一道线性规划问题的变形与引申
一个线性规划问题的引申
引 申 ２ 条 件 改变 为 一５。 一４ 。 １ 仍 然 求 ＝ ）＋（ ）≤ ，
＋ｖ的 最 值 ．
这 时 平 面 区域 变 成 以点 （ ， ） 圆心 ， ５４ 为 １为半 径 的 圆 面
： ＋ ３ ５ ｘ ５ 求 ｙ的最值
最大．
的 形 式 ， 问 题 转 化 为 求 可 将
ｆｄ １ —
＼ Ｃ ／
第 四步 ： 当 ＝５， ＝２时 ， 人 目标 函数 ＝２ ’ ， 代 ｘ＋ｙ中 ， 得 ｚ ＝２Ｘ５＂２＝１ ． 一 － Ｉ － ２
行域 内的点（，） ’与点ｆ ， １ ， 一 一 连线的斜率的 倍的最
ｌ ≥ １．
引 申 ３ 条件 不变 ， 求 ＝１ ＋ ｌ 最 值 ． ２ ｙ的 Ｃ Ｐ 本 题 可 以 总 结 一 般 性 的 解法 ：对 于形 如 Ｚ Ａ ＋Ｂ Ｉ ＝ｌｘ ｙ－ －
，
～
、
、
、
ｃ型 的 目标 函 数 ， Ｉ 可将 其 化 为 ：ｖ ２ ＋
、
、
一 一
Ｉｌ ＂
一
般 地 ， 于形 如 Ｙ＝ 对
Ｃ ＋ ｄ
（ ≠ ０ 型 的 目标 函数 ， ∞ ）
ｖ 『— １ —Ｉ —ｌ 一
可 先 变 形 为 ＝旦 ・＿ ＿ 二 —ｌ Ｉ
。
—
３与 ３ ＋５ ２ 的交 点 （ ， ） ， 线 在 Ｙ轴 上 的 截 距 ｙ＝ ． ５ ５２ 时 直
－
解 析 第 一 步 ： 出 可行 域 （ 图 ） 作 如 ． 第 二 步 ：将 目标 函数 ＝２ Ｉ ， ｘ－＇变形 为 ＇＝一 ＋ 它 － ， ， 表示 斜 率 为一 ， ｙ 上 的截 距 为 ｚ的一 条 直 线 ． ２在 轴 第 三 步 ： 移 直 线 ｙ ２ ＋ 当它 经 过 两 直线 一 ｙ＝ 平 ＝一 ． ， ｘ ４
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
高中数学中的线性规划问题解析
高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。
它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。
线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。
目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。
在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。
这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。
可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。
可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。
二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。
图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。
在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。
在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。
代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。
我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。
通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。
单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。
单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。
单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。
三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。
在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。
线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。
通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。
线性规划问题解的基本性质和几何意义
类似的可以求出其他的基可行解。
p24
表3-1
x2
7
D 6 5 C E 4 3 2 1 O B l3 F
l1
l2
G 0 1 2 3 4 5 6
图3-1
A x1 7 8 9
10
由此例可以看出：（1）线性规划来自题的 每个基本解是原问题两个边界约束方程交点， （2）每个基本可行解对应于可行域的顶点。
§4线性规划问题解的基本性质
1、凸集定义：设C是n维欧氏空间En的一个集合，若C中的任意两点x(1),x(2) 的连线上的一切点x仍在C中，则称C为凸集。 即：若任意两点x(1),x(2) ∈C，存在0≤λ≤1 使得x=λx(1)+(1- λ)x(2) ∈ C,则称Ｃ 为凸集. x=λx(1)+(1- λ)x(2)∈ C称为x(1),x(2)的凸组合。 凸集 非凸集
3.2 解的基本性质
定理1:(LP)的可行解 是基可行解的充要条 X 件是它的非零分量所对应的列向量线性无关。
推论1:(LP)的满足约束方程组的任意一个解 ___ 是基本解的充要条件是它的非零分量所对应的 X 列向量线性无关。
___
定理2: 若(LP)有可行解，则它必有基可行解。
定理3:若(LP)有最优解，则一定存在一个基 可行解是它的最优解。
§3线性规划问题解的基本性质
3.1解的基本概念
定义4 在(LP)的一个基可行解中，如果它的 所有的基变量都取正值（即非零分量恰为m 个),则称它是非退化的解；反之，如果有的 基变量也取零值，则称它是退化的解。一个 (LP),如果它的所有基可行解都是非退化的， 就称该问题是非退化的，否则就称它是退化 的。
定理4 线性规划问题（ＬＰ）的可行解集
一道线性规划问题的变形与引申
标函数稍作变形如下： 则点 （ ８ ， ０ ） 到（ １ ， １ ） 距 离 最 大 ，ｚ 一＝ （ ８ — ） ２ ＋ （ ０ － １ ） ＝ ５ ０ ． 变式一 ：①求 ｚ ＝ Ｏ ＋ １ ） ／ （ ｘ ＋ １ ） ＋ Ｏ １ ） ／ （ ｙ ＋ １ ） 取 １ 值范围；（ ｘ ＋ ２ ｙ ＋ ３ ） ／ （ ｘ ＋ １ ） 呢？ 评注 ：通过换 元将 ２ ｘ 看作整 体 ａ ，转化 （ 若ｙ ＋ ｌ≤ｋ （ ｘ ＋ １ ） 恒成立 ， 求ｋ 取值范围。 为点 ｙ ） 到点 （ １ ， １ ） 的距离的平方 ， 将 问题转 生望 而 生畏 。 解 析： ① 令 １ ｙ （ ｘ ＋ ｌ 则 ｖ ＝ ｔ ＋ １ Ａ ， 化为 “ 距 离 型” 加 以解 决 。 纵观浙江省近几 年的考题来看主要呈现 ｔ ∈ ［ １ ／ ５ ， ３ ］贝 ０ ｚ ∈ ［ ２ ， ２ ６ ／ ５ ］ ，（ ｘ ＋ ２ ｙ ＋ ３ ） ／ 变式 四：求 点 （ ｘ － ｙ ，ｘ）表示 的平 面区 出这样 几种形式 ：①区域面积型 ；②直线的 （ ｘ ＋１ ） ＝ 【 Ｘ ＋１ ＋ ２ （ Ｙ ＋１ ） ］ ／ （ ｘ ＋１ ） ＝１ ＋２ （ Ｙ ＋１ ） ， 域 的 面积 ｓ 截 距 型 ；③ 分 式 型 ：包 括 斜 率 （ ｔ ａ ｎ ）型 ， 解析：令 ｘ — ｙ ＝ ａ ，ｘ ＝ ｂ则 ｙ ＝ ｂ — ａ ，ｘ ＝ ｂ代人 （ ｘ ＋ １ ）∈ ［ ７ ／ ５ ， ７ 】 ｓ ｉ ｎ ｄ型及 Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ｔ型；④距离型。有些时候虽 ② 直线 ｙ ＋ ｌ≤ ｋ Ｏ 汁１ ） 恒过（ － １ ， 一 １ ） ，即直 然表 面上看 不是这些模型但通过适当的恒等 线围绕点 （ － １ ， 一 １ ） 旋转 ，要使可行域 内的所有 变形 总能转 化到这些模型上来。现通过对一 点都在直线 ｙ ＋ １ － ｋ 。 【 ＋ １ ） 下方即可，则 ｋ≥ ３ 。 道线性规划题 目的变形 ，来 总结 一下对于几 另 解 ：由可 行域 可知 Ｘ≥ ０ ，则 ｋ≥ ６ ｒ ＋ １ ） ， ｘ ＋ １ ） 恒 成 立，只需 ｋ≥ ［ （ １ ） ／ （ ｘ ＋ ｌ 即可 ， 种不同类型的线性规划问题的常用解法 ， 供大 （ 求 出点 所 在 的可 １ ＋ １ ） 】 一＝ ３ 则 ｋ≥ ３ 。 行 域 则面 积 Ｓ可 求 。 家学习参考。 ｆ ｘ ＋ｙ — ｇ ０ 由上面解答知 ｝ 评注 ：表面上 目标 函数 比较复杂 ，经过 Ｓ＝ １， ２ × ４ × ４— 问 题 ： 已 知 点 Ｐ （ ｘ ， ｙ ） 满 足ｌ ｘ — ｖ ＋ ２ ≥ ０ １ ／ ２Ｘ２Ｘ １ ＝ ８ － １ ＝ ７ ｛ ｝ 变形整理以后仍然可 以转化为 “ 斜率型”加 Ｘ ０ 以解 决 。 （ Ｉ ） 求ｚ 一 ２ ｖ 最大值。 Ｉ Ｙ≥ ０ 变式二 ：①使 ｚ － ｙ — ａ ｘ 取得最大值时有无 （ ２ ）求 点 Ｐ表示 的 平 面 区域 的面 积 ｓ 。 数个 最 优解 ，求 ａ 取值 范 围 。 变 式五 ： ②使 ｚ ＝ ： ｙ — ａ ｘ 仅在 （ ４ ， ０ ） 处取得最大值 ，求 （ ３ ）求 ｚ ＝ （ ｙ ＋ １ ） ， （ ｘ ＋ １ ） 取值范围。 ａ 取 值范 围。 （ ４ ） 求ｚ ＝ （ ｘ 一 ５ ） ＋ Ｏ 一 １ ） ２ 最小值。 （ ５ ）若点 Ｑ在 曲线 （ ｘ 一 ５ ） ＋ （ ｙ ＿ １ ） ２ ＝ １ 上， 解析 ： ①将 目标 函数变形为 ｙ ＝ ａ ｘ ＋ ｚ ，要 个三角形 ，求实数 的取值范围。 求ｔ Ｐ Ｑ ｉ 的最小值，最大值分别为多少？ 使ｚ ＝ ｙ － ａ ｘ取得最大值 时有无 数个最优解 ，则 解析 ：平移直线 ｘ － ｙ ＋ ｍ－ － ０使得该 直线上 可 行域 如 图所 示 ： ｋ ＿ ａ ＝ ｋ ＾ Ｂ ＝ － １ ，或 ｋ ＝ ａ ＝ ｋ ｓ ｃ ＝ １． － ｏ ａ ＝－ ｔ － １ 方 区域 与其 它约束条件 ｘ 十 ｖ ＿ ＿ ４≤０ ，Ｘ ≥０ ， 解析： ②将 目标 函数 变形为 ｙ ＝ ａ ｘ ． ＋ ｚ ，使 ｚ ＝ ｙ — ａ ｘ Ｙ ≥０ 所构成的公共区域为一个三角形 ，将代 （ １ ）将 目标 仅在 （ ４ ， ０ ） 处取得最大值 ， 则ａ ＜ 一 １ 。 数问题转化为几何 问题加 以解决。 函数 Ｚ ＝ Ｘ － ２ ｙ变 形 评 注：将 目标函数转化 为 “ 截距 型”， Ｏ≤ｍ ＜４或 ｍ≤ － ４ 为 ｙ ＝ ｘ ／ ２ 一 ｚ ／ ２当 截 若最优解有无穷多个 ，说明 目标函数的斜率 变式六 ： 若ｚ ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｘ ＋ ２ ｙ ， ２ ｘ ＿ ｙ ｝ ， 求ｚ 距一 ｚ ／ ２最 小 时 ，ｚ 等于某一边界线 的斜率 ，已知最优解个数 ， 解析 ： ＋ 一 ＞一 ＞ 一 ｙ ｙ Ｏ ０ 比较 取得最大值。 求参数范围则运用数形结合思想 ，通过 ｆ ｘ ＋ ２ ｖ ｘ ≤ ３ ｖ ＋ 一 Ｄ ０ 即过 点 Ａ （ ４ ＇ ０ 】 有关直线的倾斜程度而直观求解 。 ｘ＞３ ｖ ｖｌ Ｏ Ｏ 时 ，Ｚ 一． ４ ｏ 变式三：求 ｚ ＝ （ ２ ｘ 一 １ （ ｙ 一 １ ） 的最大值。 当 ｘ≤ ３ ｙ时 ， 过 （ ２ ） Ｓ － ＝ Ｓ △ ＾ Ｂ Ｄ － Ｓ △ ｃ ｏ Ｄ ＝ １ Ｘ ６Ｘ３ — １ ／ ２ Ｘ ＝ ７ 解析表 ：令 ２ ｘ ＝ ａ ， 点（ １ ， ３ ） 时ｚ 最大值为 ７ ， ｙ ／。 ！ 当ｘ （ ３ ）（ ｙ ＋ １ ） ／ （ ｘ ＋ １ ） 可 以 看 作 点 （ ｘ ， ｙ ） 与 则 示 ｚ ＝ （ａ — ＞ ３ ｙ时 ， 过 点 的 １ ） ２ ＋ — １ ） ， 即 为 点 （ － １ ， 一 １ ） 所 在 直 线 的 斜 率， 则 （ ｙ ＋ １ ） ／ 乎 （ ４ ， ｏ 】 时ｚ 最大值为 ８ ， 面 ， ， ． ‘ ． Ｚ一 ＝ ８ 点（ ａ ， ｙ ） 到点 （ １ ， １ ） （ ｘ ＋ １ ）∈ ［ １ ／ ５ ， ３ ］ 。 区 （ ４ ）点 （ ５ ， １ ） 到 Ａ（ ４ ， ０ ） 距 离 最 小 ， 即 的距 离 的平 方 ， 评注 ：对于含参数 的线性 约束条件和不 域 Ｚ～＝ ２。 需先求 是 出点 ｙ ） 同类型的 目标 函数 ，我们可以通过变形整理 （ ５ ）点 Ｑ在以 （ ５ ， １ ） 为圆心，１为半径的 所在 的可行 域 。 或是换元等技巧使 目标函数转化为三个基本 模型 即截距型 、斜率型、距离型。充分利用 圆上 运动 ，ｔ Ｐ Ｑ Ｉ 的最值 即为 圆心 （ ５ ， １ ） 到可行 ２ ｌ ｄ ＋２ １ ， 一 ８ ＜ ０ 域 内点距离的最值加上 （ 减去 ）半径 １ ． 数形结合 的思想从几何意义人手 ，这样线性 评注 ：运用数形结合 思想，将 目标函数 规划问题就不难解决 了。 转化 为三个基本模型 即截距型 、斜率型 、距 Ｙ ０ 旦 ０ ｌ 离 型。将代 数问题 “ 几何化” ，再利用几何 知识 求解。上述这些都是基本题型 ，现将 目
线性规划问题的解法与应用
线性规划问题的解法与应用线性规划是一种数学工具，被广泛应用于各个行业，例如生产、物流、财务等。
其基本思想是在各种限制条件下，求出某些目标的最优解，被称之为线性规划问题。
解决线性规划问题的方法有很多种，包括普通单纯性法、双纯性法、内点法等。
本文将简要介绍一些解决线性规划问题的方法，并探讨其应用。
一、普通单纯性法在解决线性规划问题时，大多数情况下会采用普通单纯性法。
普通单纯性法是通过对线性规划问题进行简化，来寻找一个最优解的算法。
具体而言，普通单纯性法是基于线性规划的一个关键特性实现的：也就是说，一个线性规划的可行解有一个凸的区域，而这个区域的顶点就是这个线性规划问题的最优解。
因此，普通单纯性法通过不断地沿着顶点移动来查找最优解。
普通单纯性法的优点在于算法复杂度较低，适用于许多简单的线性规划问题。
然而，由于它的原理，普通单纯性法可能会在特定情况下变得相当低效，因此我们将考虑其他方法。
二、双纯性法双纯性法是一种更复杂但最终更有效的线性规划解法。
与普通单纯性法不同的是，双纯性法以两个方法的组合方式来寻找最优解。
首先，与普通单纯性法一样，它通过着眼于最优解所在的多维坐标系的顶点来寻找最优解。
然后，它采用对迭代过程进行精细检查来确保它没有跨过最优解。
双纯性法比普通单纯性法更准确，因为它在每一步操作时都会重新确定一个可行解的凸区域，而不是只沿着现有凸区域的边界线来确定最优解。
尽管双纯性法比普通单纯性法更复杂，但在大多数情况下，它可以在更短的时间内发现最优解。
三、内点法相比之下，内点法是一种数学计算质量不错的算法，它不依赖于这个可行域的顶点。
相反，内点法使用了每个可行域内部的点，即“内点”，来寻找目标函数的最优解。
具体地说，它会构建一个搜索方向，然后在可行域的内部沿着这个方向探索最优解。
这个方法非常适用于那些具有较大维度和复杂约束条件的线性规划问题。
除此之外，值得一提的是，在线性规划的解决过程中，其中一个非常重要的问题是约束条件的表示。
线性规划原理范文
线性规划原理范文线性规划是一种数学优化方法，用于最大化或最小化一个线性目标函数在一组线性约束条件下的取值。
线性规划常常用于管理、经济学、工程和科学等领域的决策问题。
本文将介绍线性规划的原理和一些相关概念。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的第一步是确定一个目标函数，这个函数是需要最大化或最小化的指标。
目标函数是由变量的线性组合构成的，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cnxn，其中x₁、x₂、..，xn是变量，c₁、c₂、..，cn是系数。
2. 约束条件：线性规划的第二步是确定一组约束条件，这些条件限制了变量的取值范围。
约束条件通常是由变量的线性组合与一个给定的常数之间的关系构成，如a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxn≤b，其中a₁、a₂、..，aₙ是系数，b是常数。
3.决策变量：决策变量是指在问题中需要决策的变量，也就是需要根据一定的规则或策略来确定其取值的变量。
决策变量是目标函数和约束条件中的变量。
二、线性规划的基本形式线性规划的基本形式可以表示为：最小化（或最大化）目标函数：Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cnxn满足以下约束条件：a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxn≤b₁aₙ₊₁x₁+aₙ₊₂x₂+...+a₂ₙxn≤b₂...a₂ₙ₋₁x₁+a₂ₙ₋₂x₂+...+a₄ₙxn≤bₙ₋₁其中x₁、x₂、..，xn是决策变量；c₁、c₂、..，cn是目标函数的系数；a₁、a₂、..，an是约束条件的系数；b₁、b₂、..，bₙ是约束条件的常数。
三、线性规划的解题过程线性规划的求解过程可以分为以下几个步骤：1.建立数学模型：根据实际问题的描述，将目标函数和约束条件转化成数学表达式。
2.确定决策变量的取值范围：根据问题的实际背景和限制条件，确定决策变量的取值范围。
3.描述目标函数和约束条件：将目标函数和约束条件转化成标准形式，即转化成上述的线性规划基本形式。
4.求解线性规划问题：利用线性规划求解方法，如单纯形法等，求解得到最优解。
1.2线性规划问题的图解法及几何意义
2
①
可行域
1
Z增大方向
-1
0
1
②
2
3 x1
图解法（总结三个特点）
从图解法可以看出一般情况下： 从图解法可以看出一般情况下： （1）具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。 具有两个变量的线性规划问题的可行域是凸多边形。 凸多边形 顶点得到 （2）若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。 若线性规划存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。 （3）若在两个顶点上同时得到最优解，则在这两点的连线上的任 若在两个顶点上同时得到最优解， 意一点都是最优解； 意一点都是最优解； 虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法， 虽然图解法只能求解包含两个变量的问题，作为算法，没有 太大价值，但是上述结论却非常有意义。它将搜索最优解的范围 太大价值，但是上述结论却非常有意义。 从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。 从可行域的无穷多个点缩小到有限几个顶点。这就开启了人们的 思路。 思路。而后面我们要介绍的求解多维线性规划的单纯形法就是在 此结论的基础上推广得到的。 此结论的基础上推广得到的。
无可行域的情况将会出现， 这时不存在可行解， 时 ， 无可行域的情况将会出现 ， 这时不存在可行解 ， 即 该线性规划问题无解。 该线性规划问题无解。
无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛） 无有限最优解（可行域无界，目标值不收敛）：
线性规划问题的可行域无界， 线性规划问题的可行域无界 ， 是指最大化问题中的目标 函数值可以无限增大， 函数值可以无限增大 ， 或最小化问题中的目标函数值可 以无限减少。 以无限减少。
1.2 线性规划问题的图解法 及几何意义
如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。 如何求解线性规划模型是本章讨论的中心问题。首先介绍 只有两个决策变量的线性规划的图解法， 只有两个决策变量的线性规划的图解法，该方法能够对线性规 划的解法从几何直观上给我们以启迪。 划的解法从几何直观上给我们以启迪。 对于两个决策变量的每一组取值， 对于两个决策变量的每一组取值，都可以看作平面直角坐标 系中一个点的坐标，因此， 系中一个点的坐标，因此，我们可以把满足约束条件的点在平 面直角坐标系中表示出来。 面直角坐标系中表示出来。
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一道线性规划问题的变形与引申
作者：徐曼
来源：《都市家教·下半月》2013年第10期
“线性规划”内容从2004年至今一直是高考的必考内容之一，它经常与函数、不等式、几何问题融合在一起，考查的形式也越来越丰富、灵活，使得没有掌握其变化规律的学生望而生畏。
纵观浙江省近几年的考题来看主要呈现出这样几种形式：①区域面积型；②直线的截距型；③分式型：包括斜率（tan α）型，sin α型及cos α型；④距离型。
有些时候虽然表面上看不是这些模型但通过适当的恒等变形总能转化到这些模型上来。
现通过对一道线性规划题目的变形，来总结一下对于几种不同类型的线性规划问题的常用解法，供大家学习参考。
可行域如图所示：
评注：运用数形结合思想，将目标函数转化为三个基本模型即截距型、斜率型、距离型。
将代数问题“几何化”，再利用几何知识求解。
上述这些都是基本题型，现将目标函数稍作变形如下：
评注：表面上目标函数比较复杂，经过变形整理以后仍然可以转化为“斜率型”加以解决。
评注：将目标函数转化为“截距型”，若最优解有无穷多个，说明目标函数的斜率等于某一边界线的斜率，已知最优解个数，求参数范围则运用数形结合思想，通过比较有关直线的倾斜程度而直观求解。
评注：对于含参数的线性约束条件和不同类型的目标函数，我们可以通过变形整理或是换元等技巧使目标函数转化为三个基本模型即截距型、斜率型、距离型。
充分利用数形结合的思想从几何意义入手，这样线性规划问题就不难解决了。