3.1.2用二分法求方程的近似解(自编)

§ 3.1.2 用二分法求方程的近似解
如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)· f(b)<0
我们知道函数f(x)＝lnx＋2x－6
在区间(2，3)内有零点，如何找
出这个零点呢？ 如何找出零点在规定精确度下的近 似值呢?
f(2.53515625) >0
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.01）？
(2.53125, 2.5625) (2.53125, 2.546875)
f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.5625)>0
f(2.546875) >0 f(2.5390625) >0
计算端点或中点 的函数值
定区间
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1).
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2
计算端点或中点 的函数值
定区间
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1).
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2
计算端点或中点 的函数值
逐渐缩小函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点所在范围
思考：如何缩小零点所在的区间？
知识探究（一）:
思考:从某水库闸房到防洪指挥部的 某一处电话线路发生了故障。这是一 条10km长的线路，如何迅速查出故障 所在？
如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段 3.再到BC段中点D 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半
(2.53125, 2.5625) (2.53125, 2.546875)
f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.5625)>0
f(2.546875) >0 f(2.5390625) >0
f(2.53125) 2.5390625 <0, f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.53515625 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
f(2.53125) 2.5390625 <0, f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.53515625 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
f(2.53515625) >0
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.01）？
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2 x0=1.5
计算端点或中点 的函数值
f(1)= –2，f(2)=5 [1, 2]
定区间
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1).
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2 x0=1.5
计算端点或中点 的函数值
f(1)= –2，f(2)=5 f(x0)=0.375＞0 [1, 2]
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
2.75 2.625
2.5625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
f(2.5625)>0
(2.5, 2.75) (2.5, 2.625)
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
中点 的值
中点函数 值的符号
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
b）；否则重复2～4.
口 诀 定区间，找中点， 中值计算两边看；
同号去，异号算， 零点落在异号间； 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个
正实数零点(精确到0.1).
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个2，f(2)=5
定区间
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1).
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2
计算端点或中点 的函数值
f(1)= –2，f(2)=5 [1, 2]
定区间
例1 用二分法求函数f (x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1).
区 间
(2, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0
中点 的值
2.5
你能归纳出“给定精确度ε,用二分法 求函数零点近似值的步骤”吗?
1.确定区间 a, b ,验证 f a f b 0 ,给定精确度 2.求区间 a, b 的中点 c ； 3.计算 f c ； （1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点； （2）若 f a f c 0 ，则令 b
f(2.53515625) >0
y
二分法概念
a
0 b x
数
y f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区
a, b上连续不断且 f a f b 0 的函 对于在区间
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
B
B
二分法的实质:就是将函数零点所在的 区间不断地一分为二，使新得到的区间 不断变小，两个端点逐步逼近零点．
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
2.75
f(2.75)>0
(2.5, 2.75)
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
2.75
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间 (2, 3)
端点的符号
中点 的值
中点函数 值的符号
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0
f(2.5625)>0
(2.5, 2.75) (2.5, 2.625)
(2.5, 2.5625) 所以方程的近似解为x 2.5625或2.5
思考:通过这种方法,是否可以得到任意精 确度的近似值? （如精确度为0.01）
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.01）？
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.5625)>0
f(2.546875) >0 f(2.5390625) >0
f(2.53125) 2.5390625 <0, f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.53515625 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
中点 的值
2.5
中点函数 值的符号
f(2.5)<0
2.75 2.625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
(2.5, 2.75)
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 3 零点的近似值（精确度0.1）？
区 间
(2, 3)
(2.5, 3)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(2.625)>0