矩阵函数的性质及其应用

矩阵函数的性质及其应用摘要本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其多种矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事半功倍的作用，文章末尾还给出了其在实际中的应用，为解决实际问题带来很多方便。

关键词：矩阵级数矩阵函数 Jordan标准型线性微分方程Matrix function calculus and its applicationAbstractThis paper, from the polynomial and power series two aspects of the matrixfunction are given two definition way, is derived from the definition of someproperties of matrix function and the method, the method of according to chooseappropriate, rise to get twice the result with half the effect, the article alsogives the end in the actual application, to solve practical problems bring manyconvenientKeywords:Matrix series Matrix function Jordan canonical formLinear differential equation目录摘要 (I)关键词 (I)第一章引言.................................... 错误！未定义书签。

第二章矩阵函数. (2)矩阵函数的定义 (2)矩阵函数的性质 (2)第三章矩阵函数的计算 (6)第四章矩阵函数的应用 (11)矩阵函数在线性微分方程的应用 (11)结束语.......................................... 错误！未定义书签。

致谢语. (14)参考文献 (14)第一章 引言为了讨论方便，引入一下记号：1、n n F ⨯表示数域F 上n n ⨯矩阵全体的线性空间；2、n n C ⨯表示n n ⨯复矩阵集；3、(),P F λ数域F 上λ的纯量多项式；4、()A σ表示A 的谱，即(){}A A σλλ=是的特征值；5、()A ρ表示A 的谱半径，即(){}max A A ρλλ= 是的特征值6、对于给定的矩阵n n A F ⨯∈，凡满足()0f A =的多项式()f λ称为矩阵A 的零化多项式（一般取首项系数为1）7、其中次数最低的零化多项式称为矩阵A 的最小多项式，记做()m ψλ 8、文献[1]给出矩阵级数的定义：定义1：设{}k A 是m n C ⨯的矩阵序列，其中()k k m n ij A a C ⨯=∈，无穷和123kA A A A ++++ 称为矩阵级数，记为1kk A ∞=∑.对正整数1k ≥，记1kki i S A ==∑称()k S 为矩阵级数1k k A ∞=∑的部分和，如果矩阵序列{}k S 收敛，且有极限S ，即lim k k S S →∞=，则称矩阵级数1kk A ∞=∑收敛，并称S 为矩阵级数1kk A ∞=∑的和，记为1k k A S ∞==∑不收敛的矩阵级数称为发散的. 定义2：设n nA C⨯∈，形如20120k k k k k c A c I c A c A c A ∞==+++++∑的矩阵级数称为矩阵幂级数.第二章 矩阵函数矩阵函数的定义矩阵函数的多项式表示：设()ij n n A a ⨯=是数域F 上的一个n 阶矩阵，简记为n n A F ⨯∈，()()2012+0n n n f a a a a a λλλλ=+++≠…是数域F 上的一个n 次多项式，简记为()(),f P F λλ∈，将此多项式中i λ换成i A ，其中01λ=换成单位矩阵I ，则矩阵函数()f A 可以定义为：()2012+n n f A a I a A a A a A =+++…矩阵函数的幂级数表示：设n nA C⨯∈，如果一元函数()f z 能够展开为z 的幂级数()f z =0k k k c z ∞=∑，z ||<R其中R>0表示该幂级数的收敛半径.当n 阶矩阵A 的谱半径()A R ρ<时，把收敛的矩阵幂级数0kk k c A ∞=∑的和称为矩阵函数，记为()f A ，即()f A =0k k k c A ∞=∑矩阵函数的性质性质1：()f A 和A 可交换，即()()f A A Af A =证 设纯量多项式()2012+n n f a a a a λλλλ=+++…，则矩阵多项式()f A 为()2012+n n f A a I a A a A a A =+++…，于是()f A A =()2012+n n a I a A a A a A A +++…=231012+n n a A a A a A a A ++++…()2012+n n A a I a A a A a A =+++… ()()()()f g A f A g A =性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（和差），即()()()()f g A f A g A ±=±性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即()()()()f g A f A g A =性质4：若A B ,则()()f A f B ，即若1B T AT -=，则()()1f B T f A T -=证 由于A B ，故存在可逆矩阵n n T C ⨯∈，使得1B T AT -=，若()f λ是纯量多项式，则()()()11f B f T AT T f A T --==,即()()f A f B性质5：设n n A C ⨯∈，n n B C ⨯∈，且A B B A =,函数()f z 在()A σ上有定义，()g z 在()B σ上有定义，则()()()()f A g B g B f A =证 设A ，B 的最小多项式的次数分别为k 和l ，则存在次数不超过1k -的多项式()z ϕ和次数不超过1l -的多项式()z ψ，使得()()()(),f A A g B B ϕψ==由于AB BA =，因此对任意正整数i ，j ，有i j j i A B B A =，从而A 的多项式与B 的多项式相乘时可交换，即得()()()()()()()()f A g B A B B A g B f A ϕψψϕ===性质6：设n nA C⨯∈，A 的特征值都是正实数，()f z 是系数为非负实数的幂级数0kk k c A ∞=∑的和函数，它的收敛半径()r A ρ>，则()0trf A ≥，且()()00trf A f z =⇔=证 因为A 的特征值都是正实数，且()f z 是系数为非负实数的幂级数0k k k c A ∞=∑的和函数，因此()f A 的特征值为()()001,2,k i k i k f c i n λλ∞==≥=∑…，，其中()1,2,k i n λ=…,是A 的特征值，所以()()10i i trf A f λ∞==≥∑若()f z 不恒为0，则()()001,2,k i k i k f c i n λλ∞==>=∑…,，从而()0trf A >；若()f z 恒为0，则()()01,2,,i f i n λ==…，从而()0trf A >。

性质7：设n n A C ⨯∈，函数()f z 在()A σ上有定义，则()()TTf A f A =⎡⎤⎣⎦证 由于A 与T A 相似，因此，A 与T A 有相同的谱，也有相同的最小多项式，由()f z 在()A σ上有定义，则()f z 在()T A σ上有定义，且()f z 在A 与T A 的谱上的值相同，因此可取相同的多项式()z ϕ，使得()()()(),T T f A A f A A ϕϕ==.所以()()()()T TTTf A A A f A ϕϕ⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质8：设A 是对称矩阵，函数()f z 在()A σ上有定义，则()f A 是对称矩阵 性质9：设A 是实对称矩阵，实函数()f z 在()A σ上有定义，且对A 的任一特征值λ，有()0f λ>，则()f A 是正定矩阵。

证 由()f z 为实函数，A 是实对称矩阵，根据性质8知，()f A 是实对称矩阵，又因为()f A 的特征值为()()01,2,,i f i n λ>=…，其中()1,2,,i i n λ=…是A 的特征值，所以()f A 是正定矩阵。

性质10：设A 是反对称矩阵，函数()f z 在()A σ上有定义，且为奇函数，则()f A 是反对称矩阵。

证 由性质7得()()()=TT f A f A f A =-⎡⎤⎣⎦,又由于()f z 为奇函数，()()f z f z -=-，所以()()()()=TTf A f A f A f A =-=-⎡⎤⎣⎦即()f A 是反对称矩阵。

下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质： 矩阵指数函数A e 的基本性质： (1)若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==; (2)()1A A ee --=；(3)A trA e e =证 （1）因为矩阵加法满足交换律，所以只需证明A B A B e e e +=就行了.根据矩阵指数函数的表达式可得22112!2!A B e e I A A I B B ⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……()()()22322311332!3!I A B A AB BA B A A B AB B =+++++++++++… ()()()23112!3!I A B A B A B =+++++++…A B e +=(2)在（1）中令B=-A,则得A A e e I -=,所以()1A A e e --=(3)设A 的特征值为12n λλλ，，…，，则A e 的特征值为12,,n e e e λλλ…，，因此12n 12n +++==A trAe e e e e e λλλλλλ=……矩阵三角函数的基本性质：(1)cos sin iA e A i A =+ (2)()1cos 2iA iA A e e -=-，()1sin 2iA iA A e e i-=- (3)()()cos cos ,sin sin A A A A A -=-=-(4)若AB BA =，则()cos cos cos sin sin A B A B A B +=-()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+证(1)因为0!k iAkk i e A k ∞==∑，将k 分为偶数k 2和奇数1k 2+，则有()()()22122k+1000!2!21!k k k iAk k k k k i i i e A A A k k k +∞∞∞=====++∑∑∑ ()()()()22100112!21!k kk k k k A A k k ∞∞+==--=++∑∑ cos sin A i A =+(2)同(1)证可得cos sin iA e A i A -=-两式相加得()1cos 2iA iAA e e -=- 两式相减得()1sin 2iA iA A e e i-=-(3)因为()()2101sin 21!kk k A A k ∞+=-=+∑，所以()()()()2101sin 21!kk k A A k ∞+=--=-+∑()()2101sin 21!kk k A A k ∞+=-=-=-+∑，又因为()()201cos 2!kk k A A k ∞=-=∑，所以()()()()()()220011cos cos 2!2!kkkk k k A A A A k k ∞∞==---=-==∑∑(4)若AB BA =，得()()()()1cos 2i A B i A B A B e e+-++=+ ()12iA iB iA iB e e e e --=+()()()()1222iA iA iB iB iA iA iB iBe e e e e e e e ----⎛⎫++-- ⎪=+⎪⎝⎭ ()2222iA iAiA iA iB iB iB iBe e e e e e e e i i-----++-=-cos cos sin sin A B A B=-同理可证 ()sin sin cos cos sin A B A B A B +=+第三章 矩阵函数的计算1、A 为对角矩阵和分块对角矩阵的矩阵函数()f A 的求法 (1)矩阵函数为矩阵幂函数()=m f A A若A 为对角矩阵，即12n d d A d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则由矩阵乘法，有()()()()1122=mmm m n n d f d f d d f A A f d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若A 为分块对角矩阵，即12n A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()1,2,,i A i s =…为子块。