矩阵论常用方阵函数的性质
矩阵的基本性质和运算法则
矩阵的基本性质和运算法则矩阵是线性代数中的一个重要概念，是一个由数数组成的矩形阵列。
矩阵不仅有丰富的应用，比如在物理、经济、统计等领域中，还有着自身的基本性质和运算法则。
下面我们来谈谈矩阵的基本性质和运算法则。
一、矩阵的基本性质1.维数和元素矩阵的维数是指矩阵有多少行和多少列。
用矩阵的行数和列数来表示，如m×n的矩阵表示有m行，n列。
矩阵中的元素就是矩阵中的每一个数。
2.矩阵的转置矩阵的转置就是将矩阵的行和列交换，所得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如下所示：3 2 1 3 5A = 5 4 6 A^T = 2 47 8 9 1 6矩阵的转置可以表示为Aij = Aji, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n。
3.矩阵的行列式矩阵的行列式是矩阵的一个标量值，它是由矩阵的元素按照某一特定的规律计算得到的。
矩阵的行列式常用来描述矩阵线性方程组的解的情况。
如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵是一个奇异矩阵。
二、矩阵的运算法则1.矩阵的加法矩阵的加法必须满足两个矩阵的维数相同，即都是m×n的矩阵才能进行加法运算。
对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为C=A+B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相加得到矩阵C。
如下所示：1 2 4 5 5 7C = 3 4 +D = 1 3 =E = 4 76 7 5 4 11 112.矩阵的减法矩阵的减法也必须满足两个矩阵的维数相同。
对于矩阵A和矩阵B，它们的差可以表示为C=A-B，即在矩阵A和矩阵B的对应元素上相减得到矩阵C。
如下所示：1 2 4 5 -3 -3C = 3 4 -D = 1 3 =E = 2 16 7 5 4 1 33.矩阵的数乘矩阵的数乘指的是一个矩阵的每一个元素与一个数相乘所得到的新矩阵。
如下所示：1 2 2 42A = 3 4 -3B= -6 -126 7 -9 -154.矩阵的乘法矩阵的乘法是指由两个矩阵相乘所得到的新矩阵。
矩阵理论（PDF）
§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。
因而可以逐项求导。
t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。
矩阵运算法则及性质
矩阵运算法则及性质
1、⽅形矩阵A对应的⾏列式|A|⽤于判断矩阵是否为奇异矩阵，若|A|⾮0，则矩阵为⾮奇异矩阵，若|A|=0，则A为奇异矩阵。
2、|AB| = |A||B|
3、A的伴随矩阵AdjA的求法：
4、A的逆矩阵的求法：
5、系数矩阵加⼀列右端项的矩阵叫增⼴矩阵，英⽂叫做augmented matrix，记作：(A|B)
6、矩阵转置相关运算：
7、矩阵乘以常数的运算
8、矩阵分块后满⾜矩阵乘法规则
9、三种矩阵初等⾏（列）变换：对调两⾏（列）；以不为0的数字k乘以某⾏（列）；不为0的k乘以某⾏（列）再加到另⼀⾏（列）上。
10、⾏阶梯型矩阵：可以画出⼀条阶梯线，线的下⽅全为0，且每个阶梯之后⼀⾏，台阶数即为⾮零⾏的⾏数。
如下图，3个⾏阶梯的下⽅，全部为0。
11、⾏最简型矩阵，左上⾓是单位阵，是⾏阶梯型矩阵的更简形式：
12、通过增⼴矩阵求解AX=B问题，通过将矩阵(A,B)化为⾏最简型(E,X)，可以求解此问题。
13、⾼斯消元法/⾼斯-若尔当消元法：我们可以利⽤类似12的⽅式求解齐次线性⽅程组(B=0，将A化为最简形)及⾮齐次线性⽅程组(B!=0)。
⽽对于XA=B的问题，我们需要将(A/B)做初等列变换。
13、通过将矩阵化为⾏最简形，得到矩阵的秩R(A)，其值等于最简形中⾮0⾏的⾏数。
14、关于⽅程组：若⽅程的个数多于未知数的个数，称为“超定⽅程组”；右侧全为0的⽅程组（齐次线性⽅程组）总有解，全零解为平凡解，⾮零解为⾮平凡解；
15、由矩阵分块法可知，⾮满秩矩阵总可以分块为左上⾓的矩阵块A，右上⾓矩阵块B，以及左右下⾓两个矩阵块O，则矩阵对应的⾏列式，值为0。
矩阵的函数范文
矩阵的函数范文矩阵函数是指将一个矩阵作为输入，返回一个新的矩阵作为输出的数学函数。
矩阵函数在许多领域中都有重要的应用，如线性代数、微积分、图论等等。
本文将探讨矩阵函数的定义、性质以及一些常见的矩阵函数的应用。
一、矩阵函数的定义和性质：1.定义：矩阵函数可以定义为一个从矩阵空间到矩阵空间的映射，即对于一个给定的矩阵A，矩阵函数f(A)返回一个新的矩阵B。
一般来说，矩阵函数可以是任意的，它可以是线性的或非线性的，可以是单值的或多值的。
2.线性矩阵函数：线性矩阵函数是指满足以下两个性质的矩阵函数：(1)f(A+B)=f(A)+f(B)：对于任意的矩阵A和B，有f(A+B)=f(A)+f(B)；(2) f(cA) = cf(A)：对于任意的矩阵A和标量c，有f(cA) = cf(A)。
3.非线性矩阵函数：非线性矩阵函数是指不满足线性性质的矩阵函数。
非线性矩阵函数的性质较为复杂，常常需要利用数值方法进行计算。
4.特殊矩阵函数：特殊矩阵函数是指具有一些特定性质的矩阵函数，如对称函数、正定函数等。
特殊矩阵函数在各个领域中都有广泛的应用。
5. 矩阵函数的迹和行列式：对于一个矩阵函数f(A)，其迹和行列式可以定义为其矩阵的迹和行列式的函数，即tr(f(A))和det(f(A))。
二、常见的矩阵函数：1.幂函数：幂函数f(A)=A^k将一个矩阵A自乘k次。
2. 指数函数：指数函数f(A) = e^A将一个矩阵A进行Taylor展开，得到一个无限级数。
3. 对数函数：对数函数f(A) = ln(A)将一个矩阵A进行类似于指数函数的Taylor展开，得到一个无限级数。
4. 三角函数：三角函数sin(A)、cos(A)和tan(A)分别将矩阵A中的每个元素作为角度计算其三角函数值。
5. 反三角函数：反三角函数asin(A)、acos(A)和atan(A)分别将矩阵A中的每个元素作为三角函数值计算其对应的角度。
6. 矩阵修正函数：矩阵修正函数f(A) = max(0, A)将矩阵A中的每个元素与0进行比较，将小于0的元素修正为0。
矩阵函数的定义与性质
矩阵函数的定义与性质矩阵函数是一类涉及矩阵运算的多元函数，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
矩阵函数的定义与性质对于深入理解矩阵运算非常重要，本文将介绍矩阵函数的基本定义以及一些常见的性质。
矩阵函数的定义矩阵函数通常可以表示为f(A)，其中A是一个矩阵，$f(\\cdot)$是一个函数。
对于一个$n \\times n$的矩阵A，其矩阵函数可以通过泰勒级数展开来定义：$$f(A) = c_0I + c_1A + c_2A^2 + \\cdots + c_kA^k + \\cdots$$其中，I是单位矩阵，c i是函数f(x)在点i处的导数。
矩阵函数的性质1. 线性性质若f(A)和g(A)是矩阵A的函数，c1和c2为常数，则有：$$ \\begin{aligned} & f(A) + g(A) = g(A) + f(A) \\\\ & c_1f(A) = f(c_1A)\\end{aligned} $$2. 矩阵的幂运算对于矩阵函数f(A)=A k，其性质如下：•若A是可对角化的矩阵，则f(A)也可对角化。
•若A是对称矩阵，则f(A)也是对称矩阵。
•若A是幂等矩阵（即A2=A），则f(A)也是幂等矩阵。
3. 矩阵函数的微分对于矩阵函数f(A)，其微分形式如下：df(A)=f′(A)dA其中，f′(A)表示f(A)的导数，dA表示矩阵A的微小变化。
4. 特征值与特征向量矩阵函数f(A)的特征值与特征向量也与矩阵A的特征值与特征向量有密切联系。
若$\\lambda$是矩阵A的特征值，v是对应的特征向量，则$f(\\lambda)$是矩阵f(A)的特征值，v是对应的特征向量。
结语通过以上介绍，我们对矩阵函数的定义与性质有了初步了解。
矩阵函数的研究不仅有助于理解矩阵运算的复杂性，还在实际问题中有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
方阵问题知识点总结
方阵问题知识点总结一、方阵的定义与基本概念1. 方阵的定义方阵是一个矩阵，其行数等于列数。
即如果一个矩阵的行数和列数相等，那么它就是一个方阵。
例如，一个3×3的矩阵就是一个3阶方阵。
2. 方阵的性质（1）对角线元素：方阵的主对角线上的元素称为主对角线元素。
（2）对角元素：方阵的非主对角线上的元素称为对角元素。
（3）上三角矩阵：方阵中主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵。
（4）下三角矩阵：方阵中主对角线以上的元素都是0的方阵称为下三角矩阵。
（5）对称矩阵：如果矩阵A的转置矩阵等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A就是对称矩阵。
（6）单位矩阵：主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵称为单位矩阵，记为I。
3. 方阵的阶数一个n×n的方阵，我们称其为n阶方阵。
4. 方阵的转置对于一个m×n的矩阵A，转置矩阵记为A^T，即将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。
5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个重要的概念。
给定一个n阶方阵A，对其行列式记作|A|。
行列式是一个数学上的概念，其代表了一个矩阵的某种性质，具体来说，它代表了一个线性方程组的解的好坏程度。
6. 方阵的逆矩阵对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，那么我们称矩阵B 是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有可逆的方阵才有逆矩阵，即行列式不为0的方阵才有逆矩阵。
7. 方阵的秩一个矩阵的秩即为矩阵的行最简形的非零行数。
对于一个n×n的方阵A，记其秩为r(A)。
8. 方阵的特征值和特征向量对于一个n×n的方阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，那么我们称λ是矩阵A的特征值，x是矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
二、方阵问题的求解方法1. 方阵的加法和减法对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法和减法均为将对应位置的元素相加和相减。
矩阵函数知识点总结
矩阵函数知识点总结
一、矩阵函数的概念
矩阵函数指的是以矩阵为自变量的函数。
在矩阵函数中，矩阵被视为一个整体，即矩阵的元素相对整体而言是自变量，而不是单独的变量。
矩阵函数可以使用不同的方法来进行计算，比如按照矩阵的规定进行运算或者使用矩阵分解等方法。
矩阵函数在很多领域都有着广泛的应用，比如线性代数、微分方程、概率统计、物理学等等。
二、矩阵函数的性质
矩阵函数的性质包括可加性、齐性、乘积法则等。
其中可加性指的是如果一个函数的自变量是两个矩阵的和，那么函数值就等于这两个矩阵各自作为自变量的函数值的和；齐性指的是函数值的倍数等于自变量的倍数与函数值的积；乘积法则指的是函数值乘以一个矩阵的乘积等于矩阵乘积分别作为函数值的乘积。
三、求导、积分和极限
对于矩阵函数的求导、积分和极限等运算，在矩阵分析中都有着一些特殊的方法和规则。
比如对于矩阵函数的求导，使用分量法则可以将矩阵函数的求导规则推广到矩阵函数的情况；对于矩阵函数的积分，可以使用行列式和矩阵的性质来进行计算；而对于矩阵函数的极限，需要根据矩阵函数的性质和定义来进行推导和计算。
总之，矩阵函数是一种以矩阵为自变量的函数，它具有可加性、齐性、乘积法则等性质，并且在求导、积分和极限等运算中有着一些特殊的方法和规则。
矩阵函数在数学和实际问题中都有着广泛的应用，在线性代数、微分方程、概率统计、物理学等领域都有着重要的地位。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对矩阵函数有更深的理解，并且能够应用到实际问题中去。
矩阵的基本运算与性质
矩阵的基本运算与性质一、矩阵的定义与表示矩阵是由若干数字按照行和列排列成的矩形阵列，通常用方括号表示。
例如，一个m行n列的矩阵可以表示为[A]m×n，其中每个元素a_ij表示矩阵A中第i行第j列的数字。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：若A和B是同阶矩阵，即行数和列数相等，那么A 和B的和C=A+B是一个同阶矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A和B对应元素的和。
示例：[A]m×n + [B]m×n = [C]m×n，其中c_ij = a_ij + b_ij。
2. 矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个常数，那么kA就是将A的每个元素乘以k得到的矩阵。
示例：k[A]m×n = [B]m×n，其中b_ij = k * a_ij。
3. 矩阵的乘法：若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m行p列的矩阵，其中C的任意元素c_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
示例：[A]m×n × [B]n×p = [C]m×p，其中c_ij = Σk=1^n (a_ik *b_kj)。
三、矩阵的运算法则1. 加法的交换律：矩阵的加法满足交换律，即A+B=B+A。
2. 加法的结合律：矩阵的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。
3. 数乘的结合律：数乘与矩阵的乘法满足结合律，即k(A+B)=kA+kB。
4. 数乘的分配律：数乘与矩阵的乘法满足分配律，即(k+m)A=kA+mA，k(A+B)=kA+kB。
5. 乘法的结合律：矩阵的乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
6. 乘法的分配律：矩阵的乘法满足分配律，即(A+B)*C=AC+BC。
四、矩阵的性质1. 矩阵的转置：若A是一个m行n列的矩阵，在A的上方写A的名字的转置符号T，表示A的转置矩阵。
A的转置矩阵是一个n行m 列的矩阵，其中A的第i行被用作A的转置矩阵的第i列。
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主要内容：常用方阵函数的一些性质，方阵 函数在常系数常微分方程组中的应用
常用方阵函数的一些性质 性质 1 证明
性质 2 若
满足
,则
或更一般的有
，
. 证明 利用矩阵乘法的线性性和逐次交换次
序即可. 性质 3 若
满足
,则
. 证明 由性质 2,只需证明
即可.
令
,则
所以
是常值矩阵。特别地，由 立得结果.
推论 对
,
性质 4 对
,有
证明 性质 5 若 证明
.
满足
,则
性质 6 对
，有
证明
. 性质 7
证明
性质 8 若 ,则
征值属于
证明 。
有特征值属于
不可逆；若
有特
，则 不可逆.
5.6 方阵函数在微分方程组中的应用
一阶线性常系数齐次常微分方程组
一般形式 (1)
引入矩阵表示
则(1)可改写为 由
从而(2)的通解为 现在求初值问题
(2)
得
，
(3)
(4)
的解。在通解(3)中适当选取 使得(4)的初始 条件得到满足，即取 满足
，所以初值问题(4)的解为 (5)
一阶线性常系数非齐次常微分方程组 一般形式
(6) 由
，所以 (6)的通解为
(7) 求初值问题
(8) 的解。在(7)中适当选取 使得(7)满足(8)的初 始条件得
(9) 例 1 求解初值问题
解 先将问题改写成矩阵形式，令由(9)知初值问题的 Nhomakorabea为 下面计算
令
解得 从而
。
，由方程组
。
所以
练习 求解 Cauchy 问题 习题 p128，19，20，21