北师大版数学高一(北师大)必修1试题 3.5.1对数函数
新版高中数学北师大版必修1课件3.5.1-3.5.2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质
当堂检测
一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y= ax (a>0,a≠1)互为反函
数.
【做一做 2】
若函数 f(x)=
1 3
������
的反函数是 y=g(x),则
g(3)=( )
A.217
B.27
C.-1
D.1
解析:由已知得 g(x)=log1x,于是 g(3)=log13=-1.
-2-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数 y=logax (a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为
底的对数函数y=lg x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数
⑥y=12log3x 中,系数是12,而不是 1,故不是对数函数.
答案:(1)2 (2)①
-9-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值, 即得其解析式.
y=ln x为自然对数函数.
【做一做1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数
a=
.
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =2．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212 B ．214C ．7D ．1526．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<< B ．325y x z << C ．523z x y<< D ．532z y x<< 7．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 8．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．39．设()lg (21)fx x a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．38二、填空题13．已知21()1,()log 2xf xg x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.14．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．17．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则ab =___________.18．32a b-=________（其中0a >，0b >）19．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.20．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.三、解答题21．已知()11,04ln 1,?4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（1）若函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求a 的值；（2）若25a =，求不等式()1f x <的解集. 22．已知函数()2221log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 23．设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠． （1）求函数()f x 的定义域（2）若(1)2f =，求函数()f x 在区间3[0,]2上的最大值． （3）解不等式：log (1)log (3)a a x x +>-． 24．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域.25．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围．26．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.2．D解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．B解析：B 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()()221lg 21xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221xx x xx xxxx x x f x f x ---------====-+++，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，201x <<，则2lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+，所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 6．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k kk x y z ---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.7．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C8．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x-=-，可得1a =-，即()lg 11f x x x =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．10．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出．【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．二、填空题13．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数解析：9,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦【分析】求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】当[1,3]x ∈时，11[,1]28x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此9()[,2]8f x ∈；当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即9988m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.14．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值.【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =，故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.17．9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解：整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为：9【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再解析：9 【分析】由对数的运算性质解10log log 3a b b a +=并整理得3a b =，由b a a b =可求出,a b 的值. 【详解】解：110log log log log 3a b b b b a a a +=+=，整理得()23log 10log 30b b a a -+=， 解得log 3b a =或13，因为1a b >>，所以log 1b a >，则log 3b a =，即3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，所以33b b =，解得b =0，因为1b >，所以b =所以3a ==，所以9ab ==. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由10log log 3a b b a +=得出3a b =，再根据指数运算求解.18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒 解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算； （2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.19．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.20．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.三、解答题21．（1）49a =；（2）()220,4,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，故根据题意得函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2，再根据函数单调性即可得1124a -=，解得49a =. （2）根据题意得()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，进而分045112x x<≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩两种情况求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数， 所以2max ln 11y e =-=，因为函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，所以函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2， 由于函数111,42y x a x =-<≤是增函数， 所以1124a -=，解得：49a =. （2）当25a =时，()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，所以045112x x <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩，解得203x <<或24x e <<.故若25a =，求不等式()1f x <的解集为()220,4,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，进而将问题转化为函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2求解，第二问的解题核心是分类讨论. 22．（1）()1log 1m x f x x+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3）3m ≥+. 【分析】（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可； （3）由条件可转化为()11x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.【详解】（1）令21t x =-，则21x t =+，则()()11log log 211m mt t f t t t++==-+-， 所以()1log 1m x f x x+=-； （2）由101xx+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11mm x xf x f x x x---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；（3）由110x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<，又1log 1log log 1mm m x x mx x +=+=-，11x mx x+=-在()0,1x ∈上有解， ()11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，当且仅当u =,所以3m ≥+.【点睛】 易错点睛：（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件. 23．（1）(1,3)-；（2）2；（3）答案见解析. 【分析】（1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得解定义域（2）由(1)2f =求得2a =．化简 22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，求得函数单调性得解（3）分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】（1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-．（2）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =．22222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==． （3）当1a >时1330x x x +>-⎧⎨->⎩解得13x x >⎧⎨<⎩不等式解集为：{|13}x x <<当01a <<时1310x xx +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为：{|11}x x -<<【点睛】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按1a >和01a <<进行分类讨论．24．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-， 所以101xx +>-，解得1x <-或1x >， 则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称， 因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+， 当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数， 故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 25．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-． 【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=， 所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-， 所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<， 所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->， 所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 26．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。
北师大版高中数学必修一课后训练3.5对数函数.docx
课后训练基础巩固 1．函数12log (43)y x =-的定义域为( )．A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(－∞，1] C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设f (x )＝e ,1,1,1,x x f x x ⎧≤⎨(-)>⎩则f (ln 3)＝( )．A ．3eB ．ln 3－1C ．eD ．3e3．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )．A ．24 B ．22 C ．14 D ．124．若log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，那么a 的取值范围是( )． A ．(0,1) B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1，＋∞) 5．函数y ＝ln(2x ＋1)12x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭的反函数是( )．A ．y ＝12e x －1(x ∈R ) B ．y ＝e 2x －1(x ∈R )C ．y ＝12(e x－1)(x ∈R ) D ．y ＝2e x－1(x ∈R )6．将y ＝2x 的图像________，再作关于直线y ＝x 对称的图像，可得函数y ＝log 2(x ＋1)的图像( )．A ．先向左平移1个单位B ．先向右平移1个单位C ．先向上平移1个单位D ．先向下平移1个单位7．如图，与函数y ＝2x，y ＝5x，12y x =，y ＝log 0.5x ，y ＝log 0.3x 相对应的图像依次为( )．A ．(1)(2)(3)(5)(4)B ．(3)(2)(1)(5)(4)C ．(2)(1)(3)(5)(4)D ．(2)(1)(3)(4)(5)8．设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c9．方程log 2(x ＋4)＝3x 的实根的个数为( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 能力提升 10．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1aa x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．函数f (x )＝1＋log a (x ＋1)(a ＞0，a ≠1)的图像过定点P ，则定点P 的坐标是________． 12．若y ＝log a (ax ＋2)(a ＞0，且a ≠1)在区间[－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．13．函数213log (3)y x x =-的单调递减区间是________．14．函数221()log 213f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最大值是________． 15．设x ＞1，y ＞1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．16．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )(其中a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )． (1)求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合；(3)若x ∈10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，函数h (x )的值域是[0,1]，求实数a 的取值范围．17．判断函数f (x )＝2lg(1)x x +-的奇偶性和单调性，并加以证明．参考答案1．C 点拨：1log2(4x －3)≥0⇔1log 2(4x －3)≥12431,log 1430.x x -≤⎧⇔⎨->⎩∴34＜x ≤1. 2．A 点拨：∵ln 3＞ln e ＝1， ∴f (ln 3)＝f (ln 3－1)． 又∵ln 3－1＝ln 3－ln e ＝3ln e ＜ln e ＝1， ∴f (ln 3－1)＝eln 3－1＝3lne3ee=. 3．A 点拨：∵函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a,2a ]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a 2a . 由题意，得1＝3log a 2a ，即log a 2a ＝13.∴log a 2＋1＝13，log a 2＝23-， ∴212log 3a =-.∴log 2a ＝32-，故323211224222a -====. 4．C 点拨：若log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，则201,12,21,a a a a <<⎧⎪+>⎨⎪>⎩解得12＜a ＜1.5．C 点拨：由y ＝ln(2x ＋1)得2x ＋1＝e y ，∴x ＝12(e y －1)．∴函数y ＝ln(2x ＋1)12x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭的反函数是y ＝12(e x －1)(x ∈R )．6．D 点拨：与函数y ＝log 2(x ＋1)的图像关于直线y ＝x 对称的是其反函数y ＝2x －1的图像，为了得到它，只需将y ＝2x 的图像向下平移1个单位．7．C 点拨：(1)(2)分别为y ＝5x 和y ＝2x 的图像；(3)为12y x =的图像；(4)(5)分别为y ＝log 0.3x 和y ＝log 0.5x 的图像．8．B 点拨：∵1133log 2log 10<=，∴a ＜0； ∵112211log log 132>=，∴b ＞1； ∵0.311122⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0＜c ＜1，故a ＜c ＜b .选B. 9．C 点拨：在同一坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋4)与y ＝3x 的图像如图所示，可观察出两个函数的图像共有两个不同的交点．故选C.10．C 点拨：∵f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，∴0＜a ＜1且f (1)＝0. ∴f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x ＜1)为减函数，∴3a －1＜0， ∴13a <. 又∵f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，∴(3a －1)×1＋4a ≥0，∴17a ≥. 综上可知，a 的取值范围是11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭.11．(0,1) 点拨：令x ＋1＝1，得x ＝0，则f (0)＝1＋log a 1＝1，即f (x )的图像过定点P (0,1)． 12．(1,2) 点拨：由题意得a ＞1，且a ×(－1)＋2＞0，故1＜a ＜2. 13．(3，＋∞) 点拨：由x 2－3x ＞0，得x (x －3)＞0，∴x ＜0或x ＞3. ∴函数y ＝213log (3)x x -的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．又g (x )＝x 2－3x ＝23924x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴方程为32x =，∴函数y ＝213log (3)x x -的单调递减区间是(3，＋∞)．14．1 点拨：∵213x -＋2x －1＝13-(x －3)2＋2≤2，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝221log 213x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的最大值为log 22＝1.15．解：令t ＝log x y ，∵x ＞1，y ＞1， ∴t ＞0.由2log x y －2log y x ＋3＝0，得2230t t-+=， ∴2t 2＋3t －2＝0，即(2t －1)(t ＋2)＝0. ∵t ＞0，∴12t =，即1log 2x y =， ∴12y x =，∴T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x －2)2－4. ∵x ＞1，∴当x ＝2时，T min ＝－4. 16．解：(1)定义域为(－1,1)． 又∵h (－x )＝11log log ()11aa x xh x x x-+=-=-+-， ∴h (x )为奇函数．(2)f (3)＝2⇒a ＝2，则h (x )＜0⇔log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，于是1＋x ＜1－x ⇒x ＜0，又－1＜x ＜1，∴x ∈(－1,0)．(3)∵h (x )＝12log log 111aa x x x +⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭， 令φ(x )＝211x ---，可知φ(x )＝211x ---在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因此，当a ＞1时，h (x )在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又由h (0)＝0，112h ⎛⎫= ⎪⎝⎭得a ＝3.当0＜a ＜1时，h (x )在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，h (0)＝1，a 无解．综上a ＝3.17．解：(1)函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝2lg(1)x x +-，∴f (－x )＝22lg[()1()]lg(1)x x x x -+--=++．∴f (－x )＋f (x )＝2222lg(1)lg(1)lg[(1)(1)]x x x x x x x x ++++-=++⋅+-＝lg(x 2＋1－x 2)＝lg 1＝0，即f (－x )＝－f (x )．∴函数f (x )＝2lg(1)x x +-是奇函数．(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，设u (x )＝21x x +-， 则u (x 1)－u (x 2)＝221122(1)(1)x x x x +--+- ＝221212(11)()x x x x +-+-- ＝2212122212()(11)x x x x x x ---+++＝12122212()111x x x x x x ⎛⎫+⎪-⋅- ⎪+++⎝⎭＝221122122212(1)(1)()11x x x x x x x x -++-+-⋅+++，∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0.又∵211x +＞|x 1|≥x 1，221x +＞|x 2|≥x 2，即21110x x -+<，22210x x -+<，∴u (x 1)－u (x 2)＞0，即u (x 1)＞u (x 2)．∴()221u x x x =+-在R 上是减函数．又∵y ＝lg x 在R 上是增函数，∴函数f (x )＝2lg(1)x x +-在R 上是减函数．。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144696．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<7．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减 8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<9．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 10．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 12．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（ ） A ．32倍 B ．3210倍C ．100倍D ．3lg2倍 二、填空题13．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.14．已知21()1,()log 2xf xg x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.15．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____. 16．72log 2338log272lg 5lg 47-+++=______.17．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数1,0(),0x x e x f x e m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为______．18．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R 上为增函数则1log2log 2lg5lg4mm m+-=_____．19．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 20．7log 31lg 25lg 272++=________. 三、解答题21．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2()23x g x f a x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为[],n m 时，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.22．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22th x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 23．化简与求值： （1）2ln 43(0.125)e-++；（2）若1122x x -+=1x x --的值. 24．（1）已知函数()()()2110x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数()()f x x a =+的图像上，求不等式()3g x >的解集；（2）已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 25．已知函数()2log 11a f x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（0a >且1a ≠）.（1）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.26．求函数()log 23=-2-3y x x 的定义域、值域和单调区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．A解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果. 【详解】由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当1 0,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a≤<.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键.3．B解析：B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c的取值范围，从而可得结果【详解】因为33log0.2log10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a c b∴<<．故选：B．【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答4．B解析：B【分析】将函数3131()(),()log,()(0)2xf x xg x x xh x x x x=-=-=->的零点，转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log,(0)2xy y x y x x===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.6．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．9．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C10．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a=，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩， 函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．11．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ， ∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】 先根据010lg II η=得10010I I η=，再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lg II η=， 所以10010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==， 故选：C. 【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.二、填空题13．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定 解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果.【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.14．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数解析：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】当[1,3]x ∈时，11[,1]28x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此9()[,2]8f x ∈；当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即9988m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.16．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值解析：32【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】72log 2338log 2lg 5lg 47-+++()732log 232332log 32lg52lg 27=-++++34222=-+++32= 故答案为：32【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.17．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题解析：1-． 【分析】由奇函数定义求解． 【详解】设0x >，则()1x f x e -=-，()xf x em --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()xf x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．故答案为：1-． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．18．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去）， 1log2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3. 【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.19．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．20．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析：4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】解：7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.三、解答题21．（1）1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出22126126n m m n⎧-=⎨-=⎩，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()113f c-∴-==，即13c =，因此，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）令()13xt f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 所以，设()223k t t at =-+，对称轴为t a =.3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-； （3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，即()()()6m n m n m n -=-+，m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 22．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22tmin k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 则()221tmin k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解，即1<2tk 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于： （1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断； （2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化.23．（1）14；（2） 【分析】（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；（2）利用完全平方公式求得1x x -+，再求得22x x -+，然后可求得1x x --． 【详解】(1)原式=236342464⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭++=++＝14;-(2)由1122x x -+=1+25x x -+=，所以13x x -+=所以2222+29=7x x x x --+=+， 则1222()2=5x x x x ---=-+所以1=x x -- 【点睛】幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来， 即公式222()2a b a ab b +=++，222()2a b a ab b -=-+，22()()a b a b a b +-=-中,a b 是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．24．（1）()3,+∞；（2）min 1y =，max 54y =. 【分析】（1）结合指数函数性质首先求a 的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值. 【详解】（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2， ∴)22a =+解得1a =.∴()221x g x -=+.∴由()3g x >得，2213x -+>. ∴222x ->. ∴21x ->. ∴3x >.∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞.（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14t ≤≤， 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =， 当14t =，即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．25．（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在(0,3∈-a .【分析】（1）先由函数解析式求出定义域，再由()f x ，求出()f x -，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；（2）先令2()11=-+g x x ，用单调性的定义，即可判断2()11=-+g x x 的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；（3）先假设存在满足条件的实数a ，由题意得出01a <<，()1log ()1log a a f n nf m m =+⎧⎨=+⎩，推出,m n 是方程2log 11log 1⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭a a x x 的两根，进而得到2(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】 （1）由2101->+x 解得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 又()21log 1log 11-⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭a a x f x x x ， 所以()22121log 1log 1log log 1111-+-+⎛⎫⎛⎫-=-=-== ⎪ ⎪-+-+-+-⎝⎭⎝⎭a a a a x x f x x x x x ， 因此()()log 10+-==a f x f x ，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数； （2）令2()11=-+g x x ，任取121x x <<， 则12121221212222()()111111(1)(1)⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭x x g x g x x x x x x x ， 因为120x x -<，110x +>，210x +>，所以121221()()0(1)(1)--=<++x x g x g x x x ，即函数2()11=-+g x x 在()1,+∞上单调递增； 又01a <<，所以log ay x =单调递减，根据同增异减的原则，可得：()2log 11a f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在()1,+∞上单调递减；（3）假设存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <，1log 1log +<+a a n m 可得01a <<；所以()1log ()1log a a f n n f m m =+⎧⎨=+⎩，因此,m n 是方程2log 11log 1⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭a a x x 的两根， 即2(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解，设2()(1)1=+-+h x ax a x ，则(1)01120h a a >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆>⎪⎩，解得03a <<-.所以存在(0,3∈-a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型. 26．定义域为(,1)(3,)-∞-+∞，函数值域为R ，减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞．【分析】结合对数函数性质求解． 【详解】由2230x x -->得1x <-或3x >，∴定义域为(,1)(3,)-∞-+∞．由2230x x -->得y R ∈，函数值域为R ，223y x x =--在(,1)-∞-上递减，在(3,)+∞上递增，∴()log 23=-2-3y x x 的减区间是(,1)-∞-，增区间是(3,)+∞． 【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，掌握对数函数的性质是解题关键．。
3.5.1对数函数的概念3.5.2 对数函数y=log2x的图像和性质 课件(北师大版必修1)
3
【解析】f( 3 )+f( 2 )= log 3 log 2 2 2
8
3
8
3
=log2( 3 2 )=-2.
8 3
答案：-2
5.下列函数中,哪些是对数函数?
(1)y=loga x (a>0,a≠1);
(2)y=log(x+1)x;
(3)y= log
2 2
x;
(4)y=log2(x-3);
1 (x＞0) log 2 x
)
(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
【解题指导】
【解析】选D.∵函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0) 的图像关于原点对称， 故在函数y＝f(x)的图像上任取一点(x,y)，则其关于①
(5)y=3log2x+1.
【解析】(1)中的真数是 x ,而不是x,故不是对数函数.
(2)中的底数是x+1,而不是常数，故不是对数函数. (3)中的底数是(-2)2=4>0,符合对数函数的定义，是对数函数. (4)中的真数是(x-3),而不是x，故不是对数函数. (5)中log2x的系数是3而不是1,后边的常数是1而不是0,故不是 对数函数.
(其中a为常数)各是什么？
提示：(1)解答题1的关键点就是对对数函数的三个特征的理解 .
由于对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，因此在 解题中注意辨别,如：y=2log2x，y= log 5 x 都不是对数函数．
5
(2)f(a)与f(x)是不同的，f(a)是函数y=f(x)在x=a处的函数值， 是一个常数.
数学北师大版高中必修1对数与对数函数
试卷五 必修1《对数与对数函数》练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案） 1.2log 的值为（ ）A．．12- D ． 122．对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（） A.a>5,或a<2 B.2<a<5 C.2<a<3,或3<a<5 D.3<a<43.已知()log a f x x =(0,1)a a >≠满足(6)5f =,则(4)(9)f f +的值为( )A.5B.10C.2D.204. 设0.31231log 2,log 3,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 ( ) A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c 5.已知()lg a f x x =,过点(2,1)则224()(22)1f f x x +++的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.与x 的取值有关6.关于函数()log x a f x a x =+(0,1)a a >≠的叙述正确的是( ) A.定义域为RB.在定义域内单调递增C. 在定义域内具有单调性D.在定义域内不具有单调性7.若)(x f 的定义域为),3,21( 则函数)(lg x f 的定义域为（ ） A.),10(+∞ B. ),0(+∞ C. ),1000(+∞ D.)1000,10(8.已知直线1y =与对数函数log a y x =,(62)log a y x -=图像的交点横坐标分别为x 1,x 2, 121x x <<,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(0,1)(1,2)⋃ C.(2,)+∞ D.(2,6)9.函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 10.2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上.11.化简：=+50lg 2lg 5lg 2________12.函数log (1)a y x =+(0,1)a a >≠的图象恒过点的坐标为13.函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．14.已知x 2＋2y 2－6x ＋8y ＋17=0，则log x (y ＋5)的值=___________. 16.已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(1) lg 5．lg 800＋lg25.132＋(lg 23)2－lg0.00032。
北师版数学高一单元测试卷3.5.1对数函数的概念、图像及性质含解析
C. D．9
答案：A
解析：因为当x≤1时，f(x)＝ x≥ ，所以满足f(x)＝ 的x∈(1，＋∞)，即log81x＝ ，所以x＝ ＝3.
5．已知0<a<1且ab>1，则下列不等式成立的是()
A．logb <logab<loga
B．logab<logb <loga
C．logab<loga <logb
答案：3
解析：∵f(x)＝mlog2(x＋n)为对数函数，∴m＝1，n＝0，故3m＋2n＝3.
9．函数y＝log2(3 ＋1)的定义域为________．
答案：[1，＋∞)
解析：由已知，得x－1≥0，∴x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．比较下列各函数中的两个值的大小．
所以A∩B＝{x|1<x≤2}．
(2)由(1)，知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B⊆C，则有a－1≥2，
所以a≥3，故a的取值范围为[3，＋∞)．
12．求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log (3＋2x－x2)．
解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R，
∵x2＋4≥4，log2(x2＋4)≥log24＝2，
5．1对数函数的概念、图像及性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列函数是对数函数的是()
A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x
C．y＝loga(x2＋x) D．y＝lnx
答案：D
高中数学3章指数函数和对数函数3.5.1对数函数的概念3.5.2对数函数y=log2x的图像和性质含解析北师大版必修1
5.1对数函数的概念 5.2对数函数y=log2x的图像和性质课后篇巩固提升1.下列各组函数中,表示同一函数的是()A.y=和y=()2B.|y|=|x|和y3=x3C.y=log a x2和y=2log a xD.y=x和y=log a a x解析:对于A,定义域不同;对于B,对应法则不同;对于C,定义域不同;对于D,y=log a a x⇔y=x.答案:D2.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数是g(x),且g=-1,则f-=()A.B.2 C.D.解析:由已知得g(x)=log a x.又g=log a=-1,于是a=4,因此f(x)=4x,故f--.答案:C3.已知函数f(x)=log2x,且f(m)>0,则m的取值范围是()A.(0,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.R解析:结合f(x)=log2x的图像(图略)可知,当f(m)>0时,m>1.答案:C4.设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则当x<0时,f(x)=()A.-log2xB.log2(-x)C.log x2D.-log2(-x)解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x).∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴当x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D5.已知函数y=log2x,其反函数y=g(x),则g(x-1)的图像是()解析:由题意知g(x)=2x,所以g(x-1)=2x-1,故选C.答案:C6.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:由函数y=2x,y=,y=log2x,y=lo x的图像可得出a<b<c.答案:A7.导学号85104071已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a的值为()A.-1B.C.-1或D.1或-解析:当a>0时,log2a=,则a=;当a≤ 时,2a=,即2a=2-1,则a=-1.综上,a=-1或a=.答案:C8.设f(x)是对数函数,且f()=-,那么f()= .解析:设对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1).由条件得log a=-,即log a=-,则a=.因此f(x)=lo x.所以f()=lo=lo -=-.答案:-9.函数f(x)=log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为. 解析:∵f(x)=log2x在区间[a,2a]上是增加的,∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)=log22a-log2a=1.答案:110.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图像恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.解析:如图所示,需使函数f(x)的图像与直线y=a恒有两个不同的交点,则a∈(0,1].答案:(0,1]11.导学号85104072已知函数f(x)=|log2x|.(1)若f(m)=3,求m的值;(2)若a≠b,且f(a)=f(b),求ab的值.解:(1)由f(m)=3,得|log2m|=3,即log2m=3或log2m=-3,解得m=8或m=.(2)∵a≠b,且f(a)=f(b),不妨设a<b,∴|log2a|=|log2b|,则-log2a=log2b,∴log2a+log2b=0,∴log2ab=0,故ab=1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章§5第1课时
一、选择题
1．下列函数中是对数函数的是()
A．y＝log1
4x B．y＝log1
4
(x＋1)
C．y＝2log1
4x D．y＝log1
4
x＋1
形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.
2．函数f(x)＝
1
log2x－1
的定义域为()
A．(0,2) B．(0,2]
C．(2，＋∞)D．解法一：当x＝2时，log2x－1＝1－1＝0，函数f(x)无意义，排除B、D；当x＝1时，log2x－1＝0－1＝－1，函数f(x)无意义，排除A，故选C.
解法二：要使函数f(x)有意义，应满足log2x－1>0，
∴log2x>1，∴x>2，故函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
3．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是()
A．(0，＋∞)B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．
4．函数y＝e x的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则()
A．f(x)＝lg x B．f(x)＝log2x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝x e
易知y＝f(x)是y＝e x的反函数．
∴f(x)＝ln x.故选C.
5．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()
A．log2x B．1
2x
C．log1
21
2x D．2
x－2
函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以，a ＝2， 故f (x )＝log 2x ，选A.
6．函数y ＝|log 2x |的图像是图中的( )
有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y ＝log 2x 经上折而得到的．
二、填空题
7．函数y ＝
log
12
1－x 的定义域是________．
由log 12
(1－x )＝－log 2(1－x )＝log 2
11－x ≥0，得1
1－x
≥1，即0<1－x ≤1，所以0≤x <1. 8．函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝log 3x (x >0)的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝________. 由题意知y ＝f (x )与函数y ＝log 3x (x >0)互为反函数，所以f (x )＝3x (x ∈R )． 三、解答题
9．已知函数f (x )＝log 2x －1的定义域为A ，函数g (x )＝(1
2
)x (－1≤x ≤0)的值域为B .
(1)求A ∩B ；
(2)若C ＝{y |y ≤a －1}，且B ⊆C ，求a 的取值范围． (1)由题意知：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1>0
log 2x －1≥0
⇒x ≥2.
∴A ＝{x |x ≥2}，B ＝{y |1≤y ≤2}．∴A ∩B ＝{2}． (2)由(1)知B ＝{y |1≤y ≤2}，
若要使B ⊆C ，则有a －1≥2，∴a ≥3.
一、选择题
1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ． 本题考查了指、对函数的基本性质，
复合函数的值域问题．
3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0，选A. 2．如果－log 2x <－log 2y <0，那么( ) A ．y <x <1 B ．x <y <1 C ．1<x <y
D ．1<y <x
∵－log 2x <－log 2y <0，∴log 2x >log 2y >0，
又因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)为增函数，且log 21＝0，所以x >y >1.故选D.
二、填空题
3．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：
x 0 2 f (x )
1
4
g (x )是f (x )． 由a 2＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝2x ，
∴g (x )＝log 2x <0的解集为{x |0<x <1}． 4．(1)函数f (x )＝log 2的定义域为________；
(2)已知y ＝log 2(ax ＋1)(a ≠0)的定义域为(－∞，1)，则a 的取值是________． (1){x |x >2} (2)a ＝－1
根据对数函数的定义域列出关于x 的不等式．(1)由f (x )＝log 2知log 2(log 2x )>0，即log 2x >1，∴x >2；
(2)∵f (x )的定义域为(－∞，1)，∴ax ＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x ＝1是方程ax ＋1＝0的根，∴a ＋1＝0，即a ＝－1.
三、解答题
5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝
lg 4－x
x －3
；
(2)y ＝log (x －2)(5－x )．
(1)题是分式形式；(2)题底数与真数都有自变量，可根据底数、真数满足的条件列出不等式组．
(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x >0x －3≠0得x <4且x ≠3，
∴所求定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(2)∵⎩⎪⎨⎪
⎧ 5－x >0x －2>0
x －2≠1
，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x <5x >2x ≠3
，
∴2<x <3或3<x <5，
∴所求定义域为(2,3)∪(3,5)． 6．求函数y ＝3x －4(x ≥2)的反函数． ∵y ＝3x －4，∴3x ＝y ＋4，∴x ＝log 3(y ＋4)， ∴y ＝log 3(x ＋4)，
又∵x ≥2，∴3x －4≥5，∴定义域为[5，＋∞)． ∴函数的反函数为y ＝log 3(x ＋4)(x ≥5)． 7．已知f (x )＝log a 1＋x
1－x (a >0，a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若f (1
2)＝1，求a 的值．
(1)∵f (x )＝log a 1＋x 1－x ，需有1＋x
1－x
>0，
即(1＋x )(1－x )>0，(x ＋1)(x －1)<0，∴－1<x <1. ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1
＝－log a 1＋x
1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(3)∵f (1
2)＝log a 1＋
121－
1
2＝log a 3.
∴log a 3＝1，故a ＝3.。