矩阵相关函数
第四章 矩阵分析及矩阵函数
4.1 矩阵分析 4.2 矩阵函数 4.3 线性常系数微分方程 4.4 变系数微分方程组
4.1 矩阵分析
4.1.1基本概念 4.1.1基本概念 定义4 定义 4.1.1 令 A 1 , A 2 , L 是 m× n的矩阵序 × 列 ， 假 如 存 在 一 个 ×n m×
k →∞
令 A 1 , A 2 , L是 m× n 矩阵序列 ， × 矩阵序列，
构造部分和序列 A 1 , A1 + A 2 , A 1 + A 2 + A 3 ,L 假如其收敛到 A , 记
∞
∑A
∞
k
= A
k =1
则级数∑ A k ,收敛到 A .
k =1
定理4 (Cauchy收敛准则 收敛准则) 定理4.1.3 (Cauchy收敛准则) 收敛， ∑ A 收敛，当且仅当矩阵序列
∞
Ak
收敛， 收敛，则矩
k =1
特别地，对于方阵 A ，如果级数 ∑ 特别地， 收敛， 收敛，则矩阵幂级数 收敛. ∑ A 收敛.
k
∞
Ak
∞
k =1
k =1
定理4 定理 4.1.5
设幂级数
∑
∞
a k λk
的收敛半径 时 ， 矩阵
k =0
是 R ， 则当方阵 A 的范数 幂级数 ∑ a k A k 收敛。 收敛。
于是矩阵幂级数
1 1 2 1 3 I + A + A + A + LL 1! 2! 3!
1 2 1 4 I − A + A − LL 2! 4! 1 3 1 5 A − A + A − LL 3! 5!
MATLAB常用矩阵函数
1. 矩阵的构造与操作zeros 生成元素全为0的矩阵ones 生成元素全为1的矩阵eye 生成单位矩阵rand 生成随机矩阵randn 生成正态分布随机矩阵sparse 生成稀疏矩阵full 将稀疏矩阵化为普通矩阵diag 对角矩阵tril 矩阵的下三角部分triu 矩阵的上三角部分flipud 矩阵上下翻转fliplr 矩阵左右翻转MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵2. 矩阵运算函数norm 矩阵或向量范数normest 稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计rank 矩阵的秩det 方阵的行列式trace 方阵的迹null 求基础解系（矩阵的零空间）orth 正交规范化rref 矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）subspace 计算两个子空间的夹角3. 与线性方程有关的矩阵运算函数inv 方阵的逆cond 方阵的条件数condest 稀疏矩阵1-范数的条件数估计chol 矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc 稀疏矩阵的不完全Cholesky分解linsolve 矩阵方程组的求解lu 矩阵的LU分解ilu 稀疏矩阵的不完全LU分解luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解qr 矩阵的正交三角分解pinv 矩阵的广义逆4. 与特征值或奇异值有关的矩阵函数eig 方阵的特征值与特征向量svd 矩阵的奇异值分解eigs 稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds 矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量hess 方阵的Hessenberg形式分解schur 方阵的Schur分解。
矩阵函数的定义与性质
矩阵函数的定义与性质矩阵函数是一类涉及矩阵运算的多元函数，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
矩阵函数的定义与性质对于深入理解矩阵运算非常重要，本文将介绍矩阵函数的基本定义以及一些常见的性质。
矩阵函数的定义矩阵函数通常可以表示为f(A)，其中A是一个矩阵，$f(\\cdot)$是一个函数。
对于一个$n \\times n$的矩阵A，其矩阵函数可以通过泰勒级数展开来定义：$$f(A) = c_0I + c_1A + c_2A^2 + \\cdots + c_kA^k + \\cdots$$其中，I是单位矩阵，c i是函数f(x)在点i处的导数。
矩阵函数的性质1. 线性性质若f(A)和g(A)是矩阵A的函数，c1和c2为常数，则有：$$ \\begin{aligned} & f(A) + g(A) = g(A) + f(A) \\\\ & c_1f(A) = f(c_1A)\\end{aligned} $$2. 矩阵的幂运算对于矩阵函数f(A)=A k，其性质如下：•若A是可对角化的矩阵，则f(A)也可对角化。
•若A是对称矩阵，则f(A)也是对称矩阵。
•若A是幂等矩阵（即A2=A），则f(A)也是幂等矩阵。
3. 矩阵函数的微分对于矩阵函数f(A)，其微分形式如下：df(A)=f′(A)dA其中，f′(A)表示f(A)的导数，dA表示矩阵A的微小变化。
4. 特征值与特征向量矩阵函数f(A)的特征值与特征向量也与矩阵A的特征值与特征向量有密切联系。
若$\\lambda$是矩阵A的特征值，v是对应的特征向量，则$f(\\lambda)$是矩阵f(A)的特征值，v是对应的特征向量。
结语通过以上介绍，我们对矩阵函数的定义与性质有了初步了解。
矩阵函数的研究不仅有助于理解矩阵运算的复杂性，还在实际问题中有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
matlab的corr2函数
matlab的corr2函数
MATLAB中的corr2函数是用于计算两个二维矩阵之间的相关系数的函数。
它的语法如下：
r = corr2(A,B)
其中，A和B分别是两个二维矩阵，r是它们之间的相关系数。
corr2函数的计算方式是将A和B中的每个元素分别减去它们的均值，然后计算它们的协方差，最后除以它们的标准差的乘积。
具体地，相关系数r的计算公式如下：
r = cov(A,B) / (std(A) * std(B))
其中，cov(A,B)表示A和B的协方差，std(A)和std(B)分别表示A和B的标准差。
corr2函数的返回值r的取值范围是[-1,1]，其中1表示两个矩阵完全相关，-1表示两个矩阵完全不相关，0表示两个矩阵之间没有线性相关性。
corr2函数在很多领域都有广泛的应用，比如图像处理、信号处理、金融分析等。
在图像处理中，corr2函数可以用于计算两张图像之间的相似度，从而实现图像匹配、图像检索等功能。
在信号处理中，corr2函数可以用于计算两个信号之间
的相似度，从而实现信号匹配、信号识别等功能。
在金融分析中，corr2函数可以用于计算不同证券之间的相关性，从而实现投资组合的优化等功能。
总之，corr2函数是MATLAB中非常重要的一个函数，它可以帮助我们计算两个矩阵之间的相关系数，从而实现很多实际应用。
矩阵论-矩阵函数及其计算
f (Js (s ))
0
,
Js (s )
f (J1(1))
则f
(A)
P
0
0
P
1,
其中
f (Js (s ))
f
(i )
f (Ji (i ))
0
f '(i ) f (i )
f '(i )
Sylvester公式
(ni
1 1)!
f
( (ni 1) i
)
,1 i s.
f '(i ) f (i )
第四节 矩阵函数及其计算
一、矩阵函数的定义及例子
定义1：设幂函数 cmzm的收敛半径为R，且当 z R时，幂函数 m0
收敛于函数f(z)，即
f(z)= cmzm, z R. m0
若A Cnn，满足(A) R,称收敛的矩阵幂级数 cmAm的和为 m0
矩阵函数，记为f (A).即f (A)= cmAm，特别地，当R=+时， m0
5)若AB=BA，则eAeB =eBeA =eA+B; 6)一般的，eAeB，eBeA，eA+B互不相等; 7)eAeA =eAeA =I，即(eA )1 eA.(注A，eA总是可逆的)
证明：1）-4）可直接验证，6）可见书上反例，7）为5）的推论. 下证5），只需验证eAeB =eA+B，
eAeB
f (z) cm zm的收敛半径为R.若( A) R，则f (A) cmAm可表
m0
m0
为A的l-1次多项式p(A),即存在p()=0 1 l1l1, 使得
f (A) 0I 1A l1Al1=p(A),
且p( )是唯一的.
将f (A)表示为一个矩阵多项式的步骤：
矩阵的函数
矩阵的函数
矩阵的函数指的是对矩阵进行操作或者变换得到新的矩阵的过程。
常见的矩阵函数包括：
1. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2. 矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
矩阵B称为A的逆矩阵。
3. 矩阵的迹：矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
4. 矩阵的行列式：行列式是一个标量值，用于判断矩阵是否可逆。
若行列式为0，则矩阵不可逆。
5. 矩阵的特征值和特征向量：矩阵A的特征值是一个标量λ，特征向量是指一个非零向量x，使得Ax = λx。
6. 矩阵的幂：将矩阵A自乘n次得到的新矩阵。
7. 矩阵的加法和减法：对应位置上的元素相加或相减得到新矩阵。
除了以上常见的矩阵函数，还有许多其他的矩阵函数，如矩阵的行列变换、矩阵的分解（如LU分解、QR分解等）、矩阵的范数（如F范数、L1范数、L2范数等）等。
这些函数在矩阵计算和应用中都有广泛的应用。
矩阵函数
1.1.1 矩阵函数的定义定义1.1 设幂级数za kk k ∑+∞=0的r,且当∣z ∣<r 时，该幂级数收敛于f(z),即 f(z)=za kk k∑+∞=0,∣z ∣<r.如果A ∈cnn ⨯满足p(A)<r,则矩阵幂级数A a k k k∑+∞=0是绝对收敛的，其和称为矩阵函数，记为f(A),即f(A)= A a kk k∑+∞=0最常用的函数的幂级数展开有：∑∞+==!k kzk ze(+∞=r )z sin =z k k kk 120)!12()1(+∞+=∑-+（+∞=r ）z cos =z kk kk 20!21-∑∞+=）（）（ （+∞=r ） ∑-+∞=-=1)1(k kz z (r=1)㏑(1+z)=z k k kk 10)1()1(+∞+=∑-+(r=1)根据定义1.1，它们所对应的矩阵函数为：∑∞+==0!k kAk Ae (c nn A ⨯∈∀)sin=Ak k kk 120)!12()1(+∞+=∑-+(cnn A ⨯∈∀)A cos=A kk kk 20!21-∑∞+=）（）（(c nn A ⨯∈∀) ∑-+∞=-=1)1(k kA A (p(A)<1)㏑(I+A)=Ak k kk 1)1()1(+∞+=∑-+( p(A)<1)(其中e A称为矩阵指数函数，sinA 称为矩阵正弦函数，cosA 称为矩阵余弦函数)定理1.1 假设∈A cnn ⨯，则有：（1） )sin(A -=-A sin ,A A cos )cos(=- （2） A i A e iAsin cos +=,A cos =21(ee iAiA -+),A sin =i21 (ee iAiA --).证明：（1）因为A sin =Ak k kk 120)!12()1(+∞+=∑-+，所以)sin(A -=）（A k k kk -)1(120)!12(+∞+=∑-+=Ak k kk 120)!12(-)1(+∞+=∑-+=A sin -,又因为A c o s =A kk kk 20!21-∑∞+=）（）（，所以）（A -cos =）（）（）（A kk k k -1-20!2∑∞+==A kk kk 20!21-∑∞+=）（）（=A cos ，因此证得。
excel矩阵函数
excel矩阵函数
Excel中的矩阵函数是一组用于对矩阵操作进行计算的函数，它们可以用于向量、矩
阵和数组的计算。
以下是一些常见的矩阵函数及其中文介绍。
1. 矩阵乘积函数
矩阵乘积函数是最常用的矩阵函数之一，用于计算两个矩阵相乘的结果。
在Excel中，矩阵乘积函数为 MMULT，其语法为：
MMULT(matrix1, matrix2)
其中，matrix1 和 matrix2 是需要相乘的两个矩阵。
注意，在使用 MMULT 函数时，
矩阵1 的列数要等于矩阵2 的行数。
行列式是一个标量值，代表了矩阵的某些性质。
在Excel中，可以使用 DET 函数来计算矩阵的行列式，其语法为：
DET(matrix)
矩阵逆是一个方阵的逆矩阵，它能够将与其相乘的矩阵还原成原始矩阵。
在Excel中，可以使用 MINVERSE 函数来计算一个方阵的逆矩阵，其语法为：
5. 矩阵最小特征值函数
总结：
矩阵函数在 Excel 中具有重要的地位，它们允许我们对矩阵的加、减、乘、转置、
求逆、求特征值等进行操作。
熟练掌握这些函数的使用，可以为我们解决许多计算上的难
题提供便利。