2020年暑假高一数学自测题(期末模拟题) (54)-0715(解析版)

2020年暑假高一数学自测题（期末模拟题） (54)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知平行四边形ABCD 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,8)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为( ) A. (−1,−12)B. (−1,12)C. (1,−12)D. (1,12)2. sin(−163π)的值等于( )A. 12B. √32C. −12D. −√323. 为了解某学校高中学生的数学运算能力，从编号为001，002，…，200的200名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，并把样本的编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本的编号为007，则抽取的最后一个样本的编号是( ) A. 047 B. 167 C. 197 D. 163 4. 函数y =sin(2x +3π2)是( )A. 周期为2π的偶函数B. 周期为2π的奇函数C. 周期为π的偶函数D. 周期为π的奇函数5. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，则方差D(ξ)=( )A. 15B. f′(x)=0C. √55D. 2√556. 已知tan θ=12，则tan (π4−θ)=( )A. 3B. −3C. 13D. −137. 执行下面程序，如果输入的a =5，b =3，那么输出的结果为A. 5，3B. 3，5C. 3，3D. 5，58. 一项射击实验的标靶为圆形．在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( )A. 50%B. 3πC. 0.2πD. 2π9. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，则a ⃗ 2−a ⃗ ·b⃗ =( ) A. 0 B. −1 C. 2或−2D. 1210. 将函数f(x)=sin(2x −π4)图象上的所有点向左平移π4个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(x −π4) B. y =cos(x +π4) C. y =sin(2x +π4)D. y =cos(2x −π4)11. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 1012. 函数f(x)=sin 2x +√3cosx −34(x ∈[0,π2])的最大值是( )A. 12B. 1C. 2D. −12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．14. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则tanφ=________．15. __________．16.的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (2,6)，B (4,−4)，C (8,2)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求D 点的坐标。

(2)设向量a ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b ⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b⃗ 平行，求实数k 的值。

18. 在一次期末数学测试中，唐老师任教班级学生的考试得分情况如表所示：分数区间 [50,70][70,90][90,110][110,130] [130,150] 人数2832 3820(1)根据上述表格，试估计唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩；(2)现从成绩在[70,110)中按照分数段，采取分成抽样的方法随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．19.设α为锐角，且cos(α+π6)=3√1010，tan(α+β)=25．(1)求sin(2α+π6)的值；(2)求tan(2β−π3)的值．20.已知：a⃗=(2cosx,sinx)，b⃗ =(√3cosx,2cosx)，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −√3(x∈R)求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间．21.已知函数f(x)=√32sinωx+32cosωx(ω>0)的周期为4．(1)求f(x)的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．22. 某商品在销售过程中投入的销售时间x 与销售额y 的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品月份的销售额．(参考公式：b ̂=∑ ni=1(x i −x −)(y i −y −)∑ n i=1(x i −x−)2，a ̂=y .−b ̂x .，其中x .，y .表示样本平均值)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由向量加法的平行四边形法则可知， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， 则(x,y)=(−3,4)+(2,8)=(−1,12)． ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12)． 故选：B ．根据向量加法的平行四边形法则可知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .进而可求出AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标． 本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于基础题． 2.答案：B解析：【分析】本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，考查计算能力． 直接利用诱导公式化简求解即可． 【解答】 解：sin(−163π)=−sin163π=−sin4π3=sin π3=√32． 故选：B ． 3.答案：B解析：【分析】本题考查系统抽样抽取样本编号的问题．属于基础题． 根据总体个数和间隔距离计算即可．【解答】解：200÷5=40，故最后一个样本的编号为7+4×40=167． 4.答案：C解析：由周期公式得T =2πω=2π2=π， 又f(x)=sin(2x +3π2)=−cos2x ，所以f(−x)=−cos(−2x)=f(x)，为偶函数，故选C . 5.答案：B解析：【分析】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算问题，是中档题．设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ，则由P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，列出方程组，求出p =35，q =15，由此能求出D(ξ)． 【解答】解：设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ， 则由已知得p +q +15=1①，E(ξ)=0×15+1×p +2×q =1②，由①②组成方程组，解得p =35，q =15；所以D(ξ)=(0−1)2×15+(1−1)2×35+(2−1)2×15=25． 故选B ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查两角差的正切公式的应用有关知识，属于基础题． 利用两角差的正切公式，求得tan(π4−θ)的值． 【解答】解：∵tanθ=12，则tan(π4−θ)=1−tanθ1+tanθ=1−121+12=13， 故选C ． 7.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a ，b 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a =5，b =3，满足条件a >b ，执行循环体，c =5，a =3，b =5，不满足条件a >b ，退出循环，输出a 的值为3，b 的值为5． 故选B ． 8.答案：D解析：解：设圆的内接正方形的边长为a ，则圆的半径为√22a.∴在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是2π⋅(√22a)=2π．故选D ．求在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率，即以面积为测度，利用面积比可得结论．本题考查几何概型，考查图形面积的计算，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，考查了考生的计算能力，属基础题．利用向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，即可得求得a ⃗ 2−a ⃗ ·b⃗ 的值．【解答】解：因为a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，所以a ⃗ 2=|a ⃗ |2=1+4=5，a⃗ ⋅b ⃗ =−1×3+2×4=5， 所以a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =5−5=0． 故选A ． 10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求所得图象的解析式． 【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移π4个单位， 所得图象的解析式是y =sin[2(x +π4)−π4]=sin(2x +π4)， 故选C ． 11.答案：A解析：解：向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9． 故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 12.答案：B解析：【分析】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题．根据同角三角函数的基本关系将f(x)化简，利用cosx =t 换元得到一个关于t 的二次函数，根据二次函数性质即可求出答案． 【解答】 解：，令cosx =t ，则t ∈[0,1]， 则y =−t 2+√3t +14 =−(t −√32)2+1，当t =√32时，即时，y max =1，即f(x)的最大值为1，故选B ． 13.答案：5解析：解：∵a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，∴2a ⃗ −b ⃗ =(4,−3)，∴|2a ⃗ −b ⃗ |=√16+9=5， 故答案为：5． 由条件求得2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，从而求得|2a ⃗ −b ⃗ |的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题． 14.答案：√3解析：【分析】本题考查f(x)=Asin(ωx +φ)图象和性质，利用图象即可求A ，ω，φ． 【解答】解：由题意得A =1，T =4(7π12−π3)=π, 所以ω=2, 将代入得，所以， 因为|φ|<π2，所以．．故答案为√3．15.答案：解析：sin(π4−3x)cos(π3−3x)−cos(π4−3x)sin(π3−3x)=sin(π4−π3)=√2−√64}．16.答案：[−3,5]解析：【分析】本题考查平面向量的坐标运算及向量的数量积，本题的关键在于设出∠BAC =α，然后用三角代换表示各点的坐标，这样使得问题容易表达并易于求解，属于中档题．以CA 为x 轴，CB 为y 轴建立直角坐标系，设∠BAC =α，则A(4cosα,0)，B(0,4sinα)，P(cosθ,sinθ)，再代入计算即可． 【解答】解：以CA 为x 轴，CB 为y 轴建立直角坐标系，设∠BAC =α， 则A(4cosα,0)，B(0,4sinα)，P(cosθ,sinθ)， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(4cosα−cosθ,−sinθ)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cosθ,4sinα−sinθ)， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗=cosθ(cosθ−4cosα)+sinθ(sinθ−4sinα)=1−4cos(θ−α)∈[−3,5]， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[−3,5]． 故答案为[−3,5]．17.答案：解：(1)设点D 的坐标为(x,y)， 则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−10),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −8,y −2)， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(2,−10)=(x −8,y −2)， ∴{x −8=2y −2=−10即x =10，y =−8，∴点D 的坐标是(10,−8)． (2)∵a ⃗ =(2,−10)，b⃗ =(4,6)， ∴k a ⃗ −b ⃗ =(2k −4,−10k −6)，a ⃗ +3b ⃗ =(14,8)， ∵k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，∴8(2k −4)=14(−10k −6)， 解得k =−13．解析：本题主要考查了向量的坐标运算，向量平行的条件，属于基础题． (1)求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 列式解方程即可． (2)求出k a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ +3b ⃗ 的坐标，由k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ +3b ⃗ 平行，列式，解方程即可．18.答案：解：(1)依题意，所求平均成绩为2×60+8×80+32×100+38×120+140×20100=113.2．(2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ， [90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，则抽取2人，所有情况为：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(C,D)，(C,a)，(D,a)，共10种， 其中满足条件的有：(A,a)，(B,a)，(C,a)，(D,a)，共4种， ∴恰有1人的成绩在[70,90)上的概率为p =410=25．解析：(1)利用得分情况统计表能求出唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩． (2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ，[90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，利用列举法能求出恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．本题考查平均成绩的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：解：(1)∵α为锐角，且cos(α+π6)=3√1010，tan(α+β)=25， ∴sin(α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=√1010， sin2(α+π6)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×√1010×3√1010=35，∴cos2(α+π6)=1−2sin 2(α+π6)=45， 故sin(2α+π6)=sin[2(α+π6)−π6]=sin2(α+π6)cosπ6−cos2(α+π6)sinπ6=35⋅√32−45⋅12=3√3−410;(2)由(1)可得，tan(α+π6)=sin(α+π6)cos(α+π6)=13，tan(β−π6)=tan[(α+β)−(α+π6)]=tan(α+β)−tan(α+π6 )1+tan(α+β)⋅tan(α+π6)=25−131+25⋅13=117，∴tan(2β−π3)=tan2(β−π6)=2tan(β−π6)1−tan2(β−π6)=17144．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．(1)由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2(α+π6)、cos2(α+π6)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin(2α+π6)的值;(2)由条件求得tan(α+π6)、tan(β−π6)的值，再利用两角差的正切公式求得tan(2β−π6)=tan2(β−π6)的值．20.答案：解：(1)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −√3 =2cosx⋅√3cosx+2sinxcosx=√3⋅2cos2x+sin2x=√3(1+cos2x)+sin2x=2(12sin2x+√32cos2x)+√3=2sin(2x+π3)+√3．∴T=2π2=π．(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)．解得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12](k∈Z)．解析：(1)利用数量积和倍角公式即可化简f(x)，再利用周期公式T=2πω即可得出；(2)利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了数量积和倍角公式、三角函数的周期性、单调性等基础知识，属于基础题．21.答案：解：(1)f(x)=√32sinωx+32cosωx(ω>0)=√3(12sinωx+√32cosωx)=√3sin(ωx+π3)，第11页，共11页 由于函数的周期为4=2πω，得ω=π2， 故f(x)=√3sin(π2x +π3).(2)将f(x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)=√3sin π2x.因为P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1,√3)、Q(3,−√3).所以OP =2，PQ =4，OQ =√12，cosθ=OQ 2+PQ 2−OP 22OQ⋅QP =√32， ∴θ=π6．解析：本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图象周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，属于中档题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=√3sin(ωx +π3)，根据函数的周期为4=2πω，求得ω的值，可得f(x)的解析式．(2)由条件根据y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=√3sin π2x ，求出P 、Q 的坐标，利用余弦定理求得cosθ的值，可得θ的值．22.答案：解：由已知数据可得x .=1+2+3+4+55=3， y .=0.4+0.5+0.6+0.6+0.45=0.5， 所以∑5i=1 (x i −x .)(y i −y .)=(−2)×(−0.1)+(−1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(−0.1)=0.1， ∑5i=1 (x i −x .)2=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，于是回归系数为b ∧=0.110=0.01， a ∧=y .−b ∧x .=0.5−0.01×3=0.47，∴回归直线方程为y ∧=0.01x +0.47；令x =6，得y ∧=0.01×6+0.47=0.53，即该商品6月份的销售额约为0.53万元．解析：计算x .、y .，求出回归系数b ∧、a ∧，写出回归直线方程；根据线性回归方程计算x =6时y ∧的值即可．本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题．。