a 交点的个数，如图：易知－14<1－a <0，∴1<a <54.变式训练：已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (12，1)解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．解题要点 借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．当堂练习1．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的图象对应的函数是________．答案 y ＝－f (－|x |)解析 该图象是函数y ＝－2－|x |即y ＝－f (－|x |)的图象．.2．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________． 答案 (4,4)解析 法一 函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的． 故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．法二 由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)． 3. 函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为____________．①② ③ ④答案 ④解析 因为y ＝lg 1|x|是单调递减的偶函数，关于y 轴对称，则y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x|的图象向左平移一个单位长度得到的．故选④.4．为了得到函数y ＝lg(x ＋3)－1的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点____________．①向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ②向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ③向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ④向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 ③解析由y＝lg x图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．5．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内____________．①没有根②有且仅有一个根③有且仅有两个根④有无穷多个根答案③解析如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．课后作业一、填空题1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是____________．①②③④答案③解析出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②，故选③.2．函数y＝log2|x|的图象大致是____________．①②③④答案③解析函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选③. 3．(2013·福建文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是____________．①②③④答案①解析依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除③.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除②，④，故选①.4．为了得到函数y ＝2x －3－1的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点____________． ①向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ②向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ④向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案 ①解析 y ＝2x 先向右平移3个单位长度，得到y ＝2x －3，再向下平移1个单位长度，得到y ＝2x －3－1.故选①.5．函数y ＝1－1x －1的图象是____________．① ② ③ ④答案 ②解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象．6．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (0，＋∞)解析 由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥0，0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0.7． 若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是____________．① ② ③ ④ 答案 ②解析 ∵log a 2<0，∴0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)单调性可知①、④错误，再由定义域知②选项正确． 8．(2015山东文)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向____平移____个单位．. 答案 右，π12解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．9．(2015新课标II 文)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1,4)， 得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.10．函数f (x )＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________．答案 (1，2) 解析 f (x )＝2＋3x －1. 11．为了得到函数y ＝2x －3的图象，只需把函数y ＝2x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度． 答案 右 3 二、解答题12．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2) y ＝x 2－2|x |－1解析 (1) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x≥1，－lg x ， 0<x<1图象如图(2) y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x －1， x≥0，x2＋2x －1， x<0.图象如图13．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围． 解析 当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a ∈．综上可知，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12.。