2019年最新高三题库 2019届高三数学一轮复习平面解析几何练习题7
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第9章平面解析几何第3讲(含答案解析)
[学生用书P260(单独成册)]一、选择题1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A ．由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A ．因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝22．所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8．故选A ．3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B ．圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1．4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D ．由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2． 又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)，B (0，1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ．设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0．求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P 有2个，选C ．6．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝a 2(a >0)上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，△P AB 的面积的最大值为8，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A ．要使△P AB 的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为y ＝0，圆心(0，3)到直线AB 的距离为d ＝3， 故P 到直线AB 的距离的最大值为3＋a ．再根据AB ＝4，可得△P AB 面积的最大值为12·AB ·(3＋a )＝2(3＋a )＝8，所以a ＝1，故选A ．二、填空题7．已知动点M (x ，y )到点O (0，0)与点A (6，0)的距离之比为2，则动点M 的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知|MO ||MA |＝2，即x 2＋y 2（x －6）2＋y 2＝2，化简整理得(x －8)2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆． 所以其面积为S ＝πR 2＝16π． 答案：16π8．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4．答案：3π49．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)， 半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝510．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，k －x ≥0，x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k >0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y ∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．解析：如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件．实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝⎛⎭⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0<k ≤6． 答案：(0，6] 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．① 又因为直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40． 12．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：将圆C 化为标准方程可得(x －2)2＋(y －7)2＝8， 所以圆心C (2，7)，半径r ＝22．(1)设m ＋2n ＝b ，则b 可看作是直线n ＝－12m ＋b2在y 轴上截距的2倍，故当直线m ＋2n ＝b 与圆C 相切时，b 有最大或最小值．所以|2＋2×7－b |12＋22＝22，所以b ＝16＋210(b ＝16－210舍去)， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210． (2)设n －3m ＋2＝k ，则k 可看作点(m ，n )与点(－2，3)所在直线的斜率， 所以当直线n －3＝k (m ＋2)与圆C 相切时，k 有最大、最小值，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝22，解得k ＝2＋3或k ＝2－3．所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．1．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值； (3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5．因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85．(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165． 2．在△OAB 中，已知O (0，0)，A (8，0)，B (0，6)，△OAB 的内切圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，P 是圆上一点．(1)求点P 到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S ＝|PO |2＋|P A |2＋|PB |2，求S 的最大值和最小值．解：(1)由题意得圆心(2，2)到直线l ：4x ＋3y ＋11＝0的距离d ＝|4×2＋3×2＋11|42＋32＝255＝5>2，故点P 到直线l 的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3．(2)设点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝x 2＋y 2＋(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＝3(x 2＋y 2－4x －4y )－4x ＋100＝－4x ＋88，而(x －2)2≤4，所以－2≤x －2≤2， 即0≤x ≤4，所以－16≤－4x ≤0， 所以72≤S ≤88， 即当x ＝4时，S min ＝72， 当x ＝0时，S max ＝88．。
2019年平面解析几何真题汇编(文数)(含详解)
2019年平面解析几何真题汇编（含详解）1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．8【答案】D 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．2．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D 【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32 B ．52 C ．72 D ．92【答案】B 【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c=12a =， 8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A B C ．2 D【答案】D 【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为b y x a =±， 则有(1,),(1,)b b A B a a---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =， ∴c e a ===9．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=.10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】( 【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．11．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y = 【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.12．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【答案】4 【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，13．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===14．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得32P ⎛-⎝⎭，所以212PF k ==.15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【解析】（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO.由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF ，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2． （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．18．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．19．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1. 因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【解析】（1）由题意得12p =，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t ---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，122122213434S m S m m m m =-=-=++++…当m =时，12S S取得最小值1+G （2，0）．。
2019真题汇编-平面解析几何(学生版)
2019真题汇编--平面解析几何1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．83．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C的离心率为A B ．2D4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4 B ．2C ．D ．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A B C ．2D 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB ．1CD ．29．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．。
高三数学一轮复习【解析几何】练习题
高三数学一轮复习【解析几何】练习题1.已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以是()A.－1B.1C.3D.5答案ABC解析由题意得两圆内切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故选ABC.2.设椭圆C：x28＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是() A.|PF1|＋|PF2|＝4 2B.离心率e＝6 2C.△PF1F2面积的最大值为4 2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－22＝0相切答案AD解析依题意知a＝22，b＝2，c＝2.对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝42，所以A正确；对于B，e＝ca ＝222＝22，所以B不正确；对于C，|F1F2|＝2c＝4，当P为椭圆短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为12×2c·b＝c·b＝4，所以C错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x＋y－22＝0的距离为222＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－22＝0相切，所以D正确.故选AD.3.已知双曲线C ：x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则( )A.若A ，B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43 B.若A 在双曲线的右支，则|FA |的最短长度为2 C.|AB |的最短长度为323 D.满足|AB |＝11的直线有4条 答案 BD解析 易知双曲线C 的右焦点为F (5，0).设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋5. 当m ≠0时，直线l 的斜率为k ＝1m . 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋5，16x 2－9y 2＝144.消去x 并整理，得(16m 2－9)y 2＋160my ＋256＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧16m 2－9≠0，Δ＝1602m 2－4×256（16m 2－9）＝962（m 2＋1）>0，解得m ≠34.对于A 选项，当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，则A ，B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，|FA |min ＝c －a ＝5－3＝2，B 选项正确；对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，|AB |＝2a ＝6<323，C 选项错误； 对于D 选项，当A ，B 两点在双曲线右支上，且直线与x 轴垂直时，|AB |＝323.∵323<11，∴过F 的直线有两条；当A ，B 两点分别在双曲线的两个分支上时，∵a ＋c ＝8<11，∴过F 的直线有两条.故满足|AB |＝11的直线有4条，D 选项正确.故选BD. 4.已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则( ) A.|AB |＝8 B.OA ⊥OBC.△AOB 的面积为2 2D.线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2 答案 AC解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得y 2－4y －4＝0，所以y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，所以x 1＋x 2＝y 1＋1＋y 2＋1＝6，x 1x 2＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4＋4＋1＝1.对于A ，直线AB 过抛物线的焦点，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确； 对于B ，OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋(－4)＝－3≠0，故B 不正确；对于C ，点O 到直线AB 的距离d ＝|－1|12＋12＝22，所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×8×22＝22，故C 正确； 对于D ，线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即(3，2)，所以线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为3，故D 不正确.选AC.5.已知曲线C ：y 2＝m (x 2－a 2)，其中m 为非零常数且a >0，则下列结论正确的是( )A.当m ＝－1时，曲线C 是一个圆B.当m ＝－2时，曲线C 的离心率为22 C.当m ＝2时，曲线C 的渐近线方程为y ＝±22xD.当m >－1且m ≠0时，曲线C 的焦点坐标分别为(－a 1＋m ，0)和(a 1＋m ，0)答案 ABD解析 对于A ，当m ＝－1时，曲线方程为y 2＝－(x 2－a 2)，即x 2＋y 2＝a 2，其是圆心为(0，0)，半径为a 的圆，故A 正确；对于B ，当m ＝－2时，曲线方程为y 2＝－2(x 2－a 2)，即x 2a 2＋y 22a 2＝1，其为焦点在y 轴上的椭圆，且长半轴长为2a ，短半轴长为a ，则半焦距为a ，所以离心率e ＝a 2a ＝22，故B 正确；对于C ，当m ＝2时，曲线方程为y 2＝2(x 2－a 2)，即x 2a 2－y 22a 2＝1，其为焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为a ，虚半轴长为2a ，所以渐近线方程为y ＝±2aa x ＝±2x ，故C 不正确；对于D ，当－1<m <0时，曲线方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，其为焦点在x 轴上的椭圆，且长半轴长为a ， 短半轴长为a－m ，则半焦距为a1＋m ， 所以焦点坐标为(－a1＋m ，0)和(a1＋m ，0)；当m >0时，曲线方程为x 2a 2－y 2ma 2＝1，其为焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴长为a ，虚半轴长为a m ，则半焦距为a1＋m ，所以焦点坐标为(－a 1＋m ，0)和(a 1＋m ，0)，故D 正确.综上所述，选ABD.6.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则( ) A.C 的准线方程为y ＝1 B.线段PQ 长度的最小值为4 C.M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ→＝－3答案 BCD解析 对于A ，因为焦点F 到准线的距离为2，即p ＝2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，故A 错误；对于B ，由抛物线性质知当PQ 垂直于x 轴时，|PQ |取得最小值，此时可取P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ |＝4，故B 正确；对于C ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，所以y 1＋y 2＝4m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，当m ＝1时，可得M (3，2)，故C 正确；对于D ，因为y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m (y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，故D 正确.综上所述，选BCD.7.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2＝1(a >0)，其上、下焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.过双曲线上一点M (x 0，y 0)作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于点P ，Q ，且点M 为PQ 中点，则下列说法正确的是( ) A.若l ⊥y 轴，则|PQ |＝2B.若点M 的坐标为(1，2)，则直线l 的斜率为14 C.直线PQ 的方程为y 0ya 2－x 0x ＝1D.若双曲线的离心率为52，则三角形OPQ 的面积为2 答案 ACD解析由题意知双曲线C的虚轴长为2b＝2，半焦距为c＝a2＋1，双曲线的渐近线方程为y＝±ax.A项，当l⊥y轴时，M是双曲线的顶点，从而|PQ|＝2b＝2，A项正确；将(1，2)代入双曲线方程，得a2＝2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在直线y＝ax 上，则y1＝ax1，y2＝－ax2，y1－y2＝a(x1＋x2)，易知x1＋x2＝2，则y1－y2＝22，又y1＋y2＝4，则y1＝2＋2，x1＝2＋1，所以k l＝y1－2x1－1＝1，B错误；C项，易得l的方程为y－y0x－x0·y0x0＝a2，整理可得y0ya2－x0x＝1，C正确；D项，由e＝1＋1a2＝52，得a＝2，所以双曲线方程为y24－x2＝1，由C项可知l是双曲线的切线，因为双曲线的切线与两条渐近线相交所成三角形的面积为定值ab，所以三角形OPQ的面积为2，D正确.8.已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E 于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影.下列命题正确的是()A.若AB⊥BF，则|AP|＝|PC|B.若P，B，F三点共线，则|AF|＝4C.若|AB|＝|BC|，则|AF|＝2|BF|D.对于任意直线m，都有|AF|＋|BF|>2|CF|答案BCD解析法一如图，由已知条件可得F(1，0)，C(－1，0).由抛物线的对称性，不妨设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).依题意x 1>x 2>0，y 1>0，y 2>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x消y 整理，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.当Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16－16k 2>0， 即0<k <1时，由根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.对于A 选项，因为直线BF 的斜率为y 2x 2－1，AB ⊥BF ，所以k ·y 2x 2－1＝－1，即y 2x 2－1·y 2x 2＋1＝－1. 又y 22＝4x 2，所以x 22＋4x 2－1＝0，解得x 2＝5－2(负值舍去)，所以x 1＝5＋2. 所以|AP |＝|AF |＝5＋3，|PC |＝y 1＝8＋45，故|AP |≠|PC |，故A 错误； 对于B 选项，易得P (－1，y 1)， 所以FB →＝(x 2－1，y 2)，FP →＝(－2，y 1).当P ，B ，F 三点共线时，y 1(x 2－1)＋2y 2＝0， 所以k (x 1＋1)(x 2－1)＋2k (x 2＋1)＝0， 两边同时除以k ，得x 1x 2＋3x 2－x 1＋1＝0， 又x 1x 2＝1，故可得x 1＝3， 所以|AF |＝x 1＋1＝4，故B 正确；对于C 选项，过B 作BQ ⊥l ，垂足为Q ，由已知可得AP ∥BQ ，所以|BQ ||AP |＝|BC ||AC |. 又|AB |＝|BC |，所以|AP |＝2|BQ |.由抛物线的定义，得|AF |＝|AP |，|BF |＝|BQ |， 因此|AF |＝2|BF |，故C 正确；对于D 选项，因为|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， 所以|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2≥2x 1x 2＋2＝4，又x 1≠x 2，|CF |＝2，故|AF |＋|BF |>2|CF |成立，故D 正确.法二 对于选项A ，假设|AP |＝|PC |成立，则△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝45°，∠ACF ＝45°，又AB ⊥BF ，所以△BCF 为等腰直角三角形，则点B 在y 轴上，这与已知条件显然矛盾，故|AP |≠|PC |，故A 错误.其他选项同法一进行判断.9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点.若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( ) A.双曲线的离心率为 3B.双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC.∠PAF 2＝45°D.直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点 答案 ABD解析 因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a 2＋4c 2－4a 22·4a ·2c ＝32，解得c ＝3a ，所以e ＝3，故A 正确；e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝3，所以b 2a 2＝2，即b a ＝±2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠PAF 2≠45°，故C 错误；联立直线方程与双曲线方程⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x 2a 2－y 22a 2＝1，化简得7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，故D 正确.故选ABD. 10.已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝1，曲线C n ：x 2a n ＋y 2a n ＋1＝1，n ∈N *，则下列说法中正确的是( ) A.若q >0且q ≠1，则C n 是椭圆B.若存在n ∈N *，使得C n 表示离心率为12的椭圆，则q ＝43C.若存在n ∈N *，使得C n 表示渐近线方程为x ±2y ＝0的双曲线，则q ＝－14 D.若q ＝－2，b n 表示双曲线C n 的实轴长，则b 1＋b 2＋…＋b 20＝6 138 答案 ACD解析 若q >0且q ≠1，则a n >0，a n ＋1>0且a n ＋1≠a n ，所以C n 表示椭圆，A 正确；当C n 表示椭圆时，显然q >0且q ≠1，若q >1，则a n ＋1>a n ，e ＝a n ＋1－a na n ＋1＝1－a na n ＋1＝1－1q ，令1－1q ＝12，解得q ＝43；若0<q <1，则a n >a n ＋1，e ＝a n －a n ＋1a n ＝1－a n ＋1a n＝1－q ，令1－q ＝12，解得q ＝34，故B 错误；若C n 表示双曲线，显然q <0，故双曲线C n 的一条渐近线方程为y ＝－a n ＋1a nx＝－qx ，令－q ＝12，解得q ＝－14，C 正确；若q ＝－2，则当n 为偶数时，a n <0，a n ＋1>0，双曲线C n 的焦点在y 轴上，则b n ＝2a n ＋1；当n 为奇数时，则a n >0，a n ＋1<0，双曲线C n 的焦点在x 轴上，则b n＝2a n .所以b 1＋b 2＋…＋b 20＝2(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋2(a 3＋a 5＋…＋a 21)＝4(a 1＋a 3＋…＋a 19)－2＋2a 21＝4×1－2101－2－2＋2×1×210＝3×211－6＝6138，D 正确.。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题07平面解析几何(选择题、填空题)文(含解析)
专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△， 故选B ．【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.设()00,P x y ，由=OP OF ，再结合双曲线方程可解出0y ，利用三角形面积公式可求出结果.7．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0a =AB ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =∴a=12a =，故选D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2C ．12D 1【答案】D【解析】在12F PF △中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒o，设2PF m =，则12122,c F F m PF ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=，则212c c e a a ====，故选D ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析，关键是寻找椭圆中a ，c 满足的关系式.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.11．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点坐标为(±c ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为by x a=±； (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，焦点坐标为(0，±c )，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，渐近线方程为a y x b=±. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△.故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】c e a ===Q 1b a ∴=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，所以点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.熟记结论：若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>是等轴双曲线，则a =b ，离心率e ，渐近线方程为y =±x ，且两条渐近线互相垂直.14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，)，(0)D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．【名师点睛】本题主要考查双曲线基本量之间的关系，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，先根据所给的双曲线方程确定焦点所在的坐标轴，然后根据基本量之间的关系进行运算.15．【2018年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2b y a =±， 不妨设2(,)b A c a，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=． 故选A ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ，B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ． 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．17．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．[9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．[4,)+∞U【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ， 故选A ．【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << 故选C.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （M在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-.所以M 到直线NF=故选C.【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数的关系或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；涉及中点弦问题往往利用点差法.20．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21．【2017年高考天津卷文数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意，，之间满足的关系：，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到，，满足的关系式，联立求解可得，，的值．22．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==B ． 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．23．【2019年高考北京卷文数】设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．a b c 222c a b =+a b c a b c【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1，0），准线l 的方程为x =−1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x −1)2+y 2=22，即为22(1)4x y -+=. 【名师点睛】本题可采用数形结合法，只要画出图形，即可很容易求出结果.24．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.25．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 26．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.27．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.28．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）， 又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以212PF k ==.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.29．【2018年高考全国I 卷文数】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为()2214x y ++=，所以圆的圆心为()0,1-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==结合圆中的特殊三角形，可知AB ==【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形，即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形，利用勾股定理求得弦长.30．【2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】2220x y x +-=【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =________________． 【答案】4【解析】在双曲线中c ==c e a ==，=，即216a =， 因为0a >，所以4a =．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，考查考生的运求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解有关离心率的问题时，一般不直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的条件，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l 过点（1，0）且垂直于x轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】()1,0【解析】由题意可得，点()1,2P 在抛物线上，将()1,2P 代入24y ax =中，解得1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得：24,2,12pp p ===，∴焦点坐标为()1,0.【名师点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点()1,2，将点()1,2坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.34．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以2b c =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .35．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D.所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】本题主要考查直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的性质，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =.【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =. 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±.2.已知渐近线y mx =设双曲线的标准方程为222m x y λ-=.3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.37．【2017年高考北京卷文数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_________．【答案】2【解析】因为221,a b m ==，所以c a ==2m =. 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为___________．a b c 222c a b =+【答案】22(1)(1x y ++=【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u r u u u r，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得m =由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则m =所求圆的圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++=．【名师点睛】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是120CAF ∠=︒，会不会用向量的数量积表示cos CAF ∠，根据图象，可设圆心为(1,)C m -，那么方程就是22(1)()1x y m ++-=，若能用向量的数量积表示角，即可求得m ，问题也就迎刃而解了．另外，本题也可通过解三角形求得AO =m =39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】2y x =± 【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p p AF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=， 因为22222222221202x y a y pb y a b a b x py ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】若AB 是抛物线()220y px p =>的焦点弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p .(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q ，1(F ，2F ，所以四边形12F PF Q 的面积S == 【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．。
2019年高考真题数学(文)分项汇编之平面解析几何(选择题、填空题)(原卷版)
2 B ．1专题 07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是A ． 2C ． 2D ．22．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线 C ： 的离心率为 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒3．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆 C 的焦点为 F 1( - 1,0)，F 2(1,0)，过 F 2 的直线与 C 交于 A ，B两点．若 | AF 2 |= 2 | F 2 B | ， | AB |=| BF 1 | ，则 C 的方程为x 2A ． + y 2 = 12x 2 y 2 C ． + = 14 3x 2 y 2B ． + = 13 2x 2 y 2D ． + = 15 44．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线 y 2=2p x （p >0）的焦点是椭圆x 2 y 2+ = 1的一个焦点，则 p = 3 p pA ．2C ．4B ．3D ．85．【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】设 F 为双曲线 C ： x 2 y 2 -a 2b 2= 1（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2+y 2=a 2 交于 P ，Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为A ． 2C ．2B ． 3D ． 5x 2 y 26．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知 F 是双曲线 C ： - = 1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原4 5点，若 OP = OF ，则 △OPF 的面积为12B．52D．9+=1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为22B．2-32D．3-1A．32C．727．【2019年高考北京卷文数】已知双曲线A．6C．2x2a2-y2=1（a>0）的离心率是5，则a= B．4D．128．【2019年高考天津卷文数】已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为A．2C．29．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C：A．13B．3D．5x2y2a4B．12 2C．D．222 310．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知F，F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF⊥PF，且1212∠PF F=60︒，则C的离心率为21A．1-3C．3-111．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为22D ． y = ± ⎦⎦【 【A ． y = ± 2 xB ． y = ± 3xC ． y = ± 2x3 2x12 ．【 2018 年高考全国 Ⅲ 卷文数】直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆( x - 2)2 + y 2 = 2 上，则 △ABP 面积的取值范围是A ． [2 ，6]C ． ⎡⎣ 2 ，3 2 ⎤B ． [4 ，8]D ． ⎡⎣2 2 ，3 2 ⎤13． 2018 年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线 C :的渐近线的距离为A ． 2x 2 y 2 - a 2 b 2B ． 2= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 2 ，则点 (4,0) 到 CC ．3 2 2D ． 2 2x 214．【2018 年高考浙江卷】双曲线 - y 2 = 1的焦点坐标是3A ．(− 2 ，0)，( 2 ，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，− 2 )，(0， 2 )D ．(0，−2)，(0，2)15． 2018 年高考天津卷文数】已知双曲线 x 2 y 2- a 2 b 2= 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 2 ，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2 ，且 d 1 + d 2 = 6 ，则双曲线的方程为x 2 y 2A ． - = 13 9x 2 y 2 C ． - = 14 12x 2 y 2B ． - = 19 3x 2 y 2D ． - = 112 43C．D．1y216．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x3轴垂直，点A的坐标是(1，3)△，则APF的面积为A．C．1323B．D．1232x2y217．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足3m∠AMB=120°，则m的取值范围是A．(0,1][9,+∞) C．(0,1][4,+∞)B．(0,3][9,+∞) D．(0,3][4,+∞)18．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】若a>1，则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是A．(2,+∞) C．(1,2)B．(2,2) D．(1,2)19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M（M 在x的轴上方），l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为A．5 C．23B．22 D．3320．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为A．63B．3323343B ．3D ． 524．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】设 F ，F 为椭圆 C: + = 1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象36 20+ = 1 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF21．【2017 年高考天津卷文数】已知双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上， △OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为x 2 y 2 A ． - = 14 12x 2C ． - y 2 = 13x 2 y 2B ． - = 112 4y 2D ． x 2 - = 13x 2 y 222．【2017 年高考浙江卷】椭圆 + = 1 的离心率是9 4A ． 135 3C ．2923．【2019 年高考北京卷文数】设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为__________．x 2 y 21 2限．若 △MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.25．【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 -双曲线的渐近线方程是 ▲ .y 2 b 2= 1(b > 0) 经过点（3，4)，则该26．【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y = x +4 x( x > 0) 上的一个动点，则点 P到直线 x +y =0 的距离的最小值是 ▲.27．【2019 年高考浙江卷】已知圆 C 的圆心坐标是 (0, m ) ，半径长是 r .若直线 2 x - y + 3 = 0 与圆 C 相切于点 A(-2, -1) ，则 m =___________， r =___________．28．【2019 年高考浙江卷】已知椭圆x 2 y 29 5的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是___________．5【【0，1，0x2y25【29．2018年高考全国I卷文数】直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则AB=________．30．2018年高考天津卷文数】在平面直角坐标系中，经过三点（0，）（1，）（2，）的圆的方程为__________．31．【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当32．【2018年高考北京卷文数】若双曲线a242-=1(a>0)的离心率为，则a=________________．33．【2018年高考北京卷文数】已知直线l过点（1，0）且垂直于轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.34．2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y2-a2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为3c，则其离心率的值是________________．235．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系x Oy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB⋅C D=0，则点A的横坐标为________．36．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线x2y23-=1（a>0）的一条渐近线方程为y=x，则a=.a295y237．【2017年高考北京卷文数】若双曲线x2-=1的离心率为3，则实数m=_________．m38．【2017年高考天津卷文数】设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120︒，则圆的方程为___________．39．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2y2-a2b2=1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为.x23交于点P，Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是_______________．6 40．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系x Oy中，双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别7。
(9套)2019年高考数学复习第一轮 平面解析几何(含9套汇总)
线l的斜率的取值范围为
.
答案 (1)B (2)(-∞,- 3 ]∪[1,+∞)
解析 (1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α,又sin α∈[-1,1],θ∈[0,π),
所以0≤θ≤ 或 3 ≤θ<π.
44
(2)如图,∵kAP= 1 0 =1,
2 1
3 0
kBP= 0 1 =- 3 , ∴直线l的斜率k∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞).
3
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
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(2)由题设知截距不为0,设直线方程为 x + y =1,
a 12 a
又直线过点(-3,4),所以 3 + 4 =1,解得a=-4或a=9.
a 12 a
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0.
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易错警示 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否 为零).
3-1 根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 10 ; 10
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2-1 若直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,则实数m的值为
( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C ∵直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,
浙江专版2019版高考数学一轮复习学案：第八章平面解析
第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式4．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．若过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2D.13解析：选A 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.2．直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角α为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．135°解析：选B 直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故选B.3．(2018²嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解析：选B 当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5,2)，解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：选D 由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－ab＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－ －11－0＝－1，k PB ＝1－ －12－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：[－1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12. [谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－A B. 考点二 直线的方程 重点保分型考点——师生共研[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°，即斜率k ＝33. (1)所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为y ＝33x －5， 即3x －3y －15＝0.考点三 直线方程的综合应用 题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |²|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )．∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12²|OA |²|OB |＝12²⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ²(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ² －4k ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2－2k ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴|PA |²|PB |＝1k 2＋1²4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－k ＋ －k ≥4，当且仅当－k ＝－1k， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |²|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[]－1，0C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12³(2－a )³2＋12³(a 2＋2)³2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |²|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |²|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |²|PB |＝0，故|PA |²|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12³1＋2k k ³(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.3．(2018²湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018²豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π二保高考，全练题型做到高考达标1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018²温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 5．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)． ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ²m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4.6．(2018²温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)8．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )．则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)， 设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.可知23≤k ≤2.故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ²b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12²m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x ＋12＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ²1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以ex＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12³2³12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)， 则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ －9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ²4－k＝12³(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式1．(2018²金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.3．(2018²浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1³a －(－1)³1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018²安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018²诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )²⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ²6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：252．已知直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y ＝2，以及与x 轴，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值．解：如图所示，由直线l1，l 2及x 轴，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补．∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°，即l 1⊥l 2.∴k ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3. 3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题 重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018²衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|PQ |min ＝|3³2＋4³ －2 －3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝ a ＋1 2＋ b －1 2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题 题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1³23＝－1，2³x －12－3³y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2³a ＋22－3³b ＋02＋1＝0，b －0a －2³23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－ y －y 0 ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1²⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点， 则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝02已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a － －3 ²1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4³2＝－1，2³x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝4－0 2＋ －5－7 2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．(2018²浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －2 ＝3³1，a ³1≠3³1，解得a ＝－1，故选C.3．(2018²丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．4．(2018²诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8.即直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)． 又因为直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点， 所以－8＝－9a －2，解得a ＝23.答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018²舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B ．10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.2．(2018²慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018²绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910.4．(2018²厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2³7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0.6．(2018²余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝07.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝ 4＋2 2＋ 2－0 2＝210.答案：2108．(2018²绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝[2－ －1 ]2＋ －1－3 2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]． 答案：(0,5]9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.①又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC ＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)， 即5x ＋y ＋7＝0.第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， ∵直线经过圆的圆心(－1,2)， ∴3³(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.2．(2018²浙江五校联考)若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1解析：选A 因为点在圆内，所以(2a )2＋(a ＋1－1)2<5，解得－1<a <1.故实数a 的取值范围是(－1,1)．3．(2018²湖州调研)若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________．解析：已知圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a ＋1＝1，a －12＋b2－1＝0，由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1,2)，因此圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0.答案：(1,2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏](2016²浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.。
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第8章 第7节一、选择题1．(2010·聊城模考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x2－45y2＝1 B.x25－y24＝1 C.y25－x24＝1D ．5x2－54y2＝1[答案] D[解析] 抛物线y2＝4x 焦点为(1,0)，∴双曲线中c ＝1， 又e ＝c a ＝5，∴a ＝55，∴b2＝c2－a2＝1－15＝45， ∴双曲线方程为x215－y245＝1.2．(2010·山东郓城)已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x25＋y2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5)[答案] C[解析] 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x25＋y2m ＝1上或共内部即可，从而m≥1. 又因为椭圆x25＋y2m ＝1中m≠5，∴m ∈[1,5)∪(5，＋∞)．[点评] 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位置．3．图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是( )A ．e1<e2<e3<e4B ．e2<e1<e3<e4C ．e1<e2<e4<e3D ．e2<e1<e4<e3[答案] B[解析] ∵C1、C2为椭圆，∴e ∈(0,1) ∵C3、C4为双曲线，∴e ∈(1，＋∞) 比较C1、C2∵a 相等而C1比C2的短轴小， ∴C1的焦距比C2的焦距大，从而e1>e2 同理C4的虚轴长>C3的虚轴长，而实轴长相同 ∴C4的焦距>C3的焦距 ∴e4>e3 综上可得：e2<e1<e3<e4，选B. [点评] 对于椭圆e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，e 越大越扁，对于双曲线e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，e 越大开口越宽阔． 4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( ) A ．3 2 B ．2 6 C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为x2b2＋4＋y2b2＝1(b>0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋83b 2y －b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0， 即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3， 长轴长为2b2＋4＝27，故选C.5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，则椭圆的离心率e 等于( ) A.－1＋52 B.－1＋32 C.12D.32[答案] A[解析] 如图，F2(c,0)把x ＝c 代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c ，b2a )．由OA →·OB →＝0结合图形分析得 |OF2|＝|AF2|，即c ＝b2a ⇒b2＝ac ⇒a2－c2＝ac⇒(c a )2＋ca －1＝0⇒e2＋e －1＝0⇒e ＝5－126．(2010·重庆南开中学)双曲线x2n －y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，点P 在双曲线上，且满足：|PF1|＋|PF2|＝2n ＋2，则△PF1F2的面积是( ) A ．1 B.12 C ．2D ．4[答案] A[解析] 由条件知⎩⎨⎧|PF1|－|PF2|＝2n|PF1|＋|PF2|＝2n ＋2，∴|PF1|＝n ＋2＋n ，|PF2|＝n ＋2－n又∵|F1F2|＝2n ＋1，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴S △PF1F2＝12|PF1|·|PF2| ＝12(n ＋2＋n)(n ＋2－n)＝1.7．在同一坐标系中方程a2x2＋b2y2＝1与ax ＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 方程a2x2＋b2y2＝1，即x21a2＋y21b2＝1，因为1a2<1b2，所以是焦点在y 轴上的椭圆．方程ax ＋by2＝0化为y2＝－ab x ，为焦点在x 轴的负半轴的抛物线．8．(2010·长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为( ) A.12B.22C.32D.62[答案] B[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB 中点为⎝⎛⎭⎫x1＋x22，y1＋y22，mx12＋ny12＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减得y1＋y2x1＋x2＝－m n ×x1－x2y1－y2，∴12＝－m n ×(－1)，即m n ＝12，离心率e ＝1m －1n 1m＝1－m n ＝22，故选B.9．(2010·福建福州市质检)已知P 为抛物线y2＝4x 上一个动点，Q 为圆x2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2[答案] C[解析] 抛物线y2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P 、Q 、F、C 四点共线时取最小值，故最小值为|FC|－1＝17－110．(2010·北方四校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p>0)，过点A ⎝⎛⎭⎫p 2，0的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，且MA →＝2AN →，过点M 、N 向直线x ＝－p 2作垂线，垂足分别为P 、Q ，△MAP 、△NAQ 的面积分别为记为S1与S2，那么( ) A ．S1∶S2＝2∶1 B ．S1∶S2＝5∶2 C ．S1∶S2＝4∶1D ．S1∶S2＝7∶1[答案] C[解析] 依题意，点A 为抛物线的焦点，直线x ＝－p2为抛物线的准线，则|MP|＝|MA|，|NA|＝|NQ|，∠PMA ＝π－∠QNA ，故S1＝|MP||MA|sin ∠PMA ＝4|AN|2sin ∠QNA ＝4S2，故选C. 二、填空题11．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________． [答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c2－a2a2<1，∴c2a2<2，即e2<2，∵e>1，∴1<e< 2. 12．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为________． [答案] x2－y28＝1(x>1)[解析] 设另两个切点为E 、F ，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a ＝1，c ＝3， ∴b2＝8.故方程为x2－y28＝1(x>1)． 13．(2010·平顶山市调研)在下列命题中：①方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成区域面积为2； ②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y ＝±x ；③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线． 正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上) [答案] ①②④[解析] 方程|x|＋|y|＝1与两轴交点A(－1,0)，B(0，－1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的面积S ＝12|AC|·|BD |＝12×2×2＝2，故①真；设与两坐标轴距离相等的点为P(x ，y)，则|x|＝|y|，∴y ＝±x ，故②真；∵两点E(－1,0)，F(1,0)的距离|EF|＝2>1，∴到两点E 、F 距离之和等于1的点不存在，∴③错误；与两点E 、F 距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确．14．(2010·安徽安庆联考)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x2＋y24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为________． [答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ， 代入x2＋y24＝1中消去y 得，8x2＋4bx ＋b2－4＝0， 由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25， ∴欲使S △ABP ＝12|AB|·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个． 三、解答题15．(2010·新课标全国)设F1、F2分别是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E 的方程． [解析] (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a ， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a. l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x2a2＋y2b2＝1.消去y ，整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx ＋a2(c2－b2)＝0， 则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝－a2＋b2.因为直线AB 斜率为1， 所以|AB|＝2|x2－x1|＝＋－4x1x2]，得43a ＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E 的离心率e ＝c a ＝a2－b2a ＝22.(2)设AB 的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝x1＋x22＝－a2c a2＋b2＝－23c ，y0＝x0＋c ＝c 3.由|PA|＝|PB|得kPN ＝－1. 即y0＋1x0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x218＋y29＝1.16．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)． (1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝2，ab a2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x2－y23＝y ＝－得，(3－k2)x2＋4k2x －4k2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有 ⎩⎨⎧x1＋x2＝4k2k2－3>0，x1x2＝4k2＋3k2－3>0，Δ＝－－－4k2－，所以k2>3.②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝12|PQ|＝5. 又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，∴k2＝9，解得k ＝±3.∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.17．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；(3)在线段OF 上是否存在点M(m,0)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， ∴b ＝c ＝1，a ＝ 2. 所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)右焦点F(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2y2＝2y ＝x －1得，3y2＋2y －1＝0， 解得y1＝－1，y2＝13.∴S △POQ ＝12|OF|·|y1－y2|＝12|y1－y2|＝23.(3)假设在线段OF 上存在点M(m,0)(0<m<1)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k(x －1)(k≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2y2＝2y ＝－可得，(1＋2k2)x2－4k2x ＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.MP →＝(x1－m ，y1)，MQ →＝(x2－m ，y2)，PQ →＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP →＋MQ →)⊥PQ →⇔(MP →＋MQ →)·PQ →＝0 ⇔(x1＋x2－2m ，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0 ⇔(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0 ⇔(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0 ⇔⎝⎛⎭⎫4k21＋2k2－2m ＋k2⎝⎛⎭⎫4k21＋2k2－2＝0 ⇔2k2－(2＋4k2)m ＝0⇔m ＝k21＋2k2(k≠0)．∴0<m<12.。