参数方程的导数及相关变化率问题
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2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
消去参数 t 得
y v2 v1
g x 2v12
x2.
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
x (t)yΒιβλιοθήκη (t, )t
设x (t)具有反函数t 1( x),
则 y [ 1( x)]
x
1
y
x对应y的函数可看作由x对应t的函数和
t对应y的函数复合而成.
由已知变化率求出未知的变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时, 观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加率 是 多 少?
解: 设气球上升t分钟后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为, 则 tan h
500
500米 h
、h都 是 时 间t的 函 数 ，
1.
33 (,)
22
所求切线方程为
y 3 (x 3)
2
2
即x
y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y x,
显然通过原点.
例 3 求由方程 x y 1 siny 0所确定的隐函数y的 2
二阶导数d2 y dx 2
.
（隐函数求二阶导数）
解: 方程两边对x求导，得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
上式两边对x求导，得
y y ( v ln u v u ) uv ln u v v uv1 u. u
或者，把u( x)v( x) 化为elnu( x)v( x)求导也可得相同 结果。
上例，[(sin x)x ] (elnsin xx ) elnsin xx (ln sin x x)
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
参数方程的导数与速度加速度
参数方程的导数与速度加速度参数方程是一种常用的表示曲线的方式，它通过使用参数来描述曲线上的点的位置。
在研究曲线的运动和变化时，我们常常需要了解曲线上各点的速度和加速度。
本文将探讨参数方程的导数与速度、加速度之间的关系。
一、参数方程简介参数方程是将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式。
一般来说，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
二、参数方程的导数导数是描述函数变化率的重要概念，它表示函数在某一点处的斜率。
对于参数方程而言，我们可以通过对自变量t求导来得到曲线上各点的导数。
以参数方程x = f(t)，y = g(t)为例，我们可以分别对x和y关于t求导，得到它们的导数：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)分别表示函数f(t)和g(t)的导数。
这样，我们就可以通过导数来描述参数方程曲线上各点的斜率。
三、参数方程的速度在物理学中，速度是描述物体运动状态的重要概念。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过求导数的模长来得到曲线上各点的速度。
速度的定义是：v = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的导数。
通过计算导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的速度大小。
四、参数方程的加速度加速度是描述速度变化率的重要概念，它表示速度的变化量与时间的比值。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过对速度关于t求导来得到曲线上各点的加速度。
加速度的定义是：a = sqrt((d^2 x/dt^2)^2 + (d^2 y/dt^2)^2)其中，d^2 x/dt^2和d^2 y/dt^2分别表示x和y关于t的二阶导数。
通过计算二阶导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的加速度大小。
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
vx = dx dt dy vy = dt
t = t0
= (v 0 t cos α )′ t = t 0 = v0 cosα 1 = (v 0 t sin α − gt 2 )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
t = t0
∴ 在时刻t0炮弹的速度为
2 2 v = v x + v 2 = v0 − 2v0 gt 0 sin α + g 2 t 02 y
1 2 (3) 令y = v0 t sin α − gt = 0 2
2v0 sin α 得 t1 = 0 , t 2 = g
当 t = t 2时,
2 v0 sin 2α 2v0 sin α x = v0 t cos α = v0 ⋅ cos α = g g
当 sin 2α = 1, 即α =
π
4
时 , x取最大值,即射程最远.
d2y 练习：求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx
⎧ x = a cos t ， 1、 ⎨ ⎩ y = b sin t ；
⎧ x = f ′( t )， 2、 ⎨ 设 f ′′(t ) 存在且不为零. ⎩ y = t f ′( t ) − f ( t ).
x0 − 8 切线的斜率 k = x0 − 3 x0 − 8 ∴k = = 2 x 0 , 得到 x 0 = 2或 x 0 = 4 x0 − 3
2 2
2
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程.
(1 ) x 0 = 2, 切点 ( 2 ,4 ), f ′( 2 ) = 4 ,
⎧ x = 2t , x 例如 ⎨ t= 消去参数 t 2 ⎩y = t , 2 2 1 x 2 x 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参数困难或无法消参数时如何求导?
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定的函数的导数
y (t ), 系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 所确定的函数.
若参数方程
x (t ),
确定 y与 x间的函数关
x t 例如 2 2 x x y t 2 ( )2 2 4
x 2t , 2 y t ,
消去参数
F ( x, y) 0
y f ( x)
隐函数的显化
y e 例1 求由方程 xy e 0 所确定的隐函数的导
dy 数 dx .
例2
求由方程 y5 2 y x 3x7 0 所确定的隐函
.
x 0
dy 数在 x 0 处的导数 dx
例3
3 x2 y 2 3)处的切线方程. 1在点(2, 求椭圆 2 16 9
x a cos t , 例7 已知椭圆的参数方程为 求椭圆 y b sin t. 在 t 相应的点处的切线方程. 4
例8
计算由摆线的参数方程
x a(t sin t ), y a(1 cos t ). 所确定的函数 y y ( x)的二阶导数.
1 y x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程所确定的函数的导数公式 dy dy '(t ) dy dt ,即 . dx '(t ) dx dx dt 二阶导数公式 d 2 y ''(t ) '(t ) '(t ) ''(t ) . 2 3 dx ' (t )
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
y f ( x) 形式称为显函数.
高等数学 第2章 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题： 方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解： 先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
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x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
dx 50 ，求 时的 d 。
dt
3
dt
10
1.2 导数的计算
x 500cot , dx 500( csc2 ) d ,
（2）将关系式 F( x, y, ) 0 两边对 t 求导（注意到 x, y, 都是 t 的函数），从而得各变量对 t 的变 化率之间的关系式；
（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并 求出所要求的变化率。
9
1.2 导数的计算
例 1．一架直升飞机在 500m 高空，以 50 m / s 的均
2
1.2 导数的计算
定理
设有参数方程
x y
f
(t) (t)
, t I ，如果函数 x
(t) ，
y f (t) 在区间 I 上均可导且(t) 0 ， 又 x (t) 存在
dy 反函数 t 1( x) ，则 dy dt f (t) 。
dx dx (t)
dt
注意：参数式函数的导数仍是一个用参数方程表示的函数
dy dx
t 2
1，
故切线方程为 y a x a( 1) ，即 x y a(2 ) 0 。
2
2
6
1.2 导数的计算
例 3．求三叶玫瑰线 a sin 3
(a 为正常数) 在对应
4
的点处的切线方程。
解：利用直角坐标与极坐标间的关系，将所给极坐标方程
化为参数方程：
a
x ( )cos a sin 3 cos
dt
dt
d 1 sin2 dx ,
dt 500
dt
当 时， sin 3 ， dx 50m / s ，代入上式得
3
2 dt
d
dt
3
0.075 .
负号表示 随时间 t 增加而减少。
11
1.2 导数的计算
例 2．在中午 12 点，甲船以 6 km / h 的速度向东行驶，乙船 在甲船之北16km 处以 8 km / h的速率向南行驶，求下午 1 点 两船相离的速率。
y
( )sin
a sin 3
sin
dy
dy dx
d
dx
a(3cos 3 sin sin 3 cos ) , a(3cos 3 cos sin 3 sin )
d，切点 M ( a , a ) ，
2
22
∴切线方程为
y
a 2
1 2
(x
a )
2
，即
x
2y
a 2
0。
7
1.2 导数的计算
6. 相关变化率问题 相关变化率问题 是指：在某一变化过程中变量
x, y, ，它们都与变量 t 有关，且它们之间有关系式 F( x, y, ) 0 ，知道了其中一些变量对 t 的变化率， 要求另外一些变量对 t 的变化率。
8
1.2 导数的计算
求相关变化率的步骤 ：
（1）建立变量 x, y, 之间的关系式 F( x, y, ) 0 ；
14 (km / h) ， 5
负号表示甲乙两船的距离在减少。
13
dt
12
1.2 导数的计算
于是方程两边 s2(t) x2(t) (16 y(t))2 对 t 求导得：
2s ds 2x dx 2(16 y) dy ,
dt
dt
dt
∵当 t 1时， x 6， y 8 ，
∴ s 62 (16 8)2 10 ，
∴ ds dt
t 1
36 64 10
5
1.2 导数的计算
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
dy 解： dy dt a sin t sin t ，
dx dx a(1 cos t) 1 cos t
dt
当 t 时，摆线上相应的点为 M (a( 1), a) ，
2
2
摆线在点 M 处的切线斜率为 k
4 的点处的切线方程。
x2y a 0 2
4
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
dy
1
解
： dy dx
dt dx
dt
1t2
1
1
2t t
2
(1
1 t
)2
。
dx
dx dt
1
1
2t t
2
(1 t)2 。
dy dy
1
dt 1 t 2