利用对称性巧作物理题(一)
巧用对称法 速解一类题
在Ｐ、 两点取两段无穷小 的圆弧 ， Ｑ 摩擦力在Ｐ Ｑ 、 两点
所 做 的 微 元功 为
球 ． 小球 运 动 到 点 对 管 壁 的压 力 为 多 大？ 则 （ ） 果 小球 与 管 中外 侧 壁 的摩 擦 因 数 为 ， ３ 如 而 管 中 内侧 壁 光 滑 ， 小球 在 外 力Ｆ 让 的作 用下 以恒 定速
群射
略
口 樊 杰
许 多物理现象 和物理规律都存在对称性 ，比如
对 称 的 结 构 、 称 的相 互 作 用 、 称 的 运 动 过 程 、 对 对 对
麟
（） １ 由动能定理： ：， ． ｗ２
称的电路 、 对称 的图象 等． 中物理 阶段我们碰到 的 高 对称 问题很多 ， 如竖直上抛运动 过程 的对 称 、 弹簧振 子振 动过程 的对称 、粒子在 电场或磁场 中运动 的对 称等等 ，利用这些对称性解题可 以避免复杂 的数学
Ａ＝ ‘＝ｍ ’ ）－ Ｗ － ￣ ｃ ・， １ １（ １ ／ ｘ 。 ｓ
△ ＝ ２ ‘ ｚ （ 一 ．０ ）△ ｍ ， ｃｓ ・ ，
度 、 做 匀速 圆周运动 ，求 到Ｂ ＞／ 的过程 中， 外
力Ｆ 小 球做 的 功 ． 对
１ ８
演算 和推 导 ， 接 抓 住 问题 的实 质 ， 速 简 便 地 求 解 直 快
（ 一ｇ ＋ ＝ ， ２ ｍＲ ） ２ ｛
Ｎ＋ ｍｖ ｍ ２
，
Ｎ：一５ ｍｇ＋ ￣ ． ２Ｆ
出问题． 下面通过两具体实 例的分析 ， 明巧用对称 说
法 ， 决 这 一 类 题 带来 的迅 捷 效 果 ． 解
Ｄ 与竖 直的直径 的夹 角均 为０ Ｑ ，小球在做匀 速圆周 运动 ， 、 两点的向心力为 ： 在Ｐ Ｑ
例谈对称法在高中物理解题中的应用
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例谈对称法在高中物理解题中的应用
作者：高耀东
来源：《理科考试研究·高中》2013年第10期
对称法是迅速解决高中物理题的一种有效手段，是学生在解题中常用的一种具体的解题方法，虽然在高考题中没有单独的正面考查，但是在高考题中经常有所渗透和体现，从侧面考查考生的直观思维能力和客观猜想推理能力。
用对称法解题有利于培养学生的应试能力和提高学生的物理素养，作为一种重要的物理思想和解题方法，笔者用例题谈对称法在高中物理解题中的应用。
一、时间对称
例1一人在离地H高度处，以相同的速率v0同时抛出两小球A和B，A被竖直上抛，B
被竖直下抛，两球落地时间差为Δt，求速率v0。
解题方法与技巧对于A的运动，当其上抛后再落回抛出点时，由于速度对称，向下的速
度仍为v0，所以A球在抛出点以下的运动和B球完全相同，落地时间亦相同，因此，Δt就是A球在抛出点以上的运动时间，根据时间对称，Δt=2v01g，所以v0=gΔt12。
二、物镜对称。
方法24 对称分析法-高考物理选择题技法
方法24 对称分析法，思维化简物理中对称现象比比皆是，对称表现为研究对象在结构上的对称性、作用上的对称性，物理过程在时间和空间上的对称性，物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法．例题1：(多选)如图所示，在两个等量正电荷连线的中垂线上取A 、B 、C 、D 四点，A 、D 两点与B 、C 两点均关于O 点对称．A 、B 、C 、D 四点电场强度大小分别为E A 、E B 、E C 、E D ，电势分别为φA 、φB 、φC 、φD ，则下列说法中正确的是( )A ．E A ＝E D ，φA ＞φBB ．一定有E A ＞E B 、φB ＞φAC ．一定有φA ＝φD 、φB ＝φCD ．可能有E D ＞E C ，一定有φB ＞φD例题2：(2018·全国Ⅱ卷·T 20)如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L 1、L 2，L 1中的电流方向向左，L 2中的电流方向向上；L 1的正上方有a 、b 两点，它们相对于L 2对称。
整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B 0，方向垂直于纸面向外。
已知a 、b 两点的磁感应强度大小分别为13B 0和12B 0，方向也垂直于纸面向外。
则( )A ．流经L 1的电流在b 点产生的磁感应强度大小为712B 0 B ．流经L 1的电流在a 点产生的磁感应强度大小为112B 0C ．流经L 2的电流在b 点产生的磁感应强度大小为112B 0 D ．流经L 2的电流在a 点产生的磁感应强度大小为712B 0 例题3：如图所示，带电荷量为－q 的均匀带电半球壳的半径为R ，CD 为通过半球顶点C 与球心O 的轴线，P 、Q 为CD 轴上在O 点两侧离O 点距离相等的两点。
已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势都相等。
则下列判断正确的是( )A ．P 、Q 两点的电势、电场强度均相同B ．P 、Q 两点的电势不同，电场强度相同C ．P 、Q 两点的电势相同，电场强度等大反向D ．在Q 点由静止释放一带负电的微粒(重力不计)，微粒将做匀加速直线运动例题4：(2010·全国卷Ⅰ·21)一简谐振子沿x 轴振动，平衡位置在坐标原点．t ＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m ；t ＝43s 时刻x ＝0.1 m ；t ＝4 s 时刻x ＝0.1 m ．该振子的振幅和周期可能为( ) A ．0.1 m ，83s B ．0.1 m ，8 s C ．0.2 m ，83 s D ．0.2 m ，8 s例题5： (2019·海南高考)如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面(纸面)上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。
高中物理竞赛试题解题方法对称法1
高中物理竞赛试题解题方法：对称法方法简介由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.赛题精析例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ，抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动.根据平抛运动的规律：⎪⎩⎪⎨⎧==2021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：hg s y g x v 2320==例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ，求小球的抛射角θ.解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成，若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜，将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解.物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得202sin 2dg v θ=所以抛射角2012arcsin 2dg v θ= 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可.由题意作图7—3，设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 33=由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为v v v 2330cos =='由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='=此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。
高中物理巧用简谐运动中的对称性解题学法指导
高中物理巧用简谐运动中的对称性解题陶成龙简谐运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若在解决简谐运动问题中能灵活运用这一点特点，常可使解答更简捷。
下面举例说明，以供同学们参考。
1. 巧用时间的对称性例1 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐振动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。
则此后还要经多长时间，才能第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？解析 由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知质点从M →A 所需时间为t s MA =005.，从O →A 的时间为t t t s OA OM MA =+=+=01500502... 因为t T OA =/4，所以质点的振动周期为T=0.8s ，频率f T Hz ==1125/.。
根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等，为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为t T t s OM =+=/.22072. 巧用加速度的对称性例2 如图2所示，轻弹簧（劲度系数为k ）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M 的木板B 相连接，在木反B 上又放有一个质量为m 的物块P 。
当系统上下振动时，欲使P 、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？解析 将B 、P 和弹簧看作一简谐振子，当P 和B 在平衡位置下方时，系统处于超重状态，P 不可能和B 分离，因此P 和B 分离的位置一定在平衡位置上方最大位移处（即弹簧的弹力为零的位置），故P 和B 一起运动的最大加速度a g m =。
由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大时（设为x m ）加速度也为a g m =。
所以由牛顿第二定律有 kx M m g M m a m m -+=+()()解得x M m g km =+2() 3. 巧用速度的对称性例3 如图3所示是一水平弹簧振子在5s 内的振动图象。
物像对称法巧解物理题
以 速率 沿 Ｙ轴 正方 向运 动
ｃ 以速率 ｖ ２ ． ／ 沿像与 ｓ连线方向向 ｓ运动 Ｄ． 以速率 沿像与 Ｊ连线方 向向｜运动 ｓ ｓ 分析与解 ： 作出开始 时光源 ｓ的像 ． ， ｓ 如图 ２所 示 。分解镜沿 轴正 方 向运 动 的速 度 ， 则镜相 对 光源 ｓ运动 的分速度 ｌ ｓ Ｏ ＝ｖｉ 。设 想 ｔ 间内平 ｎ 时 面镜移动到 ｓ处 ， 此时物 、 、 像 镜重合 ， 镜沿其垂直方 当加入 ５克碳酸钠溶 液时才 开始产生 沉淀 ， 这就说 明开始加入 的碳酸 钠溶 液并没 有 与氯化 钙溶 液反 应 ， 就 是说 原 废 液 中 除 氯 化 钙 外 还 含 有 另 外 的 物 也 质。再阅读试题分析题意 ， 石灰 石和稀盐 酸反应 时 题 目上并没有告知恰好 完全反应Байду номын сангаас， 以稀盐 酸有 可 所
点评 ： 上面两题 均是信息隐含的中考题 ， 面对这 种类型的推断题 ， 首先要 阅读图文 ， 吸收 信息 ， 然后 联 系知识 ， 认真辨析 ， 抓住关键 ， 找准突破 口（ 一些物 质 的特殊性 质、 特征反应 、 特殊 现象 ） 也就是我 们所 说 的题眼 ， 然后从突破 口出发 ， 充分运用 逆推法 、 顺
用 自如 。
Ｕ
思路方法
９
文 言文 阅读训练 设 计例 谈
湖南 省湘 乡市 第一 中学
戕 竹 记
欧 阳修
杨 春华
园秃 ， 下亡有啬 色少见 于颜 间者 ， 由是知 其 民之 急
上 。
洛 最 多竹 ， 圃棋 错 。 包箨 笋 之 赢 ， 尚十 数 万 樊 岁 缗 ， 安侯 利 ， 肯 为 渭 川 【 Ｊ 。 然 其 治水 庸 ， 土 坐 宁 注下 任
高中物理破题致胜微方法(运动学规律的灵活应用)：对称法巧解运动学问题
对称法巧解运动学问题故事引入：1928年，英国物理学家狄拉克在解自由电子相对性波动方程时，由于开平方根而得出电子的能量有正负两个解，按照通常的观念，负能解通常被舍去，但是狄拉克为了保持数学上的对称美，将这个似乎没有意义的量描述的是带正电荷的电子，也就是电子的反粒子。
正电子预言不久后就被美国的另一位物理学家安德森发现。
这种科学的对称思维，使他后来提出了完全与众不同的反物质理论。
狄拉克也因此于1933年获得诺贝尔物理学奖。
其实对称是自然界广泛存在的一种现象，它显示出了物质世界的和谐美。
具有对称性的对象其对称部分的特征完全相同，一旦确定了一部分的特征，便可推出对称部分的特征，这种解决问题的方法称为对称法。
按照利用对称的种类可分为位置分布的对称、运动轨迹的对称和物理过程的对称。
下面分别举例说明。
一、经典例题：1.在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g 值，g 值可由实验精确测定.近年来测g 值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g 值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，此方法能将g 值测得很准.具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中的O 点向上抛小球，从抛出小球至小球又落回抛出点的时间为T2；小球在运动过程中经过比O 点高H 的P 点，小球离开P 点至又回到P 点所用的时间为T1.由T1、T2和H 的值可求得g 等于( ) A. 22218H T T - B. 22214H T T - C.2218()H T T -D. 2214()H T T2. 根据对称性可以采用分段法研究匀变速直线运动使问题简单化。
3.二、练习题竖直上抛运动的对称性1. 竖直向上抛出一个物体，物体上升和下落两次痉过高度为h 处的时间间隔为t ∆，求物体抛出的初速度0v 和物体从抛出到落回原处所需的时间T 。
2.杂技演员用一只手把四只小球依次向上抛出，为了使节目能持续表演下去，该演员必须让回到手中的小球每隔一段相等的时间，再向上抛出，假如抛出的每个小球上升的最大高度都是1.25m ，则小球在手中停留的最长时间是多少？（不考虑空气阻力，g 取210m/s ，演员抛球同时即刻接球）3.一个杯子的直径为d ，高为H ，如图1所示，今有一小球在杯口沿直径方向向杯内抛出，到达杯底时的位置与抛出时的位置在同一直线上，小球与杯碰撞n 次，且是弹性碰撞，如杯壁是光滑的，求小球抛出时的初速度v 0。
利用对称解题
利用对称解题吉林省永吉实验高中（132200）杜英梅 于润彬“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，杜甫的这两个千古绝句，不仅讲究字的对仗，而且隐含着高与低，远与近，动与静等各种对称性，给读者呈现出对称性的美，物体的运动和物质的结构也到处可以见到对称性，现举几例。
一、 镜像对称具有与物体和它在平面镜中的像相同特点的对称性称为镜像对称，这是人们最熟知、最直观、最普通的一种对称性。
例1、（2005年上海物理高考题）如图1所示，带电量为+q 的点电荷与均匀带电薄板的垂线通过板的几何中心。
若图中a 点处的场强为零，根据对称性，带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小 为方向为（静电力恒量为k ）解与析：因a 点场强为零，根据对称性，带电板产生的场强相当于+q 点电荷置于中心，故在b 点场强为kq/d 2，方向向左.例2、有一圆桶，桶底的直径d=0.4m ，桶高h=0.45m ，一小球由桶边以速度v=2m/s向桶内水平射击，与光滑桶壁做完全弹性碰后落到捅底，问球落到桶底的位置在何处？析与解：球从射出到落至桶底工经历平抛、弹性碰撞、斜抛三个物理过程，拖逐一分析推算，十分烦琐.考虑到假如小球不被桶壁阻挡，则过A 点，继续向前运动，直至落至c 点.如图2所示，由于小球做完全弹性碰撞，碰撞后的速度大小不变，且碰撞后速度的方向“遵守光的反射定律”.因此，图中轨迹AC 与AB 镜像对称，BD=CD ，而OC 为平抛运动的轨迹，故下落运动的时间为0.3t ===（s ） 水平位移为20.30.6s vt m ==⨯=（）球下落的位置BD=DC=s-d=0.6-0.4=0.2（m ）即球落至桶中心处.例3、在一个竖直悬挂的轻弹簧下挂一个小盘，盘中放有一个质量为m 的木块，如图3所示，使木块随盘一起在竖直方向做振幅为A 的简谐运动，若振动过程中木块对盘的最大压力为1.5mg ，则木块对盘的最小压力为：A 、1.0mgB 、0.75mgC 、0.5mgD 、0.25mg析与解：木块对盘的压力与盘对木块的支持力大小相等，以木块为研究对象，它在竖直向下的重力和竖直向上的支持力共同作用下随盘一起最简谐运动.支持力最大的位置是木块向下振动到最大唯一的位置，支持力最小的位置是木块向上振动到最大位移的位置，这两个位置对称于平衡位置，在这两个位置上木块所受到的回复力f 1和f 2也对称于平衡位置的水平面，即f 1与f 2等值反向，木块在上方位置时11f mg N KA =-=木块在下方极端位置时22f N mg KA =-=两式联立得：122N mg N =- 代入题设条件N 2=1.5mg得最小支持力 12 1.50.5N mg mg mg =-= 选C 正确.2、中心对称相对于某个位置的一种对称性称为中心对称.例4、一质点做简谐振动，先后以相同的动量值通过AB 两点，历时1s ，过B 点再经过1s 指点将反向第二次通过B 点，该2s 内质点所走国的路程为6cm ，则质点的振动周期为 振幅为 .析与解、因指点以相同的动量值通过A 、B 两点，则平衡位置O （即对称中心）一定在AB中点（图3），设C 、D 为质点振动的两个位移最大位置，依题意，t A →B =1s ，t B →D →B =1s.由时间上的对称性，同样有11B A A C A t s t s →→→==，，故质点的振动周期为T=4s.再有空间上的对称性，同样可以得到质点在一个周期经历的路程为12cm ，因此振幅为3cm.3、结构对称性结构对称指的是某种几何形体的对称性，利用结构对称对分析问题带来很对方便.例5、在图4所示的电路中，6个电阻的阻值相同，已知电阻R 6所消耗的功率为1W ，则6个电阻所消耗的总功率为（ ）A 、6WB 、5WC 、3WD 、2W析与解、由电路结构的对称性（考虑到电阻R 1、、、R 3、、R 4、R 5阻值均相等），可得电阻R 2两端电势相等无电流通过，可视为R 2开路.因此，很容易得出R 1 R 5的总电阻与R 6的电阻相同，故6个电阻所消耗的总功率为1W ⨯2=2W ，应选D.4、转动对称就是将图形转动某一角度后，结构不变，这样的对称叫结构对称。
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利用对称性巧解物理题
四川省苍溪中学 张绍挺
物理事物在经历了一定的时间推移和空间位置变动后，一些物理状态和物理过程便呈现出对称性，我们往往可以用这些对称性来巧妙地分析、解决物理问题。
一、利用“竖直上抛运动的对称性”解题
例1：一物体做竖直上抛运动，t 1时刻上升到位置x 1，t 2时刻上升到位置x 2，物体上升到最高点后下落到位置x 2的时刻为t 3，继续下落到位置x 1的时刻为t 4，求证：重力加速度g=22321412)
()()(8t t t t x x ----。
解析：利用竖直上抛运动上升和下降过程中通过
同一段所用时间相同的对称性可求出。
设最高点
到位置x 1、x 2的距离分别为h 1和h 2，则有： h 1=24)2
(211t t g -——①，h 2=223)2(21t t g -——② 又x 2-x 1=h 1-h 2——③
联立①②③解得：g=22321412)()()(8t t t t x x ---- 二、利用“简谐运动的对称性”解题
例2：一个轻质弹簧竖直放于地面上，一个质量为m 的小球从其正上方某高度处自由下落，当小球把弹簧压缩到最短时，弹簧对小球的压力(设弹簧始终在弹性限度内)：
A 、mg
B 、2mg
C 、大于2mg
D 、无法判断
解析：选C 。
若采用常规思维法，很不好解。
若用简谐运动的对称性，
则很容易判断出来。
小球刚落到弹簧上时，小球加速度为α=g ，方向竖
直向下，此时速度设为v ，随后小球压缩弹簧，当弹簧对小球的弹力F
等于重力mg 时，小球所受合力为零，此时加速度为零，速度最大为V m (方向向下)，由于惯性，小球继续向下运动，则弹簧对小球向上的弹力大 于重力，小球作减速运动，当弹簧对小球向上的弹力等于2倍重力mg 时，
t 3
t 4 ●
m
小球的加速度α=g ，方向竖直向上，由于对称性，小球此时的速度为V ，
方向向下，再随后，小球继续压缩弹簧，故弹簧被压缩到最短时弹簧对小球
的弹力大于2mg 。
三、利用“镜像对称”求解。
空间反演具有“镜像”对称性，用此法可巧解具有镜像对
称性的题。
例3：如图,两竖直挡板平行，间距为d ，在DC 挡板h 高处
以初速度v o 水平抛出一质量为m 的小球，与AC 挡
板发生弹性碰撞后落在B 、C 之间的N 点，求NB 的大小。
解析：设想AB 为一平面镜，则N 的像点为N /，据平抛运动 的规律可得：g h V CN 2'0⨯=，易知：NB =d g
h V BN -=2'0。
四、利用“时间反演具有对称性”解题
时间反演过程就是从原来的“末时刻”反向发展到原来
的“初时刻”，这样，反演过程与原过程具有很强的对称性。
例：末速度为零的匀减速直线运动经时间反演，就变成反向
的初速度为零的匀加速直线运动，除速度方向与原过程不同
外，其它物理量均不变，这种方法又常称逆向分析法。
例4：如图，半径为R 的光滑半圆柱面固定于水平地面上，
在地面上某点A 以某一初速度斜向上抛出，恰能停于圆柱面
上，求抛出物的初速度的大小和方向。
解析：此物要停于半圆柱面上，只能停于半圆柱顶部，
所以设想时光倒流，物体将从半圆柱顶部由静止滑下，
并落到原抛出点。
这样就简便多了，设物体从半圆柱
面由最高点C 由静止向左滑下，在B 点离开圆柱面
据机械能守恒定律，从C →B 有：mgR(1-cosα)=
221B mV ——①，在B 点据牛顿第二定律，有：mgcosα=R m V B 2——②。
联立①②解得：V B =3
2cos ,32=αgR ，物体由C →A ，由机械能守恒定
律有：221A mV =mgR ，得：V A =gR 2，又由：V A cosθ=V B cosα，得：cosθ=9
32cos =A B V V α所以：V 0=V A =gR 2，方向斜向上与水平方向成角θ=arccos
932。
五、利用“虚拟对称法(补偿法)”解题
对于问题本身不具有对称性，但经过分析出不具有对称性的原因后，通过合理的假设和变换，把问题化为对称性问题，从而简化对问题的处理过程，这样的分析方法叫虚拟对称法，有时又称为补偿法。
例5：所示的物体，是在半径为R 的均匀球体内，挖一半 径为2
R 的球形空腔而形成的，物体球心O 在空腔表面上， 物体表面上A 点放有一质量为m 的质点，物体质量为M ，
半径OA 垂直于两球心连线OO /。
求物体对质点的万有引力。
解析：空腔物体作用于质点的引力不具有对称性，但如果
设想用同种物质把空腔填满，则此实心球体对质点的引力就具
有了对称性。
设此实心球体质量为M /，则它对m 的万有引力为： F=2'R
m GM ——①，力F 是填入部分对m 的引力F 1和原物对m 的引力F 2的合力(见图)，设F 1与F 夹角为φ，有：F 22=F 2+F 12-2FF 1cosφ——②。
设填入部分的质量为M 1，则F 1=])2
([221R R m GM +——③。
由密度公式ρ=3
43
R V V M π=和可得：M /=7,781M M M =——④，cosφ=52)2
(2
2=+R R R
——⑤。
由①~⑤可解得F 2=2700751R GMm ，设F 2与半径AO 的夹角为α，则cosα=12
12222)(FF F F F -+=0.9967，α=4°39′。