矩阵函数及其应用

二、 矩阵函数的初步计算
1. Jordan 标准形法
对于矩阵的多项式，我们曾导出 f(A)= Pf(J)P-1 ， f：多项式
f(J)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1)
f(J2 ) %
%
f(Js )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
A2 = ⎡⎣⎢⎢01 01⎤⎦⎥⎥ = A3 = A4 = "
B2 = ⎡⎣⎢⎢01 -01⎤⎦⎥⎥ = B3 = B4 = "
∑ eA
=I+(
∝ n=1
1 )A n!
=I+(e
- 1)A
=
⎡⎢⎢⎣e0
e
1
1⎤⎥⎥⎦
∑ eB
=I+(
∝ n=1
1 )B n!
=I+(e
- 1)B
=
⎡⎢⎢⎣e0
1-1e⎤⎥⎥⎦
= an1x1(t)+ an2x2(t)+ " + annxn(t)
式中 t 是自变量，xi = xi(t)是 t 的一元函数(i= 1,2,",n),aij(i,j = 1,2,",n)
是常系数。
令
x(t)=[x1(t),x2(t),",xn(t)]T ， A = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣aaa#1n2111
1 λi
1 λi
% %
λ01i ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
有非奇异矩阵 P 使得： P-1AP = J
对于函数 f(z)，若下列函数
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
(λ= 1,2,",s)
均有意义，则称矩阵函数 f(A)有意义，且
f(A)= Pf(J)P -1 = P ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(J1) f(J2 ) %
]m×n
b
b
∫ ∫ A(t)dt = [ aij (t)dt]m×n
a
a
四，矩阵函数的应用
1、微分方程组的一般形式 X ' （t）=A（t）X（t）+f（t） X（t 0 ）=C。
⎧⎪⎪齐次：f（t）= 0
求解： X ' （t）=AX（t）
X（t 0 ）=C。
定理 5、11 ： 上述方程组的解为：
2D 对于 J 的各 Jordan 块Ji求出 f(Ji)，即计算出
f(λi),f′(λi),...,f(mi-1)(λi)
并按照顺序构成 f(Ji)，
( ) f(Ji)= ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f(λi)
f′(λi) %
21!f′′(λi) %
" %
mi1-1!f⎛⎜⎜⎜⎜⎝mi-1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(λi)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦mi×mi
2!
2!
=I+(A + B)+ 1 (A2 + 2AB + B2 )+ 1 (A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 )+"
2!
3!
=I+(A + B)+ 1 (A + B)2 + 1 (A + B)3 +" = eA+B
2!
3!Βιβλιοθήκη (A + B)2 =(A + B)(A + B)= A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩cc01
=
=
cost sint
4o
f(A)= m(A)= c0I+ c1A = ⎡⎢⎢⎢⎣co0st = ⎡⎢⎢⎢⎣-csoisntt scionstt⎤⎥⎥⎥⎦
co0st⎤⎥⎥⎥⎦ + ⎡⎢⎢⎢⎣-s0int
si0nt⎤⎥⎥⎥⎦
x(t)= etAx(0)= ⎡⎢⎢⎣⎢-csoisntt scionstt⎤⎥⎥⎦⎥ ⎡⎣⎢⎢rr12 ⎤⎦⎥⎥ = ⎢⎢⎡⎣rr12ccoosstt+-rr21ssiinntt⎥⎥⎤⎦ = ⎡⎢⎢⎢⎣xx12((tt))⎤⎥⎥⎥⎦
且
t＝0
时， x(t)= e0Ac =Ic = c = x(0)
表明 x(t)确为方程的解，积分常数亦正确
例：求解微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
dx1 dt dx2 dt
= =
x2 -x1
，
初始条件为 ⎡⎣⎢⎢xx12((00))⎥⎥⎤⎦ = ⎡⎢⎢⎣rr12 ⎤⎥⎥⎦
解： A = ⎡⎢⎢⎢⎣-01 01⎥⎥⎤⎥⎦ ，须计算 f(A)= eAt →
三，矩阵函数的微分和积分
• 我们讨论的矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n，
• 分析性质包括连续微分积分等；
A（t）连续、可微分、可积分 ⇔ 每一个 aij（t）连续、可微分、可积分。
•
lim t→t0
A(t
)
=
[lim t→t0
aij
(t
)]m×n
dA(t) dt
=
[
daij (t) dt
第十六讲 矩阵函数
一、 矩阵函数的定义与性质
以矩阵为自变量的” 函数“
如: eA , sinA, cosA
1，如何定义？
∑ ①我们知道, ez = 1+ z + 1 z2 + " = ∝ 1 zn
2!
n=0 n!
∑∝
sin(z)=
(-1)n
z2n+1
n=0 (2n + 1)!
∑ cos(z)= ∝ (-1)n z2n
=
∝ n=0
1 An n!
∑ sin
A=
∝ (-1)n A2n+1 n=0 (2n + 1)!
∑ cos
A=
∝ (-1)n A2n n=0 (2n)!
。
∑ ②我们知道，
1 1−
z
= 1+
z
+
z2
+"=
∝ n=0
zn
∑ ln(1+ z ) = z - z2 + z3 " = ∝ (-1)n+1 zn
f(λ)= etλ
1o 求出 A 的特征多项式，ϕ(λ)= λ
-1 =(λ2 +1)=(λ-i)(λ+i)，阶数
1λ
为2
2o 定义待定系数的最小多项式 m(λ)= c0 + cλ1
3o 解方程
f(λ1)= eit = cost +isint = m(λ1)= c0 +ic1 f(λ2 )= e-it = cost -isint = c0 -ic1
2， 如果 A 与 t 相关，即变系数矩阵方程
dx dt
=
A(t)x(t)（解法不要
求）
二、 一阶线性非齐次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩#ddddddxxxttt1n2
= a11x1(t)+ a12x2(t)+"+ a1nxn(t)+ f1(t) = a21x1(t)+ a22x2(t)+"+ a2nxn(t)+ f2(t)
23
n=1
n
在| z |<1时收敛（？，收敛半径），于是其对应的矩阵级数，当 ρ( A ) <1，有
∑ ∑ ∝ An , ∝ ( −1 )n+1 An 收敛，
n=0
n=1
n
那么将他们收敛到的矩阵记作 ( I − A )−1 ,ln( I + A )
由上面的①，②给出矩阵函数的定义：
∑∝
设级数 ak zk 的收敛半径为 R，且收敛到 f(z);如果对于矩阵 A ∈ Cn×n 的谱半径
n=0 (2n)!
均为整个复平面上收敛的级数（？，收敛半径）, 故对任何的方阵 A
∑∝ 1 An
n=0 n!
∑∝ (-1)n A2n+1
n=0 (2n + 1)!
∑∝ (-1)n A2n
n=0 (2n)!
均收敛，那么我们将他们收敛到的矩阵分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、
∑ 矩阵余弦函数，记作 eA
(A + B)3 = " = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
同理, 有 eBeA = eA+B .
[推论 1]
cos(A ±B)= sin(A ±B)=
scionsAAccoossBB±± csoisnAAssiinnBB⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
←
AB
=
BA
[推论 2] eAe-A = e-AeA = e0 =I, (eA )-1 = e-A,(eA )m = emA,eA 总存在逆阵
eA(t−s) f (s)ds
例： {X ′(t) = ⎡⎢⎢⎣14 32⎤⎥⎥⎦ X (t) + ⎡⎢⎢⎣−11⎤⎥⎥⎦
t0
X (0) = ⎡⎢⎢⎣12⎤⎥⎥⎦
1，一阶线性其次常系数常微分方程组
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩#ddddddxxxttt1n2
= a11x1(t)+ a12x2(t)+ " + a1nxn(t) = a21x1(t)+ a22x2(t)+ " + a2nxn(t)
∑ eA+B
=I+(
∝ n=1
1 2n-1)(A n!