2020年春人教版中考知识点梳理第7讲 分式方程
第7讲 分式方程最新版九年级数学下册(HK)精品中考知识点梳理完美版
3.增根
例：若分式方程 1.
1 0 有增根，则增根为 x 1
知识点二 ：分式方程的应用 4. 列分式方 程 解应用题的 一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方 程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中， 既要检验所求未知数的值是 不是所列分式方程的解， 又要检验所求未知数 的值是不是符合题目的实际意义.
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方程两边同乘以 最简公分母)去分母，将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程； (3) 检验：把所求得的 x 的值代入最简公分母中， 若最 简公分母为 0，则应舍去． 使分式方程中的分母为 0 的根即为增根.
1 2 2 转化为整式方程可 x 1 1 x 得：1－2＝2(x－1).
第 7 讲 分式方程
一、 知识清单梳理 知识点一：分式方程及其解法 关键点拨及对应举例 例 ： 在 下 列 方 程 中 ， ① x2 1 0 ； ② 1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
x y 4 ；③
是③.
1 x ，其中是分式方程的 x 1
基本思路：分式方程 2.解分式方程
中考第一轮复习第7讲分式方程
第7讲 分式方程,知识清单梳理)分式方程的概念、解法1．分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有__未知数__的方程叫做分式方程．2．解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中看分母是不是为__零__．3．解分式方程的基本解法(1)去分母，把分式方程转化为__整式__方程．(2)解这个整式方程，求得方程的根．(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的__增根__，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．列分式方程解应用题列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同，都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、__检验__、作答．但与整式方程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否__符合实际意义__．,云南省近五年高频考点题型示例)分式方程的解法【例1】(2019西双版纳中考)分式方程3x －2＝2x的解是________． 【解析】两边同乘x(x －2)，把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【答案】x ＝－4.1．(2019曲靖中考)分式方程11－x ＋x x －1＝－1的解是( D ) A ．x ＝2 B ．x ＝1C ．x ＝0D ．无实数解分式方程的实际应用【例2】(2019昆明中考)八年级学生去距学校10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x km/h ，则所列方程正确的是( C )A.10x －102x ＝20 B.102x －10x ＝20 C.10x －102x ＝13 D.102x －10x ＝13 【解析】设骑车学生的速度为x km/h ，则汽车的速度是2x km/h ，因为速度的单位为千米/小时，所以20 min 要化为13 h ．根据路程、速度和时间的关系，可列出方程10x －102x ＝13，故选C. 【答案】C2．(2019曲靖中考)甲、乙两地相距240 km ，一辆小轿车的速度是货车速度的2倍，走完全程，小轿车比货车少用2 h ，求货车的速度．解：设货车的速度为x km/h ，则小轿车的速度是2x km/h.根据路程、速度和时间的关系，可列出方程240x ＝2402x＋2， 解得x ＝60，经检验，x ＝60是方程的解．答：货车的速度是60 km/h.3．(2019云南中考)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元，第一批盒装花每盒的进价是多少元？解：设第一批盒装花每盒的进价是x 元，则第二批盒装花每盒的进价是(x －5)元．根据总价、单价和数量的关系，又知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，所以列方程为3 000x ＝12×5 000x －5， 解得x ＝30.经检验，x ＝30是方程的解．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点分式方程的增根【例1】(2019毕节中考)关于x 的分式方程7x x －1＋5＝2m －1x －1有增根，则m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【解析】将原方程化为m ＝6x －2，∵方程有增根，即x ＝1，∴m ＝4，故选C.【答案】C2．创新题【例2】(攀枝花中考)已知关于x 的分式方程k x ＋1＋x ＋k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是________． 【解析】先去分母得到整式方程(2k ＋1)x ＝－1，再由整式方程的解为负数得到2k ＋1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1，即2k ＋1≠1且2k ＋1≠－1，然后求出几个不等式的公共部分得到k 的取值范围．【答案】k ＞－12且k≠0,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.(2019哈尔滨中考)方程2x ＋3＝1x －1的解为( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝4 C ．x ＝5 D ．x ＝－52．(2019西宁中考)西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3 h 只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2 h 清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x h ，根据题意可列出方程为( B )A.1.26＋1.2x ＝1 B.1.26＋1.2x ＝12 C.1.23＋1.2x ＝12 D.1.23＋1.2x＝1 3．(2019昆明中考)某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3 600 m 道路的任务，按原计划完成总任务13的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10 h 完成任务．(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修了道路________ m ； (2)求原计划每小时抢修道路多少米．解：(1)1 200；(2)设原计划每小时抢修道路x m ，则工作效率提高了50%后每小时抢修道路50%x m.根据工作总量、工作效率和工作时间的关系可列方程：1 200x ＋2 400（1＋50%）x＝10， 解得x ＝280.经检验，x ＝280是方程的解．答：原计划每小时抢修道路280 m.【方法总结】本题考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．4．(2019绥化中考)甲、乙两个工程队计划修建一条长15 km 的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5 km ，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米；(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？解：(1)设甲每天修路x km ，则乙每天修路(x －0.5)km.根据题意，可列方程：1.5×15x ＝15x －0.5，解得x ＝1.5. 经检验，x ＝1.5是原方程的解，且x －0.5＝1.答：甲每天修路1.5 km ，乙每天修路1 km ；(2)设甲修路a 天，则乙需要修(15－1.5a)km ，∴乙需要修路15－1.5a 1＝15－1.5a(天)， 由题意可得0.5a ＋0.4(15－1.5a)≤5.2，解得a≥8.答：甲工程队至少修路8天． 请完成精练本第7页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A.6 B.8 C.14 D.16 2．下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．|﹣3|3．如图，过△ABC内任一点P，作DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，则DE GF KHBC AC AB++=（）A.1B.43C.2D.834．已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A B．3C．23πD．25．计算：2-－2的结果是( )A．4 B．1 C．0 D．－46．甲、乙两运动员在长为400m的环形跑道上进行匀速跑训练，两人同时从起点出发，同向而行，若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后500s内，两人相遇的次数为（）A.0B.1C.2D.37．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AB上，∠CPB的平分线交边BC 于点D，DE⊥CP于点E，DF⊥AB于点F．当△PED与△BFD的面积相等时，BP的值为（）A. B. C. D.8．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD AB ⊥，30BCD ∠=︒，CD =，则S =阴影（ ）A ．2πB ．83π C ．43π D ．23π 9．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（ ）A ．主视图是中心对称图形B ．左视图是中心对称图形C ．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形D ．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形10．如图，数轴上的点A ，B ，C ，D 表示的数分别为3-，1-，1，2，从A ，B ，C ，D 四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（ ）A ．16B ．14C ．23D ．1311．如图1．已知正△ABC 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，y 关于x 的函数图象如图2，则△EFG 的最小面积为（ ）C.212．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC 的面积最小．A.1B.2C.3D.4二、填空题 13．如图，菱形OABC 的边长为2，且点A 、B 、C 在⊙O 上，则劣弧BC 的长度为______．14．已知点A （﹣2，4）在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，则k 的值为_____． 15．计算：a·a 2=______． 16．张明想给单位打电话，可八位数的电话号码中的一个数字记不起来了，只记得2884□432，他想随意选一个数字补上，请问恰好是单位电话的概率是_____．17．若关于x 的分式方程1x x -－1m x-＝3有增根，则这个增根是_____． 18．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作对弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，交AC 于E ，连接AD ，若AD=BD ，AB=6，则DE=_____.三、解答题19．在箱子中有10张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中，第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，试求x+y 是10的倍数的概率．20．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县政府部门决定，招标一工程队负责完成一座水库的土方施工任务．该工程队有A ，B 两种型号的挖掘机，已知1台A 型和2台B 型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米，2台A 型和3台B 型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米．每台A 型挖掘机一个小时的施工费用是350元，每台B 型挖掘机一个小时的施工费用是200元．（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时各挖土多少立方米？（2）若A 型和B 型挖掘机共10台同时施工4小时，至少完成1360立方米的挖土量，且总费用不超过14000元．问施工时有哪几种调配方案？且指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用多少元？21．（1）计算-32+（15）-101()8+2cos45°×tan60°；（2）已知a ，b 为实数，试比较2a b 3+与a 2b 3+的大小．22．计算：（1）1sin 45-︒+；（2）（a+3）（a ﹣1）﹣（a+2）（a ﹣2）．23．（1）计算：221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭（2）解方程：x 2-6x-1=024．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13，小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m 3，求小丽家今年7月的用水量．25．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 为BD 的中点.（1）求证：∠ACD=∠DEC ；（2）延长DE 、CB 交于点P ，若PB=BO ，DE=2，求PE 的长【参考答案】***一、选择题二、填空题13．23π 14．-815．a 316．110． 17．x=1.18．3三、解答题19．1【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，满足条件的事件x+y是10的倍数的数对可以列举出结果数，根据等可能事件的概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是先后取两次卡片，每次都有1～10这10个结果，故形成的数对（x，y）共有100个．满足条件的事件x+y是10的倍数的数对包括以下10个：（1，9），（9，1），（2，8），（8，2），（3，7），（7，3），（4，6），（6，4），（5，5），（10，10）．故“x+y是10的倍数”的概率为1100.1 100P==．【点睛】本题考查等可能事件的概率，是一个关于数字的题目，数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，然后根据概率公式计算．20．(1) 每台A型挖掘机一小时挖土40立方米，每台B型挖掘机一小时挖土20立方米;(2) 当m＝7时，即选择方案: 调配7台A型、3台B型挖掘机施工时，w取得最大值，最大值为12200元【解析】【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“1台A型和2台B型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米，2台A型和3台B型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设有m台A型挖掘机参与施工，施工总费用为w元，则有（10﹣m）台B型挖掘机参与施工，由4小时至少完成1360立方米的挖土量且总费用不超过14000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，进而可得出各调配方案，再由施工总费用＝每台挖掘机所需费用×调配台数×工作时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，依题意，得：280 23140 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：4020 xy=⎧⎨=⎩．答：每台A型挖掘机一小时挖土40立方米，每台B型挖掘机一小时挖土20立方米．（2）设有m台A型挖掘机参与施工，施工总费用为w元，则有（10﹣m）台B型挖掘机参与施工，∵4小时至少完成1360立方米的挖土量，且总费用不超过14000元，∴()()404204101360 350420*********m mm m⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得：7≤m≤10．∴共有四种调配方案，①调配7台A 型、3台B 型挖掘机施工；②调配8台A 型、2台B 型挖掘机施工；③调配9台A 型、1台B 型挖掘机施工；④调配10台A 型挖掘机施工．依题意，得：w ＝350×4m+200×4（10﹣m ）＝600m+8000，∵600＞0，∴w 的值随m 的增大而增大，∴当m ＝7时，即选择方案①时，w 取得最小值，最小值为12200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．21．（1）2-；（2）2233a b a b ++<. 【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂、0指数幂、平方、立方的意义及特殊角的三角函数值，先计算32、（15）-1018⎛⎫ ⎪⎝⎭、cos45°、tan60°的值，再按实数的运算法则进行计算即可； （2）先计算两个整式的差，再分类讨论得结果．【详解】解：（1）原式=-9+5-（-2；（2）∵2a b 3+-a 2b 3+ =2a b a 2b 3+-- =a b 3- 当a ＞b 时，a-b ＞0， 所以a b 3-＞0 即2a b 3+＞a 2b 3+； 当a=b 时，a-b=0， 所以a b 3-=0 即2a b 3+=a 2b 3+； 当a ＜b 时，a-b ＜0， 所以a b 3-＜0即2a b 3+＜a 2b 3+． 【点睛】本题主要考查了实数运算和整式大小的比较，掌握0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值及整式比较大小的方法是解决本题的关键．22．（1）（2）2a+1．【解析】【分析】（1）将每一项解出然后合并同类项即可（2）多项式乘多项式之后，再合并同类项即可【详解】（1）原式＝2＝ （2）原式＝a 2﹣a+3a ﹣3﹣a 2+4＝2a+1．【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数以及整式乘法23．（1）1a b-；(2) x 1，x 2 【解析】【分析】(1)先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后约分即可；(2)利用配方法解方程．【详解】(1)原式=()()b a b a b +-÷a b a a b +-+ =()()b a b a b +-•a b b + =1a b -； (2)x 2-6x=1，x 2-6x+9=10，(x-3)2=10，x-，所以x 1，x 2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，解一元二次方程-配方法，熟练掌握分式混合运算的法则以及配方法的基本步骤是解本题的关键.24．15m 3【解析】【分析】可设去年每立方米水费为x 元，则今年每立方米水费为（1+13）x 元，小丽家去年12月的用水量为315m x ，今年7月的用水量为3155m x ⎛⎫+⎪⎝⎭，根据等量关系：今年7月的水费是30元，列出方程即可求解． 【详解】 解：设去年每立方米水费为x 元，则今年每立方米水费为（1+13）x 元，小丽家去年12月的用水量为315m x，今年7月的用水量为3155m x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，依题意有 15151303x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得x ＝1.5，155x+＝10+5＝15． 答：小丽家今年7月的用水量是15m 3．【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．25．（1）见解析；（2）PE=4.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B ，然后由圆周角定理可得结论；（2）连结OE ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE ∥CD ，然后由△POE ∽△PCD 列出比例式，求解即可.【详解】解：(1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠DEC=∠B,∴∠ACD=∠DEC （2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点. ∴∠DCE=∠BCE∵OC=OE∴∠BCE=∠OEC∴∠DCE=∠OEC∴OE∥CD∴△POE∽△PCD，∴PO PE PC PD=∵PB=BO，DE=2 ∴PB=BO=OC∴23 PO PE PC PD==∴223 PEPE=+∴PE=4【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的性质是解题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+-⎩＞有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程211a y y+--=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A.﹣2 B.0 C.3 D.62．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等 其中真命题有( )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个 3．下列运算正确的是( )A ．(﹣2x 2)3＝﹣6x 6B ．(y+x)(﹣y+x)＝y 2﹣x 2C ．2x+2y ＝4xyD ．x 4÷x 2＝x 24．据统计，截止2019年2月，长春市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为( )A.542.110⨯B.54.2110⨯C.64.2110⨯D.74.2110⨯5．已知：点A （2016，0）、B （0，2018），以AB 为斜边在直线AB 下方作等腰直角△ABC ，则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2 ）B ．（2，﹣2 ）C ．（﹣1，1 ）D ．（﹣1，﹣1 ）6．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE ⊥AC ；②EG=GF ；③△EFG ≌△GBE ；④EA 平分∠GEF ；⑤四边形BEFG 是菱形．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤7．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB ＝14，BC ＝7．则∠BDC 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．如图，以点A 为中心，把ABC ∆逆时针旋转120，得到''AB C ∆（点B ，C 的对应点分别为点''B C ，），连接'BB ，若'//'AC BB ，则'CAB ∠的度数为（ ）A.45°B.60°C.70°D.90°9．如图，已知CB ＝CA ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（与B ，C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG ⊥CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，得出以下结论：①AC ＝FG ；②S △FAB ：S 四边形CBFG ＝1：2；③∠ABC ＝∠ABF ；④AD 2＝FQ•AC．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．24B ．16C ．14D ．1211．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 在函数()0k y x x =>的图象上，90ACB ∠=︒，边CB 在x 轴上，点D 为斜边AB 的中点，连续DC 并延长交y 轴于点E ，连结BE ，若CEB ∆的面积为4，则k 的值为 （ ）A.2B.4C.8D.1612．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13____________．14．若方程244x a x x =+--有增根，则a=________． 15．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为________． 16．如图，直线y=k 1x+b 与双曲线y=2k x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x +b 的解集是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为__________．18．点A （3，﹣2）关于y 轴的对称点B 在反比例函数y ＝k x的图象上，则B 点的坐标为_____；k ＝_____． 三、解答题 19．为减少雾霾对人体的伤害，某企业计划购进一批防霾口罩免费发放给市民使用，现甲、乙两个口罩厂有相同的防霾口罩可供选择，其具体销售方案如下表.设购买防霾口罩x 个，到两家口罩厂购买所需费用分别为y 甲(元)，y 乙(元)．（1）该企业发现若从两厂分别购买防霾口罩各2500个共花费9750元，若从两厂分别购买防霾口罩各3000个共花费11600元，请求出m ，n 的值；（2）请直接写出y 甲，y 乙与x 之间的函数关系式；（3）如果你是该企业的负责人，你认为到哪家口罩厂购买防霾口罩才合算，为什么？20．已知，如图，数轴上有A 、B 两点．（1）线段AB 的中点表示的数是 ；（2）线段AB 的长度是 ；（3）若A 、B 两点问时向右运动，A 点速度是每秒3个单位长度，B 点速度是每秒2个单位长度，问经过几秒时AB ＝2？21．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣3、2、3，它们除了数字不同外，其它都完全相同（1）若随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为 ；（2）若小明先从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为k 的值，再把此小球放回袋中搅匀，由小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下该数字作为b 的值，请用树状图或列表格写出k 、b 的所有可能的值，并求出直线y ＝kx+b 不经过第四象限的概率．22．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．⑴在图1中画出一个以AB 为一边面积为 5的等腰RtABC ，且点C 在小正方形顶点上；⑵在图2中画出一个以AB 为一边面积为 4的平行四边形ABDE ，且点D 和点E 均在小正方形的顶点上；写出所画四边形周长= .23．（1）解方程：x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）解不等式组：31233122x x x x +<+⎧⎪⎨->⎪⎩24．对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M ()11 ,x y ，N ()22,x y ，给出如下定义：点M 与点N 的“折线距离”为：(),d M N =12x x -+12y y -．例如：若点M(-1，1)，点N(2，-2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：()(),1212336d M N =--+--=+=．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点P(3，-2)．①若点A(-2，-1)，则d(P ，A)= ；②若点B(b ，2)，且d(P ，B)=5，则b= ；③已知点C （m,n ）是直线y x =-上的一个动点，且d(P ，C)<3，求m 的取值范围．（2）⊙F 的半径为1，圆心F 的坐标为(0，t)，若⊙F 上存在点E ，使d(E ，O)=2，直接写出t 的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx ca =++≠与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与直线3y =x 32-交于点(0,3)C -，直线3y =x 32-与x 轴交于点D ． (1)求该抛物线的解析式．(2)点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当PCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标．(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin BEO ∠最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．214．415．116．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 17．18．（﹣3，﹣2）， 6．三、解答题19．（1）m的值是1.9，n的值是1.8；（2）y甲＝2(01000)1.9100(1000)x xx x≤≤⎧⎨+>⎩，y乙＝2(02000)1.8400(2000)x xx x≤≤⎧⎨+>⎩；（3）当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口罩才合算，当x＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩才合算．【解析】【分析】（1）根据题目中的数据和表格中的数据可以列出关于m、n的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据（1）中的m、n的值和题意，可以分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；（3）设y甲与y乙的差为y，可分段得出y与x的关系式，先求出y甲=y乙时x的值，再根据一次函数的性质解答即可.【详解】（1）由题意可得，10002(25001000)20002(25002000)9750 10002(30001000)20002(30002000)1160m nm n⨯+-+⨯+-=⎧⎨⨯+-+⨯+-=⎩，解得，1.91.8mn=⎧⎨=⎩，即m的值是1.9，n的值是1.8；（2）由题意可得，y甲与x之间的函数关系式是：当0≤x≤1000时，y甲＝2x，当x＞1000时，y甲＝1000×2+ （x﹣1000）×1.9＝1.9x+100，y乙与x之间的函数关系式是：当0≤x≤2000时，y乙＝2x，当x＞2000 时，y乙＝2000×2+ （x﹣2000）×1.8＝1.8x+400，由上可得，y甲与x之间的函数关系式是：y甲＝2(01000)1.9100(1000)x xx x≤≤⎧⎨+>⎩，y乙与x之间的函数关系式是：y乙＝2(02000)1.8400(2000) x xx x≤≤⎧⎨+>⎩；（3）设y甲与y乙的差为y，当0≤x≤1000时，y=2x-2x=0，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x≤2000时，y=1.9x+100-2x=-0.1x+100<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，当x>2000时，y=1.9x+100-1.8x-400=0.1x-300,令0.1x-300=0解得，x＝3000，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，∵0.1>0，∴y随x的增大而增大，∴2000<x<3000时，y<0，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，x>3000时，y>0，在乙口罩厂购买防霾口罩合算．综上所述：当0≤x≤1000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当1000＜x＜3000时，在甲口罩厂购买防霾口罩合算，当x＝3000时，在两家口罩厂购买防霾口罩一样，当x＞3000时，在乙口罩厂购买防霾口罩合算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用方程的思想、函数的性质解答．20．（1）12（2）5（3）经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2【解析】【分析】（1）线段AB的中点对应的数为两端点对应的数的和的一半；（2）线段AB的长度是两端点对应的数的差的绝对值；（3）两个不同动点相距2个单位长度，两种情况：一是相遇前相距2单位长度，二是相遇后相距2个单位长度，最后根据路，速度和时间的关系建立等量关系．【详解】如图所示：（1）∵有A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣2，3∴线段AB的中点表示的数是231 22 -+=；故答案为：12；（2）线段AB的长度是|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故答案为：5；（3）设经过x秒后，线段AB的长度为2，依题意得：①A点还没有追上B点某一时刻相距2个单位长度时，5+2x＝3x+2，解得：x＝3，；②A点追上B点后某一时刻相距2个单位长度时，3x＝2x+5+2，解得：x＝7；综合所述经过3秒或7秒时，线段AB的长度为2．【点睛】本题考查了数轴上的点与实数的对应关系，两点之间的距离与绝对值的几何意义和一元一次方程的应用；易错点数轴上速度不同两个动点相遇前后两种不同情况相距2个单位长度．21．（1）13；（2）49． 【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表或画树状图，列出k 、b 的所有可能的值，进而得到直线y ＝kx+b 不经过第四象限的概率．【详解】解：（1）摸出的球为标有数字2的小球的概率为13， 故答案为：13； （2）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中k b 、均为正数的有4种可能性，所以直线y kx b =+不经过第四象限的概率为49． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．22．（1）详见解析；（2）2. 【解析】【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．【详解】（1）如图1所示：三角形ABC 即为所求，；（2）如图2所示：四边形ABDE 即为所求．四边形ABDE 的周长为：22= 【点睛】 此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．23．（1）1211x x ==（2）﹣1＜x ＜2．【解析】【分析】（1）运用配方法求解；（2）先求各不等式解集，再求公共解集.【详解】解：（1）∵x 2﹣2x ﹣1＝0∴x 2﹣2x ＝1∴（x ﹣1）2＝2∴x ﹣1，解得，x 1＝，x 2＝1； （2）31233122x x x x +<+⎧⎪⎨->⎪⎩①② 由不等式①，得x ＜2，由不等式②，得x ＞﹣1，故原不等式组的解集是﹣1＜x ＜2．【点睛】考核知识点：解不等式组，一元二次方程.24．（1）① 6，② 2或4，③ 1＜m ＜4；（2）23t ≤≤或32t -≤≤.【解析】【分析】（1）①根据“折线距离”的定义直接列式计算；②根据“折线距离”的定义列出方程，求解即可；③根据“折线距离”的定义列出式子，可知其几何意义是数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3.（2）由题意可知2x y +=，根据图像易得t 的取值范围．【详解】解：（1） ①d(P, A)=|3-(-2)|+|(-2)-(-1)|=6② (,)3(2)2345d P B b b =-+--=-+=∴ 31b -=∴ b=2或4③ (,)3(2)32323d P C m n m m m m =-+--=-+-+=-+-<，即数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3，所以1＜m ＜4（2）设E （x,y ），则2x y +=，如图，若点E 在⊙F 上，则2332t t ≤-≤≤或.【点睛】本题主要考查坐标与图形，正确理解新定义及其几何意义，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.25．（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，2，﹣）. 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x+2）（x-4）=a （x 2-2x-8），即可求解；（2）由S △PCD =S △PDO +S △PCO -S △OCD ，即可求解；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x+2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38， 则函数的表达式为：233384y x x =--； （2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），。
第7课 分式方程
2 x- 3
3 x
变形为（ D ） A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3（1﹣x） D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）
x +2 + 1- x
=3时，去分母后
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2 5 3．（2015•酒泉）分式方程 x = x + 3 的解是
A．5000 = 8000 x - 600 x
5000 8000 = C． x + 600 x
5000 8000 B． x = x + 600
5000 8000 D． x = x - 600
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5．（2016•贵州）为加快“最美毕节”环境建设，某园 林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比 原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植 树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列 出的方程为（ A ）
1 1 A． = - 5 3x 8 x 1 C． = 8 x - 5 3x
1 1 B． = + 5 3x 8 x 1 = 8x + 5 D． 3x
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二、填空题
7．（2016•广州）分式方程 x=﹣1 ．
1 2 = 2x x - 3
的解是
4 1 - =0 8．（2016•泸州）分式方程 x- 3 x x=﹣1 ．
x- 2 2- x
3 2 = x +1 x 的解是
解：方程两边同乘x﹣2，得1﹣3（x﹣2） =﹣（x﹣1）， 即1﹣3x+6=﹣x+1， 解得：x=3， 经检验x=3是原方程的解， ∴原方程的解为x=3．
中考数学复习课件：第1轮第2章第7讲 分式方程及应用
1.分式方程的解法： 用去分母法解分式方程的一般步骤： (1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程； (2)解这个整式方程；
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不 是 0，使最简公分母不为 0 的根是原方程的根，使 最简公分母为 0 的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最 简公分母.
解：设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A 型机器人每小时搬运(x＋20)千克，
原料，依题意得x1＋20200＝1 0x00，解得x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， 则x＋20＝100＋20＝120. 答：A型机器人每小时搬运120千克原料，B型
机器人每小时搬运100千克原料．
3．(2020·吉林)甲、乙二人做某种机械零件．已 知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与 乙做 60 个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个 数．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x＋6) 个零件，
根据题意得x9＋06＝6x0，解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， 答：乙每小时做12个零件．
第一轮 考点突破
第二章 方程与不等式(组)
第7讲 分式方程及应用
1.(2020·盐
城
)分
式
方
程
x－1 x
＝
0
的解为
x＝
___1_____．
2．(2020·湘潭)解分式方程：x－3 1＋2＝x－x 1.
解：去分母得，3＋2(x－1)＝x，解得x＝－1， 经检验，x＝－1是原方程的解，所以原方程的 解为x＝－1.
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G 的下载速度是每秒15x兆，
由题意得6x00－61050x＝140，解得x＝4， 经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意， 则5G的下载速度是15×4＝60(兆)．
(中考复习)第7讲 一元一次方程及分式方程
( D．x＝0或x＝－1
)
当x＝0时，x(x－1)＝0×(0－1)＝0，
当x＝1时，x(x－1)＝1×(1－1)＝0， 当x＝－1时，x(x－1)＝－1×(－1－1)＝2≠0. 答案 C
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4．分式方程
只含分式和整式，并且____ 分母中含有未知数的方程叫做
分式方程． 5．等式的性质 (1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式， 所得结果仍是____ 等式；符号表示：若a＝b，则a±m＝
_____ b±m．
零的数或整 (2)等式的两边都乘以或都除以同一个不为__________ __ 式，所得结果仍是等式，符号表示：若a＝b，则am＝ a b bm ，m ＝___ ___ m (m≠0)．
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第七讲 一元一次方程及分式方程
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考纲要求 1.了解方程、一元一次方程及分式方程的概念； 2.理解方程解的概念； 3.了解解分式方程产生增根的原因； 4.会解一元一次方程； 5.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的 分式不超过两个)； 6.能根据具体问题中的数量关系，建立数学模 型，列出一元一次方程或分式方程，体会方程 是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 7.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合 理.
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a b b c c
c
c
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中考数学知识点梳理第7讲分式方程
中考数学知识点梳理第7讲分式方程分式方程是指方程中含有分式表达式的方程。
分式方程在中考中占有一定的比重，是考查学生对分式的理解和运用的重要途径。
下面将梳理中考数学中与分式方程相关的知识点。
一、分式的定义和性质分式是指整数与整数之间用斜线分隔的写法，如a/b。
其中，a称为分子，b称为分母，a称为真分数，当a<b时。
分式的性质：1.当分子为0时，分式的值为0。
2.当分母为1时，分式的值等于分子。
3.分子和分母同时乘以一个非零数，分式的值不变。
4.分子和分母同时除以一个非零数，分式的值不变。
二、分式方程的解法1.消去分母法消去分母法是分式方程的基本解法。
其基本思路是通过两边同时乘以分母的公倍数，去除分母并化简方程。
2.交叉相乘法交叉相乘法适用于分式方程中含有两个分式的情况。
其基本思路是将两个分式相乘并等于0，然后将原分式方程化为两个整式方程，再求解。
3.增加分母法增加分母法适用于分式方程中含有分式的情况。
其基本思路是通过增加分母使得方程化为整式方程，再求解。
三、分式方程的典型题型1.分式方程的基本题型(1)形如a/b+c/d=e/f的方程，其中a、b、c、d、e、f都是已知的实数。
(2)形如(a/b)/(c/d)=(e/f)/(g/h)的方程，其中a、b、c、d、e、f、g、h都是已知的实数。
2.均分问题均分问题是指把一个数量等分成若干份的问题。
通常可以建立如下的分式方程：若等分成n份，则每份的数量为总数量除以n，即总数量/n。
3.速度问题速度问题是指涉及速度、时间和路程的问题。
通常可以建立如下的分式方程：速度=路程/时间。
四、分式方程的实际应用1.定理的运用在实际应用中，可以通过定理的运用将问题转化为分式方程，并求解。
2.误差的计算在实际测量中，经常需要进行误差的计算。
可以通过分式方程的运算将实际测量值与真实值进行对比。
3.比例的计算在实际应用中，经常涉及到比例的计算。
可以通过分式方程进行比例的计算。
2020初中数学分式方程详解
2020初中数学分式方程详解
（1）分式方程的概念
◆a、分式方程的重要特征：
①是等式；
②方程里含有分母；
③分母中含有未知数.
◆b、分式方程和整式方程的区别：在于分母中是否有未知数。
（2）分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
a、方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
b、解整式方程，求出整式方程的解；
c、检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
注意：解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。
中考复习第7课时分式方程课件
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第7课时 点 聚 焦
考点1 分式方程的解法
2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两 x＋4 x 边需同乘( D ) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 1 2 2．方程 － ＝0的根是( D ) x－ 2 x－ 1 A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x＋m 2 3．若关于x的方程 ＋ ＝2有增根，则m的值 x－2 2－x 是 0 .
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第7课时┃ 分式方程
解 析
(1)相等关系：甲工程队铺设350米所用的天数＝乙
工程队铺设250米所用的天数；(2)不等关系：完成该项工程 的工期不超过10天．
解
(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天
能铺设(x－20)米． 350 250 根据题意得 x ＝ ，解得x＝70. x－20 经检验x＝70是原分式方程的解． 答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
完成此项工程需1.5x天． 1 1 1 根据题意，得x＋ ＝ ， 1.5x 36 解得x＝60， 经检验，知x＝60是方程的解且符合题意． 1．5x＝90. 故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需60天，90天．
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第7课时┃ 分式方程
变式题 [2011· 济宁] 某市在道路改造过程中，需要铺设 一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这 一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工 程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数 相同. (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两 工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助 设计出来.
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例：若分式方程 1 0 有增根，则增根为 x 1
1.
知识点二 ：分式方程的应用
4.列分式方程 解应用题的 一般步骤
在检验这一步中，既要检验所求未知数的值 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方
是不是所列分式方程的解，又要检验所求未 程；(5)检验： (6)作答．
知数的值是不是符合题目的实际意义.
整式方程
2.解分式方程
约去分母
解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程； (3) 检验：把所求得的 x 的值代入最简公分母中，若
例：将方程 1 2 2 转化为整式方程 x 1 1 x
可得：1－2＝2(x－1).
最简公分母为 0，则应舍去．
3.增根
使分式方程中的分母为 0 的根即为增根.
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第 7 讲 分式方程
一、 知识清单梳理 知识点一：分式方程及其解法
关键点拨及对应举例
例：在下列方程中，① x2 1 0 ；②
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
x y 4 ；③ 1 xБайду номын сангаас，其中是分式方程的 x 1
是③.
方程两边同乘以
最简公分母 基本思路：分式方程
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