安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学文试题(纯word版)

安徽省江淮十校2015届高三8月联考数学文试题(纯word 版)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为 （ ） A ．0 B ．2i C ．2i - D ．12i -- 2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是 （ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ． 2sin()23x y π=+ C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=-3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为则实数a 的值为 （ ） A ．2-或6 B ．0或4 C ．1-D ． 1-或34．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 （ ）A ．2B ．52C ．1-D ．125．下列命题说法正确的是 （ ） A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠” B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件为 （ ）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i >7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是 （ ） A ．12B ．1或2-C ．1或 12D ．18. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A . 22015π+B . 20815π+C . 2009π+D . 20018π+9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，()2x f x =，则12(log f 的值为 （ ）A ．0B ．1 CD ．10.如图，已知点)P，正方形ABCD 内接于圆O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣C ．[]1,1- D．,22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ． 12．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 ． 13．某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是 ． 随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 14．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A B y y -的最大值为 ．15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：①2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x xy -=-；⑤2sin 1y x =-． 其中是“美丽函数”的序号有 ．三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．)第10题图16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin 2A b=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2a =，b =c 及ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C ），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）18．（本小题满分12分）已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n N *∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 并比较n n T b +与6大小.19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体A B C D E F 中，DE ⊥平面A B C D ，AD BC ，平面BCEF 平面FEADEF EF =，60BAD ∠= ，2AB =，1DE EF ==．（Ⅰ）求证：BC EF ；（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积． 20．（本小题满分13分）已知函数()ln 3()f x k x kx k R =--∈． （Ⅰ）当1k =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，且函数322()()2t g x x x x f x '=++在区间(1,2)上有极值，求t 的取值范围．21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(0,2)P ，过点(1,2)Q --作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k .试问1k +2k 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.安徽省“江淮十校协作体”2015届高三第一次联考数学（文科）试卷及解析一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则z 为 （ ▲ ） A ．0 B ．2i C ．2i - D ．12i -- 答案: C【解析】：由21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，得1a =，故2z i =，所以2z i =-．2．下列函数中周期为π且图象关于直线6x π=对称的函数是 （ ▲ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ． 2sin()23x y π=+ C ．2sin(2)6y x π=+ D ．2sin()23x y π=-答案: C【解析】：由周期为π可排除选项B 和D ，对于选项C ，当6x π=时，函数取得最大值，显然符合题意．3．若直线2x y -=被圆22(1)()4x y a -++=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ▲ ） A ．2-或6 B ．0或4 C ．1-D ． 1-或3答案: D【解析】：由圆的性质可得圆心到直线的距离为d ==，解得1a =-或3．4．已知变量x ，y 满足约束条件102200x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 （ ▲ ）A ．2B ．52C ．1-D ．12答案: A 【解析】：由线性规划知识易得．5．下列命题说法正确的是 （ ▲ ） A ．命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x =,则1x ≠” B ．“03x <<”是“11x -<”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈,均有210x x +->” D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为真命题 答案: B【解析】：对于选项A ，命题“若21x =,则1x =”的否命题应为：“若21x ≠,则1x ≠”； 对于选项B ，1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以命题正确；对于选项C ，命题“x R ∃∈,使得210x x +-<”的否定应为：“x R ∀∈,均有210x x +-≥”； 对于选项D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为“若sin sin x y =，则x y =”显然为假命题．6．按如下程序框图，若输出结果为42S =，则判断框内应补充的条件为 （ ▲ ）A ．3i >B ．5i >C ．7i >D ．9i > 答案: B 【解析】：S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体； S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体； S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故判断框内应补充的条件为5i >． 故选：B ．7．椭圆22216x y a +=与双曲线2214x y a -=有相同的焦点，则实数a 的值是 （ ▲ ） A ．12B ．1或2-C ．1或 12D ．1答案: D【解析】：由椭圆与双曲线有关知识易得264(0)a a a -=+>，解得1a =．8. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ▲ ）A . 22015π+B . 20815π+C . 2009π+D . 20018π+答案: B 【解析】：由三视图易得此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体，其表面积为2(10410545)26233220815πππ⨯+⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=+．9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=．若当[)0,1x ∈时，第8题图()2x f x =，则12(log f 的值为 （ ▲ ）A ．0B ．1 CD ．答案: A【解析】：由题意知函数()f x 是周期为2的周期函数，而125log 2=-，所以1212511(log (2)()()(20222f f f f =-+=--=-=-=．10.如图，已知点)P，正方形ABCD 内接于圆O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点. 当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 （ ▲ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣C ．[]1,1- D．⎡⎢⎣⎦答案: C11. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若231012a a a ++=，则9S = ▲ ． 答案: 36【解析】：因为231012a a a ++=，由等差数列的性质知5312a =，故54a =，所以199599362a a S a +=⨯==. 12．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_____▲____． 答案:2π 【解析】：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，易得当62x ππ<<时，()0f x '>，当2x ππ<<时，()0f x '<，所以()f x 在(,)62ππ上单调递增，在(,)2ππ上单调递减，故2x π=时，()f x 取得最大值()22f ππ=．13．某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是 ▲ . 随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 答案: 068 【解析】：由随机数表进行简单随机抽样的方法易得,抽取的第一个号码为175，第二个号码为068． 14．已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则2A B y y -的最大值为 ▲ ．答案:【解析】：设(cos ,sin )A αα，则(cos(),sin())33B ππαα++，于是22sin sin()3AB y y παα-=-+3sin )226πααα=-=-，15．设函数()f x 的定义域为D ，若,x D y D ∀∈∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称函数()f x 为“美丽函数”.下列所给出的五个函数：①2y x =；②11y x =-；③()ln(23)f x x =+；④22x x y -=-；⑤2sin 1y x =-． 其中是“美丽函数”的序号有 ▲ ． 答案: ②③④ 【解析】：由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数，容易判断仅有②③④符合题意．三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．)16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin A = （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a =，b =c 及ABC ∆的面积.【解析】：（Ⅰ）sin 2A b=，2sin b A =，2sin sin A B A =， ………………………………………………2分又0A π<< ，sin 0A ∴>，sin B ∴=， …………………………………………4分a b c << ，B C ∴<， 所以02B π<<，故3B π=. …………………………………6分（Ⅱ）2a =，b =22212222c c =+-⨯⨯⨯，即2230c c --=解得3c =或1c =-（舍去），故3c =. ………………………………………………10分所以11sin 2322ABC S ac B ∆==⨯⨯=………………………………………12分 17. （本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C ），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）【解析】：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ，所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15），共有10种． 事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种．所以42()105P A ==为所求． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． 由公式，求得ˆ 2.1b=，ˆˆ4a y bx =-=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14y x =+． ……………………………………10分 （Ⅲ）当x =7时，ˆ 2.17418.7y=⨯+=．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯． ………………………………………12分 18．（本小题满分12分）已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n N *∈），且22S -，3S ，44S 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 并比较n n T b +与6大小. 【解析】：（Ⅰ）由题意得324224S S S =-+，即()()42430S S S S -+-=，亦即 ()4340a a a ++=，4312a a ∴=-，所以公比12q =-, ……………………………4分于是数列{}n a 通项公式为()13122n n a n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. ……………………………5分另解:由题意得324224S S S =-+，1q ≠,()()()3241111112111a q a q a q qqq---∴=-+---，化简得2210q q --=，12q ∴=-， ………………………………………………4分 ()13122n n a n N -*⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭. ………………………………………………………5分（Ⅱ）1313222n n n n n b n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， 所以12312336932222n n n nT b b b b =++++=++++ ， ①()23131136322222n nn n n T +-=++++ ， ② ………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n nT +=++++-111132231212n n n+⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=--13632n n ++=-，所以 3662n nn T +=-， ……………………………………………………………11分 从而 6662n n n T b +=-<. .………….………………………………………………12分19.（本小题满分13分）在如图所示的多面体A B C D E F 中，DE ⊥平面A B C D ，AD BC ，平面BCEF 平面ADEF EF =，60BAD ∠= ，2AB =，1DE EF ==． （Ⅰ）求证：BC EF ；（Ⅱ）求三棱锥B DEF -的体积．【解析】：（Ⅰ）因为AD BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，所以BC 平面ADEF ， ………………………………………………………………………3分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF 平面ADEF EF =，所以BC EF ． ……………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，因为DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以D E BH ⊥，又AD 、DE ⊂平面ADEF ，AD DE D = ，所以BH ⊥平面ADEF ，所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………………………………10分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH =因为DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以DE AD ⊥，又由（Ⅰ）知，BC EF ，且AD BC ，所以AD EF ，所以DE EF ⊥，所以三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯． ………………13分 20．（本小题满分13分）已知函数()ln 3()f x k x kx k R =--∈．（Ⅰ）当1k =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，且函数322()()2t g x x x x f x '=++在区间(1,2)上有极值，求t 的取值范围． 【解析】：()(0)k f x k x x'=->， …………………………………………………………………1分 （Ⅰ）当1k =-时，11()1x f x x x-'=-+=， 令()0f x '>时，解得1x >，令()0f x '<时，解得01x <<， …………………………3分 所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(0,1)． …………………………5分 （Ⅱ）因为函数()y f x =的图象在()2,(2)f 处的切线与直线30x y --=平行，所以(2)1f '=，即12k k -=，∴2k =-，2()2f x x-'=+， …………………………7分 第19题图 FA C D EB()32222t g x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭，∴()2()342g x x t x '=++-， ………………………9分 因为函数()g x 在区间(1,2)上存在极值，注意到()y g x '=的图像为开口向上的抛物线，且(0)20g '=-<， 所以只需(1)0(2)0g g '<⎧⎨'>⎩， 解得95m -<<-，∴m 的取值范围为()9,5--． …………………………………………………………………13分21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(0,2)P ，过点(1,2)Q --作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k .试问1k +2k 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】：（Ⅰ）由题意得2222122a b cc abc ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得28a =,24b =， 所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………………………5分（Ⅱ）1k +2k 为定值4，证明如下：……………………………………………………………6分 （ⅰ）当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =-,由方程组221184x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩易得A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，于是12420(1)2k ==--，220(1)k ⎛- ⎝⎭==-- 所以124k k +=为定值. ………………………………………………………………8分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时,设l 方程为[](2)(1)y k x --=--，即2y kx k =+-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由方程组222184y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得 222(12)4(2)280k x k k x k k ++-+-=， 由韦达定理得12221224(2)122812k k x x k k k x x k --⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（*） …………………………………………10分 ∴12122112121222(2)(2)y y y x y x k k x x x x ---+-+=+= 122112(4)(4)kx k x kx k x x x +-++-= 1212122(4)()kx x k x x x x +-+= 12122(4)x x k k x x +=+-⋅， 将（*）式代入上式得124k k +=为定值. ……………………………………………13分。