2.2.2 对数函数及其性质(1)
2.2.2对数函数的图像和性质(1)(刚)
注意:对数函数对底数的限制条件：
a＞0,且a≠ 1 函数的定义域是（0,+∞）.
例.画出函数 y log2 x与y log1 x的图象 .
x …
1 8
1 4
1 2
2
1 0 0
2 1 -1
4 2 -2
8 3 -3
( 3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的 增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
(1) log0.5 6______ log0.5 4
例题讲解
例1 求下列函数的定义域:
(1) y log a x
2
( 2) y log a (4 x )
( 3) y log a (9 x )பைடு நூலகம்
2
问题:对于具体函数式求定义域该如何 考虑？
例题讲解
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 2 3.4,log 2 8.5
(2) log 0.5 1.8,log 0.5 2.7
课前复习
一、对数的运算性质：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
(1) loga (M N ) loga M loga N
M (2) log a log a M log a N N n (3) loga M n loga M (n R)
2.2.2对数函数及其性质1
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
例1：求下列函数的定义域： （1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x).
分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为 （0，+∞）求解.
解 （1）由x2>0 得x≠0， ∴函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0}. （2）由4-x>0 得x<4，
(2)真数位置是自变量x，且x的系数是1，x>0；
(3)logax的系数是1.
常用对数函数与自然对数函数
(1).常用对数函数：以10为底的对数函数
常用对数函数；
y lg x 为
(2).自然对数函数：以无理数
e 为底的对数函数
y ln x
为自然对数函数.
探索研究：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1,loga m loga n m n 0
(2)若0 a 1,loga m loga n 0 m n
[典例3]
(1)解方程：log2(x2－2x－3)＝log2(x＋1)；
[思路点拨] 首先注意定义域的问题，然后解方程．
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸 值 域 :
R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是：增函数
探索发现:认真观察 函数 y log 1 x
2
y 2 1 11
42
的图象填写下表
图象特征
0 -1 -2
1 2 3 4
对数函数及其性质
2.2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数 y＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0 ，＋∞ )．(2)对数函数的特征：log ax的系数： 1特征 log ax的底数：常数，且是不等于 1的正实数log ax的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数 y＝ log7x 是对数函数，而函数y＝－ 3log 4x 和 y＝ logx2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例 1－ 1】函数 f(x)＝ (a2－ a＋ 1)log (a＋1)x 是对数函数，则实数a＝ __________ ．解析：由 a2－ a＋ 1＝ 1，解得 a＝ 0,1 ．又 a＋ 1＞ 0，且 a＋ 1≠ 1，∴ a＝ 1．答案： 1【例 1－ 2】下列函数中是对数函数的为__________ ．(1)y＝ log a x (a＞ 0，且 a≠ 1) ； (2)y＝ log2x＋2；(3)y＝ 8log 2 (x＋ 1) ； (4)y＝ log x6(x＞ 0，且 x≠ 1) ；(5)y＝ log 6x．解析：序号是否理由(1)×真数是x ，不是自变量x(2)×对数式后加 2(3)×真数为 x＋1，不是 x，且系数为 8，不是 1(4)×底数是自变量 x，不是常数(5) √底数是 6，真数是 x答案： (5)2．对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1)的图象与性质(1)图象与性质a＞ 1 0＜ a＜ 1图象(1)定义域 { x|x＞0}(2)值域 { y|y R }性(3)当 x＝1 时， y＝0，即过定点 (1,0)质(4)当 x＞1时， y＞ 0；当 0＜ x＜ 1(4) 当 x＞1 时， y＜0；当 0时， y＜0 ＜x＜1 时， y＞0(5) 在 (0，＋∞ )上是增函数(5) 在 (0，＋∞ ) 上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数． a＞ 1 时，函数单调递增；0＜ a＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较第 1 页共 10 页解析式y＝ a x(a＞0，且 a≠ 1) y＝ logax (a＞ 0，且a≠ 1)定义域R (0，＋∞ )值域(0，＋∞ ) R 性(0,1) (1,0) 过定点质单调性一致，同为增函数或减函数单调性奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a＞ 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0＜ a＜ 1 时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞ 1 还是 0＜ a＜ 1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0) 点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线 y＝ 1 来切，自左到右 a 变大．【例 2】如图所示的曲线是对数函数y＝ log ax 的图象．已知a 从3 ，4 ， 3 ， 1 中取值，则相应曲线C1， C2， C3， C4的 a 值依次为 ()3 5 10A．3， 4 ，3 ， 13 5 10B． 3 ， 4 ， 1 ， 33 10 5C．4 ， 3 ，3 ， 13 5 10D．4 ， 3 ， 1 ， 33 10 5解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜ C3的底数＜ C2的底数＜ C1的底数．故相应于曲线C1， C2， C3， C4的底数依次是3 ，4，3，1．答案： A3 5 10点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左”； (2)方法y＝二：作直线1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y＝ a x (a＞ 0，且 a≠ 1) 与对数函数y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝ x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：第 2 页共 10 页①由 y＝ f(x)解出 x，即用y 表示出x；②把 x 替换为 y， y 替换为 x；③根据 y＝ f(x)的值域，写出其反函数的定义域．【例 3－ 1】若函数y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数，且 f(2)＝ 1，则 f(x)＝ ( )1A． log 2x B ．2xC． log 1 x D．2x－ 22解析：因为函数 y＝a x(a＞ 0，且 a≠ 1)的反函数是f(x)＝ loga x，又f(2)＝ 1，即 log a2＝ 1，所以 a＝ 2．故 f(x)＝ log 2x．答案： A【例 3－ 2】函数 f(x)＝ 3x(0＜ x≤ 2)的反函数的定义域为 ( )A． (0 ，＋∞ ) B ． (1 ,9]C． (0,1) D ． [9，＋∞ )解析：∵ 0＜ x≤ 2，∴ 1＜ 3x≤9，即函数 f(x)的值域为(1,9] ．故函数 f(x)的反函数的定义域为(1,9] ．答案： B【例 3－ 3】若函数 y＝ f(x)的反函数图象过点(1,5) ，则函数 y＝ f(x)的图象必过点 () A． (5,1) B． (1,5) C． (1,1) D ． (5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝ x 对称，而点 (1,5) 关于直线 y＝ x 的对称点为(5,1)，所以函数 y＝ f(x)的图象必经过点(5,1)．答案： A4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y＝ log ax(a＞ 0，且 a≠ 1) 中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝ n 或图象过点 (m， n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝ logax(a＞ 0，且 a≠ 1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如loga m＝ n，这时先把对数式 logam＝ n 化为指数式的形式a n＝ m，把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式m＝ k n(k＞ 0，且k≠1) ，1 1则解得 a＝ k＞ 0．还可以直接写出a m n，再利用指数幂的运算性质化简m n．例如：解方程－2 1loga 4＝－ 2，则 a＝ 4，由于4221 ．又 a＞ 0，所以 a1，所以a．当2 21 1 11然，也可以直接写出a 4 2，再利用指数幂的运算性质，得a 4 2(22) 22 1．【例 4－ 1】已知 f(e x) ＝x，则f(5)＝ ( )2A ． e 5B ． 5eC ． ln 5D ． log 5 e解析： (方法一 )令 t ＝ e x，则 x ＝ ln t ，所以 f(t)＝ lnt ，即 f(x)＝ ln x ．所以 f(5) ＝ ln5 ．(方法二 )令 e x＝ 5，则 x ＝ ln 5 ，所以 f(5) ＝ ln5 ．答案： C【例 4－ 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点1,2 ，试求 f(3)的值．9分析： 设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，∵ 对数函数 f(x)的图象经过点 1 , 2 ， ∴f 1 log a 1 2． ∴ a 2＝ 1．99 9 9第 3 页 共 10 页1 2 1 21 21 1x ． ∴ a ＝3．∴ f(x)＝ log 19 3 31 1 ∴ f(3)＝log 1 3 log 1＝－ 1．33 3【例 4－ 3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点 (2,9) ，且 f(b)＝ 1，试求 b的值．2解： 设 f(x)＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，则它的反函数为y ＝ a x (a ＞ 0，且 a ≠ 1)，由条件知 a 2＝ 9 1 1＝ 32，从而 a ＝ 3．于是 f(x)＝ log 3 3 ，解得 b＝ 3 2 3 ． x ，则 f(b)＝ log b ＝25．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0 ，＋∞ )．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等， 在解答问题时需要保证各个方面都有意义． 一般地，判断类似于 y ＝ loga f(x)的定义域时，应首先保证 f(x)＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于 1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例 5】求下列函数的定义域．(1)y ＝ log 5(1－ x)； (2) y ＝ log(2x － 1)(5x － 4)；(3) y log 0.5 (4 x 3) ．分析： 利用对数函数 y ＝ log ax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)的定义求解． 解： (1)要使函数有意义，则 1－ x ＞ 0，解得 x ＜ 1， 所以函数 y ＝ log5(1 － x)的定义域是 { x|x ＜ 1} ．5x 4>0,(2)要使函数有意义，则2x 1>0, 解得 x ＞ 4且 x ≠1，2x 1 1, 5所以函数 y ＝ log(2x － 1)(5x －4) 的定义域是4 ,1 (1，＋∞ )． 54x 3 0, 解得 3＜ x ≤ 1，(3)要使函数有意义，则log 0.5 (4x 3) 0, 4所以函数ylog 0.5 (4x 3)x 3的定义域是<x 1 ．46．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y＝ loga f(x)(a＞ 0，且 a≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y＝ logau， u＝ f(x)这两个函数；②求 f(x)的定义域；③求 u 的取值范围；④利用 y＝ logau 的单调性求解．(3)对于函数 y＝ f(log ax)(a＞ 0，且 a≠ 1) ，可利用换元法，设loga x＝ t，则函数 f(t)(t R )的值域就是函数 f(log ax)(a＞ 0，且 a≠1) 的值域．注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母 )，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．第 4 页共 10 页(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例 6－ 1】求下列函数的值域：(1)y ＝ log 2(x 2＋ 4) ； (2) y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) ．2解： (1) ∵ x 2＋ 4≥ 4， ∴ log 2(x 2＋ 4)≥ log 24＝2．∴ 函数 y ＝ log 2(x 2＋ 4)的值域为 [2 ，＋ ∞ )．(2)设 u ＝ 3＋ 2x－ x2，则 u ＝－ (x － 1)2 ＋ 4≤4． ∵ u ＞0， ∴ 0＜ u ≤ 4． 又 y ＝ log 1 u 在 (0，＋∞ )上为减函数，∴ log 1 u ≥－2．2 2∴函数 y ＝ log 1 (3＋2x － x 2) 的值域为 [－ 2，＋∞ )．2 ，求 y ＝ [f(x)] 2 ＋f(x 2)的最大值及相应的【例 6－ 2】已知 f(x)＝ 2＋ log 3x ， x [1,3] x 的值．分析： 先确定 y ＝ [f (x)] 2 ＋ f(x 2)的定义域，然后转化成关于 log3 x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解： ∵ f(x)＝ 2＋ log 3 x ， x[1,3] ，∴ y ＝ [f(x)] 2 ＋ f(x 2)＝ (log 3x)2＋ 6log 3 x ＋ 6 且定义域为 [1,3] ．令 t ＝ log 3x(x [1,3]) ．∵ t ＝ log3 x 在区间 [1,3] 上是增函数， ∴ 0≤t ≤ 1．从而要求 y ＝ [f(x)] 2＋ f(x 2)在区间 [1,3] 上的最大值，只需求 y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在区间 [0,1]上的最大值即可． ∵ y ＝ t 2＋ 6t ＋ 6 在 [－ 3，＋ ∞ )上是增函数，∴ 当 t ＝ 1，即 x ＝ 3 时， y max ＝ 1＋ 6＋ 6＝ 13．综上可知，当 x ＝ 3 时， y ＝ [ f(x)] 2＋ f(x 2)的最大值为 13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)过定点 (1,0) ，即对任意的 a ＞ 0，且 a ≠ 1 都有 loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数 y ＝ b ＋ kloga f(x)(k ，b 均为常数，且 k ≠ 0)，令f(x)＝ 1，解方程得 x ＝ m ，则该函数恒过定点 (m ， b)．方程 f (x) ＝0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题向左 (b>0)或向右 (b<0)①函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- -------→ 函数 y ＝ log a(x ＋ b)(a ＞ 0，且 a ≠ 1)平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下 (b<0)②函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)――------- -- ------→函数 y ＝ loga x ＋b(a ＞0，且 a ≠ 1)平移|b|个单位长度③函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 当 x>0时，两函数图象相同函数 y ＝ loga |x|(a ＞ 0，且 a ≠ 1) ―------ -- --- -- ---―→当x<0时，将 x>0时的图象关于 y 轴对称④函数 y ＝ logax(a ＞ 0，且 a ≠ 1)―― 保留 x 轴上方的图象--- → 函数 y ＝ |logax|(a ＞ 0，---------- -- ------------- --x 轴的对称变换---------- 同时将 x 轴下方的图象作关于且 a ≠ 1)【例 7－ 1】若函数 y ＝ log a(x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ，c的值分别为 __________ ．解析： ∵ 函数的图象恒过定点 (3,2) ，∴ 将 (3,2)代入 y ＝ loga (x ＋ b)＋ c(a ＞ 0，且 a ≠ 1)，得 2＝ loga(3＋ b)＋ c ． 又 ∵ 当 a ＞ 0，且 a ≠ 1 时，log a 1＝ 0 恒成立，∴ c ＝ 2． ∴ loga (3＋ b)＝ 0．∴ b ＝－ 2．答案： － 2,2【例 7－ 2】作出函数 y ＝ |log 2(x ＋ 1)|＋2 的图象．解： (第一步 )作函数 y ＝ log 2x 的图象，如图 ① ；(第二步 )将函数 y ＝ log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度， 得函数 y ＝ log 2(x ＋ 1)的图象，如图 ② ；(第三步 )将函数 y ＝ log2(x ＋ 1)在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换， 得函数 y ＝ |log2 (x ＋1)|的图象，如图 ③ ；(第四步 )将函数 y ＝ |log2 (x ＋ 1)|的图象， 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度， 便得到所求函数第 5 页 共 10 页的图象，如图④ ．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数 (是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与 1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论．【例 8－ 1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log 31.9 ， log3 2；(2)log 23， log0.3 2； (3)logaπ， loga3.141 ．分析： (1) 构造函数 y＝ log 3x，利用其单调性比较；(2) 分别比较与的大小； (3) 分类讨论底数的取值范围．解： (1)因为函数 y＝ log 3x 在 (0 ，＋∞ )上是增函数，所以 f(1.9)＜ f (2)．所以 log31.9 ＜ log32．(2)因为 log 23＞ log21＝ 0， log0.32＜ log0.31＝ 0，所以 log23＞ log 0.32．(3)当 a＞ 1 时，函数 y＝ loga x 在定义域上是增函数，则有 logaπ＞ log a3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时，函数 y＝ log a x 在定义域上是减函数，则有 log aπ＜ log a3.141 ．综上所得，当 a＞ 1 时， log aπ＞ loga3.141 ；当 0＜ a＜ 1 时， log aπ＜ log a3.141 ．【例 8－ 2】若 a2＞ b＞ a＞ 1，试比较 log aa， logb b， logb a， log a b 的大小．b a分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵ b＞a＞ 1，∴ 0＜a＜ 1．b∴log a a＜ 0， loga b＞ log aa＝ 1， logb1＜ logb a＜ log bb，即 0＜ logba＜ 1．b第 6 页共 10 页由于 1＜ b＜ b ， ∴ 0＜ log b b＜ 1．由 log b a－ logb b＝ log b a 2， a a ab 2 ＞ b ＞ 1， ∴ a 2∵a ＞ 1．b ∴ log b a 2log b b ＞ 0，即 log b a ＞ a b ∴ logab ＞ logb a ＞log bb ＞ log a a a b．． 9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当 a ＞ 0，且 a ≠ 1时，有① logaf (x)＝ loga g(x) f(x)＝g(x)(f(x) ＞0， g(x)＞0) ；②当 a ＞ 1 时， logaf(x)＞loga g(x) f(x)＞ g( x)(f(x)＞ 0， g(x)＞ 0)；③当 0＜ a ＜ 1 时， log af(x)＞ log ag(x) f(x)＜ g(x)(f(x)＞0， g(x)＞ 0) ．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如 loga f(x)＞ log ag(x)的不等式， 借助函数 y ＝ log ax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a ＞ 1 与 0＜ a ＜ 1 两种情况讨论．②形如 loga f(x)＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 y ＝ logax的单调性求解．③形如 loga b g(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用f(x)＞log 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如 f(log ax)＞ 0 的不等式，可用换元法 (令 t ＝ log ax)，先解 f( t)＞ 0，得到 t 的取值范围．然后再解 x 的范围．【例 9－ 1】解下列不等式： (1) log1xlog 1 (4 x) ；77(2)log x(2x ＋ 1)＞ logx (3－ x)．x>0,解： (1)由已知，得4 x>0, 解得 0＜ x ＜ 2． x<4x,所以原不等式的解集是 { x|0＜ x ＜ 2} ． (2)当 x ＞ 1 时，有当 0＜ x ＜ 1 时，有2x 1>3 x,2x 1>0, 解得 1＜ x ＜3； 3 x>0,2x 1<3x,2x 1>0, 解得 0＜ x ＜ 2．3 x>0, 3所以原不等式的解集是2 或．x 0<x<31<x<3【例 9－ 2】若log a 23 2＜ 1，求 a 的取值范围．2 22＜ 1，即 loga 1 2解：∵log a＜ 1，∴ － 1＜log a log alog aa ．3 3 a 3(1)∵当 a ＞ 1 时， y＝ log ax 为增函数，∴ 1 2 a ．∴ a＞3，结合 a＞ 1，可知 a＞3．a 3 2 2第 7 页共 10 页1 2 (2)∵ 当 0＜ a ＜ 1 时， y ＝ loga x 为减函数， ∴ > >a ．∴ a ＜ 20＜ a ＜ 1，知 0＜ a＜ 2a 3，结合 ．3 3∴ a 的取值范围是a 0<a< 2，或 a> 3． 3 210．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键： 一是看底数是否大于 1，当底数未明确给出时， 则应对底数a 是否大于 1 进行讨论； 二是运用复合法来判断其单调性； 三是注意其定义 域．(2)关于形如 y ＝ loga f(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数 y ＝ logaf(x)的单调性与函数 u ＝ f(x)(f(x)＞ 0)的单调性， 当 a ＞ 1 时相同， 当 0＜ a ＜ 1 时相反．例如：求函数y ＝ log2 (3 －2x)的单调区间． 分析： 首先确定函数的定义域，函数y ＝ log2(3－ 2x)是由对数函数 y ＝ log 2u 和一次函数 u ＝3 － 2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 u ＝ 3－ 2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝ log2 u 的单调性考虑．解： 由 3－ 2x ＞ 0，解得函数 y ＝ log2(3 － 2x)的定义域是－ ∞ ， 3． 2设 u ＝ 3－2x ， x3 － ∞ ， 2 ， ∵ u ＝ 3－ 2x 在 － ∞ ， 3上是减函数，且 y ＝ log 2u 在 (0，＋ ∞ )上单调递增，2∴ 函数 y ＝ log 2(3 － 2x)在 － ∞ ， 3上是减函数．2∴ 函数 y ＝ log2(3 － 2x)的单调减区间是－ ∞ ，3．2【例 10－ 1】求函数 y ＝ log a (a － a x)的单调区间．t ＝ a － a x递减． 解： (1)若 a ＞ 1，则函数 y ＝ log a t 递增，且函数又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜a ，∴ x ＜ 1． ∴ 函数 y ＝ log a (a － a x)在 (－∞ ， 1)上递减．(2)若 0＜ a ＜ 1，则函数 y ＝ log at 递减，且函数 t ＝ a－ a x递增．又 ∵ a － a x ＞ 0，即 a x＜ a ，∴x ＞ 1．∴ 函数 y ＝ loga(a － a x)在 (1，＋ ∞ )上递减．综上所述，函数y ＝ loga (a － a x)在其定义域上递减．析规律判断函数 y ＝ log af(x)的单调性的方法 函数 y ＝ log af(x)可看成是 y ＝ logau与 u ＝ f(x) 两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性 “ 同增异减 ” 的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即 “ 定义域优先 ”．【例 10－ 2】已知 f(x)＝ log 1 (x 2－ ax － a)在 , 1 上是增函数，求 a 的取值范围．22解：, 1 是函数 f(x)的递增区间，说明 , 1是函数 u ＝ x 2－ ax － a 的递减区间，2 2 由于是对数函数，还需保证真数大于0．令 u(x)＝ x 2－ ax － a ， ∵ f(x)＝log 1 u(x) 在, 1 上是增函数， 2 2∴ u(x)在 , 1上是减函数，且u(x)＞ 0 在, 1 上恒成立．22第 8 页 共 10 页a 1 , a 1, ∴ 22 即 1 a 0. u 14 a 0, 22∴－ 1≤ a ≤ 1．2∴满足条件的 a 的取值范围是a 1 a 1 ．211． 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1) 求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(－ x)与 f(x)或－ f(x)是否相等； (2) 当 f(－ x)＝ f(x)时，此函数是偶函数；当 f(－ x)＝－ f(x)时，此函数是奇函数；(3) 当 f(－ x)＝ f(x)且 f(－x)＝－ f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数； (4) 当 f(－ x)≠ f(x)且 f(－x)≠－ f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，判断函数f(x)＝log a ( x 2 1＋ x) (x R ， a ＞ 0，且 a ≠ 1) 的奇偶性． 解： ∵ f(－ x)＋ f(x)＝＝ log a ( x 2 1 x) ＋ log a ( x 21＋x) )＝log a (x 2 ＋ 1－ x 2)＝ log a 1＝ 0，∴f(－ x)＝－ f(x)． ∴ f(x)为奇函数．【例 11】已知函数 f(x)＝ 1 x loga 1 (a ＞ 0，且 a ≠1) ．x(1) 求函数 f(x)的定义域； (2) 判断函数 f(x)的奇偶性； (3) 求使 f(x)＞ 0 的 x 的取值范围．分析： 对于第 (2) 问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第 (3) 问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解： (1)由 1x＞ 0，得－ 1＜ x ＜1，1 x故函数 f(x)的定义域为 (－1,1) ．1 x ＝ 1 x＝－ f(x)，(2)∵ f(－ x)＝log a 1 x loga 1 x又由 (1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，∴ 函数 f(x)是奇函数．(3)当 a＞ 1 时，由log a1x＞ 0＝ loga1，得1x＞ 1，解得 0＜ x＜ 1；当 0＜ a＜ 1 时，1x 1 x由 log a1x＞ 0＝ loga1，得0＜ 1x＜ 1，解得－ 1＜ x＜0．1 x 1 x故当 a＞ 1 时， x 的取值范围是 { x|0＜ x＜ 1} ；当 0＜ a ＜ 1 时， x 的取值范围是 { x|－ 1＜x＜ 0} ．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；第 9 页共 10 页(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论． 由此看， 直接给定参数待定的函数模型时， 利用待定系数法的思想， 代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题． 代入法、 方 程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历 史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 (其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱 )．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(单位： km/s) 关于燃料重量 x(单位：吨 ) 的函数关系式为y ＝ kln(m ＋ x)－kln( 2m )＋4ln 2( k ≠ 0)，其中 m 是箭体、 搭载的飞行器、 航天员的重量和． 当燃料重量为 (e － 1)m 吨时， 火箭的最大速度是 4km/s ．(1)求 y ＝f(x)；(2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨 (箭体、搭载的飞行器、 航天员、 燃料 )，火箭的最大速度为 8 km/s ，求装载的燃料重量 (e ＝ 2.7，精确到0.1) ．解： (1)由题意得当 x ＝(e － 1)m 时， y ＝ 4， 则 4＝ kln[ m ＋ (e － 1)m]－ kln( 2m )＋ 4ln 2 ，解得 k＝ 8． 所以 y ＝ 8ln(m ＋ x)－ 8ln(2m )＋ 4ln 2 ，即 y ＝ 8ln m x． m(2)由于 m ＋ x ＝ 479.8，则 m ＝479.8 － x ，479.8 ，解得 x ≈302.1． 令8 8ln479.8x 302.1 吨． 故火箭装载的燃料重量约为第 10 页共 10 页。
2.2.2对数函数及其性质(一)第一课时
马王堆女尸千年不腐之 谜：1972年,马王堆考古发 现震惊世界,专家发掘西汉 辛追遗尸时,发现其形体完 整,全身润泽,皮肤仍有弹 性,关节还可以活动,骨质 比现在60岁的正常人还好, 是世界上发现的首例历史 悠久的湿尸。
古长沙国丞相夫人辛追
马王堆辛追夫人在湿润的环境中保存了 2200多年之久，人们最关注的两个问题是：
1 1
2
3
4
5
6
7
8
定义域 :
( 0,+∞)
值域:
R
性
过定点 在(0,+∞)上是
增函数
(1 ,0) 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 减函数
当x>1时， y>0
质
当x=1时， y=0 当0<x<1时，y<0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0 当0<x<1时， y>0
学点一 求定义域
例 求下列函数的定义域：
表 y=log2x -2 -1 0 1 2
y
描2
点1 11
0 42 1 2 3 4
x
连线 1-
2
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与
性质
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
0 0
1 -1
2… -2 …
y
描
2
点
P74 A组7、10
作业
谢谢市教研所各位专家和教研组 各位老师的光临指导！
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
探究1：对数函数的定义 一般地，我们把函数_y_=_l_o_g_a_x_(_a_>_0_,_且__a_≠_1_)_叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 _〔__0_，__+_∞__〕__．__ 注意:〔1〕对数函数定义的严格形式;
〔2〕对数函数对底数的限制条件：
a 0且a 1.
思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：对数函数的解析式具有以下三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)真数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)logax的系数是1.
1
2
4
……
y=2x
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以 等于1万个、10万个细胞？细胞个数y，如何求细 胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4 ……
y=2x
x=? x log2 y y 2x
现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些 问题吧！
1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与 性质.〔重点〕 2.知道对数函数是一类重要的函数模型； 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函 数〔a>0,且a≠1)．〔难点〕
4,
1 2
.
①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解 即可;(2)根据设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数; 然后利用指对互化解方程.
变式训练1(1)假设函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,那么 a= .
所以函数 y 1 的定义域为{x|x>0,且x≠1}. log2 x
〔3〕因为
2.2.2对数函数及其性质(1) (2)
例6.函数y 2 loga x 1, x [2,4](a 0, 且a 1) 最大值比最小值大 1, 求a的取值.
1 练习、（1）若loga <1，求实数aห้องสมุดไป่ตู้取值范围； 2
（2）若loga2<logb2<0，则(
A、0<a<b<1 C、0<b<a<1 B、a>b>1 D、b>a>1
（1） log2 3 , log2 3.5 （3） log3 2 ， log3.5 2 （2） log0.7 1.6 , log0.7 1.8 （4） log1.6 0.7 , log1.8 0.7
解： (3) 0 log2 3
log2 3.5 ，
1 1 即 0 ， log3 2 log3.5 2 log3 2 log3.5 2 .
x＝log2y
如果用x表示自变量，y表示函 数，这个函数就是 y＝log2x.
1.对数函数的定义： 一般地，我们把函数 y＝logax (a＞0且 a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的
定义域是 (0,＋∞).
对数函数模型（一）
火箭的最大速度v和燃料质 量M、火箭质量m的函数关 系是：
M v 2000 ln(1 ) m
a
)
D．y＝4lg x
答案： C
1．已知下列函数： ①y＝log1(－x)(x<0)；
2
②y＝2log4(x－1)(x>1)； ③y＝ln x(x>0)； ④y＝log(a2＋a)x(x>0，a 是常数)． ③ ．(只填序号) 其中，是对数函数的是________
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，
2.2.2 对数函数及其性质 (1)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
(3) y log2 x log2 (4 x)
2
二、对数函数的图像
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
x y 3log 5. 2 5
2. y=log(x-1)x 4.y=lnx
例1：求下列函数定义域：
2 y log x （1） a
（2）y loga (4 x)
2 解（1）因为 x 0
（2）因为 4 x 0 所以函数的定义域为
所以函数的定义域为
{x x 0}
{x x 4}
a N
b
，那么数 b叫做
以a为底 N的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
由前面的学习我们知道：如果有一种细胞分裂时， 由1个分裂成2个，2个分裂成4个，· · ·，1个这样的细 胞分裂x次会得到多少个细胞？
y2
x
如果知道了细胞的个数y，如何确定分裂的次 数x呢？ 由对数式与指数式的互化可知：
当x=1时，总有loga1=0
a 1且0 x 1时， loga x 0
o
x 1
o
图象
x
(0, )
R
y
y loga （ x a>1）
a>1
y
y loga （ x 0<a<1）
(1,0)
0<a<1
(1,0)
x 1
x
定义域
值域 定点 单调性
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2.2.2对数函数及其性质（1）
教学目标
（一） 教学知识点
1． 对数函数的概念；
2． 对数函数的图像与性质．
（二） 能力训练要求
1． 理解对数函数的概念；
2． 掌握对数函数的图像、性质；
3． 培养学生数形结合的意识．
（三）德育渗透目标
1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；
2．用联系的观点看问题；
3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．
教学重点
对数函数的图像、性质．
教学难点
对数函数的图像与指数函数的关系．
教学过程
一、复习引入：
1、指对数互化关系：
b N N a a b =⇔=log
2、 )10(≠>=a a a y x 且的图像和性质．
我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x
2表示．
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.
如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =.
引出新课--对数函数．
二、新授内容：
1．对数函数的定义：
函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域：
（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．
分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．
解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；
（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ；
（3）由9-02
>-x 得-33<<x ，
∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33|<<-x x ． 2．对数函数的图像：
通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图像：
思考：x y 2log =与x y 2
1log =的图像有什么关系？
3． 练习：教材 2.2.2练习第1题．
1.画出函数y =3log x 及y =x 3
1log 的图像，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
解：相同性质：两图像都位于y 轴右方，都经过点（1，0），
这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x =1,y =0.
不同性质：y =3log x 的图像是上升的曲线，y =x 3
1log 的图像
是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，
后者在（0，+∞）上是减函数.
4．对数函数的性质
由对数函数的图像，观察得出对数函数的性质．
011
011
三、讲解范例：
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．
⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．
小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．
⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >． 小结2：分类讨论的思想．
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．
四、练习1。
（2.2.2 练习2题）求下列函数的定义域：
（1）y =3log (1-x ) (2)y =x 2log 1 (3)y =x
311log 7-
x y 3log )4(= （5)416(log 2x y -= （6）)3(log 1x y x -=- 解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x |x ＜1}；
(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；
(3)由31,0310311>⎪⎩
⎪⎨⎧≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x |x ＜31}； (4)由⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧≥>10,0log 03
x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x |x ≥1}. 练习2、 函数)1,0(2
)1(log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点（ ） 3、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0，1]， 求a 的值。
（因时间而定，选讲）
五、课堂小结
⑴对数函数定义、图像、性质；
⑵对数的定义， 指数式与对数式互换；
⑶比较两个数的大小．
六、课后作业：。