2019年第1课时 正方形的性质语文
教学课件：第1课时-正方形的性质
正方形四个角都是直角
正方形所有的内角都是直角，每个角的大小为90度。
正方形的对角线互相垂直
正方形两条对角线不仅相等，而且互相垂直，它们会在中心相交。
正方形的邻角互补
正方形任意两个相邻的角是补角，它们的度数之和为180度。
正方形的面积和周长
1 2
正方形的面积是边长的平方
正方形的面积等于它的边长的平方，即边长乘以 边长。
面的差异。
正方形的几何证明题
正方形的性质证明
证明正方形具有的性质，如四边相等、四个角都是直角等。
正方形与直角三角形的关系
证明正方形中的角与直角三角形中的角之间的关系。
正方形的内角和
证明正方形的内角和为360度。
05 总结与回顾
本课时的重点与难点
重点
正方形的定义、性质和判定方法。
难点
理解正方形的性质，掌握定正方形的方法。
教学课件：第1课时-正方形的性 质
目 录
• 引言 • 正方形的性质 • 正方形的判定 • 实例分析 • 总结与回顾
01 引言
课程简介
课程目标
使学生掌握正方形的性质，理解 其在几何学中的重要地位。
课程安排
本课时将通过讲解、示范、练习 等方式，系统介绍正方形的性质 。
正方形的定义与性质
定义：正方形是四边相等、 四个角都是直角的四边形。
根据角度判定
总结词
正方形的一个角为90度，所有角都相等，因此可以通过比较角度是否都为90度 来判定一个四边形是否为正方形。
详细描述
正方形的一个角是直角，即90度，并且所有其他角也都相等。因此，如果一个 四边形的所有角都为90度，则该四边形是正方形。
根据面积和周长判定
正方形的性质PPT优秀课件
∟
探究（二）
∟ 正方菱形形
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
∟
∟
探究小结
邻边 相等
矩形
菱 形 一个角是直角
正方形 正方形
∟
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
你能给正方形下一个定义吗？ 矩形
平行四边形 菱形
正方形
正方形定义
1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形； 2、有一个角是直角的菱形是正方形； 3、有一组邻边相等的矩形是正方形
互相垂直平分 对角线:
分别平分两组对角
一、新课引入
在我们的生活中除了平行四边形，矩形，菱形外，还 有什么特殊的平行四边形呢?
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形 第1课时
二、学习目标
1 掌握正方形的概念、性质 2 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
A
D 1.定义:
边
（3）四个角都是直角
正方形
（4）对角线相等
互相垂直 互相平分
对角线
平分一组对角
五、作业设计
1.复习本节课 2.预习下一节课 3.练习册的第39-41页
正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的 矩形，你能猜出它具有怎样的性质？
边 正方形对边平行 四边相等
A
D
角 正方形的四个角都是直角
O
B
C
对角线 正方形的对角线相等，互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角。
正方形是一个完美的图形
(C) A
O 正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
【人教版】2019年春八年级数学下册：第1课时 正方形的性质
18.2.3 正方形 第1课时 正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是( ) A ．对角线相等且互相平分 B ．对角线相等且互相垂直平分 C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等解析：选项A 不正确，菱形的对角线不相等；选项B 不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C 正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质． 利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE .(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EF A ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt △CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.(1)求证：△AEB≌△DEC；(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE＝EF＝DE＝12DF，根据“等边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得出∠BAE＝∠CDE，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB＝EC，再得出△BCE是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角”可得∠AFD＝∠BAE.(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点，∴AE＝EF＝DE＝12DF，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.在△AEB和△DEC中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝CD，∠BAE＝∠CDE，AE＝DE，∴△AEB≌△DEC(SAS)；(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC.∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：(1)BE＝BF；(2)OF＝12CE.解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE＝∠AOF＝90°.由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据“对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝12CE.根据平行线的性质即可求得∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝12CE.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝∠CAE＋∠AFO＝90°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB.又∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝12CE，∴∠OGF＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S四边形ABCD ＝24cm 2，∴S 正方形AFCE ＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3. 方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、板书设计1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。
2019年秋九年级北师大版数学上册课件：第1课时 正方形的性质
三、解答题(共 35 分) 15．(10 分)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF. (1)求证：四边形 BEDF 是菱形； (2)若正方形的边长为 4，AE＝ 2，求菱形 BEDF 的面积．
解：(1)证明：连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC. 又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF， ∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形
直
相等
相等
互相垂直平分
正方形的性质 C
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等
D．对角线平分一组对角
2 ． ( 3C分 ) 如 图 ， 正 方 形 A B C D 中 ， 对 角 线 A C ， B D 相 交 于 点 O ， 则 图中的等腰直角三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
A．14 B．15 C．16 D．17
4 ． ( 3C分 ) 如 图 ， 已 知 P 是 正 方 形 A B C D 对 角 线 B D 上 一 点 ， 且 B P ＝BC，则∠ACP的度数是( ) A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°
B
6 ． ( 4 分 ) ( 2 0 1 8 ·宜 昌 ) 如 图 ， 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 1 ， 点 E ， F 分45°别 是 对 角 线 A C 上 的 两 点 ， E G ⊥ A B ， E I ⊥ A D ， F H ⊥ A B ， FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于 ____________
正方形性质与判定
Ａ
Ｄ
Ａ`
D`
O
Ｂ B`
C` Ｃ
例3：（淄博）已知：如图，在△ABC中， AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC 外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当 △ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正 方形？并给出证明．
例4、如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交 ∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你 的结论. (3) 当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方 形？并证明你的结论.
•4.已知四边形ABCD是矩形，则只须
补充条件：
（用字母表示）就
可以判定四边形ABCD是正方形．
例1：如图，正方形ABCD中，E是对角 线BD上一点，过点E作EF⊥ BC，EG⊥ CD，垂足为F、G 。求证：AE=FG。
A
D
E
G
BF
C
例2.已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分
线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
求证：四边形DEBF是正方形.
A
证明:∵ DE⊥AB,DF⊥BC
E
D
∴∠BED=∠BFD=∠ABC=900,
∴四边形DEBF是矩形,
BF
C
∵ BD平分∠ABC,且 DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF, ∴四边形DEBF是正方形.
（有一组邻边相等的矩形是正方形）
例3：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，
ME+MF =8cm，则AC=__1_6_c_m___.
2019年第1课时 正方形的性质语文
解：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，∵四边形 ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝ OF，∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD⊥EF，∴四边形 BEDF 为菱形 (2)解：∵正方形边长为 4，∴BD＝AC＝4 2，∵AE＝CF＝ 2，∴EF＝AC
cm)不正确的是
(
)
A
5．(3分)(毕节中考)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落
在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(
)
B
A．3 B．4 C．5 D．6
6．(3 分)(开封期中)如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上任 意一点，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，作 EG⊥CD 于点 G，若正方形 ABCD 的周长为 a，则四边形 EFCG 的周长为______a_______．
________角，四条边_________，对角线___________且
直
相等
相等
____________________．
互相垂直平分
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)下列性质正方形具有而矩形不具有的是( A．四角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分
∠ABE＝∠DCE＝30°，在△ABE 和△DCE 中，A∠BA＝BED＝C，∠DCE，∴△ABE BE＝CE，
≌△DCE(SAS)
(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝12(180°－30°)＝75°，∵∠
正方形的性质课件
学一学
例1. 如图，在正方例A题BC解D中析，对角线AC、
BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.正方形ABCD，对角线交于0， 1)若AB=2㎝，则AC=_____,OA=_____,周长____，面积_____。 2)若OB=2㎝，则AC=_____,AB=_____,周长____，面积_____。 3)若AC+BD=8㎝，则AC=_____,AB=_____,正方形面积_____。 2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
A
D
O
B
C
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
对角线: 分别平分两组对角
创设情景一
┓90°
问题: 从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊 的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
情景二
A
D
A
D
B
C
问题:
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
正方形的性质及判定
正方形的性质及判定1•正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形•它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等.②角的性质：四个角都是直角.③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角.④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3.正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定②：有一个角是直角的菱形是正方形.―、正方形的性质【例1】正方形有条对称轴.【例2】已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则S:S正方形BDEF正方形ABCD【例3】如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE丄AF，AF=20，则BE的长为【例4】如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1,BF=2，Z GEF=90。
，则GF的长为.【例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A,A ，…，A 分别是正方形的中心，则n 个正12n方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC,BD 的交点，过点O 作OE 丄OF ，分别交AB ，CD 于E ，F ，若AE =4,CF =3，则EF =【例7】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM 丄BC 于M ，PN 丄BD 于N ，则PM+PN的值为【例8】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE =CE .A EB FD例11】 【例9】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE 丄BC 于E ,PF 丄CD 于F .求证：AP=EF .【例10】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ,MN 〃AB ,且分别与AO 、BO 交于M 、N .试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且A ABP 为等边三角形，那么Z DCP =【例12】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使ED ：AD =2FC :AC ，求证：A BEF 是等腰直角三角形．【例13】如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若Z EAF=50。