人教A版选修2-2(一) 变化率问题、导数的概念作业
人教版高中数学选修2-2第一章1.1变化率与导数习题
2014年新田一中选修2-2课后作业（一）班级___________姓名___________学号___________1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )．A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)22．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )．A．4B．4.1C．0.41D．33．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为( )．A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s4．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )．A．0.40B．0.41C．0.43D．0.445．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于( )．A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)6．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．8．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．9．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．10．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于( )．A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝2(1＋Δx)2－2Δx＝4＋2Δx.答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )．A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )．A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s解析 物体运动在1.2s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A4．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．已知函数y ＝2x，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________.解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝21.5－22＝43－1＝13. 答案136．利用导数的定义，求函数y ＝1x2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx(x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝limΔx →0Δy Δx ＝lim Δx →0－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x3，∴y′|x＝1＝－2.综合提高(限时25分钟)7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )．A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析Δy＝(2＋0.1)2－22＝0.41.答案 B8．设函数f(x)可导，则limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx等于( )．A．f′(1) B．3f′(1)C.13f′(1) D．f′(3)解析根据导数的定义：limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)，lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1)3Δx＝13f′(1)．答案 C9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝limΔt→0s(0＋Δt)－s(0)Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.答案 310．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t＋Δt)－vt0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.答案相等11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解运动方程为s＝12at2.∵Δs＝12a(t＋Δt)2－12at2＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝at0.由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，故at0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业1变化率问题 导数的概念含解析
7。已知函数y＝2x2－1图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________。
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
8。已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝ 处瞬时变化率是________。
解析：∵ ＝ ＝－Δx－3，
∴li ＝－3.
答案：－3
三、解答题(每小题10分，共20分)
所以 ＝ ＝ .
答案：A
4。某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋ (t单位是秒，s单位是米)，则它在4秒末瞬时速度为()
A. 米/秒B. 米/秒
C。8米/秒D. 米/秒
解析：∵ ＝
＝ ＝Δt＋8－ .
∴li ＝8－ ＝ .
答案：B
5。若f(x)在x＝x0处存在导数，则li ()
A。与x0，h都有关
9。求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近平均变化率。
解析：设自变量x在x＝2附近变化量为Δx，则y变化量Δy＝[(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋1]－(22－4＋1)＝(Δx)2＋2Δx，
所以，平均变化率 ＝ ＝Δx＋2.
10。一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3 s时瞬时速度。
C。3 D。－3
解析：∵f′(1)＝li
＝li ＝a.
∵f′(1)＝3，∴a＝3.故选C.
答案：C
12。已知f(x)在x＝x0处导数为4，则li ＝________.
解析：li
＝li
＝2li
＝2f′(x0)＝2×4＝8.
答案：8
13。已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒平均速度；
人教A版选修2-2 变化率与导数 课时作业
人教A 版选修2-2 变化率与导数 课时作业1.已知()f x 为可导函数，且)4(2f '=，则02()l )i (2mh f h f h h→--+=A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】B2.如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则(5)(5)f f +'=A ．12B ．1C ．2D ．0【答案】C【解析】易知(5)583f =-+=．由导数的几何意义知(5)1f '=-．故(5)(5)312f f +'=-=．故选C ．3.已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则yx∆∆等于 A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆【答案】B【解析】因为2()21f x x =-，所以22(1)2(1)12()41f x x x x +∆=+∆-=∆+∆+，(1)1f =，则2(1)(1)(1)(1)2()4114211y f x f f x f x x x x x x x∆+∆-+∆-∆+∆+-====+∆∆+∆-∆∆，故选B ．4.已知曲线2()y f x x ==在点P 处的切线斜率为k ，则当2k =时，点P 的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(1,1)D ．11(,)28--【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．5.已知函数()21f x x =+，则()f x 在区间[0,2]上的平均变化率为________________． 【答案】2【解析】由平均变化率的定义得(2)(0)512202f f --==-．6.若函数()f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y x =+，则000))lim((x f x f x x x∆→--∆=∆________________．【答案】2【解析】由题意可得0000(())lim ()2x f x f x x f x x ∆→--'∆==∆．7.设函数()f x 满足0(1)(1)lim1x f f x x→-+=-，则(1)f '=________________． 【答案】1【解析】由题意可得0(1)(1)(1)lim1x f x f f x→+-'==．8.曲线2()f x x=在点(2,1)--处的切线方程为________________． 【答案】240x y ++=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知21()2s t gt =，其中g ＝10m/s 2． （1）求t 从3秒到3.1秒的平均速度； （2）求t 从3秒到3.01秒的平均速度； （3）求t ＝3秒时的瞬时速度．【答案】（1）30.5(m /s)；（2）30.05(m /s)；（3）30(m /s)． 【解析】（1） 3.130.1(s)t ∆=-=，2211(3.1)(3) 3.13 3.05(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则1 3.0530.5(m /s)0.1s v t ∆===∆． （2） 3.0130.01(s)t ∆=-=，2211(3.01)(3) 3.0130.3005(m)22s s s g g ∆=-=⋅⋅-⋅⋅=， 则20.300530.05(m /s)0.01s v t ∆===∆． （3）由瞬时速度的定义，可知222111(3)(3)(3)33()222s s t s g t g g t g t ∆=+∆-=+∆-⋅=∆+∆， 132s g g t t ∆=+⋅∆∆，则0lim 330(m /s)t sv g t ∆→∆===∆瞬时．12．设函数1()(,)f x ax a b x b=+∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为3y =． （1）求函数()f x 在0x x =处的导数； （2）求函数()f x 的解析式；（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）201()a x b -+；（2）1()1f x x x =+-；（3）证明见解析．由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为20020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----． 令1x =得0011x y x +=-，则切线与直线1x =的交点为001(1,)1x x +-． 令x y =得021y x =-，则切线与直线y x =的交点为0021,1(2)x x --． 又直线1x =与直线y x =的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为000001112|1||211|2222121x x |||x |x x +-⋅--=⋅-=--． 所以，所围成的三角形的面积为定值2．。
人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案
人教a 版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析：Δy ＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt .答案：C3．一运动物体的运动路程s (t )与时间x 的函数关系为s (t )＝－t 2＋2t ，则s (t )从2到2＋Δt 的平均速度为( )A ．2－ΔtB ．－2－ΔtC ．2＋ΔtD ．(Δt )2－2Δt解析：因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt －(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .答案：B4．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于( )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B5．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝( ) A ．4 B ．4＋2(Δx )2 C ．4＋2ΔxD ．4x解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2×(Δx )2＋4×Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4. 答案：C 二、填空题6．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.答案：－297．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为Δx ＝1，所以2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.所以k AB ＝ΔyΔx ＝－16. 答案：－168．函数y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．解析：因为Δy＝1（x0＋Δx）2－1x20，所以y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为Δy Δx ＝1（x0＋Δx）2－1x20Δx＝－2x0＋Δx（x0＋Δx）2x20.答案：－2x0＋Δx （x0＋Δx）2x20三、解答题9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈时，平均增长率的大小．解：设f(x)＝2x在x∈时的平均增长率为k1，则k1＝f（2）－f（1）2－1＝2.设g(x)＝3x在x∈时的平均增长率为k2，则k2＝g（2）－g（1）2－1＝6.因为k1<k2，故当x∈时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率．10．若函数f(x)＝－x2＋x在(Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在上的平均变化率为：Δy Δx ＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）Δx＝－4Δx＋Δx－（Δx）2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．B级能力提升1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①解析：Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.所以k 3＞k 2＞k 1＞k 4.答案：B2．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3003．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD //BE ，则AB AC ＝BE CD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.所以f（x2）－f（x1）x2－x1＝7214＝14.即人离开路灯10 s内身影的平均变化率为14 .。
高中数学人教A版选修2-2 1.1 变化率与导数1.1.3 Word版含答案
1．1.3导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．[知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[预习导引]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值． 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0 [3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝lim Δx→0－12(2＋Δx)＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→0limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角， 所以其斜率为－1.即2x 0＝－1， 得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等． 跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A解析 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________． 答案 －4解析 由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值． 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2.当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ 解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)＋1y ＝x3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.。
新高考人教A版选修数学作业汇编Word版---选修2-2变化率问题导数的概念课时作业
新高考人教A 版选修数学作业汇编课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．4B [由已知得：m 2－1－(12－1)m －1＝3，∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )【006】A ．－3B ．3C ．6D ．－6D [由平均速度和瞬时速度的关系可知， v ＝s ′(1)＝lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6.]3．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对B [由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．]4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝bC [∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b Δx )＝a ，∴f ′(x 0)＝a .]5．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx ＝( )【007】A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－4－(2×12－4)＝4Δx ＋2(Δx )2， 所以Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx .]二、填空题6．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝ . [解析] Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.[答案] 137.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-3所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是 .【008】图1-1-3[解析] ∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v 3>v 2>v 1. [答案] v 3>v 2>v 18．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是 ． [解析] 物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3Δt 2Δt ＝2－6t .即v ＝2－6t ，所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2. [答案] 2 三、解答题9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.【009】[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a ΔxΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时平均速度．[解](1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝limΔt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3(m/s)．即物体的初速度为3 m/s.(2)v＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[能力提升练]1.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图1-1-4所示，则一定有()图1-1-4A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大B [由图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好．]2．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )【010】A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1)D ．f ′(3)C [lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝13f ′(1)．]3．如图1-1-5所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 ．图1-1-5[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．[答案] [x 3，x 4]4．给出下列结论：①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f ′(t 0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v ＝v (t )描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为a ＝lim Δt →0v (t ＋Δt )－v (t )Δt .其中正确的结论序号为 ．[解析] ①函数y ＝2x 2－1在x ＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．[答案] ②③5．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s) s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2(t ≥3)， ①29＋3(t －3)2(0≤t ＜3)， ② 【011】求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18.所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt－12.所以物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.。
高中数学选修2-2人教A版作业及测试课时作业1变化率问题导数的概念含解析
C．6 D．－6
解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝li (－3Δt－6)＝－6.
答案：D
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()
A. ＝ ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
14．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝ ＋ ＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解析：根据导数的定义，得
f′(100)＝li
＝li
＝liБайду номын сангаас
＝li
＝li
＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元．
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若函数y＝f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝()
A．4B．4Δx
C．4＋ΔxD．Δx
解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，
∴ ＝ ＝4＋Δx.
答案：C
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()
答案：
7．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则 等于________．
解析： ＝ ＝4＋2Δx.
答案：4＋2Δx
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
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课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念
一、题组对点训练
对点练一 函数的平均变化率
1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )
2－1
＝a ＝3.
2．若函数f (x )＝－x 2
＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，
则Δy Δx ＝( )
A ．3
B ．－3
C ．－3－(Δx )2
D ．－Δx －3
解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2
，
∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )
2
Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝
1
x
在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．
解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝
1
1＋Δx －1
＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )
(1＋1＋Δx )1＋Δx
＝
－Δx
(1＋1＋Δx )1＋Δx
， ∴
Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx
. 对点练二 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3
－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A ．1
B ．3
C ．－1
D ．0 答案：B
5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
＝(t 0＋Δt )3
－2－(t 3
0－2)Δt ＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt
＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
.
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 2
0 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，求t 0的值．
解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt
＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
，
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0. 所以由3t 2
0＝27，解得t 0＝±3， 因为t 0>0，故t 0＝3，
所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C ．1
3f ′(1) D ．f ′(3)
解析：选A lim Δx →0
f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
＝f ′(1)．
8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝lim Δx →0
a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)
Δx
＝a ，∴a ＝3.
9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
，而
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12
，所以f ′(1)＝1
2.
二、综合过关训练
1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．
2．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1>k 2
B ．k 2<k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20
Δx
＝2x 0＋Δx ；
k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2
Δx
＝2x 0－Δx .
因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，
W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )
A ．两机关节能效果一样好
B ．A 机关比B 机关节能效果好
C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大
D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2
，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )
A ．7 m/s
B ．6 m/s
C ．5 m/s
D ．8 m/s
解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2
－(1－3＋32
)
Δt ＝5＋Δt ，
∴lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象，则
(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为
f (1)－f (－1)1－(－1)
＝
2－12
＝1
2
. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋32
，－1≤x ≤1，
x ＋1，1<x ≤3.
所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)
2－0
＝
3－
32
2＝3
4
. 答案：(1)12 (2)3
4
6．函数y ＝－
1
x
在点x ＝4处的导数是________．
解析：∵Δy ＝－
1
4＋Δx
＋14
＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx
24＋Δx (4＋Δx ＋2)
.
∴
Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2)
. ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1
24＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝
1
2×4×(4＋2)＝1
16
.
∴y ′|x ＝4＝116
. 答案：
116
7．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2
(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．
解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2
)
Δt
＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0
s (2＋Δt )－s (2)
Δt
＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2
－(3×2－4)
Δt
＝lim Δt →0 －(Δt )2
－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．。