矩阵范数与矩阵函数

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工程矩阵理论(第5章-范数及矩阵函数)

工程矩阵理论(第5章-范数及矩阵函数)

第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
证明: (1) 当|| || = 0时, 假若 0, 则由||||的正定性得|| || > 0, 这与|| || = 0矛盾, 故 = 0. 反之, 若 = 0, 则 || || = ||0|| = ||00|| = |0|||0|| = 0.
定义5.1.1 设F = 或 , V为F上的线性空间, 映射: V 满足 (1)正定性: () > 0, 0 V; (2)齐次性: (k) = |k|(), V, kF; (3)三角不等式: (+) ()+(), , V, 则称为V上的范数.
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
p 1 1 记q = p1 , 则q > 1, 且 p+ q = 1,
i=1 n
|xi+yi|p (|xi|+|yi|)p
i=1 n i=1
n
n
= |xi|(|xi|+|yi|)p1 + |yi|(|xi|+|yi|)p1
第五章 范数及矩阵函数
§5.1 范数的基本概念
() (1) 对于任意的非零向量X 由detA 0可得AX 0, 于是||X||A = ||AX|| > 0.
n,
(2) 对于任意的X n, k , ||kX||A = ||A(kX)|| = ||k(AX)|| = |k|||AX|| = |k|||X||A .
工程矩阵理论
主讲: 张小向

第五章 范数及矩阵函数
第一节 范数的基本概念 第二节 矩阵的范数 第三节 两个收敛定理 第四节 矩阵函数 第五节 矩阵函数eAt与 线性微分方程组 第六节 矩阵对矩阵的导数

矩阵范数计算

矩阵范数计算

矩阵范数计算
矩阵范数是矩阵理论中的一个重要概念,用于衡量矩阵的大小和形状。

它在多个领域中都有广泛的应用,如线性代数、数值分析、控制理论等。

矩阵范数有多种定义方式,每种方式都有其独特的性质和应用场景。

一种常见的矩阵范数是谱范数,它等于矩阵的最大奇异值。

谱范数在矩阵的稳定性分析和控制系统设计中起着重要作用,能够帮助我们评估系统的稳定性和性能。

另一种常用的矩阵范数是弗罗贝尼乌斯范数,它等于矩阵所有元素的平方和的平方根。

弗罗贝尼乌斯范数常用于衡量矩阵之间的距离和相似度。

除了谱范数和弗罗贝尼乌斯范数外,还有一些其他常用的矩阵范数,如1-范数、∞-范数等。

不同的矩阵范数对矩阵的特征有不同的描述,可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。

在实际应用中,我们通常根据具体的问题和需求选择合适的矩阵范数来进行分析和计算。

矩阵范数的计算方法也多种多样,可以通过奇异值分解、特征分解等方式来求解不同范数下的矩阵值。

在数值计算中,我们通常会利用计算机算法来快速、准确地计算矩阵范数,以解决实际问题和优化算法性能。

总的来说,矩阵范数是矩阵理论中的重要内容,具有广泛的应用价值和理论意义。

通过深入理解矩阵范数的定义、性质和计算方法,
我们可以更好地应用矩阵理论于实际问题中,为科学研究和工程技术提供有力支撑。

希望通过本文的介绍,读者能对矩阵范数有更深入的了解,进一步拓展对矩阵理论的认识和应用。

矩阵范数详解

矩阵范数详解

向量和矩阵的范数的若干难点导引矩阵范数的定义引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的,在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。

最容易想到的矩阵范数,是把矩阵m nA C ⨯∈可以视为一个mn 维的向量(采用所谓“拉直”的变换),所以,直观上可用mnC上的向量范数来作为m nA C⨯∈的矩阵范数。

比如在1l -范数意义下,111||||||m niji j A a===∑∑()12tr()HA A =; (1.1)在2l -范数意义下,12211||||||m n F ij i j A a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑, (1.2)注意这里为了避免与以后的记号混淆,下标用“F ”,这样一个矩阵范数,称为Frobenius范数,或F-范数。

可以验证它们都满足向量范数的3个条件。

那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。

定义1 设m nA C ⨯∈,对每一个A ,如果对应着一个实函数()N A ,记为||||A ,它满足以下条件:(1)非负性:||||0A ≥;(1a )正定性:||||0m nA O A ⨯=⇔=(2)齐次性:||||||||||,A A C ααα=∈;(3)三角不等式:||A ||||||||||||,m n A B A B B C ⨯+≤+∀∈则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。

进一步,若对,,m n n l m lC C C ⨯⨯⨯上的同类广义矩阵范数||||∙,有(4)(矩阵相乘的)相容性:||A ||||||||||||AB A B ≤, n lB C ⨯∈, 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。

我们现在来验证前面(1.1)和(1.2)定义的矩阵范数是否合法?我们这里只考虑(1.2),把较容易的(1.1)的验证留给同学们,三角不等式的验证。

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数

矩阵分析引论--第四章--矩阵的奇异值分解-向量范数、向量范数

n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续,
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1

取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A, 满足下列条件: (1) 正定性:当A 0时,A 0; (2) 齐次性:kA k A (k P); (3) 三角不等式: A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间, V ,定义: ( , ),
则 • 是V上的一个范数,称为由内积引出的范数.
向量范数的性质:
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时, 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A)
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注:当U为酉矩阵时,有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij

矩阵的范数

矩阵的范数

矩阵的范数矩阵的范数是线性代数中的一个概念,它是用来衡量矩阵大小的一种方式。

范数是一种将矩阵(或向量)映射到非负实数的函数,反映矩阵(或向量)的大小。

在实际应用中,矩阵的范数被广泛用于求解线性方程组、矩阵分解、数据压缩等各种问题中。

矩阵范数的定义比较抽象,但其有严格的数学定义。

在此先介绍一下向量范数,然后再拓展到矩阵范数的定义。

1. 向量范数向量范数是将一个向量映射到其大小的非负实数函数。

向量范数必须满足以下性质:(1)非负性:对于所有向量x,有||x||>=0。

(2)同一性:当且仅当x=[0,0,...,0]时,有||x||=0。

(3)绝对值:||x||=|-x|。

(4)三角不等式:对于所有向量x和y,有||x+y||<=||x||+||y||。

常见的向量范数有:(2)L2范数:||x||2=√(∑xi^2)。

矩阵范数类似于向量范数,也是将一个矩阵映射到其大小的非负实数函数。

矩阵范数也必须满足向量范数的四个性质(非负性、同一性、绝对值、三角不等式),同时还需要满足以下性质:(5)齐次性:对于所有矩阵A和实数t,有||tA||=|t|||A||。

(2)谱范数:||A||2=max|λi|,其中λi为A的特征值。

(5)核范数:||A||*=\sigma_1(A)+\sigma_2(A)+...+\sigma_r(A),其中\sigma_1(A)≥\sigma_2(A)≥...≥\sigma_r(A)≥0是A的奇异值。

其中,Frobenius范数是最常用的矩阵范数,它等价于将矩阵展开成一个向量,然后计算向量的L2范数。

谱范数可以被视为矩阵的最大奇异值。

一范数和∞范数则是适用于稀疏矩阵的范数,它们可以度量矩阵的行或列中的非零元素个数。

核范数可以被视为对矩阵进行低秩近似的一种方式。

总之,矩阵范数是一种十分有用的工具,它不仅可以度量矩阵的大小,而且可以用于求解许多数学问题,如线性方程组、矩阵分解、最小二乘问题、数据压缩等。

矩阵范数的表示形式

矩阵范数的表示形式

矩阵范数的表示形式矩阵范数是一种衡量矩阵性质的数学工具,它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。

在本文中,我们将介绍矩阵范数的表示形式,并探讨其在实际问题中的应用。

我们来定义矩阵范数。

矩阵范数是一个函数,它将一个矩阵映射到一个非负的实数。

矩阵范数满足以下性质:1. 非负性:对于任意矩阵A,矩阵范数的值必须大于等于0。

2. 齐次性:对于任意矩阵A和标量c,矩阵范数满足∥cA∥=|c|∥A∥。

3. 三角不等式:对于任意矩阵A和B,矩阵范数满足∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥。

常见的矩阵范数有多种表示形式,每种表示形式都有其独特的特点和应用场景。

下面我们将介绍其中几种常见的矩阵范数表示形式。

1. 1-范数(L1范数):矩阵的1-范数是矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值,表示为∥A∥1=max_{1≤j≤n}∑_{i=1}^{m}|a_{ij}|。

2. ∞-范数(L∞范数):矩阵的∞-范数是矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值,表示为∥A∥∞=max_{1≤i≤m}∑_{j=1}^{n}|a_{ij}|。

3. 2-范数(L2范数):矩阵的2-范数是矩阵的最大奇异值,表示为∥A∥2=σ_{max},其中σ_{max}是矩阵A的最大奇异值。

这些矩阵范数在实际问题中有着广泛的应用。

例如,在机器学习领域,矩阵范数可以用来度量特征向量的稀疏性。

对于稀疏矩阵,其1-范数或∞-范数较小;而对于稠密矩阵,其2-范数较大。

矩阵范数还可以用于解决优化问题。

例如,在凸优化中,矩阵范数可以用来定义约束条件或目标函数,从而帮助我们找到最优解。

在信号处理中,矩阵范数可以用来估计信号的噪声水平或信号的复杂度。

除了上述常见的矩阵范数表示形式,还有其他一些矩阵范数,如Frobenius范数、核范数等。

每种范数都有其独特的性质和应用场景。

因此,在实际问题中,我们需要根据具体的需求选择合适的矩阵范数。

矩阵范数是一种重要的数学工具,它可以帮助我们理解矩阵的几何结构和性质。

矩阵论范数知识点总结

矩阵论范数知识点总结

矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支,它研究矩阵及其性质。

矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量,它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。

本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。

二、矩阵的定义在数学中,矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。

也可以看成是一个数域上的矩形阵列。

矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。

一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素(a_ij)组成的矩形数组。

三、范数的定义在数学中,范数是定义在向量空间中的一种函数,它通常被用来衡量向量的大小或长度。

对于矩阵来说,范数是一种度量矩阵大小的方法。

对于一个矩阵A,它的范数通常记作||A||。

矩阵的范数满足以下性质:1. 非负性:||A|| ≥ 0,并且当且仅当A = 0时,||A|| = 02. 齐次性:对于任意标量c,||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式:||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。

1. Frobenius范数:矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数:矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数:矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数:矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质,下面将介绍其中一些主要性质。

1. 非负性:||A|| ≥ 0,并且当且仅当A = 0时,||A|| = 02. 齐次性:对于任意标量c,||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式:||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数:||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径:对于任意矩阵A,它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵:对于对称矩阵A,其2-范数定义为rho(A),即||A||_2 = rho(A),其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用,下面将介绍一些主要的应用。

矩阵范数的计算公式

矩阵范数的计算公式

矩阵范数的计算公式矩阵范数是矩阵的一种度量,用于衡量矩阵的大小。

它可以帮助我们了解和分析矩阵的特性以及它们在不同数学和计算领域中的应用。

矩阵范数有许多不同的定义和计算方法,下面将介绍一些常见的矩阵范数及其计算公式。

1.矩阵的1-范数:矩阵的1-范数是指矩阵列绝对值之和的最大值,即以列为单位,计算每一列绝对值之和,然后找出最大的一个值。

计算公式如下:A,1 = max{∑,a[i][j],}, 1≤i≤n2.矩阵的∞-范数:矩阵的∞-范数是指矩阵行绝对值之和的最大值,即以行为单位,计算每一行绝对值之和,然后找出最大的一个值。

计算公式如下:A,∞ = max{∑,a[i][j],}, 1≤j≤n3.矩阵的2-范数:矩阵的2-范数是指通过矩阵A与其转置矩阵A^T相乘的方式得到的最大特征值的平方根。

计算公式如下:A,2 = √(λ_max(A^T*A))4.矩阵的F-范数:矩阵的F-范数是指矩阵所有元素的平方和的平方根。

计算公式如下:A,F=√(∑,a[i][j],^2)以上是常见的矩阵范数的计算公式。

其中,1-范数和∞-范数是直接计算每一列或每一行的绝对值之和来求得的;2-范数是通过矩阵的特征值来计算的;F-范数是通过矩阵所有元素的平方和来计算的。

矩阵范数在数学和计算领域中具有广泛的应用。

例如,在线性代数中,矩阵范数可以用来衡量矩阵的条件数和稳定性,以及判断矩阵是否奇异;在机器学习和数据挖掘中,矩阵范数可以用来评估模型的复杂度和泛化能力;在图论和网络分析中,矩阵范数可以用来度量图的连通性和稳定性;在优化和最优控制中,矩阵范数可以用来定义目标函数和约束条件。

总之,矩阵范数是矩阵的一种度量,用于衡量矩阵的大小。

不同的矩阵范数有不同的计算方法和应用领域,通过矩阵范数的计算和分析,可以帮助我们了解和把握矩阵的特性,并在不同的数学和计算问题中得到应用。

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2、方阵谱半径的估计
一般方阵的谱半径:
对角占优矩阵的谱半径:
6.5 矩阵幂级数
1、矩阵级数及其收敛性
矩阵序列: ������ ������×������ 中,形如������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯的有序矩阵列,称 为矩阵序列。 矩阵级数:由矩阵序列������0 , ������1 , ⋯ , ������������ , ⋯构成的如下和式
������
, (������ = 1, ⋯ , ������; ������ = 1, ⋯ , ������) 均收敛,则称矩阵级数 ������������ ≜ ������������������
������
∞ ������=0 ������������ 绝对收敛。其中,

矩阵级数绝对收敛的判别:
������������ −1
������������ , (������ = 1, ⋯ , ������) 存在,则称函数
������������ −1
������(������)在������ 的谱������ ������ ≜ *������1 , ������2 , ⋯ , ������������ +上有定义,或������(������)在������ 的谱
1、方阵特征值的估计(特征值在复平面上的分布)
圆盘定理1:
盖尔圆系:定理 6.4.1中,并集 ������1 ∪ ������2 ∪ ⋯ ∪ ������������ ≜ ������ 称为矩 阵������的盖尔圆系。 ������ 区: ������ 的盖尔圆系 ������ 中,记由 ������ 个圆组成的连通域为 ������������ ,又 若������������ 与其它圆无公共点,则称������������ 为������区。 圆盘定理2: 设������������ 是������ 的盖尔圆系之 ������ 区,则������������ 中有且只有������ 的 ������ 个特征值 (������重根算������个)。 特征值估计的改善:
其中,每个元素������������������ (������)都是复变量������ 的函数,则称������(������)为复变 量������的函数矩阵。若每个元素������������������ (������)都在������ = ������0 或������的某个定义 区域������ 上可微,则称此函数矩阵������(������)在������ = ������0 或区域������ 上是可 微的,并规定������(������)对������的导数为 ������ ������ ������ ������ = ������������������ ������ ������������ ������������
定 理 : 设 ������ ∈ ������ ������×������ , ������1 (������) 与 ������2 (������) 是 两 个 多 项 式 , 则
������1 (������)=������2 (������)的充要条件是������1 (������)与������2 (������)在������ 的谱������ ������ 上有相同
������ ������ 上 给 定 , 并 称 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������ ������������ , (������ = 1, ⋯ , ������)
为������(������)在������的谱������ ������ 上的值,或������(������)在������ ������ 上的谱值。
足������(������) < ������,则称收敛矩阵幂级数
������ ������ =
������=0
������������ ������������ ,
(������(������) < ������)
2、矩阵函数的计算
方法一:定义法。直接利用矩阵幂级数的定义式进行计算。 1 0 0 1 例:设������ = ,������ = ,求������ ������ , ������ ������ , ������ ������+������ 0 0 0 0 方法二:Jordan标准形法。 理论基础:
−1 −2 例:设������ = −1 0 −1 −1
6 3 ,求������ ������ , ������ ������������ , sin ������ 4
方法三:谱值相等法。 矩阵函数定义为一个矩阵幂级数的形式。对任一方阵������而 言,假定其最小多项式的次数为 ������ ,则因最小多项式是次数 最低的首 1 化零多项式,故 ������ 的任意 ������ 次方 ������������ , (������ ≥ ������) 均可由 ������������ , ������, ⋯ , ������������−1 线性表示。这样,可将矩阵幂级数表示为一个 有限次矩阵多项式的形式,即 ������ ������ = ������0 ������������ + ������1 ������ + ⋯ + ������������−1 ������������−1 (∗) 要计算任意矩阵函数������(������),只要确定系数������0 , ������1 , ⋯ , ������������−1 即 � 是矩阵范数、且相容,即
式(6.2.4)从向量范数导出的相容矩阵范数,称为由向量范数 诱导的相容矩阵范数,或称为算子范数。
性质2:
矩阵的 1- 范数、 2- 范数、∞ - 范数,也分别称为列和范数、 谱范数、行和范数。
5、矩阵范数的应用
对于实际问题,数字矩阵 ������ = (������������������ ) 的每个元素 ������������������ 通常会 带有误差������������������ ,即准确矩阵为 ������ + ������ = ������������������ + ������������������ = (������������������ + ������������������ )
������ ∞ ������ ������=0 ������������ ∞ ������=0 ������������ 收敛,当
收敛。 ������������ 收敛,即������������个绝对数值级
矩阵级数的绝对收敛性:若 数
∞ ������=0
∞ ������=0
������������������
(6.5.1)
称为矩阵������的幂级数。 矩阵幂级数的收敛性判别:
6.6 矩阵函数
1、矩阵函数的概念
设复变量幂级数
∞ ������ ������=0 ������������ ������ 的收敛半径为������ ,且当 ∞ ������ ������=0 ������������ ������
第6章 矩阵范数与矩阵函数
6.1 向量范数
1、向量范数的定义
2、 ������ ������ 空间上向量范数的性质之一
3、 ������ ������ 空间上的常用向量范数
分别称为1-范数、2-范数、∞-范数和������-范数。
4、������ ������ 空间上范数的性质之二
5、������ ������ 空间上范数的性质之三
6.2 矩阵范数
1、矩阵范数的定义
2、矩阵范数可看作向量范数,但具特殊性
对于某一矩阵范数系,若相容性不等式关系(6.2.1)成立,则 称该矩阵范数系为相容矩阵范数系。 相容矩阵范数系的性质:
3、矩阵的������1 范数、������2 范数和������∞ 范数
������
������1

的值。
0 0 例:设������ = 2 −1 −1 0
1 2 ,求������ ������ , ������ ������������ −2
6.7 函数矩阵的微积分
1、单变量函数矩阵的概念
设矩阵 ������11 ������ ������21 (������) ������ ������ = ⋮ ������������1 (������) ������12 ������ ������22 (������) ⋮ ������������2 (������) ⋯ ������1������ ������ ⋯ ������2������ (������) ⋮ ⋮ ⋯ ������������������ (������)
对以上问题的回答,需要用到定理6.2.6.
式中 ∙ 为任一相容算子矩阵范数。
6.3 向量和矩阵的极限
1、矩阵Cauchy序列和收敛序列的定义
2、矩阵序列极限的属性
3、矩阵序列极限的运算法则
4、方阵谱半径的定义
5、方阵幂有零极限的条件
6、方阵谱半径与范数的关系
6.4 特征值与谱半径的估计
定义:设矩阵������的最小多项式为 ������ ������ = ������ − ������1
������1
������ − ������2
������2
⋯ ������ − ������������
������������
其中,������1 , ������2 , ⋯ , ������������ 为������的������个互异特征值。对任意函数������(������), 若 ������ ������������ , ������ ′ (������������ ), ⋯ , ������
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