2020年高中数学人教A版选修2-3巩固提升训练：3章末演练轻松闯关 Word版含解析

[A 基础达标]1．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x —，y —) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C.R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C. 2．下列说法中正确的有：( ) ①若r ＞0，则x 增大时，y 也相应增大； ②若r ＜0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选C.若r ＞0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确；r ＜0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误；|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．若两个变量的残差平方和是325， i ＝1n （y i －y —）2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )A ．64.8%B ．60%C ．35.2%D ．40%解析：选C.由题意可知随机误差对预报变量的贡献率约为325923≈0.352.4．关于残差和残差图，下列说法正确的是( ) A ．残差就是随机误差 B ．残差图的纵坐标是残差C ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高D ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低解析：选C.根据残差分析的概念可知，C 选项正确．残差是真实值减去估计值．5．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，发现y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．72%B ．83%C ．67%D ．66%解析：选B.因为当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，所以7.6759.262≈0.829≈83%.6．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肝病与嗜酒有关；②在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为0.001%，④没有证据显示患肝病与嗜酒有关．分类 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 7 775 42 7 817 未患肝病 2 099 49 2 148 总计9 874919 965其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B.由列联表可求K 2的观测值k ＝9 965×（7 775×49－42×2 099）27 817×2 148×9 874×91≈56.632，由56.632>10.828>6.635.且P (K 2≥10.828)≈0.001，P (K 2≥6.635)≈0.010. 所以①，②均正确．7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间y /min62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________． 解析：由表格知x —＝30，得y —＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a .则a ＋62＋75＋81＋89＝75×5， 所以a ＝68. 答案：688．(2019·济南高二检测)“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t 的平均值 t —和中位数t 0.(2)把下表中空格里的数填上，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关．男 女 总计 t ≥t 0 t <t 0 30 总计45附表：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 k 02.0722.7063.841K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额t 的平均值 t —＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5. 直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5. 所以t 的中位数t 0＝10. (2)男 女 总计 t ≥t 0 25 25 50 t <t 0 20 30 50 总计4555100K 2的观测值k ＝100×（25×30－25×20）250×50×45×55＝10099≈1.01<2.706， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为网购消费与性别有关． 9．某城市理论预测2013年到2017年人口总数与年份的关系如表所示：年份2013＋x (年) 0 1 2 34 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2020年该城市人口总数． 解：(1)散点图如图：(2)因为x —＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y —＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑i ＝15x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑i ＝15x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30， 所以b ^＝132－5×2×1030－5×22＝3.2，a ^＝y —－b ^ x —＝3.6；所以线性回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝7，则y ^＝3.2×7＋3.6＝26. 即估计2020年该城市人口总数为26十万．[B 能力提升]10．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了100名50岁以下的人，调查结果如下表：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计 吸烟 20 20 40 不吸烟 5 55 60 总计2575100根据列联表数据，求得K 2＝________(保留3位有效数字)，根据下表，在犯错误的概率不超过________的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关．附：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解析：K 2的观测值k ＝100×（20×55－20×5）240×60×25×75≈22.2＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关． 答案：22.2 0.00111．某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损.(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：年龄x20 30 40 50 周均学习成语知识时间y2.5344.5根据表中数据，试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y —－b ^x —.解：(1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，所以有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为810＝45.(2)由表中数据，计算得x —＝35，y —＝3.5，b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝525－4×35×3.55 400－4×352＝7100，a ^＝y —－b ^x —＝3.5－7100×35＝2120.所以y ^＝7100x ＋2120.当x ＝60时，y ^＝5.25.即预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间为5.25小时．12．(选做题)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 k 05.0246.6357.879解：(1)由茎叶图可得2×2列联表：正常 偏高 合计 男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计281240K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝40×（16×8－4×12）220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－452⎝⎛⎭⎫1－352＝4625， P (X ＝1)＝C 1245⎝⎛⎭⎫1－45⎝⎛⎭⎫1－352＋⎝⎛⎭⎫1－452C 1235·⎝⎛⎭⎫1－35＝44625， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫1－352＋C 1245⎝⎛⎭⎫1－45C 1235·⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－452⎝⎛⎭⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝⎛⎭⎫1－45⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫452C 1235·⎝⎛⎭⎫1－35＝264625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫452⎝⎛⎭⎫352＝144625， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P462544625169625264625144625所以E (X )＝0×4625＋1×44625＋2×169625＋3×264625＋4×144625＝2.8，即此项血液指标为正常的人数X 的数学期望为2.8.。