第三讲两次相遇问题
二次相遇问题的解题思路
二次相遇问题的解题思路
二次相遇问题是指两个或多个人在不同的时间和地点出发，经过一段时间后再次相遇的问题。
这种问题在实际生活中很常见，例如两个人在不同的地点出发，要在某个地点同时到达，或者一个人在走回家的路上遇到了另一个人，然后在某个地方又再次相遇等等。
解决二次相遇问题的基本思路是利用两者行进的时间、速度、起点和终点等信息，结合一些基本的数学知识，进行推导和计算。
具体的解题思路如下：
1. 先确定二者的起点和终点，以及他们分别的出发时间和速度。
2. 利用速度、时间和路程之间的关系，计算出两者分别到达终点的时间。
3. 然后计算出他们在终点之前的相遇时间，即两者行程时间的差值。
4. 如果两者在终点之前只相遇了一次，那么计算完两者在终点之前相遇的时间后，再根据相遇时的路程、时间和速度等信息，计算出相遇点的位置。
5. 如果两者在终点之前多次相遇，那么需要用到循环的思路，即在计算出两者相遇的时间后，将其中一个人的出发时间更新为相遇时间，然后重新计算两者到达终点的时间。
6. 重复上述过程，直到两者都到达终点，或者达到某一个预设的相遇次数为止。
总之，解决二次相遇问题需要运用数学知识，并结合实际情况进
行推导和计算。
掌握了这种问题的解题思路和方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中遇到的问题。
5.3 两次相遇问题
3 两次相遇问题学习目标:1、掌握两个物体运动中速度、时间和路程之间的数量关系，进一步形成两个物体运动的空间观念；2、理解相遇问题中的“二次相遇”：当速度不变时，两人再次相遇所走的全程是3个全程，每人所走的路程是在一个全程中所走路程的3倍。
教学重点:理解并初步掌握解决“二次相遇”问题的方法教学难点：如何借助数形结合思想，画线段图分析“二次相遇”问题教学过程：一、情景体验PPT展开图片师：行程问题是研究物体运动规律的问题，它涉及的是速度、时间、路程三者之间的关系。
上节课我们已经学习了相遇问题，今天继续来学习二次相遇问题。
（板书：两次相遇问题）首先来回顾一下上节课的内容，有谁知道相遇问题里的数量关系吗？请学生回答师展开PPT，和学生一起回顾复习一次相遇问题。
师：那么，在二次相遇问题中，又有哪些等量关系呢，一起来看看。
师根据PPT，画出二次相遇的线段图并讲解。
甲乙两人第一次相遇时合走1个全程，当两人速度不变，第二次相遇时合走3个全程。
既然速度保持不变，那么两次相遇的时候，每人所走的路程就是在一个全程中所走路程的3倍。
二、思维探索（建立知识模型）展示例1例1：程程、优优两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后继续前进到达对方目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55米处，求A、B两地相距多远？学生读题师：大家能根据题意画出两次相遇的线段图吗？师引导学生画出线段图师：由图中可知，程程、优优两人同时出发到第二次相遇，共走了3个全程。
第一次相遇距离A地75米，说明走完一个全程时，程程走了75米。
两人同时出发同时停止，共走3个全程，说明两人第二次相遇时程程共走了75×3=225（米）。
从图中可以看出程程实际走的路程是一个全程多55米，所以A、B两地间的距离就是：225-55=170（米）。
师小结：解决二次相遇问题，关键一，要找出第一次相遇谁走的路程已知；关键二，根据线段图找出已知路程与全程之间的关系。
第三讲 追及相遇问题
解析： (1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们 间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1 ＝ s＝4 s，x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m，x警＝at12＝×2.5×42 m ＝20 m，所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m. (2)v0＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2 ＝ s＝10 s x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m，x警′＝at22＝×2.5×102 m＝125 m 因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′ ＝x货′－x警′＝30 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车， 则Δt＝＝2 s 所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车． 答案： (1)75 m (2)12 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再 次相遇 1 第一次相遇地点距 A的距离：x1＝ a1(t1＋t0)2＝125 m 2 1 第二次相遇地点距 A的距离：x2＝ a1(t2＋t0)2＝245 m． 2 ④(3分) ⑤(3分)
答案：
第一次相遇处距A距离为125 m
追及和相遇问题
1．追及与相遇问题的概述 当两个物体在 同一直线上 距离 运动时，由于两物体的运动情况不同，
所以两物体之间的
会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越
来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题． 2．追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一 度一定不 小于 前者的速度． (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者 相等 时，两者相距 最近 ． 位置 ，后者的速
2 － 1 ：小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某 段时间内两车的 v－t图象如右图所示，初始时，小张在小王 前方x0处( )
两次相遇行程问题的解法
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。
有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
例1 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B 城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？分析:从图上可以看出，甲乙两人第一次相遇时，行了一个全程。
两次相遇行程问题的解法
两次相遇行程问题的解法在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。
有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。
其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：240－60＝180（千米）例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。
两车同时出发同时停止，共行了3个全程。
说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：（24O＋6O）÷2＝150（千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。
二次相遇问题讲义
一、教学目标:行程问题是研究物体运动规律的问题，它所涉及的是速度、时间、路程三量间的关系。
按物体运动路线可分为：直线运动和曲线运动两大类；按物体运动的方向分为：相向、反向、同向。
二、教学重难点两个物体运动中速度、时间和路程的数量关系，初步形成两个物体运动的空间观念。
三、教学内容：两次相遇【知识要点】“二次相遇”问题是相遇问题中的一个难点，当速度不变时，两人所走的全程为三个全程，每人所走的路程是在一个全程中所走路的3倍.【经典例题】例1 甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米.两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？例2 佳佳从甲地向乙地走，彬彬同时从乙地向甲地走，当他两人各自到达终点时，又迅速返回.两人行走的过程，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地50米处，第二次相遇在距乙地19米处.甲乙两地相距多少千米？例3 明明和欢欢两人同时从学校和少年宫相向而行，在距学校50米处相遇，它们各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距学校30千米处相遇，求学校和少年宫相距多少千米？例4 两辆汽车同时从东西两站相向开出，第一次离东站60千米的地方相遇之后，两车继续以原来的速度前进，各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇，两站相距多少千米？【小试锋芒】1．屈屈和蚊子同时从相距3600米的两地相向而行，蚊子的速度为40米／分钟，屈屈的速度为50米／分钟，蚊子家的狗在屈屈和蚊子之间不停的往返速度为100米／分钟。
问当屈屈和蚊子相遇时，蚊子家的狗共行了多少米？2．甲乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离B地55千米处，求A、B相距多远？3．甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.往返于A、B之间，第一次相遇在距A地20千米处，第二次相遇在距A地40千米处，求A、B的距离.4．甲乙两人都要在游泳池游一个来回，两人分别从游泳池在左岸和右岸同时出发，相向而行，第一次相遇在距游泳池左岸20米，第二次相遇是距游泳池右岸10米，求游泳池左右两岸相距多少米？5．代代和珍珍同时从东西两站出发，相向而行.第一次在离东站150米的地方相遇之后，两人继续以原来的速度前进，各自到达对方出发点后都立即返回.又在距中点西侧300米处相遇，求东西两站相距多远？【大显身手】1．冬瓜和虾米同时从相距8100米的两地相向而行，虾米的速度为55米／分钟，冬瓜的速度为75米／分钟，小胖熊骑自行车在冬瓜和虾米之间不停的往返速度为400米／分钟。
两次相遇三个全程经典例题
两次相遇三个全程经典例题一、题目描述在某一天的早上，小明从家里出发步行去上学。
他一共走了10公里，用了2个小时。
下午放学后，他又从学校返回家里，也用了2个小时。
假设小明在上学和放学的过程中，始终以恒定的速度行走，请回答以下问题：1.小明上学与回家的速度是否相同？为什么？2.小明上学和回家时的平均速度是否相同？为什么？3.若小明在上学和回家的过程中遇到了阻塞，导致速度不是恒定的，那么上学和回家时的平均速度是否相同？为什么？二、相遇的概念相遇是指两个或多个物体在空间中的运动轨迹相交或交叉的情况。
在本题中，小明上学和回家的过程可以看作两个物体的运动轨迹。
三、小明上学与回家的速度是否相同？小明在上学和回家的过程中以恒定的速度行走，因此可以得出结论：小明上学与回家的速度是相同的。
这是因为在题目中并没有提及小明在不同时期的速度不同，因此可以假设小明的速度没有变化。
四、小明上学和回家的平均速度是否相同？小明上学和回家所用的时间相同，即2小时。
上学的距离为10公里，回家的距离也为10公里。
根据速度的定义：速度=距离/时间，可以计算出小明上学和回家时的平均速度。
上学时的平均速度为10公里/2小时=5公里/小时，回家时的平均速度也为10公里/2小时=5公里/小时。
因此，小明上学和回家时的平均速度是相同的。
五、遇到阻塞情况下的平均速度如果小明在上学和回家的过程中遇到了阻塞，导致速度不是恒定的，那么上学和回家时的平均速度是否相同就需要具体情况具体分析。
假设小明上学时速度较慢，回家时速度较快，那么上学时的平均速度就会比回家时的平均速度要低。
为了进一步探讨这一问题，我们来看一个例子。
假设小明上学时遇到了交通堵塞，使得他在前半程只能以3公里/小时的速度行走，而在后半程则以7公里/小时的速度行走。
那么我们可以根据速度的定义计算出小明的平均速度。
上学时的速度计算：前半程距离：5公里（10公里的一半）前半程时间：5公里/3公里/小时 = 5/3小时后半程距离：5公里（10公里的一半）后半程时间：5公里/7公里/小时 = 5/7小时上学时的平均速度计算：平均速度 = 总距离 / 总时间 = 10公里 / (5/3 小时+ 5/7 小时)回家时的速度及平均速度的计算与上学时类似。
二次相遇问题
答：A、B两地相遇160千米。
谈谈这节课你有什么收获？
想一想：这时一共走了多少米？
小
红
小
明
15米
想一想：是否同时到达对方的出发地？
15米
再想一想：这时一共走了多少米？
15米
观察：小红这时走了几米？小明呢？
小 红
他们走了几秒？
小
明
2米
2米
2米
3米
3米
3米
米
第一次相遇 第二次相遇
总路程 小红走的路程 小明走的路程
15米 6米 9米
45米 18米
想一想：为什么1画在中点
的右边？
变式二
甲、乙两车从A、B两地相向开出到达对方 的出发地立即原速返回后第二次相遇 ，已 知第一次相遇时距离A地70千米，第二次在 距离A地30千米处相遇，A、B两地相距多 少千米？
（70×3 ＋ 30）÷2=120（千米）
答：A、B两地相遇120千米。
变式三
甲、乙两车从A、B两地相向开出到达对方 的出发地立即原速返回后第二次相遇 ，已 知第一次相遇时距离A地70千米，第二次相 遇在离中点的B方向30千米处，A、B两地 相距多少千米？
A
B
答：A、B两地相遇180千米乙。
70千米
30千米
变式一
甲、乙两车从A、B两地相向开出到达对方 的出发地立即原速返回后第二次相遇 ，已
知第一次相遇时距离A地70千米，第二次相 遇在离中点的A方向30千米处，A、B两地 相距多少千米？
甲（70×3 －2 30）中÷1.51=120（千米）
A
B
答：A、B两地相遇120千米。 乙
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专题解析
解“两次相遇的行程问题”时，要注意充分利用线段图把题中的情节形象的表示出来，帮助理解题意分析数量关系，迅速的找到解题思路。
例题精讲
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：
由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，
240－60＝180（千米）
例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立
即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。
求A、B两地间的路程。
[分析与解］根据题意可画出线段图：
由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，
（24O＋6O）÷2＝150（千米）
同步精炼
1：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。
到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。
这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。
问：该河的宽度是多少
2、甲乙两车同时从两地相向出发，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即原路返回，途中又在距离A地42千米处相遇，求2次相遇地点之间的距离
3、甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少（小张5千米/小时，小王4千米/小时）.
4、小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）
5、甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。
已知甲车的速度是 15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。
求A，B两地的距离。
6、甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的3
，并且甲、乙两车第 2008 次相遇
7
（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2009次相遇的地点恰好相距
120 千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米。