2019届山东省泰安市高三上学期期中考试数学(理)试题
(2019泰安三模)山东泰安2019年高三第三次重点考试数学(理).doc
(2019泰安三模)山东泰安2019年高三第三次重点考试数学（理）【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数z 满足()3,z i i i i +=-+为虚数单位，那么z 等于A.12i +B.12i -C.12i -+D.12i --2.全集{}()(){}{}21,2,3,4,5,120,1,U A x x x B x x a a A ==--===+∈集合，那么集合()U C A B ⋃等于A.{}1,2,5B.{}3,4C.{}3,4,5D.{}1,2 3.3,0,cos ,tan 254ππααα⎛⎫⎛⎫∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则等于 A.7 B.17 C.7- D.17- 4.某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，那么 A.25,2x s =＜ B.25,2x s =＞ C.2x ＞5,s ＜2 D.2x ＞5,s ＞2 5.设x,y 满足约束条件1,22,2323,x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则的最大值是A.6B.172C.7D.2946.如下图的程序框图，程序运行时，假设输入的10S =-，那么输出S 的值为A.8B.9C.10D.117.非零向量a ，b 满足1,30b b b a a =-且与的夹角为，则的取值范围是 A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭要条件，命题:,q a b 是任意实数，假设11,.11a b a b ++＞则＜那么 A.“p 且q ”为真B.“p 或q ”为真C.p 假q 真D.p ，q 均为假命题9.设函数()[]()cos ,x f x x e x ππ=⋅∈-的图象大致是10.2名男生和3名女生站成一排照相，假设男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名相邻，那么不同的排法种数是A.36B.42C.48D.6011.双曲线()22221x y a a b-=＞0,b ＞0的右焦点为F 〔2，0〕，设A,B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上，假设直线AB 斜率为7，那么双曲线离心率为B.2 D.412.()f x 是以2为周期的偶函数，当[]()0,1x f x ∈时，，那么在区间()1,3-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，那么k 的取值范围为A.1046k k ≤=＜或 B.104k ≤＜C.1046k k =＜＜或 D.104＜k ＜第II 卷〔共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在答题卷中的横线上.13.不等式211x x --≥的解集是▲.14.某几何体的三视图如右图，其正〔主〕视图中的曲线部分为半个圆孤，那么该几何体的体积为▲.15.函数()x x e a f x e b+=+是定义域上的奇函数，那么a b +的值为▲.16.对于各项均为整数的数列{}n a ，如果()1,2,3,i a i i +=⋅⋅⋅为完全平方数，那么称数列{}n a 具有“P 性质”.不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123123,,,,,,,,n n b b b b a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，那么称数列{}n a 具有“变换P 性质”.下面三个数列：①数列{}n a 的前n 项和()213n n S n =-；②数列1,2,3,4,5；③1，2，3，…，11.具有“变换P 性质”的为▲. 【三】解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.17.〔本小题总分值12分〕函数()73sin cos ,.44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔1〕求()f x 的最小正周期和最小值；〔2〕()()()44cos ,cos ,0.552f πβαβααββ-=+=-≤＜＜求的值. 18.〔本小题总分值12分〕为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者那么被淘汰.选手甲答题的正确率为23. 〔1〕求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；〔2〕设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望.19.〔本小题总分值12分〕三棱柱ABC —111A B C ，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面11,24ABC AB AA E AA ==，，为的中点，F 为BC 的中点.〔1〕求证：直线AF//平面1BEC ;〔2〕求平面BEC 1和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.20.〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的通项公式为13n n a -=，在等差数列{}()*0,n n b b n N ∈中，＞12311223315,b b b a b a b a b ++=+++且又、、成等比数列.〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .21.〔本小题总分值12分〕设椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的离心率12e =，右焦点到直线17x y d a b +==的距离，O 为坐标原点. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明，点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值.22.〔本小题总分值13分〕函数()2,.x f x e kx x R =-∈ 〔1〕假设()()10,12k f x =∈+∞，求证：当x 时，＞； 〔2〕假设()()0f x +∞在区间，上单调递增，试求k 的取值范围；〔3〕求证：()4*444422*********e n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜。
2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log2(x−1)<0}，B={x|x≤3}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 1]B.(2, 3)C.(2, 3]D.(−∞, 1]∪[2, 3]【答案】D【考点】对数函数的定义域交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|0<x−1<1}={x|1<x<2}，B={x|x≤3}，∴∁R A={x|x≤1或x≥2}，∴(∁R A)∩B=(−∞, 1]∪[2, 3]．故选D.2. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()−x D.y=x2−4xA.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；C，y′=−1−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.3. 命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是()A.∀x>0，x(x+1)≤(x−1)2B.∀x≤0，x(x+1)≤(x−1)2C.∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2D.∃x≤0，x(x+1)≤(x−1)2【答案】C命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是：∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2.故选C.4. 已知sin(x+π6)=m，则cos(2x−2π3)=()A.1−2m2B.2m2−1C.mD.2m−1【答案】B【考点】二倍角的三角函数二倍角的余弦公式诱导公式【解析】直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：已知sin(x+π6)=m，所以cos(π2−x−π6)=cos(x−π3)=m，则cos(2x−2π3)=2cos2(x−π3)−1=2m2−1．故选B.5. “a3>b3”是“log7a>log7b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】根据a3>b3推出a>b，但是a，b未必是正数，因此log7a>log7b未必有意义；反之，log7a>log7b推出a>b>0，则必有a3>b3．根据充分必要条件的判定，即可得出结果．【解答】解：若a3>b3，则a>b，当b<a≤0时，或a>0≥b时，由“a>b”推不出“log7a>log7b”；所以，”a 3>b 3”是”log 7a >log 7b ”的必要不充分条件． 故选B .6. 已知向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)，若(2m →+n →) // (m →−2n →)，则λ=( ) A.−1 B.0 C.1 D.2【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】可以求出2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)，根据(2m →+n →)∥(m →−2n →)即可得出−3(3λ+4)+4(λ+3)＝0，解出λ即可． 【解答】解：2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)， ∵ (2m →+n →)//(m →−2n →)，∴ −3(3λ+4)+4(λ+3)=0，解得λ=0． 故选B .7. 函数f(x)=3sin x−x x 2+1在[−π, π]的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质 【解析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项． 【解答】 解：f(−x)=3sin (−x)+x x 2+1=−3sin x−x x 2+1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故排除A ，B ，当x =π6时，f(π6)=32−π6π236+1>0，故排除D .故选C .8. 将函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的个数是( ) ①g(5π12)=1；②g(x)在[5π12,3π4]单调递减；③x =−π12是g(x)图象的一条对称轴； ④(π8,0)是g(x)图象的一个对称中心.A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 【解析】根据图象平移得出函数g(x)的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而得出正确命题的序号． 【解答】解：函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得f(x −π12)=sin [2(x −π12)−π6]=sin (2x −π3)的图象， 所以函数g(x)=sin (2x −π3)；对于①，g(5π12)=sin (2×5π12−π3)=sin π2=1，所以①正确；对于②，x ∈[5π12, 3π4]时，2x −π3∈[π2, 7π6]， 所以g(x)在[5π12,3π4]上单调递减，②正确；对于③，x =−π12时，g(−π12)=sin (−π6−π3)=−1， 所以x =−π12是g(x)图象的一条对称轴，③正确； 对于④，x =π8时，g(π8)=sin (π4−π3)≠0，综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．故选C.9. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n+1a n，则S10=()A.100B.110C.50D.55【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和【解析】本题先根据题干中的关系式得到a2＝2，然后代入n+1有2S n+1＝a n+2a n+1．两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：当n=1时，2a1=2S1=a2a1，可得a2=2．∵2S n=a n+1a n，∴2S n+1=a n+2a n+1．两式相减，可得2(S n+1−S n)=a n+1(a n+2−a n)．即2a n+1=a n+1(a n+2−a n)．∴a n+2−a n=2．∴数列{a n}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．又∵a1=1，a2=2．∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．S10=10×1+10×92×1=55．故选D.10. 已知函数f(x)=a sin x−√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=a sin x−√3cos x=2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x= 5π∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 己知函数f(x)={e(x+1)2,x≤0,x+4x−3,x>0,函数y=f(x)−a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则−x1x2+x3+x4的取值范围为()A.(3, 3+e]B.[3, 3+e)C.(3, +∞)D.[3, 3+e)【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出f(x)的图象和直线y＝a，考虑四个交点的情况，把−x1x2与x3+x4用含有a的代数式表示，再由函数的单调性求解．【解答】解：函数y=f(x)−a有四个不同的零点，即两函数y=f(x)与y=a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1<a≤e，x1，x2是方程e(x+1)2=a的两根，即x2+2x+1−ln a=0的两根，∴x1x2=1−ln a，x3，x4是方程x+4x−3=a的两根，即x2−(3+a)x+4=0的两个根，∴x3+x4=3+a，∴−x1x2+x3+x4=2+a+ln a．∵g(a)=2+a+ln a在(1, e]上为单调增函数，∴g(a)∈(3, e+3]．故选A.12. 对任意实数a，b定义运算“⊙”，a⊙b={b,a≥b,a,a<b，设f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论：①f(x)最大值为2；②f(x)有3个单调递减区间；③f(x)在[−32,−1]是减函数；④f(x)图象与直线y=m有四个交点，则0≤m<2，其中正确结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【考点】命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断函数的单调性及单调区间【解析】分别作出y＝4−|x|，y＝|2−x2|的图象，可得f(x)＝(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，结合图象可得f(x)的最大值，可判断①；以及f(x)的减区间，可判断②；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增，可判断③；由图象可得若f(x)图象与直线y＝m有四个交点，可得m＝0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y＝m有六个交点，可判断④．【解答】解：分别作出y=4−|x|，y=|2−x2|的图象，可得f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，如图：由图象可得f(x)的最大值为2；f(x)的减区间为(−2, −√2)，(0, √2)，(2, +∞)，即f(x)有3个单调递减区间；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增；若f(x)图象与直线y=m有四个交点，可得m=0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y=m有六个交点．综上可得①②正确；③④错误．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为________．【答案】2x−y=0利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f(x)=x cos x+sin x，得f′(x)=cos x−x sin x+cos x，∴f′(0)=cos0−0×sin0+cos0=2．∴函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为：y=2x，即2x−y=0．故答案为：2x−y=0.设为数列{a n}的前n项和，若S n=12a n+1,n∈N∗，则a5=________．【答案】2【考点】数列递推式【解析】当n≥2时，{2S n=a n+22S n−1=a n−1+2，可得a n＝−a n−1⇒⇒a n+2＝a n．故数列{a n}是周期为2的周期数列．即可求解．【解答】解：当n≥2时，{2S n=a n+2，2S n−1=a n−1+2，∴a n=−a n−1⇒a n+1=−a n⇒a n+2=a n，故数列{a n}是周期为2的周期数列．∵S1=12a1+1，∴a1=2．∴a5=2．故答案为：2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为√34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则ca的取值范围是________．【答案】(2, +∞)【考点】解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得s=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√3 4×2ac cos B，可求tan B，进而可求B，然后由正弦定理可ca=sin Csin A=sin Csin(2π3−C)，展开后利用正切函数的性质可求范围．【解答】解：∵由余弦定理可得，cos B=a 2+c2−b22ac，∴a2+c2−b2=2ac cos B，∵S=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√34×2ac cos B，∴tan B=√3，∵0<B<π，∴B=π3，∴由正弦定理可得：c a =sin Csin A=sin Csin(2π3−C)=12sin C+√32cos=1+√3tan C，∵C∈(π2, 2π3)，∴tan C<−√3，∴2+√3tan C >2，可得ca∈(2, +∞)．故答案为：(2,+∞).已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，且当x∈(0,π2)时，f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则不等式f(x)sin2x<1的解集为________．【答案】(−π8, π8)【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】构造新函数令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，由已知条件判断函数单调性，利用函数的单调性判断函数自变量的范围可得答案．【解答】解：已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，则F′(x)=f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(0<x<π2)，所以F(x)=f(x)sin2x在(0,π2)上为单调递增，且F(π8)=f(π8)sin(2×π8)=1，所以F(x)=f(x)sin2x<F(π8)，解得0<x<π8，由f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数得，F(x)=f(x)sin2x在(−π2,π2)为偶函数，所以不等式f(x)sin2x<1的解集为：(−π8,π8 ).故答案为：(−π8,π8 ).三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=4sin(x−π6)cos x+2．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值．【答案】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cosπ6−cos x sinπ6)cos x+2=2√3sin x cos x−2cos2x+2=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵x∈[−π4,π4]，∴2x−π6∈[−23π,π3]，∴当2x−π6=π3，即x=π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x−π6=−π2，即x=−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1．∴函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．【考点】正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】（1）展开两角差的正弦，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；（2）由x 的范围求得相位的范围，则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最值可求．【解答】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cos π6−cos x sin π6)cos x +2 =2√3sin x cos x −2cos 2x +2=√3sin 2x −cos 2x +1=2sin (2x −π6)+1． ∴ T =2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵ x ∈[−π4,π4]，∴ 2x −π6∈[−23π,π3]，∴ 当2x −π6=π3，即x =π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x −π6=−π2，即x =−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1． ∴ 函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．如图，在△ABC 中，∠A =60∘，AB =2，AC =1，BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R )．(1)若AD →⋅AE →=−4，求λ的值；(2)若非零向量m =xAB →+yAC →(x,y ∈R )，求|m||y|的最小值．【答案】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →， ∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(xy )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34， ∴ 当xy=−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．【考点】两向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算律 向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）由图表示出AD →，则AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)，再结合条件即可求出λ； (2)|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2，配方，利用二次函数最值求解即可．【解答】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴ |m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(x y )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34，∴ 当xy =−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(sin A −sin B)=(c −b)sin C ．(1)求A；(2)若2c=(1+2√3)b，求sin B．【答案】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cos A，结合范围A∈(0, π)，可求A的值；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos B＝2sin B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．【解答】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3=a4，S4+2=a5；数列{b n}满足b1=1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．(1)求a n和b n；(2)求数列{1(b n+2)log2a n}的前n项和T n．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a2+a3=a4，可得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1（舍），又S4+2=a5，∴a1(1−24)1−2+2=a1⋅24，解得a1=2，∴a n=2n,n∈N∗；∵1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)，∴当n≥2时，1b1+2b2+⋯+n−1b n−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n =n2b n−(n−1)2b n−1，整理得nb n =n−1b n−1(n≥2)，又b1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴b n=n,n∈N∗；(2)设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴T n=c1+c2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求a n；由b1＝1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．将n换为n−1，相减可得b n；（2）设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 由2a 2+a 3=a 4，可得q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1（舍）， 又S 4+2=a 5， ∴a 1(1−24)1−2+2=a 1⋅24，解得 a 1=2，∴ a n =2n ,n ∈N ∗；∵ 1b 1+2b 2+⋯+nb n=n 2b n(n ∈N ∗)，∴ 当n ≥2时，1b 1+2b 2+⋯+n−1bn−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n=n 2b n−(n−1)2b n−1，整理得n b n=n−1bn−1(n ≥2)，又b 1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴ b n =n,n ∈N ∗；(2)设c n =1(b n +2)log 2a n=1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴ T n =c 1+c 2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n −1−1n +1)+(1n −1n +2)] =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点（用t 表示第t 月份，t ∈N ∗），根据历年数据，某水库的蓄水量V （单位：亿立方米）与时间t 的近似函数关系为：当0<t ≤10时，V(t)=(−t 2+14t −40)e at +60；当10<t ≤12时，V(t)=12t 2−284t +1700；若2月份该水库的蓄水量为33.6亿立方米． (1)求实数a 的值；(2)求一年内该水库的最大蓄水量．参考数据：e 2=7.39,e =2.72,√e =1.65,√e 3=1.40． 【答案】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60，V′(t)=(−2t +14)e 14t +1(−t 2+14t −40)e 14t=−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米． 【考点】利用导数研究函数的最值 根据实际问题选择函数类型 对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）根据V(2)＝33.6计算a ；（2）利用导数求出V(t)在(0, 10]上的单调性，再结合V(11)，V(12)的值得出V(t)的最大值． 【解答】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60， V′(t)=(−2t +14)e 14t+14(−t 2+14t −40)e 14t =−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12． 又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米．已知函数f(x)=e 2x −me x −m 2(3x −12),g(x)=(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的m ∈R ，x >0，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k 的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）求导后分类讨论判断其单调性；（2）转化可得 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立，利用导数研究即可． 【解答】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增， 当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立， 即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0， 即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0， 且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2．。
泰安市高三上学期期末考试试题(数学理)
高三年级考试数学试题（理科）2019.1 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A．B．C．D．2．已知命题为A．B．C．D．3．已知函数的零点所在的区间为A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(2，4)4．已知的值为A．B．C．D．5．已知数列为其前n项和，则的值为A．63B．62C．61D．576．设D是△ABC所在平面内一点，，则A．B．C.D．7．函数的图象大致为8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的充分条件是A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．10．已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为的图象关于点对称，则下列判断正确的是A．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增11．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O为坐标原点)，且的值为A． B.C．3D．212．已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数，满足的最小值为▲．14．已知直线交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x 轴交于C，D两点，则▲．15．若直线是曲线的一条切线，则实数a= ▲16．在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若，其中的最小值是▲三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(12分)已知分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且．(1)求角A的值．(2)若，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．18．(12分)设数列的前n项和为，已知，且．(1)求的通项公式；(2)求．如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，，点E是AB的中点，点F是CD的中点．分别沿DE、BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF(点A、C在平面BFDE 的同侧)，连接AC、CE，如图2所示．(1)求证：；(2)当，且平面平面BFDE时，求二面角B—AC—D的余弦值．20.(12分)已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．(1)求椭圆的方程；(2)如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点，直线l与椭圆交于不同的两点M、N(M、N都在x轴上方)．且．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．设，函数．(1)若无零点，求实数a的取值范围．(2)若，证明：当时，．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为.(1)求曲线C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；(2)已知直线l与曲线C交于M、N两点，与x轴交于点P．求．23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数．(1)当m=3时，解不等式．(2)若存在满足，求实数m的取值范围．。
山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1}，N={−1,0}，则M∩N=()A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. {0}D. φ2.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是()A. y=−x13B. y=x4C. y=x12D. y=x−23.“a>1”是“lna>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的终边经过点(−3,4)，则sin(α+π4)的值()A. √25B. √210C. −√25D. −√2105.已知正项等比数列{a n}的公比为q，a7=2q2，则a2⋅a8=()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=sin(x−π2)(x∈R)，下面结论错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称D. 函数f(x)是奇函数7.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，若a⃗//b⃗ ，则|b⃗ |=()A. √52B. 52C. √5D. 58.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定9. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,m =0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )．A. f (x )=3sin (x +π3) B. f (x )=3sin (2x +π3) C. f (x )=3sin (2x −π3)D. f (x )=3sin (2x +π6)10. 函数f(x)=sinx2+cosx (−π≤x ≤π)的图象大致为( )A.B.C.D.11. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，BC =2AD ，点E 是BC 中点，F 是AE 中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 已知f(x −1)=2x ，则f(3)=( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 扇形的周长是20，当扇形的圆心角为______ 弧度时扇形的面积最大． 14. 命题p ：∀x ∈R ，2x >x 2的否定是______． 15. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1an −1+1，则a 2014= ______ ．16. 已知函数f (x )={|ln (x −1)|,x >12x−1+1,x ≤1，若函数g (x )=f (x )−a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(3,4)，c⃗=a⃗−2b⃗ ．(1)求b⃗ ⋅c⃗(2)若a⃗−λb⃗ 与3a⃗−b⃗ 垂直，求实数λ的值．18.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6.求cosA+sinC取值范围．19.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得f(x)图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．20.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，等差数列{b n}满足b2=0，b6+b8=10．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n⋅b n}的前n项和S n．21.如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，OE=1，EF=√3，设∠AOE=α．(1)写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α)；(2)写出函数f(α)的取值范围．22.已知函数其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：−3<f(x1)+f(x2)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵M={0,1}，N={−1,0}，∴M∩N={0}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.函数是奇函数，错误；B.在(0,1)上y′=4x3>0，所以函数y=x4在(0,1)上是增函数，错误；C.y=x12是非奇非偶函数，错误；D.该函数是偶函数，x∈(0,1)时，y′=−2x−3<0，所以该函数在(0,1)上是减函数，正确．故选D．3.答案：C解析：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．根据充要条件判断即可．解：若a>1推出“lna>0”，若lna>0，由对数函数得性质得a>1，所以，“a>1”是“lna>0”的充要条件，故选C．解析：由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得sin(α+π4)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．解：∵角α的终边经过点(−3,4)，则sinα=45，cosα=−35，∴sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=45×√22−35×√22=√210，故选B．5.答案：D解析：本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质，根据等比数列的通项公式和性质求解即可.属于基础题．由a2·a8=a52，只需求a5即可．解：a7=a1q6=2q2⇒a1q4=2⇒a5=2，所以a2·a8=a52=4，故选D．6.答案：D解析：解：∵y=sin(x−π2)=−cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0,π2]上是减函数，y=−cosx在[0,π2]上是增函数，B正确；由图象知y=−cosx关于直线x=0对称，C正确．y=−cosx是偶函数，D错误．故选D先利用三角函数的诱导公式化简f(x)，利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性．解析：本题考查向量的坐标运算、向量平行的性质及向量的模，属于基础题．根据题意利用向量平行的性质可得x的值，然后可得b⃗ 的模即可．解：因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，a⃗//b⃗ ，则1×x−2×(−1)=0，解得x=−2，所以b⃗ =(−1,−2)，所以|b⃗ |=√(−1)2+(−2)2=√5．故选C．8.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e12x，则g′(x)=f′(x)e12x−12f(x)e12x(e12x)2=2f′(x)−f(x)2e12x>0，函数g(x)在R上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．9.答案：B解析：本题主要考查了根据已知图像求解析式的问题，属于基础题；根据已知可得A=3，且周期T=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点即可得φ．解：已知可得A=3，且周期T=56π−(−π6)=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点得−π6×2+φ=0，所以φ=π3，所以函数，故选B．10.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx=−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C，分母2+cosx>0，则当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除D，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B不满足条件．故选：A．。
2019届山东省泰安市高三一轮复习质量检测数学(理)试题(解析版)
2019届山东省泰安市高三一轮复习质量检测数学（理）试题一、单选题1．若集合，0，1，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用交集概念求解即可。
【详解】集合A表示到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，，故选：C．【点睛】本题主要考查了交集运算，属于基础题．2．若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A．3 B．C．D．【答案】D【解析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则的值为A．2 B．C．3 D．【答案】D【解析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；．故选：D．【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．4．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为A．B．C．D．【答案】C【解析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【详解】解：设，依题意可知抛物线准线，，，，．直线PF的斜率为，故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．5．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．已知实数满足约束条件，则的最大值是A．0 B．1 C．5 D．6【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，直接利用线性规划知识求解即可。
山东省泰安市2019届高三上期末数学试卷(理)含答案解析
2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．1203．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2，求证：k1•k2为定值．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．2．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a3=10，且a1a3=16，则a11+a12+a13等于（）A．75 B．90 C．105 D．120【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，由此求出公差，从而能求出a11+a12+a13的值．【解答】解：∵{a n}是公差为正数的等差数列，a1+a3=10，且a1a3=16，∴a1＜a3，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两个根，解方程x2﹣10x+16=0，得a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3，∴a11+a12+a13=3a1+33d=3×2+33×3=105．故选：C．3．已知p：0＜a＜4，q：函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．5．不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣2，6）C．（6，+∞）D．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+1|表示数轴上的x对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B．6．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．7．设f（x）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′（x）的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f（x）的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f（x）递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f（x）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．故选：B．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a2+ab，设函数f（x）=x*2，且关于x的方程f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f（x）=x2+2x，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和．【解答】解：由题意可得f（x）=x*2=x2+2x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1，函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f（x）=ln|x+1|（x≠﹣1）四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，也关于直线x=﹣1对称，不妨设x1与x2对称，x3与x4对称，必有x1+x2=﹣2，x3+x4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0，=0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC的法向量=（x，y，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos＜＞===，∴二面角B﹣EC﹣A的大小为．18．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2=6，S4=30，n∈N*，数列{b n}满足b n•b n+1=a n，b1=1（I）求a n，b n；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n=a1q n﹣1=2n；再由n换为n+1，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n；（Ⅱ）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，解得a1=q=2（负的舍去），可得a n=a1q n﹣1=2n；由b n•b n+1=a n=2n，b1=1，可得b2=2，即有b n+1•b n+2=a n=2n+1，可得=2，可得数列{b n}中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n=；（Ⅱ）当n为偶数时，前n项和为T n=（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n﹣3；+当n为奇数时，前n项和为T n=T n﹣1=3•（）n﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n=．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB是以A为顶点，AC为对称轴的抛物线的一部分，点B到边AC的距离为2km，另外两边AC，BC的长度分别为8km，2km．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC地块的面积；（Ⅱ）设出点D为（x，x2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC所在的直线为y轴，A为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为S﹣x2=×（8+4）×2﹣=；梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2，+=1， a 2﹣b 2=c 2，解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1； （Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1），由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x +4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF 的方程为：y=（x ﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=lnx+x，要证当x＞1时，，即证lnx＞k（1﹣）﹣1（x＞1），即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，由，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，故当x＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．由e f（x0+1）﹣2x0﹣1+x02=e ln（x0+1）﹣x0+x02=（x0+1）•e﹣x0+x02．即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）•e﹣x0+x02﹣1＜0，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）•e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）e lnb+ln2b﹣1=ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）=ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0．故存在正数x0=﹣lnb，使得．2019年9月5日。
[精品]2019届高三数学上学期期中试题 理 人教新目标版
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2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e xy x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. 7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y+=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
山东省泰安市高三上学期数学期中考试试卷
山东省泰安市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高一上·上海月考) 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件2. （2分）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则=（）A . 36B . 32C . 24D . 223. （2分）数列的通项公式为，则（）A . 1B .C . 1或D . 不存在4. （2分） (2017高二下·盘山开学考) 下列命题正确的有（）（1.）很小的实数可以构成集合；（2.）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3.）这些数组成的集合有5个元素；（4.）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高一上·武功月考) 若 ________.6. （1分） (2017高一上·金山期中) 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜ }，则a=________．7. （1分） (2016高三上·崇明期中) 设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是________（请将你认为正确的序号都填上）·（1）f（x）是R上的单调递减函数；·（2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；·（3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；·（4）f（x）存在反函数f﹣1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f﹣1（x）成立．8. （1分） (2019高一下·上海月考) 若角的终边上有一点，则实数的值________9. （1分） (2019高三上·上海月考) 若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式-1，则实数的取值集合为________.10. （1分）(2018·普陀模拟) 若函数是奇函数，则实数 ________11. （1分）若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an（n∈N+），则其前7项的和S7=________ ．12. （1分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为________13. （1分）(2018·遵义模拟) 已知 .若 ,的最大值为2，则m+n的最小值为________.14. （1分） (2017高一下·正定期末) 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和 ________．15. （1分）函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+1的所有零点构成的集合为________16. （1分）当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是________三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） (2017高一上·红桥期末) 已知向量 =（﹣3，4）， =（2，2）．（Ⅰ）求与夹角的余弦值；（Ⅱ）λ为何值时，+λ 与垂直．18. （10分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数的图象过点P（1，2）．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）用函数的单调性定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．19. （10分） (2017高二上·如东月考) 已知椭圆：的左焦点为，离心率 .（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.（i）若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足， .求证：为定值；（ii）若（为原点），求面积的取值范围.20. （15分） (2019高一下·上海月考) 设为实数，函数 .（1）讨论函数的奇偶性并说明理由；（2）求的最小值.21. （15分） (2018高二下·泰州月考) 设，，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .（1）当时,求 , 的值；（2）求证:为任意的 , ，为定值.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
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2019届山东省泰安市高三上学期期中考试
数学试题(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={}101-，，，B={}
124x
x ≤<，则A B ⋂等于
A ．{1}
B ．{－1，1}
C ．{1，0}
D ．{－1，0，1}
2．下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是 A ．1y x =+ B ．2
y x -=
C ．1y x x
=
- D ．2x
y = 3．已知命题p ：对任意x R ∈，总有20x
>，q ：“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∧⌝
4．已知角α的终边经过点P(0
sin 47,cos 47)，则sin(0
13α-)=
A ．
12
B
C ．12
-
D
．5．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足条件1a >1，7a ·8a >1，
781
1
a a --<0．给出下列结论：(1)0<q<1，(2) 79a a g >1，(3) n T 的最大值为7T ．其中正确 结论的个数为 A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．已知函数()2
sin f x x =，则下列说法正确的是 A ．()f x 的最小正周期为2π
B ．()f x 的图象关于直线2
x π
=对称
C ．()f x 的图象关于点04π⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称 D ．()f x 在区间22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，上是增函数 7．设x R ∈，向量()(),1,4,2m x n ==-u r r
，若//m n u r r ，则m n +u r r =
A
B ．
854
C
D ．5
8．已知()f x 是偶函数，()f x '是函数()f x (x R ∈)的导函数，若0x >时()f x '>0，则 A ．()()()321log 2log 3f f f >>-
B ．()()()32log 21log 3f f f >>-
C ．()()()23log 3log 21f f f ->>
D ．()()()23log 31log 2f f f ->> 9．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
在一个周期内的图象如图所示，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
= A ．2
B ．
22
C ．22
-
D ．2-
10．函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦的图象大致是
11．如图，在△ABC 中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r
，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+u u u r r r
，则m ，
n 对应的值为
A ．2477，
B ．1124，
C ．1267
，
D ．1367
，
12．已知函数()()1f x x R -∈是偶函数，且函数()f x 的图象关于点(1，0)成中心对称，当[]1,1x ∈-时，()=1f x x -，则()2019f = A ．－2 B ．－1 C ．0
D ．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 ▲ ． 14
．曲线y =
21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
15．已知数列{}n a 满足1a =1，112n n n n a a a a ++-=，则n a = ▲ ．
16．已知()2,01
1,0x
x x f x x x
⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩，若函数()()g x f x t =-有三个不同的零点
()123123,,x x x x x x <<，则123
111
x x x -
++的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)
已知2,1a b ==r r
．
(1)若a b ⊥r r ，求
()()
2a b a b -+r r r r g 的值； (2)若不等式a xb a b +≥+r r r r
，对一切实数x 恒成立，求a r 与b r 夹角的大小．
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a c b
A B
-=
． (I)求∠A 的大小；
(Ⅱ)若27a =，ABC =63S ∆，求,b c 的值 19．(12分)．
已知函数()()2
1
3sin cos sin 022
f x x x x ωωωω=+-
<≤，图像的一条对称轴为3
x π
=
．
(I)求()f x ；
(II)将函数()f x 的图像上所有点向左平移
6
π
个单位得到函数()g x 的图像，若1sin 63πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，求()g α的值．
20．(12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5354,35a a S -==，等比数列{}n b 满足
23371,1b a b a =+=+．
(I)求数列{}{},n n a b 的通项公式；
(II)求222
21321n n a b a b a b +++…+的值．
21．(12分)
如图，AOB 是一块半径为r 的扇形空地，2
AOB π
=
∠．某单位计划在空地上修建一个矩形
的活动场地OCDE 及一矩形停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化．若
BOG 6
π
=
∠，设AOD θ=∠
(I)记活动场地与停车场占地总面积为()f θ，求()f θ的表达
式；
(II)当cos θ为何值时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．
已知函数()2ln 1f x x mx nx =+++的图像在1x =处的切线过点1122⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． (I)讨论函数()f x 的单调性；
(II)若函数()()()10g x f x x m =-++>有两个极值点12,x x ． 证明：()()1232ln 2g x g x +>-．。